搜索： a106356-编号：a106355
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A066099型
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| 按行读取的三角形，其中第n行以相反的字典顺序列出了n的组成。 |
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+10
386
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1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 2, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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组成部分（对于固定n）的表示是部件列表，单个组成部分（对相同n）之间的顺序是（列表-）颠倒的词典；参见示例奥马尔·波尔. -乔格·阿恩特2013年9月3日
将中的每个术语分解A057335号; 序列记录结果指数的值。它还遍历所有可能的多集数字排列。
参见序列A261300型对于另一个版本，其中每个组合的术语串联成一个单一整数：（0、1、2、11、3、21、12、111…）。这也显示了如何从二进制数中获得项A007088号参见阿诺德的第一个例子-M.F.哈斯勒2015年8月29日
列表中的第k个组合是通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差，然后再次反转来获得的。这被描述为OEIS中使用的标准顺序，尽管姐妹顺序A228351号有时也被认为是规范的。这两个序列都定义了非负整数和整数合成之间的双向对应-古斯·怀斯曼2020年5月19日
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
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配方奶粉
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例子
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A057335号开始于1 2 4 6 8 12 18 30 16 24 36。。。所以我们可以写
1 2 1 3 2 1 1 4 3 2 2 1 1 1 1 ...
. . 1 . 1 2 1 . 1 2 1 3 2 1 1 ...
. . . . . . 1 . . . 1 . 1 2 1。。。
. . . . . . . . . . . . . . 1。。。
-这里的列给出了三角形的行，三角形从
1
2; 1 1
三；2 1；1 2; 1 1 1
4; 3 1; 2 2; 2 1 1; 1 3; 1 2 1; 1 1 2; 1 1 1 1
...
第25行与Quet数162=2^1*3^3*5^1相关联，因此有序素数签名的指数构成向量（1,3,1）。遵循中描述的方法A108730号我们从每个单元格中减去一，得到（0,2,0），即11001中每个1后面的0（数字25的二进制表示）-阿尔福德·阿诺德2006年3月5日
初始术语说明：
-----------------------------------
n j图表组成j
-----------------------------------
. _
1 1 |_| 1;
. _ _
2 1 | _| 2,
2 2 |_|_| 1, 1;
. _ _ _
3 1 | _| 3,
3 2 | _|_| 2, 1,
3 3 | | _| 1, 2,
3 4 |_|_|_| 1, 1, 1;
. _ _ _ _
4 1 | _| 4,
4 2|_|_|3，
4 3 | | _| 2, 2,
4 4 |_|_|_|2，1，1，
4 5 | | _| 1, 3,
4 6 | | _|_| 1, 2, 1,
4 7 |||_|1，1，2，
4 8 |_|_|_|_| 1, 1, 1, 1;
.
（结束）
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数学
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表[FactorInteger[Apply[Times，Map[Prime，Accumulate@IntegerDigits[n，2]]][[All，-1]]，{n，41}]//展平(*迈克尔·德·维利格2017年7月11日*）
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[stc[n]，{n，0，20}]//展平(*古斯·怀斯曼2020年5月19日*）
表[Reverse@LexicographicSort@Flatten[Permutations/@Partitions[n]，1]，{n，10}]//Flatten(*埃里克·韦斯特因2023年6月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）arow（n）={局部（v=向量（n），j=0，k=0）；
而（n>0，k++；如果（n%2==1，v[j++]=k；k=0）；n=2）；
（哈斯克尔）
a066099=（！！）a066099列表
a066099_list=连接a0660999_tabf
a066099_tabf=映射a066099行[1..]
a066099_row n=反向$a228351_row n
--（每一个组成部分都是一行）
（圣人）
def a_row（n）：返回列表（反转（组成（n）））
展平（[a _范围（1，6）中n的低（n）]）#彼得·卢什尼2018年5月19日
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交叉参考
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有关标准成分的其他交叉参考，请参阅链接。
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关键词
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容易的,美好的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003242号
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| n个相邻部分不相等的成分数（Carlitz成分）。 |
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+10
351
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1, 1, 1, 3, 4, 7, 14, 23, 39, 71, 124, 214, 378, 661, 1152, 2024, 3542, 6189, 10843, 18978, 33202, 58130, 101742, 178045, 311648, 545470, 954658, 1670919, 2924536, 5118559, 8958772, 15680073, 27443763, 48033284, 84069952, 147142465, 257534928, 450748483, 788918212
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第191页。
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链接
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L.Carlitz等人，受限成分，斐波那契季刊，14（1976）254-264。
Sylvie Corteel，PawełHitchenko，Carlitz合成的推广，《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.8.8条
史蒂文·R·芬奇，数学常数的勘误表和补遗，arXiv:2001.00578[math.HO]，2020-2022，第42和117页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学，2009年；参见第201页
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量，Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278（1975），322-335。（带注释的扫描副本）
A.Knopfmacher和H.Prodinger，关于Carlitz作文《欧洲组合数学杂志》，1998年第19卷，第579-589页。
E.Munarini、M.Poneti、S.Rinaldi、，基质成分，JIS 12（2009）09.4.8，第8章。
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配方奶粉
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通用公式：1/（1-和{k>0}x^k/（1+x^k））。
a（n）~cr^n，其中c约为0.456387，r约为1.750243。（公式来自Knopfmacher和Prodinger参考。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2010年5月27日。精度更好：r=1.7502412917183090312497386246398158787782058181590561316586…（参见A241902型)，c=0.45636347405881334921001859298593318027266156100046548066205-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年4月30日
G.f.是1/（1-和{k>0}（z^k/（1-z^k）-p*z^（k*p）/（1-z ^（k*p）））的特例p=2，参见A129922号. -乔格·阿恩特2013年4月28日
G.f.：1/（1-x*（d/dx）log（产品{k>=1}（1+x^k）^（1/k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月18日
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例子
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n=7的23种成分为
[ 1] 1 2 1 2 1
[ 2] 1 2 1 3
[ 3] 1 2 3 1
[ 4] 1 2 4
[ 5] 1 3 1 2
[ 6] 1 3 2 1
[ 7] 1 4 2
[ 8] 1 5 1
[ 9] 1 6
[10] 2 1 3 1
[11] 2 1 4
[12] 2 3 2
[13] 2 4 1
[14] 2 5
[15] 3 1 2 1
[16] 3 1 3
[17] 3 4
[18] 4 1 2
[19] 4 2 1
[20] 4 3
[21] 5 2
[22] 6 1
[23] 7
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
加法（`if`（j=i，0，b（n-j，`if'（j<=n-j，j，0）），j=1..n））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
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数学
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nmax=50；系数列表[级数[1/（1-总和[x^k/（1+x^k），{k，1，nmax}]），{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；p=2；
gf=1/（1-和（k=1，N，x^k/（1-x^k）-p*x^（k*p）/（1-x^（k*p）））；
（哈斯克尔）
a003242 n=a003242_list！！n个
a003242_list=1:f[1]，其中
f xs=y:f（y:xs）其中
y=总和$zipWith（*）xs a048272_list
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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E.罗德尼·坎菲尔德
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, 1352078, 5200300, 20058300, 77558760, 300540195, 1166803110, 4537567650, 17672631900, 68923264410, 269128937220, 1052049481860, 4116715363800, 16123801841550, 63205303218876, 247959266474052
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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请注意，没有边的唯一根树没有叶子，因此a（0）=1是按照约定的-迈克尔·索莫斯2011年7月30日
汉克尔变换是A000027号; 例如：Det（[1,1,3,10；1,3,10,35；3,10,15126；10,35126462]）=4-菲利普·德尔汉姆2007年4月13日
a（n）是函数f:[n]->[n]的个数，对于所有x，在[n]中，如果x<y，则f（x）<=f（y）。所以2*a（n）-n=A045992号（n） -杰弗里·克雷策2009年4月2日
() (11) (22) (33)
(121) (132)
(1111) (231)
(1122)
(1221)
(2112)
(2211)
(11121)
(12111)
(111111)
对于n>0，a（n）也是2n的整数组成数，交替和为2。
（结束）
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参考文献
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L.W.Shapiro和C.J.Wang，通过2X2矩阵生成恒等式，Congresus Numeratium，205（2010），33-46。
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链接
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安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Toufik Mansour和Mark Shattuck，n种颜色成分及其相关序列的统计，程序。印度科学院。科学。（数学科学）第124卷，第2期，2014年5月，第127-140页。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
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配方奶粉
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总面积：（1+1/sqrt（1-4*x））/2。
a（n）=二项式（2*n-1，n）。
a（n）=（n+1）*A000108号（n） /2，n>=1.-B.Dubalski（Dubalski，AT）atr.bydgoszcz.pl），2002年2月5日（年A060150型)
a（n）=（0^n+C（2n，n））/2-保罗·巴里2004年5月21日
a（n）是x^n在1/（1-x）^n中的系数，也是1/（1-x）^n.的前n个系数的和。给定B（x），其性质是：B（x。
a（n）=和{k=0..n}二项式（2n，k）cos（（n-k）*Pi）}；
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，（n-k）/2）（1+（-1）^（n-k；
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n，k）cos（（n-2k）Pi/2）}（内插零）；（结束）
G.f.：1/（1-x/（1-2x/（1-（1/2）x/（1-（3/2）x/（1-（2/3）x/（1-（4/3）x/（1-（3/4）x/（1-（5/4）x/（1-…）（续分数））；
例如：（曝气序列）（1+Bessel_I（0，2*x））/2。（结束）
例如：E（x）=1+x/（g（0）-2*x）；G（k）=（k+1）^2+2*x*（2*k+1）-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月21日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）-米尔恰·梅卡2012年1月28日
a（n）=rf（n，n）/ff（n，n），其中rf是上升阶乘，ff是下降阶乘-彼得·卢什尼2012年11月21日
递归D-有限：n*a（n）+2*（-2*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2012年12月4日
a（n）=表层（[1-n，-n]，[1]，1）-彼得·卢什尼2014年9月22日
G.f.：1+x/W（0），其中W（k）=4*k+1-（4*k+3）*x/（1-（4*k+1）*x:（4*k+3-；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年11月13日
例如：（1+exp（2*x）*BesselI（0.2*x））/2-伊利亚·古特科夫斯基2021年11月3日
求和{n>=0}1/a（n）=5/3+4*Pi/（9*sqrt（3））。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=3/5-8*log（phi）/（5*sqrt（5）），其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
a（n）~2^（2*n-1）/sqrt（n*Pi）-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月17日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+10*x^3+35*x^4+126*x^5+462*x^6+1716*x^7+。。。
有三个边的五根有序树有10片叶子。
..x。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
…o.x.x.x……x。。。。。。。。。
…好…好……好….x.o.x.x.x。。
…r…r…r…r…r…r…r。。。。
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MAPLE公司
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seq（二项式（2*n-1，n），n=0..24）#彼得·卢什尼2014年9月22日
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数学
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a[n_]：=级数系数[（1-x）^-n，{x，0，n}]；
c=（1-（1-4 x）^（1/2））/（2 x）；系数列表[级数[1/（1-（c-1）），{x，0，20}]，x](*杰弗里·克雷策2010年12月2日*）
表[二项式[2n-1，n]，{n，0，20}](*文森佐·利班迪2014年8月7日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2n}，m！级数系数[（1+BesselI[0，2x]）/2，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=和（i=0，n，二项式（n+i-2，i））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+1/sqrt（1-4*x+x*O（x^n）））/2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/（1-x+x*O（x^n））^n，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，二项式（2*n-1，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polcoeff（subst（（1-x）/（1-2*x），x，serreverse（x-x^2+x*O（x^n）），n））}；
（圣人）
返回rising_factorial（n，n）/falling_factial（n，n）
（岩浆）[二项式（2*n-1，n）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪，2014年8月7日
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合：
囊性纤维变性。A000027号,A000070型,A000097号,A000108号,A001622号,A006232号,A008965号,A039599号,A045992号,A058696号,A094527美元,A097070型,A110162号,A110555号,A180662号,A238279号,A239830型,A325534型,A325535型,A333213飞机,A344607飞机,A344611型,A344617飞机.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A097805号
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| 具有k部分的n的组成数，T（n，k）=二项式（n-1，k-1）表示n，k>=1，T（n，0）=0^n，按行读取n>=0和0<=k<=n的三角形。 |
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+10
177
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 0, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 0, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 0, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 0, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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以前的名称是：按行读取的Riordan数组（1,1/（1-x））。
注意，这个Riordan数组将由一些作者表示为（1，x/（1-x））。
（n+1）*第n行的每个项生成三角形A127952号: (1; 0, 2; 0, 3, 3; 0, 4, 8, 4; ...). -加里·亚当森2007年2月9日
三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0,1,0,0,0-0,0，…]DELTA[1,0,,0,0:0,0…]给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2008年12月12日
按行读取三角形：T（r，c）是将n=r*（r+1）/2+c无序划分为（r+1”部分<（r+1。
按行读取三角形：T（r，c）是将数字n=r*（r+1）/2+（c-1）无序划分为r部分<（r+1。（结束）
行读取的三角形：T（r，c）是r到c部分的有序分区（组成）数-尤根·威尔2016年1月4日
给定一个由多项式序列p_n（x）组成的基，其特征是由R p_n(A097805号)用作运算符exp（R^2*L）=exp（R#）的矩阵表示=
1） 集合x^n的exp（x^2D）和
2） 集合x^n/n的D^（-1）exp（t*x）D！（请参见A218234号).
（结束）
m，n=0,1,2，…的方形数组a（m，n），。。。用非对角线阅读。
a（m，n）给出了保序函数f的个数：{1，…，m}->{1，…，n}。有序保序意味着x<y意味着f（x）<f（y）对于所有x，y。
a（n，n）=A088218号（n） 是{1，…，n}的所有保序变换的半群O_n的大小。
读作三角形，这个序列可以通过添加列1,0,0,0来扩充Pascal三角形来获得，。。。在左边。
（结束）
关联类型T的下三角Riordan矩阵的转置提供了单项式基{x^n}，n>=0和基{y^n}，n>=0之间的转移矩阵，其中y=x/（1-x）：x^0=1=y^0，x^n=Sum{m>=n}Ttrans（n，m）y^m，其中n>=1，Ttrans。
因此，如果这个Riordan矩阵从序列{a}到序列{b}的变换是由b（n）=Sum{m=0..n}T（n，m）*a（m）给出的，其中T（n、m）=二项式（n-1，m-1），对于n>=1，那么Sum{n>=0}a（n）*x^n=Sum_{n>=0.0}b（n，y）*y^n，其中y=x/（1-x），反之亦然。这是一种改进的二项式变换；通常的是Pascal-Riordan矩阵A007318号.（结束）
此外，n的组成数与k交替相加，k的范围从-n到n，步长为2。例如，第n＝6行对以下组成进行计数（由点表示的空列）：
. (15) (24) (33) (42) (51) (6)
(141) (132) (123) (114)
(1113) (231) (222) (213)
（1212）（1122）（321）（312）
(1311) (1221) (1131) (411)
(2112) (2121)
(2211) (3111)
(11121) (11112)
(12111) (11211)
(111111) (21111)
反向交替版本是相同的。通过所有三个参数（总和、长度、交替总和）计算作文得出A345197型.2n与交替和2k（k范围从-n+1到n）的组成如下A034871号.（结束）
长度n的排列数同时避免了图案123和132，其中k从右向左最大。置换A（1）A（2）…中从右到左的最大值。。。a（n）是位置i，因此a（j）<a（i）代表所有i<j。
长度n的排列数同时避免了图案231和312，其中k为从右到左的最小值（分别为从左到右的最大值）。置换A（1）A（2）中的从右到左的最小值（分别是从左到右的最大值）。。。a（n）是位置i，因此a（j）>a（i）代表所有j>i（相应地，a（j。
长度n的排列数同时避免了图案213和312，其中k为从右到左的最大值（分别为从左到右的最大值）。
长度n的排列数同时避免了图案213和231，其中k为从右到左的最大值（分别为从右至左的最小值）。（结束）
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第1部分，第7.2.1.3节，2011年。
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链接
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James East和Peter J.McNamara，关于变换半群所做的功，澳大利亚。《联合杂志》第49卷（2011年），第95-109页。
梁胡伊乐、裴燕妮、王毅，立方格配位数的解析组合，arXiv:2302.11856[math.CO]，2023。见第8页。
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配方奶粉
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由T（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*if（k<=j，（-1）^（j-k），0）定义的数字三角形T（n、k）。
T（r，c）=二项式（r-1，c-1），0≤c≤r-保罗·魏森霍恩2011年2月9日
通用名称：（-1+x）/（-1+x+x*y）-R.J.马塔尔2015年8月11日
a（0,0）=1，a（n，k）=二项式（n-1，n-k）=二项式（n-1，k-1）尤根·威尔2016年1月4日
通用公式：（x^1+x^2+x^3+…）^k=（x/（1-x））^k-尤根·威尔2016年1月4日
例如：1+x*[E^（（x+1）t）-1]/（x+1。
奇数列取反的填充Pascal矩阵为NpdP=M*S=S^（-1）*M^（-1-）=S^（-1）*M，其中M（n，k）=（-1）^nA130595型（n，k），奇数行取反的逆Pascal矩阵，S是求和矩阵A000012号，具有所有元素单位的下三角矩阵，以及S^（-1）=A167374号是一个有限差分矩阵。NpdP是自逆的，即（M*S）^2=单位矩阵，并且具有例如f.1-x*[e^（（1-x）t）-1]/（1-x。
M=NpdP*S^（-1）来自Pascal矩阵的众所周知的递归性质，这意味着NpdP=M*S。
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例子
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G.f.=1+x*（x+x^3*（1+x）+x^6*（1++x）^2+x^10*（1+x）^3+…）-迈克尔·索莫斯，2006年8月20日
三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 0 1 1
3: 0 1 2 1
4: 0 1 3 3 1
5: 0 1 4 6 4 1
6: 0 1 5 10 10 5 1
7: 0 1 6 15 20 15 6 1
8: 0 1 7 21 35 35 21 7 1
9: 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1
10: 0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
T（r=5，c=3）=二项式（4,2）=6个数的无序分区n=r*（r+1）/2+c=18，其中（r+1。
T（r=5，c=3）=二项式（4,2）=6个数为n=r*（r+1）/2+（c-1）=17的无序分区，r=5个和：（5+5+4+2+1），（5+5+3+1）。（结束）
a（0,0）=1，因为存在唯一的（order-preserving）函数{}->{}。
对于m>0，a（m，0）=0，因为没有从非空集到空集的函数。
a（3,2）=4，因为有四个保序函数{1,2,3}->{1,2}：这些是[1,1,1]，[2,2,2]，[1,1,2]，[1,2,2]。这里f=[a，b，c]表示由f（1）=a，f（2）=b，f（3）=c定义的函数。
a（2,3）=6，因为有六个保序函数{1,2}->{1,2,3}：这些是[1,1]、[1,2]、[1,3]、[2,2]，[2,3]，[3,3]。
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，p）选项记忆`如果`（n=0，p！，`if`（i<1，0，
展开（添加（b（n-i*j，i-1，p+j）/j*x^j，j=0..n/i）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n$2,0））：
#或者：
T：=proc（k，n）选项记住；
如果k=n，则1 elif k=0，则0 else
添加（T（k-1，n-i），i=1..n-k+1）fi结束：
PMatrix（10，n->1）#彼得·卢什尼2022年10月7日
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数学
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表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，Length[#]==k&]]，{n，0，10}，{k，0，n}](*古斯·怀斯曼2022年1月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<2，n==0，n---；m=（平方（8*n+1）-1）\2；二项式（m-1，n-m*（m+1）/2））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月20日*/
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，0^n，二项式（n-1，k-1））\\米歇尔·马库斯2022年5月6日
（PARI）行（n）=向量（n+1，k，k-；如果（k==0，0^n，二项式（n-1，k-1））\\米歇尔·马库斯2022年5月6日
（圣人）
#举例说明了一个基本的分区公式，作为一个大n的程序效率不高。
r=[]
对于k in（0..n）：
s=0
对于分区（n，max_part=k，inner=[k]）中的q：
s+=范围（len（q）-1）中j的mul（二项式（q[j]，q[j+1]）
r.附加
返回r
（Python）
从数学导入梳
def T（n，k）：如果k！=，则返回梳（n-1，k-1）0其他k**n#彼得·卢什尼2022年5月6日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000346号,A000984号,A001700号,A008549号,A008965号,A114121号,A124754号,A238279号,A345907型,A345908型,A346632型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A238279号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是n组成非零部分的数量，其中k部分后面紧跟着不同的部分，n>=0，0<=k<=A004523号（n-1）。 |
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+10
160
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1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 10, 4, 4, 12, 14, 2, 2, 22, 29, 10, 1, 4, 26, 56, 36, 6, 3, 34, 100, 86, 31, 2, 4, 44, 148, 200, 99, 16, 1, 2, 54, 230, 374, 278, 78, 8, 6, 58, 322, 680, 654, 274, 52, 2, 2, 74, 446, 1122, 1390, 814, 225, 22, 1, 4, 88, 573, 1796, 2714, 2058, 813, 136, 10, 4, 88, 778, 2694, 4927
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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行中最后的元素是1、1、2、2、1、4、2、1、6、2、1、8。。。带有g.f.-（x^6+x^4-2*x^2-x-1）/（x^6-2*x^3+1）。
对于n>0，也计算n与k+1的组合数-古斯·怀斯曼2020年4月10日
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链接
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例子
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三角形开始：
00:1时；
01: 1;
02: 2;
03: 2, 2;
04: 3, 4, 1;
05: 2, 10, 4;
06: 4, 12, 14, 2;
07: 2, 22, 29, 10, 1;
08: 4, 26, 56, 36, 6;
09: 3, 34, 100, 86, 31, 2;
10: 4, 44, 148, 200, 99, 16, 1;
11: 2, 54, 230, 374, 278, 78, 8;
12: 6, 58, 322, 680, 654, 274, 52, 2;
13: 2, 74, 446, 1122, 1390, 814, 225, 22, 1;
14: 4, 88, 573, 1796, 2714, 2058, 813, 136, 10;
15: 4, 88, 778, 2694, 4927, 4752, 2444, 618, 77, 2;
16: 5, 110, 953, 3954, 8531, 9930, 6563, 2278, 415, 28, 1;
...
行n=5是2，10，4，因为在5的16个组成部分中
##：【成分】变更数量
01: [ 1 1 1 1 1 ] 0
02: [ 1 1 1 2 ] 1
03: [ 1 1 2 1 ] 2
04: [ 1 1 3 ] 1
05：[1 2 1 1]2
06:[1 2 2]1
07: [ 1 3 1 ] 2
08: [ 1 4 ] 1
09: [ 2 1 1 1 ] 1
10: [ 2 1 2 ] 2
11: [ 2 2 1 ] 1
12: [ 2 3 ] 1
13: [ 3 1 1 ] 1
14: [ 3 2 ] 1
15: [ 4 1 ] 1
16: [ 5 ] 0
有2个没有变化，10个有一个变化，4个有两个变化。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，v）选项记忆`如果`（n=0，1，展开(
加（b（n-i，i）*`如果`（v=0或v=i，1，x），i=1..n））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0））：
seq（T（n），n=0..14）；
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数学
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b[n_，v_]：=b[n，v]=如果[n==0，1，展开[Sum[b[n-i，i]*如果[v==0|v==i，1，x]，{i，1；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0]]；表[T[n]，{n，0，14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年2月11日，Maple之后*）
表[If[n==0，1，Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，Length[Split[#]]==k+1&]]]，{n，0，12}，{k，0，If[n==0，0，Floor[2*（n-1）/3]]}](*古斯·怀斯曼2020年4月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A025047美元
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| 交替成分的数量，即交替增加和减少的成分，从增加或减少开始。 |
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+10
155
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1、1、1、3、4、7、12、19、29、48、75、118、186、293、460、725、1139、1789、2814、4422、6949、10924、17168、26979、42404、66644、104737、164610、258707、406588、639009、1004287、1578363、2480606、3898599、6127152、9623、15134213、23785388、37381849、58750468
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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原名：摆动和：与n相加的和的数量，其中的项交替增加和减少，反之亦然。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n，其中d=1.571630806607064114100138865739690782401305155950789062725…，c=0.82223604508238676047504588852601460811483897-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月12日
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例子
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有a（7）=19这样的7组分：
[ 1] + [ 1 2 1 2 1 ]
[ 2] + [ 1 2 1 3 ]
[ 3] + [ 1 3 1 2 ]
[ 4] + [ 1 4 2 ]
[ 5] + [ 1 5 1 ]
[ 6] + [ 1 6 ]
[ 7] - [ 2 1 3 1 ]
[ 8] - [ 2 1 4 ]
[9]+[2 3 2]
[10] + [ 2 4 1 ]
[11] +[2 5]
[12] - [ 3 1 2 1 ]
[13] - [ 3 1 3 ]
[14] +[3 4]
[15] - [ 4 1 2 ]
[16] - [ 4 3 ]
[17] - [ 5 2 ]
[18] - [ 6 1 ]
[19] 0 [ 7 ]
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，l，t）选项记忆`如果`（n=0，1，添加(
b（n-j，j，1-t），j=`如果`（t=1,1..分钟（l-1，n），l+1..分钟））
结束时间：
a： =n->1+加（加（b（n-j，j，i），i=0..1），j=1..n-1）：
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数学
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wigQ[y_]：=或[Length[y]==0，Length[Split[y]]==长度[y]&&Length[Plit[Sign[Differences[y]]]==Length[y]-1]；
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，wigQ]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2021年6月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
D（n，f）={my（M=矩阵（n，n，j，k，k>=j），s=M[，n]）；对于（b=1，n，f=！f；M=矩阵
seq（n）=连接（[1]，D（n，0）+D（n、1）-向量（n，j，1））\\安德鲁·霍罗伊德2024年1月31日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000070型,A008965号,A238279号,A333755型,A344606型,A344614飞机,A344653型,A344740型,A345163型,A345166型,A345169型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A333489型
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| 对k进行编号，使标准顺序中的第k个成分是反运行的（没有相邻的相等部分）。 |
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+10
142
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0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 25, 32, 33, 34, 37, 38, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 76, 77, 80, 81, 82, 88, 89, 96, 97, 98, 101, 102, 104, 105, 108, 109, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 137, 140, 141
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、3
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评论
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n的合成是一个有限的正整数序列与n相加。第k个合成按标准顺序（第k行A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。
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链接
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例子
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序列和相应的组成开始：
0:（）33:（5,1）70:（4,1,2）
1:（1）34:（4,2）72:（3,4）
2: (2) 37: (3,2,1) 76: (3,1,3)
4: (3) 38: (3,1,2) 77: (3,1,2,1)
5: (2,1) 40: (2,4) 80: (2,5)
6: (1,2) 41: (2,3,1) 81: (2,4,1)
8: (4) 44: (2,1,3) 82: (2,3,2)
9: (3,1) 45: (2,1,2,1) 88: (2,1,4)
12: (1,3) 48: (1,5) 89: (2,1,3,1)
13: (1,2,1) 49: (1,4,1) 96: (1,6)
16: (5) 50: (1,3,2) 97: (1,5,1)
17: (4,1) 52: (1,2,3) 98: (1,4,2)
18：（3,2）54：（1,2,1,2）101：（1,3,2,1）
20: (2,3) 64: (7) 102: (1,3,1,2)
22: (2,1,2) 65: (6,1) 104: (1,2,4)
24: (1,4) 66: (5,2) 105: (1,2,3,1)
25: (1,3,1) 68: (4,3) 108: (1,2,1,3)
32: (6) 69: (4,2,1) 109: (1,2,1,2,1)
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数学
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stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
选择[范围[0100]！匹配Q[stc[#]，{___，x_，x_
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 4, 4, 3, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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对于n>0，a（n）是第n个成分中按标准顺序相邻不等项数的一倍。同样是相同构图中的运行次数-古斯·怀斯曼2020年4月8日
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链接
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配方奶粉
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a（0）=0，a（n）=1+Sum_{1<=i=1<k，b（i）！=b（i+1）}1对于n>0。
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例子
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成分编号11为2,1,1；水平运行为2次；1,1; 因此a（11）=2。
表格开始：
0
1
1 1
1 2 2 1
1 2 1 2 2 3 2 1
1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1
1 2 2 2 1 3 3 2 2 3 1 2 3 4 3 2 2 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 1
1234567组分按标准顺序为（3,2,1,2,2,2,1,2,1,2,5,1,1，1），（2，2），（1）-古斯·怀斯曼2020年4月8日
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数学
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stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[Length[Split[stc[n]]]，{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2020年4月17日*）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 8, 11, 16, 19, 28, 35, 48, 60, 79, 99, 131, 161, 205, 256, 324, 397, 498, 609, 755, 921, 1131, 1372, 1677, 2022, 2452, 2952, 3561, 4260, 5116, 6102, 7291, 8667, 10309, 12210, 14477, 17087, 20177, 23752, 27957, 32804, 38496, 45049, 52704
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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定义：如果一个分区的各个部分的顺序不连续，则该分区是可分的；否则分区是不可分割的。
具有k个部分的分区是不可分割的，当且仅当存在重数大于天花板（k/2）的部分时-安德鲁·霍罗伊德，2024年1月17日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{k>=1}x^（2*k-1）*（1+x-x^（k-1））/（（1-x^（k+1））*乘积_{j=1..k-1}（1-x^j））-安德鲁·霍罗伊德2024年1月17日
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例子
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对于n=5，分区1+2+2可分为2+1+2，2+1+1+1不可分。
a（2）=2到a（9）=11个不可分割的分区：
11 111 22 2111 33 2221 44 333
1111 11111 222 4111 2222 3222
3111 31111 5111 6111
21111 211111 41111 22221
111111 1111111 221111 51111
311111 321111
2111111 411111
11111111 2211111
3111111
21111111
111111111
（结束）
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数学
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u=表[Length[Select[Map[Quotient[（1+Length[#]）），Max[Map[Length，Split[#]]]&，
整数分区[nn]]，#>1&]]，{nn，50}]
表[分区P[n]-u[[n]]，{n，1，长度[u]}]
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Select[Permutations[#]！匹配Q[#，{___，x_，x_、___}]&]=={}&]]，{n，10}](*古斯·怀斯曼2020年6月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）序列（n）={Vec（总和（k=1，（n+1）\2，x^（2*k-1）*（1+x-x^\\安德鲁·霍罗伊德2024年1月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A333755型
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| 按行读取的三角形，其中T（n，k）是n的组成数，k次，n>=0，0<=k<=n。 |
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+10
91
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1, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 2, 10, 4, 0, 0, 0, 4, 12, 14, 2, 0, 0, 0, 2, 22, 29, 10, 1, 0, 0, 0, 4, 26, 56, 36, 6, 0, 0, 0, 0, 3, 34, 100, 86, 31, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 44, 148, 200, 99, 16, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 54, 230, 374, 278, 78, 8, 0, 0, 0, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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链接
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例子
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三角形开始：
1
0 1
0 2 0
0 2 2 0
0 3 4 1 0
0 2 10 4 0 0
0 4 12 14 2 0 0
0 2 22 29 10 1 0 0
0 4 26 56 36 6 0 0 0
0 3 34 100 86 31 2 0 0 0
0 4 44 148 200 99 16 1 0 0 0
0 2 54 230 374 278 78 8 0 0 0 0
第n=6行统计以下成分（用点表示的空列）：
. (6) (15) (123) (1212)
(33) (24) (132) (2121)
(222) (42) (141)
（111111）（51）（213）
(114) (231)
(411) (312)
（1113）（321）
(1122) (1131)
(2211) (1221)
(3111) (1311)
(11112) (2112)
(21111) (11121)
(11211)
(12111)
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数学
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表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，Length[Plit[#]]==k&]]，{n，0，10}，{k，0，n}]
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交叉参考
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关键词
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作者
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