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| A002054号 |
| 二项式系数C（2n+1，n-1）。
（原M3913 N1607）
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88
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1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400, 17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710, 62359143990, 244662670200, 960566918220, 3773655750150, 14833897694226, 58343356817424, 229591913401900
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n）=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如，S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式，而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式，即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231（但不是123或321，参见A003517美元). [评论修订人N.J.A.斯隆2022年11月26日]
半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。例如：a（2）=5，因为UD*UD*UD、UD*UUDD、UUDD*UD，UUD*UDD、UUUDDD，其中U=（1,1），D=（1，-1），谷值用*表示-Emeric Deutsch公司，2003年12月5日
半长n+1的所有Dyck路径中的UU数（双上升）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD，双升序用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
在半长n+1的所有Dyck路径中，高于一级（高峰值）的峰值数。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD、UUU*DDD，高峰用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
通过非交叉对角线将凸（n+3）-边剖分为多个区域的次数，其中n-1个区域为三角形。例如：a（2）=5，因为凸五边形ABCDE被AC、BD、CE、DA、EB中的任何对角线分割成正好包含1个三角形的区域-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在完整二叉树的预序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳转-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
a（n）是所有Dyck路径中非空Dyck子路径的总数(A000108号)例如，Dyck路径UUDUUDDD的Dyck子路径延伸到位置1-8（整个路径）、2-3、2-7、4-7、5-6，因此为a（4）贡献5-大卫·卡伦2008年7月25日
a（n+1）是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如，a（2）=5，因为集合123、213、231、312、321中有5个上升-切恩·霍姆伯格2013年10月25日
具有最大条目2n+1的形状（n+1，n+1）递增表的数量。递增表是一个半标准表，其中的行和列严格递增，条目集是正整数的初始段。例如：a（2）=5计算五个表（124）（235）、（123）（245）、（124”（345）、“（134）（244）”、“（123）”（245”）-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
a（n）是2n+1到大小为2的n-1块和大小为3的1块的非交叉分区数-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n+1,3），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有5条路径：UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日
还有2n+2个数字和比1多两个0的二进制数。例如，a（2）=5个二进制数为：100001、100010、100100、101000、110000，十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字0表示A001791年，排名依据A345910型/A345912型.
还有2n+2的整数组合数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（3）=21的组合是：
(35) (152) (1124) (11141) (111113)
(251) (1223) (12131) (111212)
(1322) (13121) (111311)
（1421）（14111）（121112）
(2114) (121211)
(2213) (131111)
(2312)
(2411)
以下内容与这些成分有关：
（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
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链接
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克莱门斯·休伯格（Clemens Heuberger）、莎拉·塞尔柯克（Sarah J.Selkirk）和斯蒂芬·瓦格纳（Stephan Wagner），基于降阶模k高度的广义Dyck路径计数，arXiv:2204.14023[math.CO]，2022。
沃纳·克兰迪克，树、跳跃和真正的根，J.计算与应用数学。，第162卷，第1期（2004年），第51-55页。
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罗纳德·里德，关于多边形的一般剖分《Aequationes Mathematicae》，第18卷，第1-2期（1978年），第370-388页；预打印，1974年。
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公式
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a（n）=和{j=0..n-1}二项式（2*j，j）*二项式Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=二项式（2*n+1，n-1）=n*C（n+1）/2，C（n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚语）。
G.f.：（1-2*x-（1-3*x）*c（x））/（x*（1-4*x）），带有A000108号.（结束）
通用：2F1（5/2，2；4；4*x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
递归D-有限：a（n+1）=a（n）*（2*n+3）*（2*n+2）/（n*（n+3））-柴华武2016年1月26日
例如：（贝塞尔I（0,2*x）+（1-1/x）*BesselI（1,2*x。
a（n）~2^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）。（结束）
a（n）=（1/（n+1））*和{i=0..n-1}（n+1-i）*二项式（2n+2，i），n>=1-塔拉斯·戈伊，2018年8月9日
总面积：（x-1+（1-3*x）/sqrt（1-4*x））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2021年7月28日
和{n>=1}1/a（n）=5/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。
Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=52*log（phi）/（5*sqrt（5））-7/5，其中phi是黄金比例(A001622号). （结束）
G.f.:x/（1-4*x）^2*c（-x/（1-1-4*x））^3，其中c（x）=（1-sqrt（1-4**））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号. -彼得·巴拉2024年2月3日
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例子
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G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。
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MAPLE公司
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with（combstruct）：seq（（count（Composition（2*n+2），size=n）），n=1..24）#零入侵拉霍斯2007年5月3日
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数学
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系数列表[系列[8/（（Sqrt[1-4x]+1）^3）*Sqrt[1-4x]），{x，0，22}]，x](*罗伯特·威尔逊v，2011年8月8日*）
a[n]：=二项式[2n+1，n-1]；(*迈克尔·索莫斯2014年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n-1）}；
（岩浆）[二项式（2*n+1，n-1）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年4月20日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（1，10**3）中的n：
b=b*（2*n+2）*（2*n+3）//（n*（n+3#柴华武2016年1月26日
（GAP）列表（[1..25]，n->二项式（2*n+1，n-1））#穆尼鲁A阿西鲁，2018年8月9日
（Sage）[（1..25）中n的二项式（2*n+1，n-1）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月22日
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交叉参考
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参见。A000097号,A000346号,A000984号,A001622号,A001700号,A007318号,A008549号,A031444美元,A058622号,A097805号,A116406号,A138364号,1993年1月,A202736型.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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