显示找到的43个结果中的1-10个。
0, 1, 49, 2500, 127449, 6497401, 331240000, 16886742601, 860892632649, 43888637522500, 2237459621014849, 114066552034234801, 5815156694124960000, 296458924848338725201, 15113590010571150025249, 770496631614280312562500
配方奶粉
a（n）=50*a（n-1）+50*a（n-2）-a（n-3），n>=3；a（0）=0，a（1）=1，a（2）=49。
a（n）=51*a（n-1）-a（n-2）-2*（-1）^n，n>=2；a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=2*（T（n，51/2）-（-1）^n）/53，第一类切比雪夫多项式的两倍：2*T（n、51/2）=A099368号（n） ●●●●。
通用公式：x*（1-x）/（（1-51*x+x^2）*（1+x））=x*（1-x）/。
a（n+1）=（1+（-1）^n）/2+49*Sum_{k=1..n}k*a（n+1-k）-迈克尔·艾伦2023年2月21日
数学
线性递归[{50，50，-1}，{0，1，49}，20](*哈维·P·戴尔2023年7月27日*）
奇复合整数m，这样A054413号（m-J（m，53））==0（mod m），其中J（m、53）是雅可比符号。
+20
6
25, 35, 51, 65, 91, 175, 325, 391, 455, 575, 1247, 1295, 1633, 1763, 1775, 1921, 2275, 2407, 2599, 2651, 3367, 4199, 4579, 4623, 5629, 6441, 9959, 10465, 10825, 10877, 12025, 13021, 15155, 16021, 18881, 19019, 19039, 19307, 19669
评论
由U（m+2）=a*U（m+1）-b*U（m）和U（0）=0，U（1）=1定义的整数参数（a，b）的广义Lucas序列满足恒等式
当p是素数，b=-1和D=a^2+4时，U（p-J（p，D））==0（mod p）。
该序列包含U（m-J（m，D））==0（mod m）的奇复合整数。
对于a=7和b=-1，我们有D=53和U（m）恢复A054413号（m） ●●●●。
如果允许与53互质的大于2的偶数，则10、50、370、5050。。。也将是条款-宋嘉宁2021年1月9日
参考文献
D.Andrica，O.Bagdasar，《递归序列：关键结果、应用和问题》。斯普林格，2020年。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于广义Lucas序列的一些新的算术性质，Mediter。数学杂志。（将于2021年出现）。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于k级的广义伪素性（已提交）。
数学
选择[Range[3，20000，2]，CoprimQ[#，53]&&CompositeQ[#]&&Divisible[Fibonacci[#-JacobiSymbol[#，53]，7]，#]&]
奇复合整数m，这样A054413号（2*m-J（m，53））==1（mod m），其中J（m、53）是雅可比符号。
+20
4
25, 35, 39, 49, 51, 65, 91, 147, 175, 245, 301, 325, 343, 391, 455, 507, 575, 605, 637, 663, 741, 833, 897, 903, 935, 1127, 1205, 1225, 1247, 1295, 1505, 1595, 1633, 1715, 1763, 1775, 1911, 1921, 2107, 2275, 2401, 2407, 2499, 2599, 2651, 3025, 3143, 3185, 3311
评论
由U（m+2）=a*U（m+1）-b*U（m）和U（0）=0，U（1）=1定义的整数参数（a，b）的广义Lucas序列满足U（2*p-J（p，D））==1（mod p），只要p是素数，k是正整数，b=-1和D=a^2+4。
性质为U（k*m-J（m，D））==U（k-1）（mod m）的复合整数m称为k-级和参数a的广义Lucas伪素数。这里b=-1，a=7，D=53和k=2，而U（m）为A054413号（m） ●●●●。
参考文献
D.Andrica，O.Bagdasar，《递归序列：关键结果、应用和问题》。斯普林格，2020年。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于广义Lucas序列的一些新的算术性质，Mediter。数学杂志。（将于2021年出现）。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于k级的广义伪素性（已提交）。
数学
选择[Range[3，10000，2]，CoprimQ[#，53]&&CompositeQ[#]&&Divisible[Fibonacci[2*#-JacobiSymbol[#，53]，7]-1，#]&]
奇复合整数m，这样A054413号（3*m-J（m，53））==7（mod m），其中J（m、53）是雅可比符号。
+20
三
9, 25, 27, 51, 91, 105, 153, 185, 225, 289, 325, 425, 459, 481, 513, 747, 867, 897, 925, 945, 1001, 1189, 1299, 1469, 1633, 1785, 1921, 2241, 2245, 2599, 2601, 2651, 2769, 2907, 3051, 3277, 3825, 3897, 5681, 6225, 6507, 6777, 7225, 7361, 7803, 8023, 8227, 8701, 8721
评论
由U（m+2）=a*U（m+1）-b*U（m）和U（0）=0，U（1）=1定义的整数参数（a，b）的广义Lucas序列满足U（3*p-J（p，D））==a（mod p），只要p是素数，k是正整数，b=-1和D=a^2+4。
性质为U（k*m-J（m，D））==U（k-1）（mod m）的复合整数m称为k级广义Lucas伪素数和参数a。
这里b=-1，a=7，D=53，k=3，而U（m）为A054413号（m） ●●●●。
参考文献
D.Andrica，O.Bagdasar，《递归序列：关键结果、应用和问题》。斯普林格，2020年。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于广义Lucas序列的一些新的算术性质，Mediter。数学杂志。（将于2021年出现）。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于k级的广义伪素性（已提交）。
数学
选择[Range[3，10000，2]，CoprimQ[#，53]&&CompositeQ[#]&&Divisible[Fibonacci[3*#-JacobiSymbol[#，53]，7]-7，#]&]
21, 25, 35, 49, 51, 65, 85, 91, 119, 147, 161, 175, 221, 231, 245, 325, 357, 377, 391, 399, 425, 455, 539, 559, 561, 575, 595, 629, 637, 759, 791, 833, 1001, 1105, 1127, 1225, 1247, 1295, 1309, 1495, 1547, 1633, 1763, 1775, 1921, 2001, 2015, 2261, 2275, 2407
评论
整数参数（a，b）的广义Lucas序列定义为
U（m+2）=a*U（m+1）-b*U（m）和U（0）=0，U（1）=1。
只要p是素数且b=-1,1，我们就有U^2（p）==1（mod p）。
这里我们定义了U^2（m）==1（mod m）保持的奇复合整数，对于a=7，b=-1，其中U（m）是A054413号（m） ●●●●。
参考文献
D.Andrica，O.Bagdasar，《递归序列：关键结果、应用和问题》。斯普林格，2020年。
D.Andrica，O.Bagdasar，关于广义Lucas序列的一些新的算术性质，Mediter。数学杂志。（将于2021年出现）
数学
选择[Range[3，15000，2]，CompositeQ[#]&Divisible[Fibonacci[#，7]*Fibonaci[#，7]-1，#]&]
球数：a（0）=0，a（1）=1；对于n>1，a（n）=2*a（n-1）+a（n-2）。
（原M1413 N0552）
+10
761
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045, 18457556052, 44560482149, 107578520350, 259717522849
评论
有时也称为lambda数。
连分式的分母也收敛到sqrt（2）：1，3/2，7/5，17/12，41/29，99/70，239/169，577/408，1393/985，3363/2378，8119/5741，19601/13860，47321/33461，114243/80782=A001333号/A000129号.
从（0,0）到线x=n-1的晶格路径数，由U=（1,1），D=（1，-1）和H=（2,0）步组成（即Grand Schroeder路径的左因子）；例如，a（3）=5，计算路径H、UD、UU、DU和DD-Emeric Deutsch公司2002年10月27日
a（2*n）与b（2*n）：=A001333号（2*n），n>=1，给出佩尔方程b^2-2*a^2=+1的所有（正整数）解（见艾默生参考文献）。a（2*n+1）与b（2*n+1）：=A001333号（2*n+1），n>=0，给出Pell方程b^2-2*a^2=-1的所有（正整数）解。
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（a+b）。从a=b=1开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到以下序列1/1、3/2、7/5、17/12、41/29。。。收敛到2^（1/2）。序列包含分母-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
这也是Horadam层序（0,1,1,2）。极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=sqrt（2）+1=A014176号. -罗斯·拉海耶2003年8月18日
132个避免二层可排序排列的数量。
对于n>0，（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=2，s（n）=3。
数量（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=1，s（n）=2。（结束）
计算从三角形的一个顶点到另一个添加了循环的顶点的长度为n的行走次数马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
Pell素性检验是“如果N是一个奇素数，那么P（N）-Kronecker（2，N）可以被N整除”。“大多数”复合数没有通过这项测试，所以它是一个有用的伪素性测试。Pell伪素数（即通过上述测试的）的奇数复合数A099011号. -杰克·布伦南2004年11月13日
（0！a（1），1！a（2），2！a（3），3！a（4），…）和（1，-2，-2,0,0,0，…）在表分区变换和中描述的相关操作下形成倒数对2013年3月14日. -汤姆·科普兰2007年10月29日
设C=（sqrt（2）+1）=2.414213562…，则对于n>1，C^n=a（n）*（1/C）+a（n+1）。例如：C^3=14.0710678…=5*（0.414213562…）+12。设X=2X2矩阵[0，1；1，2]；则X^n*[1，0]=[a（n-1），a（n）；a（n，a（n+1）]。a（n）=第n个收敛到（sqrt（2）-1）=0.414213562…=[2，2，2，…]的分子，收敛为[1/2，2/5，5/12，…]-加里·亚当森，2007年12月21日
A=sqrt（2）=2/2+2/5+2/（5*29）+2/（29*169）+2/（169*985）+。。。；B=（（5/2）-平方（2））=2/2+2/（2*12）+2/（12*70）+2/。。。；A+B=5/2。C=1/2=2/（1*5）+2/（2*12）+2/-加里·亚当森2008年3月16日
相关收敛（分子/分母）：
序列的二项式变换：=0,1,0,2,0,4,0,8,0,16，。。。，2的幂与0交替-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
a（n）也是三角形第n行的和，该行由帕斯卡三角形的前两行开始，然后每一行的两端都有一个1，内部值是该位置上方三角形中三个数字的和Patrick Costello（帕特·科斯特洛（AT）eku.edu），2008年12月7日
从偏移量1开始=三角形特征序列A135387号（主对角线上有（2,2,2，…），次对角线中有（1,1,1，…）的无限下三角矩阵）-加里·亚当森2008年12月29日
一般来说，连分式的分母a（k，n）和分子b（k，n）收敛到sqrt（（k+1）/k），如下所示：
设a（k，0）=1，a（k、1）=2k；对于n>0，a（k，2n）=2*a（k、2n-1）+a（k和2n-2）
和a（k，2n+1）=（2k）*a（k、2n）+a（k和2n-1）；
设b（k，0）=1，b（k、1）=2k+1；对于n>0，b（k，2n）=2*b（k、2n-1）+b（k和2n-2）
和b（k，2n+1）=（2k）*b（k、2n）+b（k和2n-1）。
例如，sqrt（2/1）的收敛从1/1、3/2、7/5、17/12、41/29开始。
一般来说，如果a（k，n）和b（k，n）是连分式的分母和分子，分别收敛到上面定义的sqrt（（k+1）/k），那么
k*a（k，2n）^2-a（k、2n-1）*a（k，2n+1）=k=k*a
b（k，2n-1）*b；
例如，如果k=1和n=3，那么a（1，n）=a（n+1）和
1*a（1,6）^2-a（1,5）*a（1,7）=1*169^2-70*408=1；
1*a（1,4）*a（1.6）-a（1,5）^2=1*29*169-70^2=1；
b（1,5）*b（1,7）-1*b（1.6）^2=99*577-1*239^2=2；
b（1,5）^2-1*b（1,4）*b（1.6）=99 ^2-1*41*239=2。
（结束）
从偏移量1开始=三角形的行和A155002号，相当于斐波那契序列与佩尔序列卷积后以“1”开头的陈述：（1，1，2，5，12，29，…）=（1，2，5，12，29，…）-加里·亚当森2009年1月18日
似乎P（P）==8^（（P-1）/2）（mod P），P=素数；类似于[施罗德，第90页]：Fp==5^（（p-1）/2）（mod p）。示例：给定P（11）=5741，==8^5（mod 11）。给定P（17）=11336689，==8^8（mod 17），因为17除法（8^8-P（17-加里·亚当森2009年2月21日
对a（n-1）的另一种组合解释来自一个简单的平铺场景。即，a（n-1）给出了平铺一个1 X n矩形的方法数量，该矩形具有不可区分的1 X 2矩形和1 X 1方形，分为两种类型，例如a和B。例如，用C表示1 X 2长方形，我们从AAA、AAB、ABA、BAA、，ABB、BAB、BBA、BBB、AC、BC、CA和CB-马丁·格里菲斯2009年4月25日
第n个Pell数计算边标记图C_2 x P_（n-1）的完美匹配，或等效地计算2X（n-1”）柱面网格的多米诺瓷砖数-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
作为分数：1/79=0.0126582278481…或1/9799=0.000102051229…（1/119和1/10199用于反向序列）-马克·多尔斯2010年5月18日
极限{n->oo}（a（n）/a（n-1）-a（n-1”/a（n））趋于2.0。示例：a（7）/a（6）-a（6）/a（7）=169/70-70/169=2.0000845-加里·亚当森2010年7月16日
数字k，使2*k^2+-1为正方形-文森佐·利班迪2010年7月18日
起始（1，2，5，…）=的INVERTi变换A006190号: (1, 3, 10, 33, 109, ...). -加里·亚当森2010年8月6日
[u，v]=[a（n），a（n-1）]生成所有的毕达哥拉斯三元组[u^2-v^2，2uv，u^2+v^2]，它们的腿相差1-詹姆斯·布登哈根，2010年8月14日
设2X2方阵A=[2，1；1，0]，则A（n）=A^（n-1）的（1,1）元素-卡米娜·苏里亚诺，2011年1月14日
将t圆定义为与x轴和y轴相切的第一象限圆。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的t圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为与C（n-1）相切的下一个较大的t圆。C（n）具有半径A001333号（2n）+a（2n）*sqrt（2），其与C（n+1）交点的每个坐标都是a（2n+1）+(A001333号（2n+1）*sqrt（2））/2。参见类似评论A001109号和A001653号2005年9月14日-查理·马里恩2012年1月18日
佩尔数也可以称为“银色斐波那契数”，因为，对于n>=1，F（n+1）=上限（phi*F（n）），如果n是偶数，F（n+1）=下限（phi*F（n），如果n是奇数，其中phi是黄金比率，而a（n+1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
a（n）是n-1分为两类1和一类2的组成数（有序分区）。例如：3-1=2的a（3）=5组成为1+1、1+1、1’+1、1‘+1’和2-鲍勃·塞尔科，2013年6月21日
在1 X n阵列的每两个连续方块之间，有一个可以折叠在其中一个方块上的襟翼。两个襟翼可以通过两种方式降低到同一个方形上，具体取决于哪一个位于顶部。第n个佩尔数计算n-1襟翼下降的方式。例如，情况n=3个正方形和2个襟翼的侧向表示为\\.、.//、\./、./_.、._\.、。，哪里。是一个空方块-让·莫拉莱斯2013年9月18日
将a（-n）定义为a（n）表示n奇数，-a（n）代表n偶数。然后a（n）=A005319号（k） *（a（n-2k+1）-a（n-2k））+a（n-4k）=A075870号（k） *（a（n-2k+2）-a（n-2k+1））-a-查理·马里恩2013年11月26日
上述组合平铺解释的另一种公式：除了n=0外，a（n-1）是用1×1正方形和1×2多米诺骨牌部分平铺1×n板的方法数-马修·雷曼2013年12月25日
将a（-n）定义为a（n）表示n奇数，-a（n）代表n偶数。然后a（n）=A077444号（k） *a（n-2k+1）+a（n-4k+2）。此公式概括了用于定义此序列的公式-查理·马里恩2014年1月30日
a（n-1）是3×3矩阵[0，1，1；1，1，1；0，1，1]，[0，1，1；0，1，1；1，1，1]，[0，1，0；1，1，1；1，1，1；1，1，1]或[0，0，1，1；1，1，1，1]中任意一个矩阵的n次幂的左上角条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
a（n+1）计算K2上包含另一个顶点上两个循环的闭合行走。等价于A^（n+1）的（1,1）项，其中有向图的邻接矩阵为A=（0,1；1,2）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月28日
对于n>=1，a（n）等于长度为n-1的三元字的数量，避免奇数长度的零的运行-米兰扬吉奇2015年1月28日
这是一个可除序列（即，如果n|m，则a（n）|a（m））-汤姆·埃德加2015年1月28日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2017年1月3日
a（n）是当1的顺序无关紧要时，或等效地，当1'的顺序无关紧要时，n-1分成两种部分n和n'的组合数（有序分区）。示例：当1的顺序无关紧要时，3-1=2的a（3）=5组分为1+1、1+1'=1+1、1'+1'、2和2'。（与来自鲍勃·塞尔科日期：2013年6月21日）-格雷戈里·西蒙2017年9月7日
{1，…，n}上弱单峰弱序R的个数其中{1，…，n}正好有一个弱序R的最小元素-J.德维尔，2017年9月28日
设A（r，n）是总长度为n的r个红色正方形和白色正方形的n+r平铺的有序排列总数，其中单个平铺的长度可以从1到n不等。设A_1（r，n）=Sum_{j=0..n}A（r，j），设A_s（r、n）=Sum_{j=0..n}A_（s-1）（r，j）。然后A_0（1，n）+A_2（3，n-4）+A_4（5，n-8）+…+A_（2j）（2j+1，n-4j）=A（n），无首字母0-格雷戈里·西蒙2018年5月25日
（1，2，5，12，29，…）是（1，-2，5，-12，29，..）的第四个INVERT变换，如所示A073133号. -加里·亚当森2019年7月17日
限制为奇数部分（和允许的零）的n的2-个分量的数目；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
也称为2-metallonacci序列；g.f.1/（1-k*x-x^2）给出了k-metallonacci序列-迈克尔·艾伦2023年1月23日
卢卡斯（1878）以英国数学家约翰·佩尔（1611-1685）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
a（n）是当有大小为i的F（i）部分时n的组成数，其中i，n>=1，F（n）为斐波那契数，A000045号（n） （参见下面的示例）-恩里克·纳瓦雷特2023年12月15日
参考文献
J.Austin和L.Schneider，毕达哥拉斯三重保存序列中的广义斐波那契序列，Fib。Q.，58:1（2020），340-350。
P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（19021910），重印于纽约切尔西，1968年，第2卷，第76页。
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配方奶粉
G.f.:x/（1-2*x-x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
G.f.：和{n>=0}x^（n+1）*（乘积{k=1..n}（2*k+x）/（1+2*k*x））=和{n>=0}x^-彼得·巴拉2015年1月4日
a（n）=2*a（n-1）+a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=（（1+平方（2））^n-（1-sqrt（2）^n）/（2*sqrt））。
对于初始值a（0）和a（1），a（n）=（（a（0”）*sqrt（2）+a（1”-a（0）））*（1+sqrt（2））^n+（a（O）*squart（2-沙赫里尔·侯赛因2019年8月18日
a（n）=最接近a（n-1）/（sqrt（2）-1）的整数，其中a（0）=1-克拉克·金伯利
a（n）=和{i，j，k>=0:i+j+2k=n}（i+j+k）/（i！*j！*k！）。
a（n）^2+a（n+1）^2=a（2n+1）（1999年普特南考试）。
a（n）=（（-i）^（n-1））*S（n-1，2*i），其中S（n，x）：=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式。请参阅A049310型S（-1，x）=0，S（-2，x）=-1。
sinh展开式的二项式变换（sqrt（2）x）/sqrt（2中）。例如：exp（x）sinh（平方码（2）x）/sqrt（2）-保罗·巴里2003年5月9日
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n，2k+1）*2^k-保罗·巴里2003年5月13日
未简化g.f.:x（1+x）/（1-x-3x^2-x^3）；a（n）=a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-2）马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*2^（n-2k）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n-k-保罗·巴里2005年8月28日
a（n）=F（n，2），在x=2处计算的第n个斐波那契多项式-T.D.诺伊2006年1月19日
对于a>=b和奇数b，F（a+b）+F（a-b）=L（a）*F（b）。
对于a>=b和偶数b，F（a+b）+F（a-b）=F（a）*L（b）。
对于a>=b和奇数b，F（a+b）-F（a-b）=F（a）*L（b）。
对于a>=b和偶数b，F（a+b）-F（a-b）=L（a）*F（b）。
F（n+m）+（-1）^m*F（n-m）=F（n）*L（m）。
F（n+m）-（-1）^m*F（n-m）=L（n）*F（m）。
F（n+m+k）+（-1）^k*F（n+m-k）+。
F（n+m+k）-（-1）^k*F（n+m-k）+（-1）^m*（F（n-m+k）-（-1）^k*F（n-m-k））=L（n）*L（m）*F（k）。
F（n+m+k）+（-1）^k*F（n+m-k）-（-1）。
F（n+m+k）-（-1）^k*F（n+m-k）-。（结束）
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1,2k+1）*2^k=和{k=0..n}A034867号（n，k）*2^k=（1/n！）*Sum_{k=0..n}A131980型（n，k）*2^k-汤姆·科普兰2007年11月30日
分形（（1+平方（2））^n）=（1/2）*。
请参阅A001622号关于满足x-x^（-1）=floor（x）的数x>1的幂的分数部分的一般公式。
当n>0时，a（n）=圆形（（1+sqrt（2））^n/（2*sqrt））。（结束）[最后一个公式由修正乔什·英曼，2024年3月5日]
a（n）=（（4+sqrt（18））*Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月8日
如果p[i]=Fibonacci（i），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，当i<=j时，A[i，j]=p[j-i+1]，当i=j+1时，A[1，j]=-1，否则A[i、j]=0，则对于n>=1，A（n）=det A-米兰扬吉奇2010年5月8日
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-a（n-3），n＞2-加里·德特利夫斯2010年9月9日
a（n）=2*（a（2k-1）+a（2k））*a（n-2k）-a（n-4k）。
a（n）=2*（a（2k）+a（2k+1））*a（n-2k-1）+a（n-4k-2）。（结束）
G.f.:x/（1-2*x-x^2）=sqrt（2）*G（0）/4；G（k）=（（-1）^k）-1/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月2日
通常，对于n>k，a（n）=a（k+1）*a（n-k）+a（k）*a（n-k-1）。参见2008年9月4日的Pell数定义和公式-查理·马里恩2012年1月17日
求和{n>=1}（-1）^（n-1）/（a（n）*a（n+1））=sqrt（2）-1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
（1） 通过a（n）表示a（n+1）：a（n+1）=a（n”）+sqrt（2*a^2（n）+（-1）^n）；
（2） a（n+1）^2-a（n）*a（n+2）=（-1）^n；
（3） 和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（a（k）*a（k+1））=a（n）/a（n+1）；
（4） a（n）/a（n+1）=平方（2）-1+r（n），其中|r（n。（结束）
a（-n）=-（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2013年6月1日
G.f.:G（0）/（2+2*x）-1/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k-1）/（x*（2%k+1）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月10日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+x）/（x*（4*k+4+x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月30日
a（n）=和{r=0..n-1}和{k=0..n-r-1}二项（r+k，k）*二项（k，n-k-r-1）-彼得·卢什尼2013年11月16日
a（n）=和{k=1,3,5，…<=n}C（n，k）*2^（（k-1）/2）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月6日
a（k*n）=a（k）*a（k*n-k+1）+a（k-1）*a（k*n-k）-查理·马里恩2014年3月27日
a（k*n）=2*a（k）*（a（k*n-k）+a（k*.n-k-1））+（-1）^k*a（kxn-2k）-查理·马里恩2014年3月30日
a（n+1）=（1+平方（2））*a（n）+（1-sqrt（2）-艺术DuPre2014年4月4日
a（n+1）=（1平方（2））*a（n）+（1+平方（2-艺术DuPre2014年4月4日
a（n）=圆形（sqrt（a（2n）+a（2n-1））/2-理查德·福伯格2014年6月22日
当n>=2时，a（n）=2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-1）-彼得·卢什尼2015年12月17日
a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*2^floor（k/2）-托尼·福斯特三世2017年5月7日
a（n）=exp（（i*Pi*n）/2）*sinh（n*arccosh（-i））/sqrt（2）-彼得·卢什尼，2018年3月7日
一些属性：
（1） a（n）^2-a（n-2）^2=2*a（n-1）*（a（nA005319号);
（2） a（n-k）*a（n+k）=a（n）^2+（-1）^（n+k+1）*a；
（3） 和{k=2..n+1}a（k）*a（k-1）=a（n+1）^2如果n是奇数，否则a（n+1）^2-1如果n是偶数；
（4） a（n）-a（n-2*k+1）=(A077444号（k） -1）*a（n-2*k+1）+a（n-4*k+2）；
（5） 和{k=n.n+9}a（k）=41*A001333号（n+5）。（结束）
a（m+r）*a（n+s）-a（m+s）*a。
a（n）^2-a（n+1）*a（n-1）=（-1）^（n-1。
a（n）^2-a（n+r）*a（n-r）=（-1）^（n-r）*a（r）^2。
a（m）*a（n+1）-a（m+1）*a（n）=（-1）^n*a（m-n）。
和{m>=1}反正切（2/a（2*m+1））=反正切（1/2）。
和{m>=2}反弧（2/a（2*m+1））=反弧（1/12）。
通常，对于n>0，
和{m>=n}反正切（2/a（2*m+1））=反正切（1/a（2*n））。（结束）
和{n>=1}1/（a（2*n）+1/a（2*n））=1/2。
产品{n>=1}（1+2/a（2*n））=1+sqrt（2）。
产品{n>=2}（1-2/a（2*n））=（1/3）*（1+sqrt（2））。（结束）
G.f=1/（1-和{k>=1}斐波那契（k）*x^k）-恩里克·纳瓦雷特2023年12月17日
和{n>=1}1/a（n）=1.84220304982752858079237158327980838-R.J.马塔尔2024年2月5日
a（n）=（3^（n+1）+1）^（n-1）mod（9^（n+1）-2）mod-约瑟夫·舒尼亚，2024年6月6日
例子
G.f.=x+2*x^2+5*x^3+12*x^4+29*x^5+70*x^6+169*x^7+408*x^8+985*x^9+。。。
从对具有斐波那契数F（n）的成分的评论来看，有F（1）=1类1，F（2）=1种2，F（3）=2种3，F（4）=3种4，F（5）=5种5，F（6）=8种6。
下表给出了n=6的组分数量和部分斐波那契数：
成分、此类成分数量、此类成分的数量：
6, 1, 8;
5+1, 2, 10;
4+2, 2, 6;
3+3, 1, 4;
4+1+1, 3, 9;
3+2+1, 6, 12;
2+2+2, 1, 1;
3+1+1+1, 4, 8;
2+2+1+1, 6, 6;
2+1+1+1+1, 5, 5;
1+1+1+1+1+1, 1, 1;
对于n=6的总a（6）=70组分。（结束）。
MAPLE公司
A000129号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n；否则2*进程名（n-1）+进程名（n-2）；fi；结束；
a： =n->（<<2|1>，<1|0>>^n）[1，2]：序列（a（n），n=0..40）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月1日
A000129号：=n->`如果`（n<2，n，2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-1））：
数学
系数列表[级数[x/（1-2*x-x^2），{x，0，60}]，x](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月8日*）
展开[表[（（1+Sqrt[2]）^n-（1-Sqrt[2]）^n）/（2Sqrt[20]），{n，0，30}]](*阿图尔·贾辛斯基2006年12月10日*）
线性递归[{2，1}，{0，1}，60](*哈维·P·戴尔2012年1月4日*）
a[n_]：=与[{s=平方@2}，（（1+s）^n-（1-s）^n）/（2s）]//简化；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
a[n_]：=切比雪夫[n-1，I]/I^（n-1）；(*迈克尔·索莫斯2021年10月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）默认值（realprecision，2000）；对于（n=0，4000，a=contfracpnqn（向量（n，i，1+（i>1）））[2，1]；如果（a>10^（10^3-6），则中断）；写入（“b000129.txt”，n，“”，a））\\哈里·史密斯2009年6月12日
（PARI）{a（n）=imag（（1+quadgen（8））^n）}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，-（-1）^n，1）*contfracpnqn（向量（abs（n），i，1+（i>1）））[2，1]}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，I）/I^（n-1）}/*迈克尔·索莫斯，2021年10月30日*/
（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，-1）代表范围（30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（哈斯克尔）
a000129 n=a000129_列表！！n个
a000129_list=0:1:zipWith（+）a000129_列表（map（2*）$tail a000129列表）
（最大值）
a[0]：0$
a[1]：1$
a[n]：=2*a[n-1]+a[n-2]$
（Maxima）makelist（（%i）^（n-1）*超球面（n-1，1，-%i），n，0，24），展开/*伊曼纽尔·穆纳里尼，2018年3月7日*/
（Magma）[0]cat[n le 2 select n else 2*Self（n-1）+Self[n-2）：n in[1..35]]//文森佐·利班迪2015年8月8日
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..10^3]中的n，做a[n]：=2*a[n-1]+a[n-2]；od；A000129号：=a#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年10月16日
（Python）
从itertools导入islice
a、 b=0，1
[a，b]的产量
为True时：
a、 b=b，a+2*b
收益率b
交叉参考
以下序列（和其他序列）属于同一家族：A001333号,A000129号,A026150型,A002605号,A046717号,A015518号,A084057美元,A063727号,A002533号,A002532号,A083098美元,A083099号,A083100型,A015519号.
囊性纤维变性。A034867号,A131980型,A133156号,A143808号,A135387号,A153346号,A001622号,A006497号,A014176号（增长动力），A098316型,A154325号,A021083号,A243399号,A008555号.
1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, 122, 145, 170, 197, 226, 257, 290, 325, 362, 401, 442, 485, 530, 577, 626, 677, 730, 785, 842, 901, 962, 1025, 1090, 1157, 1226, 1297, 1370, 1445, 1522, 1601, 1682, 1765, 1850, 1937, 2026, 2117, 2210, 2305, 2402, 2501
评论
n X n非负矩阵A是本原矩阵（参见A070322号)当A^k的每个元素对于某个幂k大于0时，如果A是基元，则应该具有所有正项的幂是<=n^2-2n+2（Wielandt）。
a（n）=Phi_4（n），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
由于x=2n+1/x的正解是x=n+sqrt（a（n）），sqrt的连分式展开式是{n；2n，2n，2-n，…}-贝诺伊特·克洛伊特2001年12月7日
a（n）比它的邻域的算术平均值小一：a（n）=（a（n-1）+a（n+1））/2-1。例如，2=（1+5）/2-1，5=（2+10）/2-1-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月29日
等价地，sqrt（a（n））的连分式展开式为（n；2n，2n，…）-弗兰兹·弗拉贝克2006年1月23日
超八面体群中避免符号置换的{12,1*2*，21}个数。
从n×n网格的一个角开始，不需要抬起铅笔就可以画出边1的正方形数是n^2-2n+2-塞巴斯蒂安·杜莫蒂埃2005年6月16日
此外，数字m使m^3-m^2是一个正方形，（n*（1+n^2））^2-扎克·塞多夫
1 + 2/2 + 2/5 + 2/10 + ... = Pi*coth Pi[乔利]，参见A113319年. -加里·亚当森2006年12月21日
对于n>=1，a（n-1）是n个集合中的最小选择数，即至少有一个特定元素被选择了n次或n个元素中的每个元素被选择至少一次。一些游戏这样定义“比赛”；例如，在经典的帕克兄弟（Parker Brothers）（现为孩之宝（Hasbro））棋盘游戏风险中，a（2）=5是三种可用类型（套牌）的牌数，需要保证至少一张三种不同类型或三种相同类型的牌匹配（忽略任何小丑或通配符）-里克·L·谢泼德2007年11月18日
方程X^3+（X-1）^2+X-2=Y^2的解的正X值。为了证明X=n^2+1:Y^2=X^3+-穆罕默德·布哈米达2007年11月29日
对于n>0，连分式[n，n]=n/a（n）；例如[5，5]＝5/26-加里·亚当森2010年7月15日
对于m=2*n，p=p（n）=-（sqrt（A（n））-n）和A=A（n）=（fallfac（p（n（x，k）：=产品{j=0..k-1}（x-j）（下降阶乘）。见T.Koshy参考文献，第263-4页（正p也有两种解决方案，见A087475型). -沃尔夫迪特·朗2010年10月21日
n+sqrt（a（n））=[2*n；2*n，2*n…]，带周期1的正则连分式。这是两败俱伤。一般情况见A087475型和施罗德的参考和评论。有关奇数情况，请参见A078370型.
a（n-1）计算2 X n条带上非攻击主教的配置[Chaiken等人，Ann.Combin.14（2010）419]-R.J.马塔尔2011年6月16日
如果h（5,17,37,65101，…）是素数，则h^2-1可以被24整除-文森佐·利班迪2014年4月14日
a（n）也是在经典意义上同时避免213和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参阅A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔，2014年8月7日
a（n-1）是Gale-Shapley算法中的最大阶段数，用于在给定每个元素偏好顺序的两组n个元素之间找到稳定匹配（参见Gura等人）-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月7日
由于费马的小定理，a（n）永远不能被3整除-阿尔图·阿尔坎2016年4月8日
对于n>0，如果一个（n）点位于一个n X n正方形内，则通常情况下，至少有两个点之间的距离小于或等于sqrt（2）个单位-梅尔文·佩拉尔塔2017年1月21日
此外，在简化k=n后，单峰多项式（1-q^（n*k+1））/（1-q）的极限为q->1^-。单峰多项式来自O'Hara对大小小于等于1的分区进行限制后对q-多项式单峰的证明。参见arXiv:1711.11252中的G_1（n，k）。随着尺寸限制s的增加，G_s->G_infinity=G：q-多项式。然后代入k=n和q=1得出中心二项式系数：A000984号. -布莱恩·T·埃克2018年4月11日
a（n）是1,2，…，的置换数，。。。，n+1，只有一个简化分解-施瑞德2022年12月22日
参考文献
S.J.Cyvin和I.Gutman，《苯系烃中的Kekulé结构》，《化学讲义》，第46期，施普林格，纽约，1988年（见第120页）。
E.Gura和M.Maschler，《博弈论的洞察力：另类数学经验》，剑桥，2008年；第26页。
托马斯·科西（Thomas Koshy），《斐波纳契和卢卡斯数及其应用》（Fibonacci and Lucas Numbers with Applications），约翰·威利父子公司（John Wiley and Sons），纽约，2001年。
链接
R.M.Green和Tianyuan Xu，简单缀饰Weyl群的2根，arXiv:2204.09765[math.RT]，2022年。
L.B.W.Jolley，级数求和多佛，1961年，第176页。
T.Mansour和J.West，避免双字母签名模式，arXiv:math/0207204[math.CO]，2002年。
配方奶粉
出生日期：（1-x+2*x^2）/（1-x）^3）-埃里克·沃利2011年6月27日
形式为a（n）=n^2+K且偏移量为0的序列具有o.g.f.（K-2*K*x+K*x^2+x+x^2）/（1-x）^3和递归a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a*（n-3）-R.J.马塔尔2008年4月28日
对于n>1，a（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-2）^2+（a（n+）+n-1+a（n+n）+n）^2=（n+1）*（6*n^4+18*n^3+26*n^2+19*n+6）/6=（a（n-）+n）^2+…+（a（n）+2*n）^2-查理·马里恩2011年1月10日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+2。
a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）
a（n）=（n-1）^2+2（n-1-杰森·金伯利2011年10月20日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+1）+1），因此a（1）*a（2）=a（3）。更一般地说，a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k）+1）+k^2-1-乔恩·佩里2012年8月1日
a（n）=（n！）^2*[x^n]贝塞尔I（0，2*sqrt（x））*（1+x）-彼得·卢什尼，2012年8月25日
例如：exp（x）*（1+x+x^2）-杰弗里·克雷策2013年8月30日
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi）*sinh（sqrt）*Pi）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi*csch（Pi）。（结束）
例子
G.f.=1+2*x+5*x^2+10*x^3+17*x^4+26*x^5+37*x^6+50*x^7+65*x^8+。。。
黄体脂酮素
（岩浆）[0..50]]中的[n^2+1:n//文森佐·利班迪2011年5月1日
（哈斯克尔）
a002522=（+1）。(^ 2)
a002522_list=扫描（+）1[1，3..]
交叉参考
囊性纤维变性。A059592号,A124808号,2011年12月11日,A132414号,A028872号,A005408号,A000124号,A016813号,A086514号,A000125号,A058331号,A080856号,A000127号,A161701年-A161704型,A161706型,A161707型,A161708年,A161710号-A161713号,A161715号,A006261号.
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1。
（原名M2844）
+10
147
0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, 2003229469, 6616217487, 21851881930, 72171863277, 238367471761, 787274278560, 2600190307441
评论
a（n）和A006497号（n） 成对出现：（a，b）：（1,3），（3,11），（10,36），（33119），（109393）。。。这样b^2-13a^2=4（-1）^n-加里·亚当森2003年6月15日
用矩阵A=[1,1,1,1；1,1,0,0；1,1,1,1；1,0,1,1]构成四节点图。然后，该序列计算从度为5的顶点到其他顶点之一（任意）的长度为n的行走次数-保罗·巴里2004年10月2日
a（n+1）是指数Riordan数组（exp（3x），x）的对角和-保罗·巴里2006年6月3日
从（0,0）到线x=n-1的右半平面中的路径数，包括步骤U=（1,1）、D=（1，-1）、h=（1,0）和h=（2,0）。例如：a（3）=10，因为我们有hh、H、UD、DU、hU、Uh、UU、hD、Dh和DD-Emeric Deutsch公司2007年9月3日
等于的INVERT变换A000129号例如：a（5）=109=（29，12，5，2，1）点（1，1，3，10，33）=（29+12+15+20+33）-加里·亚当森2010年8月6日
对于n>=2，a（n）等于（n-1）X（n-1-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日
这些数字也可以被称为“青铜斐波那契数”。的确，对于n>=1，F（n+1）=上限（φ*F（n）；类似地，对于Pell数(A000129号)，或“银斐波那契数”，P（n+1）=上限（delta*a（n）），如果n是偶数，P（n+1）=下限（delta*1（n），如果n是奇数，其中delta=delta_S=1+sqrt（2）是银比率。这里，对于n>=1，我们有一个a（n+1）=上限（c*a（n）），如果n是偶数，a（n+1）=下限（c*a[n））；如果n是奇数，其中c=（3+sqrt（13））/2是青铜比率（参见A098316型). -弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月23日
设p（n，x）表示斐波那契多项式，由p（1，x）=1，p（2，x）=x，p（n、x）=x*p（n-1、x）+p（n-2、x）定义。设q（n，x）是有理函数p（n，x+1+1/x）的分子多项式。则q（n，1）=a（n）-克拉克·金伯利2013年11月4日
矩阵A^n的（1,1）-项，其中A=[0,1,0；1,2,1；1,1,2]-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月18日
a（n+1）计算K2上的闭合行走，在另一个顶点上包含三个循环。等价于A^（n+1）的（1,1）-项，其中有向图的邻接矩阵为A=（0,1；1,3）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月29日
对于n>=1，a（n）等于字母表{0,1,2,3}上长度为n-1的单词数，避免奇数长度的零-米兰扬吉奇2015年1月28日
除了初始0之外，这是p（S）=1-3S的（1,0,1,0,1,0，…）的p-INVERT变换。参见A291219型. -克拉克·金伯利2017年9月2日
这是一个可除序列（即，如果n|m，则a（n）|a（m））。
对于所有正整数n和k，gcd（a（n），a（n+k））=a（gcd（n，k））（结束）
如果忽略顺反异构和立体异构，则含有氧基和/或羟基的直链脂肪酸的数量-斯特凡·舒斯特，2018年4月4日
限制为奇数部分（和允许的零）的n的3个组成数；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
也称为3-metallonacci层序；g.f.1/（1-k*x-x^2）给出了k-metallonacci序列。
a（n+1）是使用单位正方形和多米诺骨牌（尺寸为2X1）的n块板（尺寸为nX1的板）的瓷砖数量，如果有3种正方形可用。（结束）
a（n）是当存在P（k）类部分k时n的组成数，其中k，n>=1，P（k）=A000129号（k） 是第k个Pell数（参见下面的示例）-恩里克·纳瓦雷特2023年12月15日
参考文献
H.L.Abbott和D.Hanson，格子路径问题，Ars Combin.，6（1978），163-178。
A.Brousseau，Fibonacci和相关数论表。斐波纳契协会，加利福尼亚州圣何塞，1972年，第128页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
L.-N.Machaut，查询3436，《数学国际期刊》，16（1909），62-63-N.J.A.斯隆2022年3月8日
链接
H.L.Abbott和D.Hanson，格子路径问题《阿尔斯·库姆》，第6卷（1978年），第163-178页。（带注释的扫描副本）
多林·安德里卡（Dorin Andrica）、奥维迪乌·巴格达萨尔（Ovidiu Bagdasar）和乔治·科特林·塔斯，关于广义Lucas序列的一些新结果，An.öt。奥维迪乌斯·康斯坦纳大学（罗马尼亚，2021年）第29卷，第1期，17-36。
D.Birmajer、J.B.Gil和M.D.Weiner，有限字母表上限制词的计数，J.国际顺序。19（2016）#16.1.3，示例8。
亨利克·达克鲁斯（Henrique F.da Cruz）、伊尔达·伊纳西奥（Ilda Inácio）和罗杰里奥·塞罗迪奥（Rogério Seródio），由图的不同顶点数产生的可转换子空间《当代数学》（2019）第16卷第2期，第473-486页。
Juan B.Gil和Aaron Worley，广义金属平均值，arXiv:1901.02619[math.NT]，2019年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1976），318-328。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
G.f.:x/（1-3*x-x^2）。
a（n）=U（n-1，（3/2）i）（-i）^（n-1），i^2=-1-保罗·巴里2003年11月19日
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n-k-1，k）*3^（n-2*k-1）-保罗·巴里2004年10月2日
a（n）=F（n，3），在x=3处评估的第n个斐波那契多项式。
设M={{0，1}，{1，3}}，v[1]={0，1'，v[n]=M.v[n-1]；则a（n）=Abs[v[n][[1]-罗杰·巴古拉2005年5月29日[Or a（n）=[M^（n+1）]_{1,1}-L.埃德森·杰弗里2013年8月27日
a（n+1）=和{k=0..n}和{j=0..n-k}C（k，j）*C（n-j，k）*2^（k-j）。
a（n）=和{k=0..n}和{j=0..n-k}C（k，j）*C（n-j，k）*2^（n-j-k）。
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}C（n-k，k）*3^（n-2*k）。
a（n）=和{k=0..n}C（k，n-k）*3^（2*k-n）。（结束）
例如：exp（3*x/2）*sinh（sqrt（13）*x/2-保罗·巴里2006年6月3日
a（n）=（ap^n-am^n）/（ap-am），其中ap=（3+sqrt（13））/2，am=（3-sqrt））/2。
设C=（3+sqrt（13））/2=exp arcsinh（3/2）=3.3027756377…那么C^n，n>0=a（n）*（1/C）+a（n+1）。设X=2X2矩阵[0，1；1，3]。那么X^n=[a（n-1），a（n）；a（n，a（n+1）]-加里·亚当森，2007年12月21日
1/3 = 3/(1*10) + 3/(3*33) + 3/(10*109) + 3/(33*360) + 3/(109*1189) + ... . -加里·亚当森2008年3月16日
a（n）=（（3+平方码（13））^n-（3-平方码（14））^n）/（2^n*sqrt（13）Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年1月12日
a（p）==13^（（p-1）/2）mod p，对于奇素数p-加里·亚当森2009年2月22日
极限{k->oo}a（n+k）/a（k）=(A006497号（n） +a（n）*sqrt（13））/2。
和{k>=1}（-1）^（k-1）/（a（k）*a（k+1））=（sqrt（13）-3）/2-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月23日
（1） 通过a（n）表示a（n+1）：a（n+1）=（3*a（n）+sqrt（13*a^2（n）+4*（-1）^n）/2；
（2） a^2（n+1）-a（n）*a（n+2）=（-1）^n；
（3） 和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（a（k）*a（k+1））=a（n）/a（n+1）；
（4） a（n）/a（n+1）=（sqrt（13）-3）/2+r（n），其中|r（n。（结束）
和{n>=1}1/（a（2*n）+1/a（2*n））=1/3；和{n>=1}1/（a（2*n+1）-1/a（2*n+1））=1/9-彼得·巴拉2015年3月26日
一些属性：
（1） a（n）*a（n+1）=3*Sum_{k=1..n}a（k）^2；
（2） a（n）^2+a（n+1）^2=a（2*n+1）；
（3） a（n）^2-a（n-2）^2=3*a（n-1）*（a（n；
（4） a（m*（p+1））=a（m*p）*a（m+1）+a（m*1）*a；
（5） a（n-k）*a（n+k）=a（n）^2+（-1）^（n+k+1）*a；
（6） a（2*n）=a（n）*（3*a（n）+2*a（n-1））；
（7） 3*Sum_{k=2..n+1}a（k）*a（k-1）等于a（n+1）^2（如果n是奇数），如果n是偶数，则等于a（n+1）^2-1；
（8） a（n）-a（n-2*k+1）=α（k）*a（n-2xk+1）+a（n-4*k+2），其中α（k；
（9） 131|Sum_{k=n.n+9}a（k），对于所有正n（结束）
a（n）^2-a（n+r）*a（n-r）=（-1）^（n-r。
反弧（1/a（2n））-反弧（1/1a（2n+2））=反弧（a（2）/a（2n+1））。
反弧（1/a（2n））=和{m>=n}反弧（a（2）/a（2m+1））。
同样的公式适用于斐波那契数和佩尔数。（结束）
a（n+2）=3^（n+1）+和{k=0..n}a（k）*3^（n-k）-格雷格·德累斯顿和Gavron Campbell，2022年2月22日
G.f.：x/（1-3*x-x^2）=任意m（伸缩级数）的和{n>=0}x^（n+1）*（乘积{k=1..n}（m*k+3-m+x）/（1+m*k*x））-彼得·巴拉2024年5月8日
例子
下表给出了n=6的成分数量：
成分、此类成分数量、此类成分的数量：
6, 1, 70;
5+1, 2, 58;
4+2, 2, 48;
3+3, 1, 25;
4+1+1, 3, 36;
3+2+1, 6, 60;
2+2+2, 1, 8;
3+1+1+1, 4, 20;
2+2+1+1, 6, 24;
2+1+1+1+1, 5, 10;
1+1+1+1+1+1, 1, 1;
对于n=6的总共a（6）=360组分。（结束）。
MAPLE公司
a[0]：=0:a[1]：=1：对于从2到35的n，做a[n]：=3*a[n-1]+a[n-2]结束do:seq（a[n'，n=0..30）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
seq（组合[fibonacci]（n，3），n=0..30）#R.J.马塔尔2011年12月7日
数学
a[n]：=（矩阵幂[{{1，3}，{1，2}}，n].{{1}，}}）[[2，1]]；表[a[n]，{n，-1，24}](*罗伯特·威尔逊v2005年1月13日*）
线性递归[{3，1}，{0，1}，30]（*或*）系数列表[x/（1-3x-x^2），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔，2011年4月20日*）
表[如果[n==0，a1=1；a0=0，a2=a1；a1=a0；a0=3*a1+a2]，{n，0，30}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年4月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，contfracpnqn（向量（n，i，2+（i>1）））[2，1]）
（鼠尾草）[lucas_number1（n，3，-1）代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（岩浆）[1..30]]中的[n eq 1选择0其他n eq 2选择1其他3*自我（n-1）+自我（n-2）：n//文森佐·利班迪2011年8月19日
（哈斯克尔）
a006190 n=a006190_列表！！n个
a006190_list=0:1:zipWith（+）（map（*3）$tail a006190_list）a006190_列表
（PARI）连接（[0]，Vec（x/（1-3*x-x^2）+O（x^30））\\乔格·阿恩特2013年4月30日
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]+a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年3月31日
1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 3, 1, 4, 10, 12, 5, 1, 5, 17, 33, 29, 8, 1, 6, 26, 72, 109, 70, 13, 1, 7, 37, 135, 305, 360, 169, 21, 1, 8, 50, 228, 701, 1292, 1189, 408, 34, 1, 9, 65, 357, 1405, 3640, 5473, 3927, 985, 55, 1, 10, 82, 528, 2549, 8658, 18901, 23184, 12970, 2378, 89
评论
数组的列由斐波那契多项式f（x）生成。它们是：（1），（x），（x^2+1），（x^3+2x）。。。如果列标题以0、1、2…开头。。。然后，第n列中的项由第n次斐波那契多项式生成。例如，第5列（8，70，360，…）由f（x）生成，x=1,2,3，。。。；五次多项式x^5+4x^3+3x；例如，f（2）=70=2^5+4*8+3*2-加里·亚当森2006年4月2日
第n行序列中两个连续条目的比率接近（n+sqrt（n^2+4））/2。示例：以（1，3，10，33，…）开头的序列趋向于3.302775…=（3+sqrt（13））/2-加里·亚当森2013年8月12日
对于阵列序列，（n+1）-第个序列是第n个序列的INVERT变换-加里·亚当森2013年8月20日
通过进行连续的INVERTi变换，可以将数组无限扩展到斐波那契行之上，从而得到：
...
1, -2, 5, -12, 29, -70, ...
1, -1, 2, -3, 5, -8, ...
l、 0、1、0、1和0。。。
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
1, 2, 5, 12, 29, 70, ...
...
这将产生一个无限数组，其中（1、0、1、0…）上方的序列是以下序列的反射，但交替符号除外。从（1，n，…）开始的（+符号）行中的任何序列都是相同序列的（2*n）INVERT变换，但带有交替符号。示例：（1，2，5，12，…）是通过检查得出的（1，-2，5，-12，…）的（2*2）=第四个INVERT变换。推测：这种“反射”原理是由从1开始的任何充气序列的连续INVERT变换产生的。。。并且有积极的迹象。同样，充气序列上方的行是充气序列的连续INVERTi变换-加里·亚当森2019年7月14日
第n行是n-metallonacci序列。
T（n，k）是使用单位正方形和多米诺骨牌（尺寸为2 X 1）的（k-1）板（尺寸为（k-1。（结束）
配方奶粉
T（n，k）=[[0,1；1，n]^{k+1}]{1,1}，n，k在{1,2，…}中-L.埃德森·杰弗里2012年9月23日
例子
表格开始：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, ...
1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, ... 等。
MAPLE公司
选项记忆；
如果k<=1，则
k；
其他的
n*进程名（n，k-1）+进程名（n，k-2）；
结束条件：；
结束过程：
数学
T[n_，1]：=1；T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k<0，0，n*T[n、k-1]+T[n和k-2]；表[T[n-k+1，k]，{n，15}，{k，n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2019年8月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果；
对于（n=1,15，对于（k=1，n，打印1（T（n-k+1，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年8月12日
（鼠尾草）
定义T（n，k）：
如果（k<0）：返回0
elif（k==1）：返回1
else：返回n*T（n，k-1）+T（n、k-2）
[T（n-k+1，k）代表k in（1..n）]代表n in（1..15）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月12日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k<0，则返回0；
elif k=1，则返回1；
否则返回n*T（n，k-1）+T（n、k-2）；
fi；
结束；
平面（列表（[1..15]，n->List（[1..n]，k->T（n-k+1，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年8月12日
交叉参考
行是A000045号,A000129号,A006190号,A001076号,A052918号,A005668号,A054413号,A041025美元,A099371号,A041041号,A049666号,A041061号,A140455号,A041085号等。
5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, 445, 533, 629, 733, 845, 965, 1093, 1229, 1373, 1525, 1685, 1853, 2029, 2213, 2405, 2605, 2813, 3029, 3253, 3485, 3725, 3973, 4229, 4493, 4765, 5045, 5333, 5629, 5933, 6245, 6565, 6893, 7229, 7573, 7925, 8285
评论
1/5 + 1/13 + 1/29 + ... = （Pi/8）*tanh Pi[Jolley]-加里·亚当森2006年12月21日
（2*n+1+sqrt（a（n）））/2=[2*n+1；2*n+1，2*n/1，…]，n>=0，周期长度为1的正则连分式。这是一个奇怪的情况。请参阅A087475型对于Schroeder参考和评论的一般情况。对于偶数情况，请参见A002522号.
sqrt（a（n））的连分式展开为[2n+1；{n，1，1，n，4n+2}]。对于n=0，它折叠为[2；{4}]-朱棣文（Magus K.Chu）2022年8月27日
参考文献
L.B.W.Jolley，“系列总结”，多佛出版社，1961年，第176页。
配方奶粉
a（n）=（2n+1）^2+4。
a（n）=4*（n+1）*n+5=8*二项式（n+1，2）+5，因此为A004770号（5（mod 8）个数字）。[拼写错误由修复扎克·塞多夫2012年2月26日]
总尺寸：（5-2*x+5*x^2）/（1-x）^3。
a（n）=8*n+a（n-1），其中a（0）=5-文森佐·利班迪2010年8月8日
数学
表[4n（n+1）+5，{n，0，45}]（*或*）
表[8二项式[n+1，2]+5，{n，0，45}]（*或*）
系数列表[级数[（5-2 x+5 x ^2）/（1-x）^3，{x，0，45}]，x](*迈克尔·德弗利格2017年1月4日*）
黄体脂酮素
（Python）a=lambda n:4*n**2+4*n+5#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日
（Scala）（1到99乘2）.map（n=>n*n+4）//阿隆索·德尔·阿特2019年5月29日
（岩浆）[0..80]]中的[4*n^2+4*n+5:n//韦斯利·伊万·赫特，2022年8月29日
交叉参考
的后续A077426号（Pell x^2-D*y^2=-4在正整数中可解的D值（不是正方形）。
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