%I#405 2024年4月17日11:12:15

%S 1,2,5,10,17,26,37,50,65,82101122145170197226257290325362，

%电话：401442485530577626677307858429019621025109011571226，

%电话：12971370144515221601168217651850193720262117210230524022501

%N a（N）=N ^2+1。

%C一个n X n非负矩阵A是本原矩阵（参见A070322），如果A^k的每个元素的某个幂k都大于0。如果A是本初矩阵，那么应该具有所有正项的幂是<=n^2-2n+2（Wielandt）。

%C a（n）=Phi_4（n），其中Phi_k是第k个分圆多项式。

%当x=2n+1/x的正解是x=n+sqrt（a（n））时，sqrt的连分式展开式是{n；2n，2n，2 n，…}.-_Benoit Cloitre_，2001年12月7日

%C a（n）比它的邻域的算术平均数少一：a（n）=（a（n-1）+a（n+1））/2-1。例如，2=（1+5）/2-1，5=（2+10）/2-1.-_Amarnath Murthy，2003年7月29日

%C等价地，sqrt（a（n））的连续分数展开是（n；2n，2n，2n，…）。-_Franz Vrabec，2006年1月23日

%超八面体群中{12,1*2*，21}-避免符号置换的数目。

%C从n×n网格的一个角开始，从不两次访问边，可以在不抬起铅笔的情况下绘制边1的正方形数量为n^2-2n+2。-_Sébastien Dumortier，2005年6月16日

%另外，数字m使m^3-m^2是一个正方形，（n*（1+n^2））^2_扎克·塞多夫_

%C 1+2/2+2/5+2/10+…=Pi*coth Pi[乔利]，见A113319_加里·亚当森，2006年12月21日

%C对于n>=1，a（n-1）是n个集合中的最小选择数，即至少有一个特定元素被选择了n次或n个元素中的每个元素被选择至少一次。一些游戏这样定义“比赛”；例如，在经典的帕克兄弟（Parker Brothers）（现为孩之宝（Hasbro））棋盘游戏风险中，a（2）=5是三种可用类型（套牌）的牌数，需要保证至少一张三种不同类型或三种相同类型的牌匹配（忽略任何小丑或通配符）_Rick L.Shepherd_，2007年11月18日

%C方程X^3+（X-1）^2+X-2=Y^2的解的正X值。为了证明X=n^2+1:Y^2=X^3+_Mohamed Bouhamida，2007年11月29日

%C{a（k）：0<=k<4}=10的除数_Reinhard Zumkeller_，2009年6月17日

%C出现在A054413和A086902中，与连分式的分子和分母相关的序列收敛到sqrt（（2*n）^2/4+1），n=1，2，3，….-_Johannes W.Meijer，2010年6月12日

%C对于n>0，连分式[n，n]=n/a（n）；例如，[5,5]=5/26.-_Gary W.Adamson_，2010年7月15日

%C对于m=2*n，p=p（n）=-（sqrt（A（n））-n）和A=A（n）=（fallfac（p（n（x，k）：=产品{j=0..k-1}（x-j）（下降阶乘）。见T.Koshy参考文献，第263-4页（正p也有两种解决方案，见A087475中的相应注释）_Wolfdieter Lang，2010年10月21日

%Cn+sqrt（a（n））=[2*n；2*n，2*n…]，带周期1的正则连分式。这是两败俱伤。关于一般情况，请参见A087475以及Schroeder参考和注释。关于奇数情况，请参见A078370。

%C a（n-1）计算2 X n条带上非攻击主教的配置[Chaiken等人，Ann.Combin.14（2010）419]_R.J.Mathar，2011年6月16日

%C也对k进行编号，使得4*k-4是一个正方形。因此，该序列是A053755和A069894的并集_Arkadiusz Wesolowski，2011年8月2日

%C a（n）也是（n，5）-笼的阶A191595（n）的Moore下界_Jason Kimberly_，2011年10月17日

%C A195437中三角形的左边缘：a（n+1）=A195436（n，0）。-_Reinhard Zumkeller_2011年11月23日

%C如果h（5，17，37，65101，…）是素数，是6的相对素数，那么h^2-1可以被24整除。-_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年4月14日

%C恒等式（4*n^2+2）^2-（n^2+1）*（4*n）^2=4可以写成A005899（n）^2-a（n）*A008586（n）_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年6月15日

%C a（n）也是同时避免经典意义上的213和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。有关增加严格二叉树的更多信息，请参见A245904_曼达·里尔，2014年8月7日

%C a（n-1）是Gale-Shapley算法中的最大阶段数，用于在给定每个元素偏好顺序的两组n个元素之间找到稳定匹配（参见Gura等人）_梅尔文·佩拉塔（Melvin Peralta），2016年2月7日

%由于费马的小定理，a（n）永远不能被3整除_阿尔图格·阿尔坎，2016年4月8日

%C对于n>0，如果a（n）点位于n X n正方形内，则通常情况下，至少两个点之间的距离为sqrt（2）个单位或更小_梅尔文·佩拉塔，2017年1月21日

%C在简化k=n后，单峰多项式（1-q^（n*k+1））/（1-q）的极限为q->1^-。单峰多项式来自O'Hara对大小小于等于1的分区进行限制后对q-多项式单峰的证明。参见arXiv:1711.11252中的G_1（n，k）。随着尺寸限制s的增加，G_s->G_infinity=G：q-多项式。然后代入k=n和q=1得出中心二项式系数：A000984_Bryan T.Ek_，2018年4月11日

%C a（n）是1（mod n）和2（mod n+1）的最小同余数_David James Sycamore_，2019年4月4日

%C a（n）是1,2，…，的置换数，。。。，n+1，正好有一个还原分解。-_理查德·斯坦利（Richard Stanley），2022年12月22日

%D S.J.Cyvin和I.Gutman，苯系烃中的Kekulé结构，《化学讲义》，第46期，施普林格，纽约，1988年（见第120页）。

%D E.Gura和M.Maschler，《博弈论的洞察力：另类数学经验》，剑桥，2008年；第26页。

%D Thomas Koshy，Fibonacci和Lucas Numbers with Applications，John Wiley and Sons，纽约，2001年。

%H Vincenzo Librandi，n表，n=0..1000的a（n）。格式由_Peter Kagey_修订，2016年1月25日

%H R.P.Boas&N.J.A.Sloane，通信，1974年</a>

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%H Reinhard Zumkeller，除数枚举</a>

%H<a href=“/index/Cy#CyclotomicPolynomialsValuesAtX”>整数参数的分圆多项式值索引</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%财务报表：（1-x+2*x^2）/（1-x）^3）.-_埃里克·沃利（Eric Werley），2011年6月27日

%F形式为a（n）=n^2+K且偏移量为0的序列具有o.g.F.（K-2*K*x+K*x^2+x+x^2）/（1-x）^3和递归a_R.J.Mathar，2008年4月28日

%F对于n>0:a（n-1）=A143053（A000290（n））-1.-_Reinhard Zumkeller_，2008年7月20日

%F A143053（a（n））=A000290（n+1）_Reinhard Zumkeller_，2008年7月20日

%F a（n）*a（n-2）=（n-1）^4+4.-_Reinhard Zumkeller，2009年2月12日

%F a（n）=A156798（n）/A087475（n）.-_Reinhard Zumkeller，2009年2月16日

%F From _Reinhard Zumkeller_，2010年3月8日：（开始）

%F a（n）=A170949（A002061（n+1））；

%F A170949（a（n））=A132411（n+1）；

%F A170950（a（n））=A002061（n+1）。（结束）

%F对于n>1，a（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-2）^2+（a（n+）+n-1+a（n+n）+n）^2=（n+1）*（6*n^4+18*n^3+26*n^2+19*n+6）/6=（a（n-）+n）^2+…+（a（n）+2*n）^2.-_Charlie Marion，2011年1月10日

%F From _Eric Werley，2011年6月27日：（开始）

%F a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+2。

%F a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）

%F a（n）=（n-1）^2+2（n-1_杰森·金伯利（Jason Kimberley），2011年10月20日

%F a（n）*a（n+1）=a（n*（n+1。更一般地说，a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k）+1）+k^2-1_Jon Perry_，2012年8月1日

%F a（n）=（n！）^2*[x^n]贝塞尔I（0，2*sqrt（x））*（1+x）_Peter Luschny_，2012年8月25日

%对于n>0.-，F a（n）=A070216（n，1）_Reinhard Zumkeller，2012年11月11日

%例如：exp（x）*（1+x+x^2）_Geoffrey Critzer，2013年8月30日

%对于n>2.-，F a（n）=A254858（n-2,3）_Reinhard Zumkeller，2015年2月9日

%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=（1+Pi/sinh（Pi））/2=0.636014527491…=A367976.-_Vaclav Kotesovec_，2015年2月14日

%F和{n>=0}1/a（n）=（1+Pi*coth（Pi））/2=2.076674…=A113319.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年4月10日

%F 4*a（n）=A001105（n-1）+A001105_Bruno Berselli，2017年7月3日

%F来自_Amiram Eldar_，2021年1月20日：（开始）

%F产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi）*sinh（sqrt）*Pi）。

%F产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi*csch（Pi）。（结束）

%e G.f.=1+2*x+5*x^2+10*x^3+17*x^4+26*x^5+37*x^6+50*x^7+65*x^8+。。。

%p A002522:=程序（n）

%p数理论[分圆]（4，n）；

%p结束过程：

%p序列（A002522（n），n=0..20）；#_R.J.Mathar，2014年2月7日

%t表[n^2+1，{n，0，50}]；（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky，2008年12月15日*）

%o（岩浆）[0..50]]中的[n^2+1:n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年5月1日

%o（PARI）a（n）=n^2+1\\查尔斯·格里特豪斯IV，2011年6月10日

%o（哈斯克尔）

%o a002522=（+1）。(^ 2)

%o a002522_list=扫描（+）1[1,3..]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年4月6日

%o（最大值）A002522（n）：=n^2+1$标记列表（A002521（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年11月7日*/

%Y A055096的左边缘。

%Y参见A059100、A117950、A087475、A117951、A114949、A117619（形式n^2+K的序列）。

%Y a（n+1）=A101220（n，n+1，3）。

%Y参见A059592、A124808、A132411、A132444、A028872、A005408、A000124、A016813、A086514、A000125、A058331、A080856、A000127、A161701-A161704、A16170、A1617、A161700、A161710-A161713、A16171、A006261。

%（k，g）笼阶的Y摩尔下界：A198300（平方）；行：A000027（k=2）、A027383（k=3；色谱柱：A020725（g=3）、A005843（g=4）、此序列（g=5）、A051890（g=6）、A188377（g=7）_杰森·金伯利（Jason Kimberley），2011年10月30日

%Y参考A002496（素数）。

%Y参考A254858。

%Y参见A302612、A302644、A30264、A3021646。

%K nonn，简单，改变了

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E部分编辑人：Joerg Arndt_，2010年3月11日