显示1-10个结果（共100个）。
a（n）=2^n-1。（有时称为梅森数字，尽管该名称通常用于A001348号.)（原名M2655 N1059）
+10
1289
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
评论
这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外，贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个菱形针，其中n个针盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针盘上，每次移动不超过一个针盘，也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）＝0，a（1）＝1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·W·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n+1）=P（A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
如果n甚至是一个（n）mod 3＝0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰扬吉奇2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a，b，用a＜+＞b表示最小c＞＝a，使得Hd（a，c）＝b（注意，一般来说，a＜+＞b不同于b＜+＞a）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（11年款）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于长度为n的三元字的数量，避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（通常）表示空集，空格被忽略。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
对于由[n+1]_q=（q^（n+1）-q^（n-1））/（q-q^（-1））定义的量子整数，梅森数是a（n+1）=q^n[n+1]_q，其中q=sqrt（2），而有符号雅各布斯塔尔数A001045号对于i^2=-1，由q=i*sqrt（2）给出。囊性纤维变性。A239473型. -汤姆·科普兰2016年9月5日
除初始项外，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义的二维元胞自动机生长的第n阶段的x轴的十进制表示，基于用单个单元初始化的5单元von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1）=a（n+1）/A000079号（n+1）也作为第n次迭代f^{[n]}（c；x）=2^（n+1 2）*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}和{1,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（结束）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n＝＝3（mod 4），a（n）＝＝7（mod 120）；
（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120，对于n奇数；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒，2024年3月11日
a（n）是n-Hanoi图的直径。等价地，a（n）是河内塔问题（即上述贝拿勒斯神庙问题）中任意两个州之间的最大最小移动次数-艾伦·比克2024年8月9日
参考文献
P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（1902年，1910年），再版切尔西，纽约，1968年，第2卷，第75页。
Ralph P.Grimaldi，《离散和组合数学：应用导论》，第五版，Addison-Wesley，2004年，第134页。
Johann Peter Hebel，Gesammelte Werke in sechs Bänden，Herausgeber：Jan Knopf，Franz Littmann and Hansgeorg Schmidt Bergmann unter Mitarbeit von Ester Stern，Wallstein Verlag，2019年。波段3，S.20-21，Loesung，S.36-37。另请参阅下面的链接。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《企鹅奇趣数字词典》，“河内塔”，企鹅图书，1987年，第112-113页。
链接
M.Baake、F.Gahler和U.Grimm，替代系统及其因素示例，arXiv:1211.5466[math.DS]，2012-2013年。
Michael Baake、Franz Gähler和Uwe Grimm，替代系统及其因素示例，《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.2.14页。
乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔，彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》，第24卷（2021年），第21.10.4条。
J.Bernheiden，梅森内舍·扎伦，（德语文本）[Wayback Machine cached version]。
迈克尔·博德曼，鸡蛋滴数，《数学杂志》，77（2004），368-372。
John Brillhart等人。，坎宁安项目[将b^n+-1，b=2，3，5，6，7，10，11，12分解为高幂][需要订阅]。
吉尔·布里顿，汉诺塔[视频文件，Wayback Machine缓存版本]。
吉尔·布里顿，青蛙拼图[Wayback Machine缓存版本]。
P.Catarino、H.Campos和P.Vasco，关于梅森序列《Annales Mathematicae et Informaticae》，46（2016），第37-53页。
W.M.B.Dukes，有限集上拟阵的个数，arXiv:math/0411557[math.CO]，2004年。
David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。
G.Everest等人。，递归序列生成的素数阿默尔。数学。月刊，114（2007年第5期），417-431。
G.Everest、S.Stevens、D.Tamsett和T.Ward，二次多项式序列的本原因子，arXiv:math/0412079[math.NT]，2004-2006。
G.Everest、A.J.van der Poorten、Y.Puri和T.Ward，整数序列与周期点《整数序列杂志》，第5卷（2002年），第02.2.3条。
伊曼纽尔·费兰德，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。
A.Hardt和J.M.Troyka，受限对称有符号置换《纯粹数学与应用》，第23卷（2012年第3期），第179-217页。
A.Hardt和J.M.Troyka，幻灯片（与上述Hardt和Troyka参考相关）。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser，2013年。见第11页。图书网站
爱德华·卢卡斯，简单周期数值函数理论斐波那契协会，1969年。文章“Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques，I”的英文翻译，Amer。数学杂志。，1 (1878), 184-240.
N.Moreira和R.Reis，有限集划分语言的密度《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.2.8条。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
伯纳德·肖特，布列西利安裸鼠，转载自Quarture，编号76，avril-juin 2010，第30-38页，经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》（2019）第8卷，第4期，第87-92页。
配方奶粉
G.f.：x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的示例：（exp（x）-1）/exp（2x）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1”）*和{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基，2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434号，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）和解释-沃尔夫迪特·朗2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊凡·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
例子
对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，d}，{a，c}U{b、d}和{a，d}U{b，c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （结束）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
对于具有2个磁盘的河内塔问题，移动如下，因此a（2）=3。
12|_|_ -> 2|1|_ -> _|1|2 -> _|_|12 -艾伦·比克2024年8月7日
数学
a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{3，-2}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[级数[1/（1-3 x+2 x ^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
（SageMath）
定义isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s用于枚举（（n+1）.bits（））中的（s，b）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
a（n）=1^n+2^n+3^n。
（原M2580 N1020）
+10
101
3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818, 20196, 60074, 179196, 535538, 1602516, 4799354, 14381676, 43112258, 129271236, 387682634, 1162785756, 3487832978, 10462450356, 31385253914, 94151567436, 282446313698, 847322163876
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
总尺寸：（3-12*x+11*x^2）/（1-6*x+11*x^2-6*x^3）。
a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+2。（结束）
例如：exp（x）+exp（2*x）+exp（3*x）-穆罕默德·阿扎里安2008年12月26日
a（0）=3，a（1）=6，a（2）=14，a（n）=6*a（n-1）-11*a（n-2）+6*a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年4月30日
A000392号（n） =（3*a（n+1）-12*a（n）+10*a（n-1））/2。（结束）
数学
表[1^n+2^n+3^n，{n，0，30}]
系数列表[级数[（3-12x+11x^2）/（1-6x+11x2-6x^3），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{6，-11，6}，{3，6，14}，31](*哈维·P·戴尔2011年4月30日*）
总计[范围[3]^#]&/@范围[0，30](*哈维·P·戴尔2019年9月23日*）
黄体脂酮素
（Haskell）a001550 n=总和$map（^n）[1..3]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月1日
（岩浆）[1^n+2^n+3^n:n英寸[0..30]]//韦斯利·伊凡·赫特2020年6月25日
3, 8, 30, 134, 642, 3158, 15690, 78254, 390882, 1953638, 9766650, 48830174, 244144722, 1220711318, 6103532010, 30517610894, 152587956162, 762939584198, 3814697527770, 19073486852414, 95367432689202, 476837160300278
配方奶粉
总尺寸：1/（1-x）+1/（1-2*x）+1/2（1-5*x）。
例如：E^x+E^（2*x）+E^（5*x）。（结束）
a（n）=7*a（n-1）-10*a（n-2）+4，a（0）=3，a（1）=8-文森佐·利班迪2010年7月21日
3, 13, 91, 757, 6643, 59293, 532171, 4785157, 43053283, 387440173, 3486843451, 31381236757, 282430067923, 2541867422653, 22876797237931, 205891146443557, 1853020231898563, 16677181828806733, 150094635684419611
配方奶粉
G.f.：1/（1-x）+1/（1-3*x）+1/（1-9*x）。例如：E^x+E^（3*x）+E^（9*x）-穆罕默德·阿扎里安2008年12月26日
a（n）=13*a（n-1）-39*a（n2）+27*a（n-3），a（0）=3，a（1）=13，a（2）=91-哈维·P·戴尔2012年4月13日
数学
表[1^n+3^n+9^n，{n，0，20}]
线性递归[{13，-39，27}，{3，13，91}，20](*哈维·P·戴尔2012年4月13日*）
黄体脂酮素
（Sage）[范围（0，19）内n的σ（9，n）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
3, 24, 194, 1584, 13058, 108624, 911234, 7703664, 65588738, 561991824, 4843001474, 41948320944, 364990300418, 3188510652624, 27953062038914, 245823065693424, 2167728096132098, 19161612027339024, 169737447404391554
配方奶粉
总尺寸：1/（1-7*x）+1/（1-8*x）+1/（1-9*x）。
例如：E^（7*x）+E^。（结束）
数学
表[7^n+8^n+9^n，{n，0，18}]
线性递归[{24，-191，504}，{3，24，194}，20](*哈维·P·戴尔2019年6月9日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..20]]中的[7^n+8^n+9^n:n//文森佐·利班迪2011年5月20日
3, 14, 70, 368, 2002, 11144, 63010, 360248, 2076802, 12050504, 70290850, 411802328, 2421454402, 14282991464, 84472462690, 500716911608, 2973740844802, 17689728038024, 105375041354530, 628434388600088
配方奶粉
总尺寸：1/（1-3*x）+1/（1-5*x）+1/（1-6*x）。
例如：E^（3*x）+E^。（结束）
数学
表[3^n+5^n+6^n，{n，0，20}]
线性递归[{14，-63，90}，{3，14，70}，20](*哈维·P·戴尔2021年6月17日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..20]]中的[3^n+5^n+6^n:n//文森佐·利班迪2011年5月20日
（Python）
定义a（n）：返回3**n+5**n+6**n
a（-1）=1；对于n>=0，a（n）=2^n+4^n=2^n*（1+2^n）。
+10
61
1, 2, 6, 20, 72, 272, 1056, 4160, 16512, 65792, 262656, 1049600, 4196352, 16781312, 67117056, 268451840, 1073774592, 4295032832, 17180000256, 68719738880, 274878431232, 1099512676352, 4398048608256, 17592190238720, 70368752566272
评论
计算8个节点C_8上循环图顶点处长度为2n+2的闭合游动。
参考文献
B.N.Cyvin等人，《含五边形和七边形的非支链分解凝聚多边形系统的异构体计数》，Match，第34期（1996年10月），第109-121页。见表4。
链接
M.Archibald、A.Blecher、A.Knopfmacher、M.E.Mays，整数合成中的反转和奇偶性，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.4.1条。
T.A.格列佛，可被三整除的整数幂和，国际J.Contemp。数学。《科学》，第7卷，2012年，第38期，1895-1901年。
D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察《应用数学科学》，第8卷，2014年，第45期，2219-2226页。
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}如果（n-k）mod 4=0，二项式（n，2*k），0）}-保罗·巴里2005年9月19日
G.f.：1/x+（2-6*x）/（（1-2*x）*（1-4*x））。
a（n）=上限（2^n*（2^n+1）），n>=-1-零入侵拉霍斯2008年1月7日
例如：exp（2*x）*cosh（x）^2-保罗·D·汉纳2012年10月25日
例如：（1+Q（0））/4，其中Q（k）=1+2/（2^k-2*x*4^k/（2*x*2^k+（k+1）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月16日
例子
a（1）=6计算了从顶点1开始的六次往返行程：12121、18181、12181、18121、12321和18781-沃尔夫迪特·朗2011年11月8日
MAPLE公司
seq（细胞（2^n*（2^n+1）），n=-1..23）#零入侵拉霍斯2008年1月7日
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={如果（n>=0，2^n*（1+2^n），1）}\\哈里·史密斯2009年8月20日
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（（1+exp（2*x+x*O（x^n）））^2/4，n）}\\保罗·D·汉纳2012年10月25日
（岩浆）[1]猫[2^n+4^n:n在[0..30]]中//韦斯利·伊凡·赫特2020年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A000051号,A006516号,A007582号,A034472号,A034474号,A034491号,A052539号,A062394号,A062395号,A062396号,A007689号,A063376号,A063481号,A074600型-A074624美元,A122983号.
1, 7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, 536870911, 2147483647, 8589934591, 34359738367, 137438953471, 549755813887, 2199023255551, 8796093022207, 35184372088831, 140737488355327, 562949953421311
评论
4^n的除数之和-保罗·巴里2005年10月13日
详细阐述Librandi 2014年的评论：所有这些数字，即使是Z中的素数，在Z[sqrt（2）]中也肯定不是素数，因为a（n）至少可以被分解为（2^（2n+1）-1）-。例如，7=（3-平方码（2））（3+sqrt（2）-阿隆索·德尔·阿特2017年10月17日
链接
鲁迪·埃尔·哈达德，递归和和分区标识，arXiv:2101.09089[math.NT]，2021。
配方奶粉
通用名称：（1+2*x）/（（1-x）*（1-4*x））。
例如：2*exp（4*x）-exp（x）。
a（n）=（-16^n/2）*B（2n，1/4）/B（2n），其中B（n，x）是第n个伯努利多项式，B（k）=B（k，0）是第k个伯努里数。
a（n）=5*a（n-1）-4*a（n-2）。
a（n）=（-4^n/2）*B（2*n，1/2）/B（2*n）。（结束）
a（n）=4*a（n-1）+3，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年12月30日
a（n）=和{i=0..n}二项式（2n+2，2i）-韦斯利·伊凡·赫特2015年3月14日
a（n）=（1/4^n）*Sum_{k=0..n}二项式（2*n+1,2*k）*9^k-彼得·巴拉2019年2月6日
a（n）=分子（zeta_star({2}_（n+1））/zeta（2*n+2）），其中zeta_star是多个zeta星值({2} _n（n）)表示（2，…，2），其中2的重数为n-鲁迪·艾尔·哈达德2022年2月22日
MAPLE公司
序列号（2*4^n-1，n=0..22）#彼得·卢什尼2011年8月17日
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a083420=减去1。(* 2) . (4 ^) --莱因哈德·祖姆凯勒2015年12月22日
3, 10, 15, 36, 45, 54, 63, 136, 153, 170, 187, 204, 221, 238, 255, 528, 561, 594, 627, 660, 693, 726, 759, 792, 825, 858, 891, 924, 957, 990, 1023, 2080, 2145, 2210, 2275, 2340, 2405, 2470, 2535, 2600, 2665, 2730, 2795, 2860, 2925, 2990, 3055, 3120, 3185, 3250
链接
丹尼尔·凯恩（Daniel M.Kane）、卡洛·桑纳（Carlo Sanna）和杰弗里·沙利特（Jeffrey Shallit），二进制幂的Waring定理，Combinatorica，第39卷，第6期（2019），第1335-1350页，arXiv预印本，arXiv:1801.04483[math.NT]，2018年。
Parthasarathy Madhusudan、Dirk Nowotka、Aayush Rajasekaran和Jeffrey Shallit，二元平方的拉格朗日定理，arXiv:1710.04247[math.NT]，2017-2018。
曼弗雷德·马德里奇和斯蒂芬·瓦格纳，整数分块的中心极限定理《Monatsheft für Mathematik》，第161卷，第1期（2010年），第85-114页，备用链路.
配方奶粉
a（n）=n+2*n*2^楼层（log2（n））-拉尔夫·斯蒂芬2004年12月7日
例子
36是一个术语，因为36=100100_2，即100后跟100。
MAPLE公司
a： =n->（1->位[连接]（[l[]，l[]]））（位[分割]（n））：
数学
表[n+2 n 2^地板[Log[2，n]]，{n，50}](*T.D.诺伊2013年12月10日*）
FromDigits[#，2]和/@（#<>#和/@IntegerString[范围@100, 2]) (*汉斯·鲁道夫·威德默2024年8月24日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a020330 n=foldr（\d v->2*v+d）0（bs++bs），其中
bs=a030308_低n
（PARI）是（n）=my（L=#binary（n）\2）；n> >L==比特（n，2^L-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月29日
（岩浆）[n+2*n*2^层（对数（2，n））：n in[1..50]]//文森佐·利班迪2018年4月5日
（Python）
def a（n）：返回int（bin（n）[2:]*2，2）
打印（[a（n）代表范围（1,51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年3月10日
（Python）
定义A020330型（n） ：return（n<<n.bit_length（））|n#柴华武2023年2月28日
作者
大卫·W·威尔逊，梅莉亚·奥尔德里奇（ma38（AT）云杉。埃文斯维尔。edu）
向下反对偶读取数组：当n>=1，k>=0时，sigma_k（n）。
+10
25
1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 1, 2, 7, 10, 9, 1, 4, 6, 21, 28, 17, 1, 2, 12, 26, 73, 82, 33, 1, 4, 8, 50, 126, 273, 244, 65, 1, 3, 15, 50, 252, 626, 1057, 730, 129, 1, 4, 13, 85, 344, 1394, 3126, 4161, 2188, 257, 1, 2, 18, 91, 585, 2402, 8052, 15626, 16513, 6562, 513, 1
评论
n，sigma_（k-1）（n）的除数的（k-1）次幂之和，也表现为Hecke算子T_n的特征值λ（k，n），n是一个正整数，作用于归一化的Eisenstein级数E_k（q）=（（2*Pi*i）^k/（（k-1）*Zeta（k））*G_k（q），偶数k>=4，q=2*Pi*i*z，其中z来自复平面的上半部分：T_n E_k=sigma_（k-1）（n）*E_k。这些Eisenstein级数是权重k的完整模形式，每个E_k（q。
这是由E_k（q）=Sum_{m>=0}E（k，m）*q^m的傅里叶系数得出的，其中E（k，0）=1，E（k、m）=（2*Pi*i）^k/（（k-1）*m>=1时的Zeta（k）*sigma_（k-1）（m），以及T_n E_k的傅里叶系数。每m>=0时，特征值λ（n，k）=（Sum_{d|gcd（n，m）}d^{k-1}*E（k，m*n/d^2））/E（k，m）。当m=0时，这变成λ（n，k）=σ_（k-1）（n）。
关于Hecke算子、傅里叶系数和同时特征形式，参见例如Koecher-Krieg参考文献第207页，等式（5）和（6）以及第211页，第4节，或Apostol参考文献第120页，等号（13），第129-134页。（结束）
参考文献
Tom M.Apostol，数论中的模函数和狄利克雷级数，第二版，施普林格，1990年，第120、129至134页。
Max Koecher和Aloys Krieg，Elliptische Funktitonen und Modulformen，2。奥弗拉格，施普林格，2007年，第207、211页。
配方奶粉
如果行索引（数组反对角线的索引）取为m，偏移量为1，则三角形为T（m，k）=sigma_k（m-k），1<=k+1<=m，否则为0-沃尔夫迪特·朗，2016年1月14日
偏移量为1:G（x，y）=和{j>=1}x^j/（（1-x^j）*（1-j*x*y））的三角形的G.f-罗伯特·伊斯雷尔，2016年1月14日
例子
阵列开始：
1, 2, 2, 3, 2, 4, ...
1, 3, 4, 7, 6, 12, ...
1, 5, 10, 21, 26, 50, ...
1, 9, 28, 73, 126, 252, ...
1, 17, 82, 273, 626, 1394, ...
...
行偏移量为1的三角形T（m，k）开始于：
m\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: 1
2: 2 1
3: 2 3 1
4: 3 4 5 1
5: 2 7 10 9 1
6: 4 6 21 28 17 1
7: 2 12 26 73 82 33 1
8: 4 8 50 126 273 244 65 1
9: 3 15 50 252 626 1057 730 129 1
10: 4 13 85 344 1394 3126 4161 2188 257 1
MAPLE公司
带有（数字理论）：
seq（seq（sigma[k]（1+d-k），k=0..d），d=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2013年2月6日
数学
行=12；扁平[表[DivisorSigma[k-n，n]，{k，1，rows}，{n，k，1和-1}]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年11月15日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
A109974号：=func<n，k|DivisorSigma（k-1，n-k+1）>；
（SageMath）
交叉参考
柱：A000051号,A034472号,A001576号,A034474号,A034488号,A034491号,A034496号,A034513号,A034517号,A034524号,A034660美元.
搜索在0.037秒内完成
| 
