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A027641号 伯努利数B_n的分子。 238
1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -691, 0, 7, 0, -3617, 0, 43867, 0, -174611, 0, 854513, 0, -236364091, 0, 8553103, 0, -23749461029, 0, 8615841276005, 0, -7709321041217, 0, 2577687858367, 0, -26315271553053477373, 0, 2929993913841559, 0, -261082718496449122051 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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a(n)/A027642号(n) (伯努利数)为Sheffer矩阵提供了a序列A094816号(正交泊松-查理多项式的系数)。请参阅下面的W.Lang链接A006232号Sheffer矩阵的a序列和z序列。相应的z序列由理性给出A130189号(n)/A130190型(n) ●●●●。
Harvey(2008)描述了一种计算伯努利数的新算法。他的方法是计算许多小素数p的模p B(k),然后通过中国余数定理重建B(k)。时间复杂度为O(k^2 log(k)^(2+eps))。该算法特别适合并行化-乔纳森·沃斯邮报2008年7月9日
将伯努利数视为构成一个向量=B_n,将变量开始(1,1/2,1/6,0,-1/30,…)(即前1/2有符号+)视为形成一个向量Bv_n。帕斯卡三角矩阵B_n和Bv _n之间的关系如下:B_n=Bv_n.的二项式变换。B_n与带符号行(+-+-,…)的Pascal矩阵相乘时不变,即(1;-1,-1;1,2,1;…)。Bv_n与带符号列(+-+-,…)的Pascal矩阵相乘时不变,即(1;1,-1;1,-2,1;1,-3,3,-1;…)-加里·亚当森2012年6月29日
伯努利数序列B_n=a(n)/A027642号(n) 是序列的二项式逆变换{A164555号(n)/A027642号(n) },它们在中显示为顶行和左列1990年3月39日. -保罗·柯茨2016年5月13日
以瑞士数学家雅各布·伯努利(1655-1705)的名字命名,由德莫伊夫尔(1773;“詹姆斯·伯努利先生的数字”)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
参考文献
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链接
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埃里克·魏斯坦的数学世界,Polygamma函数.
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Wolfram研究公司,B_n和B_2n的生成函数.
配方奶粉
例如:x/(exp(x)-1);取分子。
重复:B^n=(1+B)^n,n>=2(将B^j解释为B_j)。
B_{2n}/(2n)!=2*(-1)^(n-1)*(2*Pi)^。特别是B_{2*n}~(-1)^(n-1)*2*(2*n)/(2*Pi)^(2*n)。
求和{i=1..n-1}i^k=((n+B)^(k+1)-B^(k+1))/(k+1)(将B^j解释为B_j)。
B_{n-1}=-Sum_{r=1..n}(-1)^r二项式(n,r)r^(-1)Sum_{k=1..r}k^(n-1)。更简明地说,B_n=1-(1-C)^(n+1),其中C^r被右手边展开式中自然数的第一个第n次幂的算术平均值取代。[伯格曼]
求和{i>=1}1/i^(2k)=zeta(2k。
B_{2n}=(-1)^(m-1)/2^(2m+1)*积分{-inf.inf,[d^(m-1)/dx^(m-1)sech(x)^2]^2 dx}(见格罗塞特/维塞洛夫)。
设B(s,z)=-2^(1-s)(i/Pi)^s!PolyLog(s,exp(-2*i*Pi/z))。则对于n>=1,B(2n,1)=B_{2n}。同样,可以考虑数字B(2n+1,1),它可能被称为Co-Bernoulli数,值得注意的是,莱昂哈德·欧拉在1755年已经计算出了B(3,1)和B(5,1)(Opera Omnia,Ser.1,Vol.10,p.351)。(参考Luschny参考文献进行讨论。)-彼得·卢什尼2009年5月2日
B_n序列是三角形倒数的左列A074909号被“斩首”的帕斯卡三角-加里·亚当森2012年3月5日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月4日:(开始)
例如,E(x)=2-x/(tan(x)+秒(x)-1)=Sum_{n>=0}a(n)*x^n/n!,a(n)=|B(n)|,其中B(n”)是伯努利数B_n。
E(x)=2+x-B(0),其中B(k)=4*k+1+x/(2+x/(4*k+3-x/(2-x/B(k+1))));(连分数,4步)。(结束)
例如:x/(exp(x)-1)=U(0);U(k)=2*k+1-x(2*k+1)/(x+(2*k+2)/(1+x/U(k+1)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月5日
例如:2*(x-1)/(x*Q(0)-2)其中Q(k)=1+2*x*(k+1)/;(递归定义的连分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月26日
a(n)=分子(B(n)),B(n)=(-1)^n*和{k=0..n}斯特林1(n,k)*斯特林2(n+k,n)/二项式(n+k,k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年3月16日
例如:x/(exp(x)-1)=E(0),其中E(k)=2*k+1-x/(2+x/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月16日
Bernoulli(n)的G.f=a(n)/A027642号(n) :psi_1(1/x)/x-x,其中psi_n(z)是多囊膜函数,psi_n(z)=(d/dz)^(n+1)log(伽马(z))-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
例如:2*E(0)-2*x,其中E(k)=x+(k+1)/(1+1/(1-x/E(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月10日
B_n=和{m=0..n}(-1)^m*A131689型(n,m)/(m+1),n>=0。查看其中一个Maple程序-沃尔夫迪特·朗2017年5月5日
a(n)=分子((-1)^n*A155585型(n-1)*n/(4^n-2^n)),对于n>=1-Mats Granvik公司2017年11月26日
发件人阿图尔·贾辛斯基2020年12月30日:(开始)
a(n)=分子(-2*cos(Pi*n/2)*Gamma(n+1)*zeta(n)/(2*Pi)^n),对于n=0且n>1。
a(n)=分子(-n*zeta(1-n)),对于n=0且n>1。(结束)
例子
B_n序列开始于1、-1/2、1/6、0、-1/30、0、1/42、0、-1-30、0、5/66、0、-691/2730、0,7/6、0,-3617/510。。。
MAPLE公司
B:=n->加((-1)^m*m*Stirling2(n,m)/(m+1),m=0..n);
B:=n->bernoulli(n);
seq(数字(bernoulli(n)),n=0..40)#零入侵拉霍斯2009年4月8日
数学
表[分子[BernoulliB[n]],{n,0,40}](*罗伯特·威尔逊v,2004年10月11日*)
分子[范围[0,40]!系数列表[级数[x/(E^x-1),{x,0,40}],x]]
分子[系数列表[系列[PolyGamma[1,1/x]/x-x,{x,0,40},假设->x>0],x]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=分子(bernfrac(n))
(最大值)B(n):=(-1)^((n))*和((stirling1(n,k)*stirling2(n+k,n))/二项式(n+k,k),k,0,n);
名单(num(B(n),n,0,20)\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年3月16日
(岩浆)[分子(伯努利(n)):[0..40]]中的n//文森佐·利班迪2014年3月17日
(鼠尾草)
[范围(41)内n的bernoulli(n).numerator()]#彼得·卢什尼2016年2月19日
(鼠尾草)#或者:
定义A027641号_列表(长度):
f、 R,C=1,[1],[1]+[0]*(透镜-1)
对于n in(1..len-1):
f*=n
对于范围(n,0,-1)中的k:
C[k]=C[k-1]/(k+1)
C[0]=-总和((1..n)中k的C[k])
R.append((C[0]*f).numerator())
返回R
A027641号_列表(41)#彼得·卢什尼2016年2月20日
(Python)
来自sympy import bernoulli
从分数导入分数
[bernoulli(i).as_numer_denom()[0]用于范围(51)中的i]#因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
(Python)
来自sympy import bernoulli
定义A027641号(n) :return bernoulli(n)。第页
打印([A027641号(n) 对于范围(80)内的n)#M.F.哈斯勒2019年6月11日
交叉参考
这是伯努利数的主要条目,包含所有参考、链接和公式。序列A027642号(B_n的分母)和A000367号/A002445号=B_{2n}也很重要!
一种改进是A194587号.
关键词
签名,压裂,美好的,核心
作者
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月19日01:34。包含370952个序列。(在oeis4上运行。)