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A143495号 |
| 按行读取三角形:3-第二类斯特林数。 |
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22
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1, 3, 1, 9, 7, 1, 27, 37, 12, 1, 81, 175, 97, 18, 1, 243, 781, 660, 205, 25, 1, 729, 3367, 4081, 1890, 380, 33, 1, 2187, 14197, 23772, 15421, 4550, 644, 42, 1, 6561, 58975, 133057, 116298, 47271, 9702, 1022, 52, 1, 19683, 242461, 724260, 830845, 447195
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,2
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评论
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这就是第二类r-Stirling数的r=3的情况。第二类3-Stirling数给出了将集合{1,2,…,n}划分为k个非空不相交子集的方法,限制了元素1,2和3属于不同的子集。有关一般情况的备注,请参见A143494号(r=2)。第一类3-Stirling数的对应数组为A143492号两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关3-Lah编号,请参阅A143498号.
设D是导数算子D/dx,E是欧拉算子x*D/dx。那么x^(-3)*E^n*x^3=Sum_{k=0..n}T(n+3,k+3)*x^k*D^k。
行生成多项式R_n(x):=Sum_{k=3..n}T(n,k)*x^k满足递推R_(n+1)(x)=x*R_n(x)+x*d/dx(R_n(x)),其中R_3(x)=x^3。因此,多项式R_n(x)只有实数零(适用推论1.2)。(刘和王)。
与3-欧拉数E_3(n,j)的关系:=A144697号(n,j):T(n,k)=(3!/k!)*和{j=n-k.n.n-3}E_3(n,j)*二项式(j,n-k)对于n>=k>=3。
(结束)
T(n,k)=S(n,k,3),n>=k>=3,在米哈伊洛夫的第一篇论文中,等式(28)或(A3)。例如,(A20)中k列的k->3,r->k。因此,在偏移量[0,0]的情况下,这个三角形是Sheffer三角形(exp(3*x),exp(x)-1),例如,第m列的f>=0:exp(3+x)*((exp)-1)^m)/m!。请参阅下面给出的公式之一。有关Sheffer矩阵,请参阅下面的W.Lang链接A006232号参考S.罗马,也见于A132393号. -沃尔夫迪特·朗2011年9月29日
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链接
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安德烈·布罗德,r-Stirling数,报告编号:CS-TR-82-949,斯坦福大学计算机科学系;看见也,离散数学。49, 241-259 (1984).
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》,22(4)(2015),#P4.10。
V.V.米哈伊洛夫,正规序和广义斯特林数,J.Phys A:数学。Gen.18(1985)231-235。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo,椭圆车号和文件号,《组合数学电子杂志》,24(1)(2017),#P1.31。
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配方奶粉
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T(n+3,k+3)=(1/k!)*Sum_{i=0..k}(-1)^(k-i)*二项式(k,i)*(i+3)^n,n,k>=0。
T(n,k)=搅拌2(n,k)-3*搅拌2(n-1,k)+2*搅拌2。
递归关系:对于n>3,T(n,k)=T(n-1,k-1)+k*T;T(3,3)=1;当k>3时,T(3,k)=0。
特殊情况:T(n,3)=3^(n-3);T(n,4)=4^(n-3)-3^(n-3)。
例如,(k+3)列(偏移量为3):(1/k!)*exp(3x)*(exp(x)-1)^k。
O.g.f.第k列:和{n>=k}T(n,k)*x^n=x^k/((1-3*x)*(1-4*x)*(1-k*x))。
例如:exp(3*t+x*(exp(t)-1))=和{n>=0}和{k=0..n}t(n+3,k+3)*x^k*t^n/n!=和{n>=0}B_n(3;x)*t^n/n!=1+(3+x)*t/1!+(9+7*x+x^2)*t^2/2!+。。。,其中,行多项式B_n(3;x):=和{k=0..n}T(n+3,k+3)*x^k可以称为3-Bell多项式。
Dobinski类型恒等式:行多项式B_n(3;x)=exp(-x)*Sum_{i>=0}(i+3)^n*x^i/i!;求和{k=0..n}k*T(n+3,k+3)*x^k=Sum_{i>=0}(i+3)^n*x^i/(1+x)^(i+1)。
T(n,k)是下降阶乘和移位单项式(x+3)^(n-3)之间的连接系数。例如,9+7*x+x*(x-1)=(x+3)^2和27+37*x+12x*(x1)+x*。
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。3....4....5....6....7....8
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3.|。。。。1
4..|....3....1
5..|....9....7....1
6..|...27...37...12....1
7..|...81..175...97...18....1
8..|..243..781..660..205...25....1
...
T(5,4)=7。集合{1,2,3,4,5}可以划分为四个子集,使得1、2和3以7种方式属于不同的子集:{{1}{2}{3}{4,5{}、{{1{2}}{5}{3,4}}、}{1}}{2{4}{3,1}、{1,5}}和{{2}{3}{5}{1,4}}。
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MAPLE公司
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A143495号:=(n,k)->(1/(k-3)!)*加((-1)^(k-i-1)*二项式(k-3,i)*(i+3)^(A143495号(n,k),k=3..n)结束do;
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数学
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nmax=12;t[n,k_]:=1/(k-3)!*和[(-1)^(k-j-1)*二项式[k-3,j]*(j+3)^,(n-3),{j,0,k-3}];扁平[表[t[n,k],{n,3,nmax},{k,3,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月7日,Maple之后*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
@缓存函数
定义斯特林2r(n,k,r):
如果n<r:返回0
如果n==r:如果k==r否则为0,则返回1
返回斯特林2r(n-1,k-1,r)+k*斯特林2R(n-1、k,r)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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