搜索： a000337-编号：a000337
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1, 6, 23, 72, 201, 522, 1291, 3084, 7181, 16398, 36879, 81936, 180241, 393234, 851987, 1835028, 3932181, 8388630, 17825815, 37748760, 79691801, 167772186, 352321563, 738197532, 1543503901, 3221225502, 6710886431, 13958643744
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（n）是将中找到的项的k元组相加的所有方法的总和A000079号（0）到A000079号（n） ●●●●。对于a（2），结果是（1）+（2）+（4）＝7；(1+2)+(2+4)=9; （1+2+4）=7，7+9+7=23-J.M.贝戈2017年6月19日
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链接
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Brian Nakamura、Elizabeth Yang、，置换诱导的竞争图，arXiv预印本arXiv:1503.05617[math.CO]，2015。
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公式
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a（n）=n+5+（n-1）*2^（n+2）。
G.f.：1/（（1-2*x）*（1-x））^2。
a（n）=和{i=0…n+1}（2^（n+2-i）-1）*（2^i-1）-J.M.贝戈2017年9月16日
a（n）=求和{k=0..n+2}求和{i=0..n+2}（i-k）*C（n-k+2，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月19日
a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+n+1，其中a（-1）=a（-2）=0-杰西·菲德勒2019年8月20日
例如：exp（x）*（5+x+exp（x）*（-4+8*x））-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年8月20日
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数学
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表[求和[（-1）^（n-k）k（-1）*（n-k）二项式[n+2，k+2]，{k，0，n}]，{n，1，28}](*零入侵拉霍斯2009年7月8日*）
休息[累加[LinearRecurrence[{5，-8，4}，{0，1，5}，40]](*哈维·P·戴尔2011年12月19日*）
系数列表[级数[1/（（1-x）^2（1-2x）^ 2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月22日*）
线性递归[{6，-13，12，-4}，{1，6，23，72}，28](*雷·钱德勒2015年8月3日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A104746号
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| 反对偶读取数组T（n，k）：T（1，k）=2^k-1，递归地T（n、k）=T（n-1，k+A000337号（k-1），n，k>=1。 |
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+20
2
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1, 1, 3, 1, 4, 7, 1, 5, 12, 15, 1, 6, 17, 32, 31, 1, 7, 22, 49, 80, 63, 1, 8, 27, 66, 129, 192, 127, 1, 9, 32, 83, 178, 321, 448, 255, 1, 10, 37, 100, 227, 450, 769, 1024, 511, 1, 11, 42, 117, 276, 579, 1090, 1793, 2304, 1023, 1, 12, 47, 134, 325, 708, 1411, 2562, 4097, 5120, 2047, 1, 13, 52, 151, 374, 837, 1732, 3331, 5890, 9217, 11264, 4095
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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通常，数组的第n行是0，1，n，2n-1，3n-2，4n-3，…的二项式变换。。。
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链接
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公式
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T（2，k）=A001787号（k） ，0，1，2，3，4，5，6，…的二项式变换。。。
T（3，k）=A000337号（k） ，0，1，3，5，7，9，11，…的二项式变换。。。
T（4，k）=A027992号（k-1），0，1，4，7，10，13，16，19，22，25，…的二项式变换。。。
T（5，k）=0，1，5，9，13，17，21，25，29，…的二项式变换。。。
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例子
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在第一行中，添加术语0、1、5、17、49、129。。。如图所示：
1, 3, 7, 15, 31, 63, ...
0, 1, 5, 17, 49, 129, ... （获取数组的第2行：
1, 4, 12, 32, 80, 192, ... (=A001787号，1,2,3的二项式变换，…）
重复该操作，得到以下数组T（n，k）：
1, 3, 7, 15, 31, 63, ...
1, 4, 12, 32, 80, 192, ...
1, 5, 17, 49, 129, 321, ...
1, 6, 22, 66, 178, 450, ...
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MAPLE公司
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1+（n-1）*2^n；
结束进程：
选项记忆；
如果n=1，则
2^k-1；
其他的
结束条件：；
结束进程：
对于从1到12的d do
对于k从1到d do
n：=d-k+1；
结束do：
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数学
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T[1，k_]：=2^k-1；
T[n_，k_]：=T[n，k]=T[n-1，k]+A000337号[k-1]；
表[T[n-k+1，k]，{n，1，12}，{k，1，n}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2024年3月30日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 5, 17, 49, 129, 321, 769, 1793, 4097, 9217, 20481, 45057, 98305, 212993
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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关键词
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死去的
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状态
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经核准的
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5, 17, 769, 3489660929, 112589990684262401, 1945555039024054273, 193428131138340667952988161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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公式
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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R.J.Mathar的定义更清晰（但不正确），2008年1月27日，2011年10月10日更正
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状态
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经核准的
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A001787号
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| a（n）=n*2^（n-1）。
（原名M3444 N1398）
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+10
411
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0, 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576, 53248, 114688, 245760, 524288, 1114112, 2359296, 4980736, 10485760, 22020096, 46137344, 96468992, 201326592, 419430400, 872415232, 1811939328, 3758096384, 7784628224, 16106127360, 33285996544
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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n维超立方体中的边数。
当n>=2时，将n-1个非攻击王放置在2X2（n-1）棋盘上的方法数量Antonio G.Astudillo（afg_Astudillo（AT）hotmail.com），2001年5月22日
（-1）乘以矩阵A{i，j}=-|i-j|，0<=i，j<=n的行列式。
包含n+1 1且没有零行或零列的2 X n 0-1矩阵的数目。完全二部图K（2，n）的生成树的个数。这是K（m，n）的m=2的情况。请参见A072590号. -W·埃德温·克拉克2003年5月27日
0,1,2,3,4,5，…的二项式变换，。。。(A001477号). 没有初始0，奇数的二项式变换。
这是重复整数的二项式变换，带有一个额外的前导零[0,0,1,4，…]A004526号其公式为（2^n*（n-1）+0^n）/4-保罗·巴里2003年5月20日
求和表（与差分表相反）的最后一个元素，其第一行由整数0到n（或第一个n+1个非负整数）组成A001477号); 说明n=5的情况：
0 1 2 3 4 5
1 3 5 7 9
4 8 12 16
12 20 28
32 48
80
最后一个元素是a（5）=80。（结束）
这个序列和A001871号出现在计算高度最多为k的有序树时，其中只有根的最右边的分支实际达到了这个高度，并且计数是通过边的数量进行的，对于这个序列，k=3，对于A001871号.
设R是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，对于P（a）的所有元素x，y，xRy，如果x是y的一个适当子集，并且P（a）中没有z，那么x是z的适当子集，z是y的适当子集。然后a（n）=|R|-罗斯·拉海耶2004年9月21日
2 X n个二进制矩阵的数目，同时避免了直角编号的多值模式（ranpp）（00；1）和（10；1）。矩阵a=（a（i，j））中ranpp（xy；z）的出现是一个三元组（a（i1，j1），a（i2，j2），a-谢尔盖·基塔耶夫2004年11月11日
长度为n+1的所有二进制字中的子序列数00。例如：a（2）=4，因为在0000010100111001110111中，序列00发生了4次-Emeric Deutsch公司2005年4月4日
如果展开n因子表达式（a+1）*（b+1）**（z+1），结果中有一个（n）变量。例如，三因子表达式（a+1）*（b+1）*，（c+1）展开为abc+ab+ac+bc+a+b+c+1，其中a（3）=12个变量-大卫·W·威尔逊2005年5月8日
n^2的逆Chebyshev变换，其中g（x）->（1/sqrt（1-4*x^2））*g（x*c（x^2A000108号. -保罗·巴里2005年5月13日
长度为n且最大值为2*n的不递减正整数序列的数目-本·保罗·瑟斯顿2006年11月13日
n元素集的所有子集的总大小。例如，一个2元素集有1个子集大小为0，2个子集大小1，1子集大小为2-罗斯·拉海耶2006年12月30日
如果M是矩阵（由行给出）[2,1；0,2]，则序列给出M^n中的（1,2）项-安东尼奥·奥尔勒·马塞恩2007年5月21日
如果X_1、X_2，。。。，X_n是将2n-集X划分为2个块，然后，对于n>0，a（n）等于与每个X_i（i=1,2，…，n）相交的X的（n+1）子集的数目-米兰Janjic2007年7月21日
3个对象u、v、w的n个排列的数量，允许重复，只包含一个u。例如：a（2）=4，因为我们有uv、vu、uw和wu-零入侵拉霍斯2007年12月27日
a（n）是将{1,2，…，n-1}拆分为两个（可能为空）互补区间{1,2、…，i}和{i+1，i+2，…，n-1}，然后从每个区间中选择子集的方法-杰弗里·克雷策2009年1月31日
带有n个单体的n×n正方形的榻榻米瓷砖数量为n*2^（n-1）-弗兰克·拉斯基2010年9月25日
Dyck（n+2）路径的数量-在高度1处只有一个山谷，没有更高的山谷-大卫·斯卡布勒2011年11月7日
设T（n，k）为三角形，其中（第一列）T（n、1）=2*n-1表示n>=1，否则T（n和k）=T（n；k-1）+T（n-1，k-1），则a（n）=T（n）-J.M.贝戈2013年1月17日
多项式p（x）=-（x-x1）*（x-x2）的归一化施瓦兹导数-S{p（x）}/6的级数展开系数，其中x1+x2=1（参见。A263646型). -汤姆·科普兰2015年11月2日
a（n）是从（0,0）到（n+1，n+1）的东北晶格路径数，其中正好有一个东阶低于y=x-1，没有东阶高于y=x+1。详细信息可以在Pan和Remmel的链接中找到-冉·潘2016年2月3日
同时给出了n>0时n-超立方体图中最大团和最大团的个数-埃里克·韦斯特因2017年12月1日
设[n]={1,2，…，n}；则a（n-1）是在包含n以形成[n]的适当子集中缺失的元素的总数。例如，对于n=3，a（2）=4，因为[3]中包含3的适当子集是{3}、{1,3}和{2,3}，而在这些子集中形成[3]所缺少的元素总数是4:2在第一个子集中，1在第二个子集中，而1在第三个子集中-恩里克·纳瓦雷特2020年8月8日
避免模式的n个元素的3个重复突变的数量132，231。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月19日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年（以及各种再版），第796页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。131。
Clifford A.Pickover，《数学书》，《从毕达哥拉斯到第57维度》，《数学史上的250个里程碑》，斯特林出版社。，纽约，2009年，第282页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d-置换和其他模式避免类，arXiv:22022.12677[math.CO]，2022。
穆罕默德·埃尔卡迪和伯纳德·穆兰，求解多项式方程的符号数字方法及其应用，第3章。A.Dickenstein和I.Z.Emiris编著的《求解多项式方程》，Springer出版社，2005年，第126-168页。见第152页。
Alejandro Erickson、Frank Ruskey、Mark Schurch和Jennifer Woodcock，吉祥的榻榻米垫《第16届国际计算与组合学年会》（COCOON 2010），7月19-21日，越南芽庄。LNCS 6196（2010）288-297。
弗兰克·海特，红绿灯处溢出《生物统计学》，46（1959），420-424。
弗兰克·海特，红绿灯处溢出《生物统计学》，46（1959），420-424。（带注释的扫描副本）
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO]，2013。
C.W.Jones、J.C.P.Miller、J.F.C.Conn和R.C.Pankhurst，切比雪夫多项式表，程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A.62，（1946）。187-203.
Kenji Kimura和Saburo Higuchi，榻榻米砖数量的蒙特卡罗估计《国际现代物理杂志C》第27卷第11期（2016），1650128，arXiv预印本，arXiv:1509.05983[第二阶段统计数据]，2015-2016，等式（1）。
T.Y.Lam，关于二次型的对角化，数学。Mag.，72（1999），231-235（见第234页）。
Dusko Letic、Nenad Cakic、Branko Davidovic、Ivana Berkovic和Eleonora Desnica，广义超三次函数的某些性质《差分方程的进展》，2011年，2011:60。
Toufik Mansour和Armend Sh.Shabani，条形图中的条形图《土耳其数学杂志》（2018）第42卷第5期，2763-2773。
Ran Pan和Jeffrey B.Remmel，晶格路径中的成对图案，arXiv:1601.07988[math.CO]，2016年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
劳拉·普德威尔、内森·切内特和曼达·里尔，超立方体方向统计信息，AMS实验和计算机辅助数学特别会议，联合数学会议（丹佛2020）。
劳拉·普德威尔（Lara Pudwell）、康诺·肖尔滕（Connor Scholten）、泰勒·施洛克（Tyler Schrock）和亚历克莎·塞拉托（Alexa Serrato），二叉树中的非连续模式包含，ISRN组合。2014年，文章ID 316535，第8页（2014年），第5.2章。
亚伦·罗伯逊（Aaron Robertson）、赫伯特·S·威尔夫（Herbert S.Wilf）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），置换模式和连分数，选举人。J.Combin.6，1999，#R38。
Thomas Wieder，n-集的某些k-组合的数目，应用数学电子笔记第8卷（2008年）。
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公式
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例如：x*exp（2x）-保罗·巴里2003年4月10日
G.f.:x/（1-2*x）^2。
G.f.:x/（1-4*x/（1+x/（1-x）））-迈克尔·索莫斯2012年4月7日
a（n）=2*a（n-1）+2^（n-1。
a（2*n）=n*4^n，a（2xn+1）=（2*n+1）4^n。
G.f.：x/det（I-x*M），其中M=[1，I；I，1]，I=sqrt（-1）-保罗·巴里2005年4月27日
启动1、1、4、12。。。这是0^n+n2^（n-1），“对反转”自然数的二项式变换A004442号. -保罗·巴里2003年7月24日
[1，2，4，8，…]与自身的卷积-乔恩·佩里2003年8月7日
这个序列的有符号版本n（-2）^（n-1）是n（-1）^-保罗·巴里2003年8月20日
a（n-1）=（和{k=0..n}2^（n-k-1）*C（n-k，k）*C，（k+1）/2）*（1-（-1）^k）/2）-0^n/4-保罗·巴里2004年10月15日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，k）（n-2k）^2-保罗·巴里2005年5月13日
a（n）=n！*求和{k=0..n}1/（（k-1）！（n-k）！）-保罗·巴里2003年3月26日
a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2），a（0）=0，a（1）=1-菲利普·德尔汉姆2008年11月16日
a（n-1）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}（t1+t2+…+t_n-1）*多项式（t1+t_2+…+tn，t1，t2，…，t_n）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
a（n+1）=和{r=0..n}（2*r+1）*C（n，r）-J.M.贝戈2014年4月7日
a（n）=求和{k=0..n-1}求和{i=0..n-1}（i+1）*C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
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例子
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自2314以来a（2）=4，23413124和4123是1234中唯一的132个无效置换，其中正好包含一个长度为3的递增子序列。
x+4*x^2+12*x^3+32*x^4+80*x^5+192*x^6+448*x^7+。。。
a（5）=1*0+5*1+10*2+10*3+5*4+1*5=80，其中1,5,10,10,5,1是帕斯卡三角形的第五行-J.M.贝戈2014年4月29日
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MAPLE公司
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spec:=[S，{B=Set（Z，0<=card），S=Prod（Z，B，B）}，labeled]：seq（combstruct[count]（spec，size=n），n=0..29）#零入侵拉霍斯2006年10月9日
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数学
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表[Sum[二项式[n，i]i，{i，0，n}]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2009年3月18日*）
数组[#2^（#-1）&，40，0](*哈维·P·戴尔2011年7月26日*）
联接[{0}，表[n2^（n-1），{n，20}]](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
联接[{0}，线性递归[{4，-4}，{1，4}，20]](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
系数列表[级数[x/（-1+2x）^2，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*2^（n-1））}
（哈斯克尔）
a001787 n=n*2^（n-1）
a001787_list=zipWith（*）[0..]$0:a000079_list
（PARI）连接（0，Vec（x/（1-2*x）^2+O（x^50））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月3日
（岩浆）[0..40]]中的[n*2^（n-1）：n//文森佐·利班迪2016年2月4日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A053109号,A001788号,A001789号,A000337号,A130300型,A134083号,A002064号,A027471号,A003945号,A059670号,A167591号,A059260美元,A016777号,A212697型,A000079号,A263646型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837, 134217700, 268435427, 536870882, 1073741793, 2147483616, 4294967263, 8589934558
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
半长n的Dyck路径的数量正好有一个长上升（即至少有两个长度上升）。例如：a（4）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有一条长上升的路径是UDUDUD（无长上升）、UUDDUUD和UUDUUDDD（两条长上升）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。还有n条边正好有一个分支节点的有序树的数量（即至少有两个分支节点）-Emeric Deutsch公司，2004年2月22日
具有恰好一个下降的{1,2，…，n}的排列的数目（即，排列（p（1），p（2），。。。，p（n））使得{i:p（i）>p（i+1）}=1）。例如，a（3）=4，因为{1,2,3}的一个下降排列是132、213、231和312。
恰好有一个块大小大于1的n个集合的分区数。例如：a（4）=11，因为如果分区集是{1,2,3,4}，那么我们有1234、123|4、124|3、134|2、1|234、12|3|4、13|2|4、14|2|3、1|23 |4、1|24 |3和1|2|34-Emeric Deutsch公司，2006年10月28日
n将a（n+1）除以n=A014741号（n） ={1、2、6、18、42、54、126、162、294、342、378、486、882、1026…}-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月3日
（避开模式321、2413、3412、21534的排列数）减1-珍妮·卢克·巴里尔2007年11月1日，2008年3月21日
棱柱图Y_ n的色不变量。
高度为n-1的完整二叉树的标签数，这样从根到任何叶的每条路径都包含{1,2，…，n-1}中的每个标签一次迈克尔·维埃哈伯（Vielhaber（AT）gmail.com），2009年11月18日
另外，弱结合律X（（YZ）T）=（X（YZ，））T在带有n个开括号和n个闭括号的单词上生成的非平凡等价类的数目。同时还研究了n片叶子二叉树剪枝嫁接格中的join（resp.met）-不可约元素的个数Jean Pallo，2010年1月8日
该序列的非零项可以从从帕斯卡三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到，如下括号所示：
1;
1, 1;
{1}, 2, 1;
{1, 3}, 3, 1;
{1, 4, 6}, 4, 1;
{1, 5, 10, 10}, 5, 1;
{1, 6, 15, 20, 15}, 6, 1;
对于整数a、b，用a<+>b表示最小c>=a，使得汉明距离D（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。那么对于n>=3，a（n）=n<+>n。这有一个简单的解释：对于二进制中的n>=3，我们有一个（n）=（2^n-1）-n=“anti-n”-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月14日
a（n）是具有至少一对01的长度为n的二进制序列的数目-Branko外翻，2012年5月23日
a（n）是按以下方式构造的长度n个二进制单词的数量：选择两个位置，在其中放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置（可能没有），然后用0或1的任意字符串完成单词。因此a（n）=Sum_{k=2..n}（k-1）*2^（n-k）-杰弗里·克雷策2013年12月12日
如果没有第一个0:a（n）/2^n等于Sum_{k=0..n}k/2^k。例如：a（5）=57，57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32-鲍勃·塞尔科2014年2月25日
从（0,1,4,11，…）开始，这是（0,12,2,2，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月27日
同时给出了n三角蜂巢图中（非空）连通诱导子图的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月27日
a（n）是在最坏的情况下，使用（自底向上）heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换次数-鲁迪·范·弗利特2017年9月19日
具有n个参与者的大型网络，特别是社交网络的效用由该序列的a（n）项给出。这种说法被称为里德定律，请参阅维基百科链接-约翰内斯·梅耶尔2019年6月3日
a（n-1）是{1..n}的子集数，其中集合中的最大元素超过了下一个最大元素至少2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月8日
a（n-1）也是{1..n}的子集数，其中集合的第二个最小元素至少超过最小元素2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月9日
a（n+1）是{1..n}所有子集的最小元素之和。例如，对于n=3，a（4）=11；{1,2,3}的子集为{1}、{2}、}3}、[1,2}，{1,3}，[2,3}和[1,1,3}]，最小元素之和为11-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日
在不同比赛中，对n-1匹马、狗等进行“全场”下注的个人下注次数。每匹马等可以下注或不下注，下注2^n次。但是，按照惯例，单打（只在一场比赛中下注）不包括在内，因此下注总数减少了n。也不可能完全不下注，下注数量再减少1。因此，4匹马、狗等的全套是6个双人、4个三重和1个四匹马等的累加器。在英国的博彩中，对4匹马等的投注是洋基队的；5号，超级洋基队-保罗·杜克特2021年11月17日
长度为n且至少有两个1的二进制序列的数量。
a（n-1）是从n个元素中选择奇数个大于或等于3个元素的方法的数量。
a（n+1）是将[n]={1,2，…，n}拆分为两个（可能为空）互补间隔{1,2…，i}和{i+1，i+2，…，n}，然后从第一个间隔（2^i选项，0<=i<=n）中选择子集，从第二个间隔（n-i选项，0<=i<=n）选择一个块/单元（即子间隔）的方法数。
（结束）
n个行星系统中可能的连词数；例如，一个行星可以有0个连接，一个有两个行星，四个有三个行星（三对行星加上一个所有三个行星），依此类推-温迪·阿普尔比2023年1月2日
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参考文献
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O.Bottema，问题#562，Nieuw Archief voor Wiskunde，28（1980）115。
L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。编辑：《荷兰多德雷赫特：雷德尔》，第51和240-246页，1974年。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，第34页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.L.Baril和J.M.Pallo，二叉树的剪枝嫁接格《理论计算机科学》，4092008382-393。
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本杰明·海卢因·德梅尼布斯（Benjamin Hellouin de Menibus）和伊万·勒博格内（Yvan Le Borgne），一维“岩纸剪刀”循环元胞自动机的渐近行为，arXiv:1903.12622[数学.PR]，2019年。
帕斯卡·弗洛奎特（Pascal Floquet）、谢尔盖·多梅内克（Serge Domenech）和卢克·皮布洛（Luc Pibouleau），尖锐分离系统综合的组合数学：生成函数和搜索效率准则《工业工程与化学研究》，第33页，第440-443页，1994年。
帕斯卡·弗洛奎特（Pascal Floquet）、谢尔盖·多梅内克（Serge Domenech）、卢克·皮布洛（Luc Pibouleau）和赛义德·艾利（Said Aly），锐利分离系统合成组合数学中的一些补码《美国化学工程学会期刊》，39（6），第975-978页，1993年。
E.T.Frankel，数字微积分与有限差分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
J.W.Moon，比赛中没有旁路的弧线问题，组合理论期刊。B 21（1976年），第1期，第71-75页。MR0427129（55#165）。
J.M.Pallo，弱结合性和受限旋转《信息处理快报》，109，2009，514-517。
P.A.皮萨，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.皮萨，Kummer数，《数学杂志》，第21期（1947/1948），第257-260页。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，20（1968），8-16。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。Soc.，19（1968），8-16。[带注释的扫描副本]
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公式
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a（n）=2^n-n-1。
通用格式：x^2/（（1-2*x）*（1-x）^2）。
a（0）=0、a（1）=0，a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
对于Z中的所有n，a（0）=0，a（n）=2*a（n-1）+n-1。
a（n）=和{k=2..n}二项式（n，k）-保罗·巴里，2003年6月5日
a（n+1）=Sum_{i=1..n}Sum_{j=1..i}C（i，j）-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月7日
a（n+1）=2^n*和{k=0..n}k/2^k-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月26日
当i>1时，a（0）=0，a（1）=0、a（n）=Sum_{i=0..n-1}i+a（i）-杰拉尔德·麦卡维2004年6月12日
a（n+1）=和{k=0..n}（n-k）*2^k-保罗·巴里2004年7月29日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k+2）；a（n+2）=和{k=0..n}二项式（n+2,k+2）-保罗·巴里2004年8月23日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-k-1，k+1）*2^（n-k-2）*（-1/2）^k-保罗·巴里2004年10月25日
a（0）=0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}2^k-1-道格·贝尔2009年1月19日
a（n）=n*（2F1（[1,1-n]，[2]，-1）-1）-奥利维尔·热拉德2011年3月29日
例如：exp（x）*（exp（x）-1-x）；这是U（0），其中U（k）=1-x/（2^k-2^k/（x+1-x^2*2^（k+1）/；（连续分数，第三类，4步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（0）=0；a（1）=0；对于n>1:a（n）=和{i=1..2^（n-1）-1}A001511号（i） ●●●●-大卫·西格斯2019年2月26日
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例子
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G.f.=x ^2+4*x ^3+11*x ^4+26*x ^5+57*x ^6+120*x ^7+247*x ^8+502*x ^9+。。。
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MAPLE公司
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[seq（2^n-n-1，n=1..50）]；
#语法规范：
规范：=[S，{B=集合（Z，1<=卡），C=序列（B，2<=卡”），S=生产（B，C）}，未标记]：
结构：=n->combstruct[count]（规范，大小=n+1）；
seq（结构（n），n=0..33）#彼得·卢什尼2014年7月22日
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数学
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a[n]=n*（超几何PFQ[{1，1-n}，{2}，-1]-1）；表[a[n]，{n，1，30}](*奥利维尔·热拉德2011年3月29日*）
线性递归[{4，-5，2}，{0，0，1}，40](*文森佐·利班迪2015年7月29日*）
表[2^n-n-1，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月16日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）a000295 n=2^n-n-1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月25日
（岩浆）[0..40]]中[2^n-n-1:n//文森佐·利班迪2015年7月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。173018年（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
囊性纤维变性。A008949号,A000079号,A002662美元（部分金额），A002663号,A002664号,A035039号-A035042号,A000108号,A014741号,A130128号,A130330型,A131768号,A130321号,A131816号,A000975号,A016031号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（n+1）X（n+1”）板周长上的正方形数-乔恩·佩里2003年7月27日
方格网（或等效平面网4.4.4.4）的协调顺序。
显然，平面网的坐标顺序也是3.4.6.4-达拉·查维2014年11月23日
我确认这确实是平面网3.4.6.4的协调顺序。图形距离此网络中固定点n处的点基本上位于六边形上（参见链接中的插图）。
如果n=3k，k>=1，则六边形的每条边上有2k+1个节点。这将对六边形的角进行两次计数，因此壳中的点数为6（2k+1）-6=4n。如果n=3k+1，六边形六个边上的点数为2k+2（4倍）和2k+1（2倍），总计12k+10-6=4n。如果n=3k+2，数字是2k+2（4倍）和2k+3两倍，我们再次得到4n分。
该图显示了壳0到12，以及由壳9（绿色，36点）、壳10（黑色，40点）、壳体11（红色，44点）和壳12（蓝色，48点）组成的六边形。
从网上可以清楚地看到，这个周期3结构将永远延续下去，并建立了定理。
相反，对于4.4.4.4平面网，连续的壳是菱形而不是六边形，第n个壳（n>0）也包含4n个点。
当然，这两个网络是非常不同的，因为4.4.4.4具有正方形的对称性，而3.4.6.4仅具有镜像对称性（相对于点），并且具有正六边形相对于任何12边形中心的对称性。（结束）
同时也给出了二维分圆晶格Z[zeta_4]的配位序列。
二维伊辛模型的敏感性系列H_1（除以2）。
2 X n个二进制矩阵的数量同时避免了直角编号的多值模式（ranpp）（00,0）、（00；1）和（10；1）。矩阵a=（a（i，j））中ranpp（xy；z）的出现是一个三元组（a（i1，j1），a（i2，j2），a-谢尔盖·基塔耶夫2004年11月11日
几乎可以肯定，这也是Dual（3.3.4.3.4）相对于四价节点的配位顺序-汤姆·卡泽斯2020年4月1日
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链接
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Matthias Beck和Serkan Hosten，分圆多胞与分圆格的生长级数，arXiv:math/0508136[math.CO]，2005-2006。
皮埃尔·德拉哈普，论群体成长的史前史，arXiv：2106.02499[数学.GR]，2021年。
罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第20页第4.2节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
A.J.Guttmann，格子模型的可解性指标，离散数学。，217 (2000), 167-189.
安东·舒托夫和安德烈·马列夫，2-一致图的协调序列，Z·克里斯托勒。，235 (2020), 157-166. 请参见补充材料krb，顶点u_1。
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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公式
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通用名称：（（1+x）/（1-x））^2。例如：1+4*x*exp（x）-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
a（-n）=-a（n），除非n=0-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
a（n）=a（n-1）+4，n>1-文森佐·利班迪2010年12月31日
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例子
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将初始术语说明为正方形周长（参见Perry的上述评论）：
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.
. 1 4 8 12 16 20
（结束）
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数学
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f[0]=1；f[n]：=4 n；数组[f，59，0]（*或*）
加入〔｛1｝，范围〔4，232，4〕〕(*哈维·P·戴尔2011年8月19日*）
a[n]：=4 n+布尔[n==0]；(*迈克尔·索莫斯2019年1月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=4*n+！n}/*迈克尔·索莫斯2007年4月16日*/
（哈斯克尔）
a008574 0=1；a008574 n=4*n
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号; [3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型; [3.3.3.4.4] =A298022型,A298024型; [3.3.4.3.4] =A008574号,A296368型; [3.6.3.6] =A298026型,A298028型; [3.4.6.4] =A298029型,A298031型,A298033型; [3.12.12] =A019557号,A298035型; [4.4.4.4] =A008574号; [4.6.12] =1998年8月36日,A298038型,A298040型; [4.8.8] =A022144号,A234275号; [6.6.6] =A008458号.
20个2-均匀平铺的协调顺序，按照它们在Galebach目录中的出现顺序，以及它们在RCSR数据库中的名称（每个平铺两个顺序）：#1 krtA265035型,A265036型; #2每小时A301287型,A301289型; #3公里A301291型,A301293型; #4千升A301298型,A298024型; #5千卡A301299型,2013年3月01日; #6克朗A301674型,A301676型; #7千卢比A301670型,A301672型; #8千卡2012年3月91日,A301293型; #9克朗A301678型,A301680型; #10千克A301682型,A301684型; #11当心A008574号,A296910型; #12千赫A301686型,A301688型; #13 krfA301690,A301692型; #14克朗A301694型,A219529型; #15千卡A301708型,2017年3月10日; #16美元A301712型,A301714型; #17千焦A219529型,A301697型; #18克朗A301716型,A301718型; #19克朗A301720型,A301722型; #20千帕A301724型,2017年3月26日.
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 16, 24, 28, 30, 31, 32, 48, 56, 60, 62, 63, 64, 96, 112, 120, 124, 126, 127, 128, 192, 224, 240, 248, 252, 254, 255, 256, 384, 448, 480, 496, 504, 508, 510, 511, 512, 768, 896, 960, 992, 1008, 1016, 1020, 1022, 1023
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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以2为底的数字按非递增顺序排列的数字。
可能被称为“nialpdromes”。
每个系数等于1的多项式的前导项和后面的0，计算值为2。例如，a（13）=x^4+x^3+x^2在2，a（14）=x*4+x*3+x^2+x在2-本·保罗·瑟斯顿2008年1月11日
作为一个由行开始的三角形：
1;
2, 3;
4, 6, 7;
8, 12, 14, 15;
16, 24, 28, 30, 31;
...,
第一个区别是A057728美元= 1; 1; 1; 1; 2,1; 1; 4,2,1; 1; 8,4,2,1; 1; ... 即减小2的幂，由另一个“1”隔开-M.F.哈斯勒2009年5月6日
除第一项外，数字是2的幂或2的一些连续幂之和-奥马尔·波尔2013年2月14日
可以用扭环（约翰逊）计数器数字生成的数字。也就是说，a（n）的二进制数字对应于存储在移位寄存器中的二进制数字，其中第一位存储元件的输入位是最后一个存储元件的反相输出。从所有0开始后，通过旋转存储的位来获得每个新状态，但在每个状态转换时反转到达第一个位置的最后一个位（请参阅链接）。
示例：对于由三位表示的a（n）
二元的
a（5）=4->100最后一位=0
a（6）=6->110第一位=1（倒置前一个数字的最后一位）
a（7）=7->111
对于由四位表示的a（n）
二元的
a（8）=8->1000
a（9）=12->1100最后一位=0
a（10）=14->1110第一位=1（倒置前一个数字的最后一位）
a（11）=15->1111
（结束）
表示为该序列项的基数中的2的幂必须始终包含至少一个数字，该数字也是2的幂。这是因为2^i mod（2^i-2^j）=2^j，这意味着最后一个数字总是通过2的幂循环（或者如果i=j+1，则第一个数字是2的幂，其余数字是尾随零）。此序列中唯一已知的具有此属性的非成员是5-伊利·戈尔登2017年9月5日
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链接
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S.M.Shabab Hossain、Mahmudur Rahman和M.Sohel Rahmin，用光基器件求解精确覆盖问题的广义形式《光学超级计算》，计算机科学课堂讲稿，2011年，第6748/2011卷，23-31页，DOI:10.1007/978-3642-22494-2_4。
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公式
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a（n）=2^s（n）-2^（（s（n）^2+s（n）-2n）/2），其中s（n”）=天花板（（-1+sqrt（1+8n））/2）-萨姆·亚历山大2005年1月8日
对于1<n和k，a（n）=2^k+a（n-k-1）=A003056号（n-2）。从右到左读取T（r，c）=2^r-2^c的行表示0<=c<r，产生以下序列：1；2, 3; 4, 6, 7; 8, 12, 14, 15; ... -弗兰克·埃勒曼2001年12月6日
a（n+1）=（2^（n-r（r-1）/2）-1）2^-M.F.哈斯勒2009年5月6日
通用公式：（x^2/（（2-x）*（1-x）））*（1+Sum_{k>=0}x^（（k^2+k）/2）*（1+x*（2^k-1）））。总和与雅可比θ函数有关-罗伯特·伊斯雷尔2015年2月24日
a（n）=a（n-1）+a（n-d）/a（d*（d+1）/2+2），如果n>1，d>0，其中d=A002262号（n-2）-宇春记，2020年5月11日
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例子
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a（22）=64=32+32=2^5+a（16）=2^A003056号（20） +a（22-5-1）。
a（23）=96=64+32=2^6+a（16）=2^A003056号（21）+a（23-6-1）。
a（24）=112=64+48=2^6+a（17）=2^A003056号（22）+a（24-6-1）。
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MAPLE公司
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a： =proc（n）local n2，d:n2:=convert（n，base，2）：d:={seq（n2[j]-n2[j-1]，j=2..nops（n2））}：如果n=0，则0 elif n=1，则1 elif d={0，1}或d={0}或d={1}，则n其他fi结束：seq（a（n），n=0..2100）#Emeric Deutsch公司2006年4月22日
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数学
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并集[展平[表[2^i-2^j，{i，0，100}，{j，0，i}]](*T.D.诺伊2011年3月15日*）
选择[Range[0，2^10]，NoneTrue[Differences@IntegerDigits[#，2]，#>0&]&](*迈克尔·德·维利格2017年9月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，2500，如果（prod（k=1，长度（二进制（n）））-1，组件（二进制（n），k）+1-组件（二进制，k+1））>0，打印1（n，“，”））
（PARI）A023758号（n） =我的（r=圆形（sqrt（2*n-））；（1<<（n-r*（r-1）/2）-1）<<（r*（r+1）/2-n）
A023758号（n，show=0）={my（a=0）；while（n-，show&print1（a“，”）；a=vecsort（binary（a+1））；a*=向量（#a，j，2^（j-1））~）；a}\\M.F.哈斯勒，2009年5月6日
（PARI）为（n）=如果（n<5，1，n>>=估值（n，2）；n++；n> >估价（n，2）==1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年1月4日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（[0]），t）；对于（i=1，logint（lim\1+1，2），t=2^i-1；而（t<=lim，listput（v，t））；t*=2））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月3日
（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）
a023758 n=a023758_列表！！（n-1）
a023758_list=0:f（单例1），其中
f s=x：f（如果是偶数x，则插入z s’，否则插入z$插入（z+1）s’）
其中z=2*x；（x，s'）=删除查找最小值s
（Python）
定义a_next（a_n）：返回（a_n|（a_n>>1））+（a_n&1）
a_n=1；a=[0]
对于范围（55）中的i：a.append（an）；a_n=下一个（a_n）#福尔克·胡夫纳2022年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001855号
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| 排序数：通过二进制插入对n个元素排序的最大比较数。
（原名M2433 N0963）
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+10
24
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0, 1, 3, 5, 8, 11, 14, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 135, 141, 147, 153, 159, 165, 171, 177, 183, 189, 195, 201, 207, 213, 219, 225, 231, 237, 243, 249, 255, 261, 267, 273, 279, 285
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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等于大小为n-1的列表中成功进行二进制搜索的预期探测数的n-1倍。
这也是合并排序的最大比较次数-李瑶霞，2015年11月18日
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，Reading，MA，第3卷，第5.3.1节，等式（3）；第节。6.2.1 (4).
J.W.Moon，比赛主题。霍尔特，纽约州，1968年，第48页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
陶天兴，《关于12点的最优安排》，载《组合数学、计算与复杂性》第229-234页，杜德华、胡国伟主编，Kluwer，1989年。
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链接
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迈克尔·阿尔伯特、迈克尔·恩根、杰·潘通和文森特·瓦特，通用分层排列，arXiv:1710.04240[math.CO]，（2017）。
迈克尔·阿尔伯特、迈克尔·恩根、杰·潘通和文森特·瓦特，通用分层排列，《组合数学电子杂志》。2018年第25（3）卷，第3.23页。
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98 (1992), 163-197.
黄显奎（Xien-Kuei Hwang）、斯万特·简森（Svante Janson）和蔡宗希（Tsung-Hsi Tsai），分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡，arXiv:2210.10968[cs.DS]，2022年，第36页。
Tanya Khovanova，没有巧合，arXiv预印本1410.2193[math.CO]，2014。
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公式
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设n=2^（k-1）+g，0≤g≤2^（k-1）；则a（n）=1+n*k-2^k-N.J.A.斯隆2007年12月1日
a（n）=总和{k=1..n}天花板（log_2k）=n*天花板（log_2 n）-2^天花板（log_2（n））+1。
a（n）=a（地板（n/2））+a（天花板（n/2。
G.f.：x/（1-x）^2*和{k>=0}x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
a（1）=0，对于n>1，a（n）=上限（n*a（n-1）/（n-1”+1）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月26日
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MAPLE公司
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a:=进程（n）局部k；k:=ilog2（n）+1；1+n*k-2^k结束#N.J.A.斯隆，2007年12月1日[编辑：彼得·卢什尼2017年11月30日]
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数学
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a[n_？EvenQ]：=a[n]=n+2a[n/2]-1；a[n_？奇数Q]：=a[n]=n+a[（n+1）/2]+a[（n-1）/2]-1；a[1]=0；a[2]=1；表[a[n]，{n，1，58}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年11月23日，巴黎之后*）
a[n_]：=n IntegerLength[n，2]-2^Integer-Length[n，2]+1；
表[a[n]，{n，1，58}](*彼得·卢什尼2017年12月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<2，0，n-1+a（n\2）+a（（n+1）\2））
（PARI）a（n）=局部（m）；如果（n<2，0，m=长度（二进制（n-1））；n*m-2^m+1）
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a001855 n=a001855_列表！！n个
a001855_list=0:zipWith（+）[1..]（zipWise（+）hs$tail hs）其中
hs=concat$转置[a001855_list，a001855 _list]
（Python）
s、 i，z=0，n-1，1
而0≤i:s+=i；i-=z；z+=z
返回s
（Python）
定义A001855号（n） ：返回n*（m:=（n-1）.bit_length（））-（1<<m）+1#柴华武2023年3月29日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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M.D.McIlroy（McIlroy（AT）dartmouth.edu）的补充评论
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状态
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经核准的
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A119258号
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| 按行读取的三角形：T（n，0）=T（n、n）=1，对于0<k<n：T（n，k）=2*T（n-1，k-1）+T（n-1，k）。 |
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+10
21
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 7, 1, 1, 7, 17, 15, 1, 1, 9, 31, 49, 31, 1, 1, 11, 49, 111, 129, 63, 1, 1, 13, 71, 209, 351, 321, 127, 1, 1, 15, 97, 351, 769, 1023, 769, 255, 1, 1, 17, 127, 545, 1471, 2561, 2815, 1793, 511, 1, 1, 19, 161, 799, 2561, 5503, 7937, 7423, 4097, 1023, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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T（n，n-k）是n维半立方体的子复合体的（k-1）-st Betti数，通过删除至少k维的所有半立方体形面的内部而获得。
T（n，n-k）是R^n中k-等实超平面排列的补的（k-2）-nd Betti数。
T（n，n-k）给出了确定给定n个实数的k个实数是否相等的问题复杂性的下限。
T（n，n-k）是数值分析中Kronrod-Patterson-Solyak体积公式使用的节点数。（结束）
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链接
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尼科尔·冈萨雷斯（Nicolle González）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、戈登·罗哈斯·柯比（Gordon Rojas Kirby）、玛丽亚娜·斯米特·维加·加西亚（Mariana Smit Vega Garcia）和布里吉特·艾琳·坦纳，带符号置换的Pinnacle集，arXiv:2301.02628[math.CO]，2023。
R.M.Green和Jacob T.Harper，多面体上的Morse匹配，arXiv预印本arXiv:1107.4993[数学.GT]，2011。
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公式
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当n＞0时，T（2*n，n-1）＝T（2*n-1，n）；
T（n，0）=T（n，n）=1；
T（n，k）=[k<=n]*（-1）^k*和{i=0..k}（-1）i*C（k-n，k-i）*C（n，i）-保罗·巴里2007年9月28日
T（n，k）=[k<=n]求和_{i=n-k.n}（-1）^（n-k-i）*2^（n-i）*C（n，i）。
T（n，k）=[k<=n]和{i=n-k.n}C（n，i）*C（i-1，n-k-1）。
T（n，n-k）的G.f:x^k/（（1-2x）^k）*（1-x））。（结束）
T（n，k）=R（n，k，2）其中R（n、k、m）=（1-m）^（-n+k）-m^（k+1）*Pochhammer（n-k，k+1）*hyper2F1（[1，n+1]，[k+2]，m）/（k+1-彼得·卢什尼2014年7月25日
第n行多项式R（n，x）等于函数（1+2*x）^n/（1+x）关于0的第n次泰勒多项式。例如，对于n=4，我们有（1+2*x）^4/（1+x）=1+7*x+17*x^2+15*x^3+x^4+O（x^5）。
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例子
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三角形开头为：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 5, 7, 1;
1, 7, 17, 15, 1;
1, 9, 31, 49, 31, 1;
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MAPLE公司
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#更一般的情况是m=2：
A119258号：=（n，k，m）->（1-m）^（-n+k）-m^（k+1）*pochhammer（n-k，k+1）*超几何（[1，n+1]，[k+2]，m）/（k+1！；
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数学
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T[n_，k_]：=二项式[n，k]超几何2F1[-k，n-k，n-k+1，-1]；
表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年9月10日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a119258 n k=a119258_tabl！！不！！k个
a119258_row n=a119258-tabl！！n个
a119258_list=连接a119258-tabl
a119258_tabl=迭代（\row->zipWith（+）
（[0]++init行++[0]）$zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[1]
（PARI）T（n，k）=如果（k==0||k==n，1，2*T（n-1，k-1）+T（n-1,k））\\G.C.格鲁贝尔2019年11月18日
（岩浆）
函数T（n，k）
如果k eq 0或k eq n，则返回1；
否则返回2*T（n-1，k-1）+T（n-1，k）；
结束条件：；
返回T；
末端函数；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年11月18日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
if（k==0或k==n）：返回1
else：返回2*T（n-1，k-1）+T（n-1，k）
[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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