有理函数乘法系数
迈克尔·索莫斯2014年12月11日
michael.somos@gmail.com
(草案第11版)

1乘法序列的有理母函数

任何数字序列都有一个相关的生成函数(GF)。例如,Fibonacci序列与GF相关/(一)- - 2),一个有理函数. 考虑一个乘法序列。也就是说,(1) =1和(n ) =(n)()对于所有正整数n彼此相对地充注。它的女朋友f() =(一)+(二)2+(三)+ ... 曾经是理性的吗?答案是肯定的,如果f() =/(一)- )以及(n)=1如果n>这是最简单的例子(n)对所有人来说都不是零n>0。另一个是f() =/(一)- 2)以及(n)=1如果n>0是奇数,并且(n)=0 否则。现在考虑有理函数及其幂级数展开
f() =(一)- )e1(一)- 2)e2= - e1 2+ ((e12 - e1)/二- e2)+ ...
哪里e1e2是整数。搜索发现f()是11对整数的乘法序列的GF[e1,e2]具体如下:
[-4,1][-2,0][-1,0][-1,1],[0,-1] ,[0,0],[0,1],[1,-1] ,[1,0],[2,-2] ,[4,-3] 一。
这些对的乘法整数序列是一种简单形式。一些代数足以证明这个列表是完整的。允许更多因素f()增加了搜索和代数证明的难度。

2猜想1

猜想1:存在一组有限的有理函数的形式
f() =(一)- )e1(一)- 2)e2... (一)- n)en
一些整数e1, ...,en这是乘法整数序列的GF,前提是我们排除了一些可预测的无限族
f() =(一)- n-1) = - n
哪里n>1。还有,当且仅当n=pk,n>1和p那是最好的
f() =(一)- )-1(一)- n-1)(一)- n)-1
是乘法的。请注意f()在片场什么时候-f(-)是因为 (1+)=(1)- 2)(1/1)- )等等。

乘法序列的齐次推广

现在假设(0)和(1) 非零。例如,考虑序列(n)用它的GF
g()=(1)- )2/(一)- 2)=1-2+二2 -2+ ... .
那么(一)(n ) =(n)()对于所有正整数n相对地彼此相配。这是乘法序列的齐次推广。和第一节一样,但是没有,考虑
g()=(1)- )e1(一)- 2)e2=1- e1 + ((e12 - e1)/二- e2)2+ ...
哪里e1e2是整数。搜索发现g()是10对整数的 齐次乘法序列的GF[e1,e2]如下:
[-4,2][-2,1][-2,2][-1,0][-1,1],[1,-1] ,[1,0],[2,-1] ,[2,0],[4,-2] 一。
同样,代数足以证明列表是完整的。

4猜想2

猜想二:存在一个有限的有理函数集的形式
g()=(1)- )e1(一)- 2)e2... (一)- n)en
一些整数e1, ...,en这是齐次 乘法整数序列的GF,前提是我们排除了一些可预测的无穷族。例如,
g()=(1)- )-1(一)- n)-1(一)- n+1)
齐次乘法当且仅当n=pk,n>1和p是质数。请注意g()在片场什么时候g(-)是的。

5下一步工作

这两个猜想中的有理函数都与 Ramanujan的Lambert级数有关。Juan B.Gil和Sinai Robins于2003年提出了一个关于幂级数上的 Hecke算子的有理函数的研究。斋藤敬二在2001年研究了与eta产物有关的分圆函数。具有乘法系数的简单形式的有理函数与Yves Martin 1996年发表的一篇关于乘法eta商的论文有关。


翻译自文件EX 通过TTH,版本3.82。
2014年12月11日01:42。