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超立方体图形


HypercubeGraphs(HypercubeGraphs)

这个n个-超立方体图形,也称为n个-立方体图和通常表示的问题(_n)2 ^n个,是顶点为2千符号ε_1, ...,εn哪里ε_i=0或1,两个顶点相邻若(iff)这些符号在一个坐标上完全不同。

的图形n个-超立方体图笛卡尔积属于路径图 P_2×。。。方形P_2_()_(n). Then个-超立方体图也与哈斯图表对于布尔代数n个元素。

HypercubeGraphIsometric嵌入

上图显示了一些小的正交投影n个-使用每个顶点集的前两个的超立方体图属于n个协调。请注意问题3上面是通常的投影立方体沿着空间对角线使得顶部和底部顶点重合,因此立方体的八个顶点中只有七个可见。此外,三条中心边连接到上顶点,而其他三条边连接到下顶点。

超立方体图可以在Wolfram语言使用命令HypercubeGraph(HypercubeGraph)[n个],超立方体图的预计算属性在沃尔夫拉姆语言作为图形数据[{“超级多维数据集”n个}]。

特殊情况总结如下表所示。

所有超立方体图都是哈密顿量,以及任何哈密顿循环标记超立方体图的定义反射的二进制格雷码(Skiena 1990年,第149页;缪策2024)。超立方体图也是优雅的(Maheo 1980,Kotzig 1981,Gallian 2018)。超立方体图也是反足的.

上的(有向)哈密顿路径数n个-超立方体图n=1, 2, ... 是0、0、48、48384、129480729600。。。(组织环境信息系统A006070号; 扩展了Gardner 1986的结果,第23-24页),而(定向)哈密顿圈的数量为0、2、12,2688, 1813091520, ... (骚扰等。1988; 组织环境信息系统A091299号).

数字的闭合公式(_k)属于循环长度的k在里面问题(_n)由提供c_k=0对于k奇数和

碳四=2^(n-3)(n-1)n
(1)
碳六=(2^n(n-2)(n-1)n)/3
(2)
c_8=2^(n-4)(n-2)(n-1)n(27n-79)
(3)
c(10)=(2)(n-1)(n-3)(n-2)(n-1)(124n-441))/5
(4)

(E.Weisstein,2014年11月16日和2023年4月19日)。

超立方体图是距离传递的因此也定距的.

1954年,Ringel证明了超立方体图问题(_n)承认哈密尔顿分解无论何时n个是2的幂(Alspach 2010)。阿尔斯帕奇等。(1990)表明问题(_n)对于n> 2个承认汉密尔顿分解,分解.

HypercubeGraphUnitDistance超立方体图形单位距离

对于n> =1超立方体图也是单位距离(Gerbracht 2008),如前几个超立方体图所示。这个可以通过归纳法确定n个-从单位距离嵌入开始的超立方体图正方形图,通过翻译嵌入在前面任何步骤中都没有选择的方向上的一个单元(只有有限多个已使用单位平移向量,因此必须有以前未使用的方向),将平移中的顶点与原始中的相应顶点连接起来一个,然后重复,直到n个-构造了超立方体图。

确定控制数 伽马(Q_n)本质上很难(Azarija等。2017)截至2018年4月,已知的数值仅为n=9(奥斯特格德和布拉斯,2001年,贝托洛等。2004). 阿塞拜疆等。(2017)表明全部的支配数超立方体图的伽马_t(Q_(n+1))=2伽马(Q_n).

问题(_n)是平面的n≤3,也有图形交叉 cr(Q_n)对于n≤3.Eggleton和Guy(1970)声称发现了图表交叉编号属于cr(Q_n)<=a(n)对于n> =3哪里

a(n)=5/(32)4^n-|_(n^2+1)/2_|2^(n-2)
(5)
=2^(n-5)(5·2^n-4n^2+2(-1)^n-2)。
(6)

的前几个值n=3, 4, ... 分别为0、8、56、352、1760、8192、35712。。。(组织环境信息系统A307813型).

随后发现了一个错误,但Erdős和Guy(1973)随后推测,原来的边界不仅是正确的(虽然尚未证明),而且cr(Q_n)=a(n)(克兰西等。2019).虽然众所周知铬(Q_4)=8较大值的精确值n个未知(克兰西等。2019). 然而,上部边界可以使用QuickCross(Haythorpe)直接计算,它对应于的Eggleton和Guy值n≤6(E.Weisstein,2019年4月30日)。此外,Erdős and Guy(1973)猜想现在已经被驳斥,因为众所周知cr(Q_7)<=174<a(7)(克兰西et(等)阿尔。2019).


另请参见

立方连通循环图立方图形规则距离图表距离传递图斐波那契立方图折叠多维数据集图形超立方体方形图表Tesseract图表

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工具书类

Alspach,B.《三个哈密尔顿分解问题》,西澳大利亚大学。2010年5月11日。http://symomaga.files.wordpress.com/2010/05/talk8.pdf.阿尔斯帕奇,B。;贝蒙德,J.-C。;和Sotteau,D.“分解成循环”,I.哈密尔顿分解。“在诉讼程序北约循环与射线高级研究研讨会:有限元基本结构以及1987年5月3日至9日在魁北克蒙特利尔举行的无限图(编辑G.Hahn,G.Sabidussi和R.E。伍德罗)。多德雷赫特,荷兰:Kluwer,第9-18页,1990Azarija,J。;亨宁,医学硕士。;和Klavíar,S.“(总计)棱镜的统治。"电子。J.组合。 24,1号,纸张1.19, 2017.http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v24i1p19.贝托洛,R。;奥地利共和国。J。;和Weakley,W.D。“更新二元/三元混合覆盖码表。"J.组合设计。 12157-176, 2004.北卡罗来纳州比格斯。代数图论,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第161页,1993克兰西,K。;海索普,M。;和Newcombe,A.“图形综述具有已知或有界交叉数。“2019年2月15日。https://arxiv.org/pdf/1901.05155.pdf.艾格尔顿,钢筋混凝土。和盖伊·R·K。n个-立方体。"不是。阿默尔。数学。Soc公司。 17, 757, 1970.埃尔德,P.和Guy,R.K。“交叉数问题。”阿默尔。数学。每月 8052-58, 1973.Gallian,J.“图形标记的动态调查”Elec.J.组合。 DS6系列2018年12月21日。https://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS6.加德纳,M.《二进制格雷码》打结甜甜圈和其他数学娱乐。纽约:W.H。弗里曼,第23-24页,1986年。E.H.Gerbracht-A.“关于单位距离连通三次对称图的可嵌入性。“Kolloquiumüber Kombinatorik。德国马格德堡。2008年11月15日。格罗斯,J.T。和耶伦,J。图表理论及其应用。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第14页,1999年。哈拉里,F、。;Hayes,J.P。;和Wu,H.-J.“超立方体图理论综述”计算。数学。申请。 15, 277-289, 1988.M.Haythorpe,“快速穿越——穿越数字问题。"http://www.flinders.edu.au/science_engineering/csem/research/programs/flinders-hamiltonian-cycle-project/quickcross.cfm.科齐格,A.“将完全图分解为同构立方体。”J.组合。第。 311981年,第292-296页。Maheo,M.《优美的图形》光盘。数学。 29, 39-46, 1980.Mütze,T.“论汉密尔顿由相交集系统定义的图中的圈。"不是。阿默尔。Soc公司。 74583-592, 2024.奥地利共和国。J。和美国布拉斯。“关于长度为9且覆盖半径为1的最优二进制码的大小。”IEEE传输。通知。第。 47, 2556-2557, 2001.斯基纳。《超立方体》§4.2.5实施离散数学:组合数学和图论与数学。阅读,马萨诸塞州:Addison-Wesley,第148-150页,1990年。新泽西州斯隆。答:。序列A006070号A091299号A307813型在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

超立方体图形

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Hypercube Graph。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HypercubeGraph.html

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