搜索： a008574-编号：a00857四
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A250120型
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| 平面网3.3.3.3.6（也称为fsz网）的协调顺序。 |
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+10
6134
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1, 5, 9, 15, 19, 24, 29, 33, 39, 43, 48, 53, 57, 63, 67, 72, 77, 81, 87, 91, 96, 101, 105, 111, 115, 120, 125, 129, 135, 139, 144, 149, 153, 159, 163, 168, 173, 177, 183, 187, 192, 197, 201, 207, 211, 216, 221, 225, 231, 235
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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共有十一种均匀（或阿基米德）平铺（或平面网），顶点符号为3^6、3^4.6、3^3.4^2、3^2.4.3.4、4^4、3.4.6.4、3.6.3.6、6^3、3.12^2、4.6.12和4.8^2。Grünbaum和Shephard（1987）是最好的参考。
a（n）是距离任何固定顶点的图形距离n处的顶点数。
Mathematica笔记本可以计算30或40次迭代，并用句点5进行着色。如果你想的话，你也可以改变图像。这些图表更适合分析模式的5个迭代块。您可以看到，在迭代过程中，所有圆周碎片都保持了形状，并向外平移了大约sqrt（21）的距离（相对于小三角形边缘），即较大菱形单元的长对角线的长度。推测的重现应该来自对翻译作品之间如何出现新作品的分析-布拉德利·克莱2014年11月26日
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参考文献
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Branko Grünbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案。W.H.Freeman，纽约，1987年，图2.1.5，第63页。
Marjorie Senechal，《准晶与几何》，剑桥大学出版社，1995年，图1.10，第1.3节，第13-16页。
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链接
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布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
N.J.A.斯隆，均匀平面网及其A数【Grünbaum和Shephard（1977）的注释扫描图】
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第1部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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公式
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根据Darrah Chavey、Bradley Klee和Maurizio Paolini的计算，有一个强烈的推测，这个序列的第一个差异是4、4、6、5、5、4、5、五、五、四、六、四、五、。。。，也就是说，4后面跟着（4,6,4,5,5）重复。
这意味着序列满足重现性：
对于n>2，a（n）=a（n-1）+{n==0,3（mod 5），4；n==4（mod五），6；n==1,2（mod五中），5}
（来自Darrah Chavey）
并具有生成功能
（x^2+x+1）*（x^4+3*x^3+3*x+1）/（（x^4+x^3+x^2+x+1）x（x-1）^2）
以上所有猜测都是正确的，如需证明，请参阅我与Chaim Goodman-Strauss合著的文章链接-N.J.A.斯隆2018年1月14日；链接于2018年3月26日添加
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数学
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系数列表[级数[（x^2+x+1）（x^4+3x^3+3x+1）/（（x^4+x^3+x^2+x+1））（x-1）^2），{x，0，80}]，x]（*或*）线性递归[{1，0，0，1，-1}，{1，5，9，15，19，24，29}，60](*哈维·P·戴尔2018年5月5日*）
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黄体脂酮素
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Maurizio Paolini 2014年11月23日对C程序的评论（见链接）：基本上，我所做的是将网络变形到积分格上，连接从东北到西南水平、垂直或对角排列的节点，将坐标（I，j）满足I+2*j=0 mod 7的节点标记为不可访问。然后，该代码计算从每个节点到网格中心节点的距离。
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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a（11）-a（49），Maurizio Paolini，2014年11月23日
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状态
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经核准的
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A001844号
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| 居中正方形数：a（n）=2*n*（n+1）+1。两个连续正方形的和。此外，考虑所有按Z递增排序的勾股线三元组（X，Y，Z=Y+1）；然后序列给出Z值。
（原名M3826 N1567）
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321
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1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, 4513
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，表示为
...2...
……注。。
…4.编号。
a（n）=1+3+5+…+2*n-1+2*n+1+2*n-1+…+3 + 1. -阿玛纳斯·穆尔西2001年5月28日
奇数k的形式（k^2+1）/2的数字。
（y（2x+1））^2+（y（2 x ^2+2x））^2=（y（x ^2+2 x+1））。例如，设y=2，x=1；(2(2+1))^2 + (2(2+2))^2 = (2(2+2+1))^2, (2(3))^2 + (2(4))^2 = (2(5))^2, 6^2 + 8^2 = 10^2, 36 + 64 = 100. - 格伦·考克斯（igloos_r_us（AT）canada.com），2002年4月8日
a（n）也是3×3幻方的数量，和为3（n+1）沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月11日
对于n>0，a（n）是最小的k，使得zeta（2）-Sum_{i=1..k}1/i^2<=zeta（3）-Sum_{i=1..n}1/i ^3-贝诺伊特·克洛伊特，2002年5月17日
具有2X（n+1）最小边界矩形的凸多面体数。
如果X是n集，并且Y和Z不相交X的2个子集，则a（n-4）等于X的4个子集与Y和Z相交的数量-米兰Janjic2007年8月26日
[1,4,4,0,0,0，…]的二项式变换；=的二项式逆变换A001788号: (1, 6, 24, 80, 240, ...). -加里·亚当森2007年9月2日
这样丢番图方程x^3-y^3=x*y+n有一个y=x-1的解。如果该解是（x，y）=（m+1，m），那么m^2+（m+1）^2=n。注意，这个丢番图方程是一条椭圆曲线，（m+1,m）是它上面的一个整数点-詹姆斯·布登哈根2008年8月12日
数字n，使得（n，n，2*n-2）是具有整数面积的等腰三角形的边。另外，n使得2*n-1是一个正方形-詹姆斯·布登哈根2008年10月17日
a（n）也是具有n+1个不同奇数部分的自共轭分区的最小权重-奥古斯汀·穆纳吉2008年12月18日
以“1”开头：（1，1，5，13，25，41，…）其中a（n）=2n*（n-1）+1，所有正方形数元组（X-Y，X，X+Y）都由（（m*（a（n-道格·贝尔2009年2月27日
等于（1，2，3，…）与（1，3，4，4，…）卷积。a（3）=25=（1，2，3，4）点（4，4，3，1）=（4+8+9+4）-加里·亚当森2009年5月1日
一次取两个平方的连续和Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年5月18日
等于与（1，2，2，…）卷积的奇数-加里·亚当森2009年5月25日
有限连分式[n，1,1，n]=（2n+1）/（2n^2+2n+1）=（2n+1）/a（n）；收敛的前两个分母的平方=a（n）。例如，[4,1,1,4]的收敛性和值=1/4，1/5，2/9，9/41，其中4^2+5^2=41-加里·亚当森2010年7月15日
平方开金字塔数；也就是说，高度为n的方形金字塔中只有表面节点而没有底部节点的元素数。（结束）
对于k>0，整数上的x^4+x^2+k因子if sqrt（k）在此序列中-詹姆斯·布登哈根2010年8月15日
从毕达哥拉斯三元组中创建简单的连分式，得到[2n+1；2n^2+2n，2n^2+2n+1]；它的值等于有理数2n+1+a（n）/（4*n^4+8*n^3+6*n^2+2*n+1）-J.M.贝戈2011年9月30日
a（n），n>=1，在其素数因式分解中，只有形式为4*k+1的素数，即同余1（mod 4）（参见A002144号). 这是因为a（n）是两个平方和奇数的原始和。参见Niven-Zuckerman-Montgomery参考文献中的定理3.20，第164页。例如，a（3）=25=5^2，a（6）=85=5*17-沃尔夫迪特·朗2012年3月8日
对于所有n，a（n）与1（mod 4）同余。
a（n）的数字根形成一个纯周期回文9圈1，5，4，7，5，7，4，5，1。
a（n）的单位数字构成一个纯周期回文5圈1，5，3，5，1。
（结束）
|x|+|y|<=n的整数解（x，y）的数目。几何上：具有顶点（n，0）、（0，-n）、（-n，0）和（0，n）的正方形内的格点数目-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月18日
（a（n）-1）/a（n）=2*x/（1+x^2），其中x=（n-1）/n。注意，在这种形式下，这是根据狭义相对论得出的速度加法公式（两个相对运动速度慢于c的物体在静止观测器中的相对运动速度似乎比c慢1/（n））-克里斯蒂安·安德森2013年5月20日
当然，a（n）也是2-向量（n，n+1）（或（n+1，n））与其自身的标量积。欧氏2-空间上Clifford代数中（n，n+1）作为向量的唯一逆是（1/a（n））（0，n，n+1,0）（与其他向量类似）。通常，这种非零向量v（Cl_2中的奇数元素）的唯一逆是v^（-1）=（1/|v|^2）v。注意，对于任何非零向量，相对于标量积的逆都不是唯一的。参见P.Lounesto参考，章节。1.7-1.12，第7-14页。另请参阅2014年10月15日的评论A147973号. -沃尔夫迪特·朗2014年11月6日
基于5细胞von Neumann邻域，由“规则574”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月13日
a（n）是（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^4-帕特里克·麦克纳布2016年12月24日
正整数三角形数组中奇长行的中心元素。a（n）是这个三角形的第（2*n+1）行中的数字的平均值-大卫·詹姆斯·西卡莫尔，2018年8月1日
a（n）出现在FiveThrityEight网站上，作为“Riddler Express”谜题的解决方案。2022年1月21日的问题和2022年2月28日的问题（解决方案）提出了以下难题，并提供了证据将一张方形纸对折，得到一个矩形。再次折叠，得到一个正方形，其大小为原始正方形的1/4。然后在折叠好的纸上切n个切口。a（n）是切割后展开的纸张的最大数量-曼弗雷德·博尔根斯2022年2月22日
a（n）是n阶六边形中含有12*n^2个单元的2X2个三角形数量的（1/6）倍-东威公园2024年2月6日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第3页。
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》。纽约：多佛，第125页，1964年。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第81页。
佩蒂·劳内斯托（Pertti Lounesto），《克利福德代数与旋量子》（Clifford Algebras and Spinors），第二版，剑桥大学出版社，2001年。
S.Mukai，不变量和模简介，剑桥，2003；见第483页。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Travers等人，《神秘的遗失证明》，《使用高等代数》（1976年），第27页。
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链接
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Matthias Beck、Moshe Cohen、Jessica Cuomo和Paul Gribelyuk，“幻方”和超立方体的数量，arXiv:math/021013[math.CO]，2002-2005。
J.A.De Loera、D.C.Haws和M.Koppe，拟阵多项式和拟阵的埃尔哈特多项式，arXiv:0710.4346[math.CO]，2007；离散计算。地理。，42 (2009), 670-702.
D.C.霍斯，拟阵【断开链接，2017年10月30日】
D.C.霍斯，拟阵【Matthias Koeppe网站上的副本】
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克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，2004年第7卷。
G.Kreweras，细分市场的繁荣1973年，巴黎大学统计研究所，Cahier 20，Cahiers Bureau Universityaire Recherche Opérationnelle。
G.Kreweras，细分市场的繁荣巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第20号（1973年）。（带注释的扫描件）
Mitchell Paukner、Lucy Pepin、Manda Riehl和Jarred Wieser，任务优先姿势中的模式回避，arXiv:1511.00080[math.CO]，2015-2016年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
John A.Jr.Rochowicz，调和数：见解、近似和应用《教育电子表格》（eJSiE），2015年，第8卷：第页。第4条。
David James Sycamore，三角形阵列
B.K.Teo和N.J.A.Sloane，多边形和多面体簇中的幻数，无机。化学。24 (1985), 4545-4558.
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公式
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a（n）=2*n^2+2*n+1=n^2+（n+1）^2。
a（n）=1/实（z（n+1）），其中z（1）=i，（i^2=-1），z（k+1）=1/（z（k）+2i）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年8月6日
通用格式：（1+x）^2/（1-x）^3。
例如：exp（x）*（1+4x+2x^2）。
a（n）=a（n-1）+4n。
a（-n）=a（n-1）。
a（n）=1+总和{j=0..n}4*j.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=和{k=0..n+1}（-1）^k*二项式（n，k）*和{j=0..n-k+1}二项式-保罗·巴里2004年12月22日
a（n）=天花板（（2n+1）^2/2）-保罗·巴里2006年7月16日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）=1，a（1）=5，a（2）=13-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
当n>0时，a（n）*a（n-1）=4*n^4+1-莱因哈德·祖姆凯勒2009年2月12日
前缀为“1”（1，1，5，13，25，41，…）：a（n）=2*n*（n-1）+1-道格·贝尔2009年2月27日
a（n）=楼层（2*（n+1）^3/（n+2））-加里·德特利夫斯2010年5月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁王2012年6月12日
和{n>=0}1/a（n）=Pi/2*tanh（Pi/2）=1.4406595199775=A228048号. -蚂蚁王2012年6月15日
Sum_｛n>=0｝（-1）^（n+1）*a（n）/n！=经验（-1）=A068985号.（结束）
a（n）=积分{x=0..2n+2}|1-x|dx-佩德罗·卡塞雷斯2020年12月29日
产品{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）*sech（Pi/2）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi*csch（Pi）*sinh（Pi/2）。（结束）
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例子
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G.f.=1+5*x+13*x^2+25*x^3+41*x^4+61*x^5+85*x*6+113*x^7+145*x^8+。。。
前几个三元组是（1,0,1），（3,4,5），（5,12,13），（7,24,25）。。。
对应于a（n）=0,1,2,3的前四个分区是1，3+1+1，5+3+3+1+1，7+5+5+3+1+1-奥古斯汀·穆纳吉2008年12月18日
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MAPLE公司
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数学
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表[2n（n+1）+1，{n，0，50}]
文件夹列表[#1+#2&，1,4范围@50](*罗伯特·威尔逊v，2011年2月2日*）
最大值：=47；压扁[表[级数系数[级数[（n+（n-1）*x）/（1-x）^2，{x，0，最大}]，k]，{n，最大}，{k，n-1，n-1}]](*L.埃德森·杰弗里2014年8月24日*）
系数列表[级数[-（x^2+2x+1）/（x-1）^3，{x，0，48}]，x]（*或*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，5，13}，48](*罗伯特·威尔逊v，2018年8月1日*）
总计/@分区[范围[0，50]^2，2，1](*哈维·P·戴尔2020年12月5日*）
表[j！系数[级数[Exp[x]*（1+4*x+2*x^2），{x，0，20}]，x，
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=2*n*（n+1）+1}；
（PARI）x='x+O（'x^200）；向量（（1+x）^2/（1-x）^3）\\阿尔图·阿尔坎2016年3月23日
（鼠尾草）[i**2+（i+1）**2代表范围（46）内的i]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
（哈斯克尔）
a001844 n=2*n*（n+1）+1
a001844_list=zipWith（+）a000290_list$tail a000290_列表
（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2+2*n+1:n//文森佐·利班迪，2013年1月19日
（Python）打印（[2*n*（n+1）+1代表范围（48）内的n）#迈克尔·布拉尼基2021年1月5日
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交叉参考
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参见。A000217号,A000290型,A001263号,A001788号,A002061号,A004431号（数字是两个不同的非零平方和），A005448号,A005891号,A008844号（完全平方项），A048395号,A051890号,A056106号,A127876号,A128064号,A132778号,A147973号,A153869号,A240876型,A251599型 A000982号,A080827号,A008288号.
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关键字
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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除了初始项外，Gamma_0（14）的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
如果X是一个n集，并且X的Y和Z不相交的2个子集，那么a（n-3）等于X的3个子集的数目，这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
允许重复的5个对象u、v、z、x、y的n-置换数（n>=1），包含n-1个u。例如：如果n=1，则n-1=0（0）u，a（1）=4，因为我们有v、z，x、y。如果n=2，则n=1=1（1）u，b（2）=8，因为我们具有vu、zu、xu、yu、uv、uz、ux、uy。A038231号格式化为三角形数组：对角线：4、8、12、16、20、24、28、32-零入侵拉霍斯2008年8月6日
a（n）*Pi=由半径为2的圆从零开始沿正x轴滚动而生成的摆线的非负零点-韦斯利·伊万·赫特2013年7月1日
除了初始项之外，边长为2的n维三次格子（n>1）上的最小路径的顶点数，直到一个自空行走被卡住为止。A004767号+ 1. -马修·雷曼2013年12月23日
当轨道的基数等于2688时，Aut（Z^7）的轨道数作为轨道的代表格点的无穷远范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
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链接
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汤姆·M·阿波斯托，解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》，1976年，第3页。
Franck Ramaharo，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年，2015年。
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公式
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总尺寸：4*x/（1-x）^2-大卫·威尔丁2014年6月21日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a008586=（*4）
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交叉参考
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参见。A000290型,A000466号,A001844号,A004767号,A008574号,A030308号,A033888号,A035008美元,A038231号,A048272号,A053755号,A090418号,A214546型.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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40000澳元
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| a（0）=1；当n>=1时，a（n）=2。 |
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1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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sqrt（2）的连续分数扩展为1+1/（2+1/（2+…））。
2^n的切比雪夫变换：如果A（x）是序列的g.f.，则将其映射到（（1-x^2）/（1+x^2-保罗·巴里，2004年10月31日
设m＝2。我们观察到a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（m，n-2*k）。然后有一个链接A113311号和A115291号：公式相同，分别为m=3和m=4。我们可以用g.f.由（1+z）^（m-1）/（1-z）给出的序列推广这个结果-理查德·乔利特2009年12月8日
偏移量为1:置换数，其中|p（i）-p（i+1）|<=1表示n=1,2，。。。，n-1。这是相同的置换，（对于n>1）是它的反转。
等于条（1，1，-1，-1，…）的INVERT变换。
偏移量为1时：周期为（最小）n的周期序列范围的最小基数。当然，周期为（最少）n的纯周期序列的范围的最大基数是n-里克·L·谢泼德2014年12月8日
偏移量1:n*a（1）+（n-1）*a（2）+…+2*a（n-1）+a（n）=n^2-沃伦·布雷斯洛2014年12月12日
a（n）等于长度为n的二进制序列的数量，其中没有两个连续项不同。也等于长度为n的二进制序列的数量，其中没有两个连续项相同-大卫·纳辛2017年5月31日
a（n）是sqrt（（n+2）/（n+1））和sqrt的连分式的周期-A.H.M.斯密茨，2017年12月5日
此外，一维晶格Z的自回避行走次数和配位序列-肖恩·欧文2020年7月27日
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参考文献
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A.Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
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链接
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Bruce Fang、Pamela E.Harris、Brian M.Kamau和David Wang，驻车功能不稳定，arXiv:2402.02538[math.CO]，2024。
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公式
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通用名称：（1+x）/（1-x）-保罗·巴里，2003年2月28日
a（n）=2-0^n；a（n）=和{k=0..n}二项式（1，k）-保罗·巴里，2004年10月16日
a（n）=n*和{k=0..floor（n/2）}（-1）^k*二项式（n-k，k）*2^（n-2*k）/（n-k）-保罗·巴里，2004年10月31日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=（u-v）*（u+v）-2*v*（u-w）-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-n）（n<0的一个可能扩展）-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
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例子
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sqrt（2）=1.41421356237309504…=1+1/（2+1/（2+1/（2+1/（2+…）））-哈里·史密斯2009年4月21日
G.f.=1+2*x+2*x^2+2*x^3+2*x ^4+2*x2*x^5+2**x^6+2*x1^7+2*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数字：=100:转换（evalf（sqrt（2）），confrac，90，'cvgts'）：
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数学
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a[n]：=2-布尔[n==0]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=2-！n}/*迈克尔·索莫斯2007年4月16日*/
（PARI）分配（932245000）；默认值（realprecision，21000）；x=连续（sqrt（2））；对于（n=0，20000，写（“b040000.txt”，n，“”，x[n+1]）\\哈里·史密斯2009年4月21日
（哈斯克尔）
a040000 0=1；a040000 n=2
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交叉参考
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参考sqrt（a^2+1）=（a，2a，2a，2a….）的其他连续分数：A040002号（续（sqrt（5））=（2,4,4，…）），A040006号,A040012型,A040020型,A040030型,A040042号,A040056号,A040072号,A040090级,A040110美元（续（平方（122））=（11,22,22，…）），A040132号,A040156号,A040182号,A040210型,A040240型,A040272号,A040306号,A040342号,A040380号,A040420型（续（sqrt（442））=（21，42，42，…）），A040462号,A040506年,A040552号,A040600型,A040650型,A040702号,A040756号,A040812号,A040870型,A040930型（续（sqrt（962））=（31,62,62，…））。
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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平面网6^3（石墨网或石墨烯晶体）的配位序列，即距离任何固定原子图形距离n处的原子数。也适用于hcb或蜂窝网-N.J.A.斯隆2013年1月6日，2018年3月31日
二维分圆晶格Z[zeta_3]的配位序列。
这个推测是正确的。证明：对于n=0，定理成立，最大平面图有n+2=2个顶点和1条边。现在假设我们有一个至少有3个顶点的连通平面图。如果它包含一个不是三角形的面，我们可以添加一条边，将该面分成两部分，而不会破坏其平面性。因此，所有的最大平面图都是三角图。平面图的欧拉公式指出，在任何具有V个顶点、E条边和F个面的平面简单图中，我们有V+F-E=2。如果所有面都是三角形，则F=2E/3，即E=3V-6。因此，对于n>0，每个具有n+2个顶点的最大平面简单图都有3n条边-Michal Forisek公司2009年4月23日
a（n）=自然数m的总和，使得n-1<=m<=n+1。一般化：如果a（n，k）=自然数m的和，使得n-k<=m<=n+k（k>=1），则a（n，k）=（k+n）*（k+n+1）/2=A000217号（k+n）对于0≤n≤k，a（n，k）=a（n-1，k）+2k+1=（（k+n-1）*（k+n）/2）+2k+1=A000217号（k+n-1）+2k+1表示n>=k+1（参见示例。A008486号). -雅罗斯拉夫·克里泽克2009年11月18日
a（n）被推测为Ngaokrajang链接中显示的多边形展开（类型a、B、C、D和E）经过n次迭代后添加的多边形数。当n->infinity时，这些图案应分别成为平面阿基米德网3.3.3.3.3.3、3.6.3.6、3.12.12、3.3.3.3.6和4.6.12-基瓦尔·Ngaokrajang2014年12月28日
具有关系（S_i）^2=（S_i S_j）^3=i的3个生成器S_i上Coxeter群中长度为n的约简字数-雷·钱德勒2016年11月21日
猜想：设m=n+2，p是由m个点的凸壳形成的多面体，q是p的四边形面数（参见下面的维基百科链接），f（m）=a（n）-q。那么f（m-谢尔盖·帕夫洛夫2017年2月3日
此外，序列定义为a（0）=1，a（1）=3，c（0）=2，c（1）=4；然后a（n）=c（n-1）+c（n-2），c由a中缺失的数字组成（参见A001651号). -伊凡·涅雷汀2017年3月28日
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参考文献
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J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第158页。
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链接
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M.Beck和S.Hosten，分圆多胞与分圆格的生长级数，arXiv:math/0508136[math.CO]，2005-2006。
A.S.Fraenkel，与新旧序列相关的新游戏，INTEGERS，《组合数论电子杂志》，第4卷，G6论文，2004年。（见表5。）
Rostislav Grigorchuk和Cosmas Kravaris，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第20页第4.3节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
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公式
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长度3序列的欧拉变换[3，0，-1]-迈克尔·索莫斯2009年8月4日
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例子
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G.f.=1+3*x+6*x^2+9*x^3+12*x^4+15*x^5+18*x^6+21*x^7+24*x^8+。。。
将初始术语表示为三角形：
.o型
.o o o o（零）
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
.
.1 3 6 9 12 15
（结束）
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数学
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系数列表[级数[（1+x+x^2）/（1-x）^2，{x，0，80}]，x](*文森佐·利班迪2014年11月23日*）
a[n_]：=如果[n==0，1，3 n]；(*迈克尔·索莫斯2015年4月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，3*n）}/*迈克尔·索莫斯，2015年5月5日*/
（岩浆）[0..90]]中[0^n+3*n:n//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a008486 0=1；a008486 n=3*n
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号；[3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型；[3.3.3.4.4]=A298022型,A298024型；[3.3.3.4]=A008574号,A296368型；[3.6.3.6] =A298026型,A298028型；[3.4.6.4] =A298029型,A298031型,A298033型；[3.12.12] =A019557号,A298035型；[4.4.4.4] =A008574号；[4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型；[4.8.8] =A022144号,A234275号；[6.6.6] =A008458号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A005899号
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| 八面体表面上的点数；立方晶格的配位序列：a（0）=1；对于n>0，a（n）=4n^2+2。
（原名M4115）
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+10
75
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1, 6, 18, 38, 66, 102, 146, 198, 258, 326, 402, 486, 578, 678, 786, 902, 1026, 1158, 1298, 1446, 1602, 1766, 1938, 2118, 2306, 2502, 2706, 2918, 3138, 3366, 3602, 3846, 4098, 4358, 4626, 4902, 5186, 5478, 5778, 6086, 6402, 6726, 7058, 7398, 7746, 8102, 8466
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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此外，平面可以被两个重叠的凹面（2n）切割成的区域数-约书亚·祖克2002年11月5日
如果X是一个n集，并且Y_i（i=1,2,3）是X的互不相交的2个子集，那么a（n-5）等于X的5个子集的数目，这些子集与每个Y_i相交（i=12,3）-米兰Janjic2007年8月26日
此外，在第n次迭代中，为了隐藏从单位立方体开始的所有可见面，围绕从单位立方体构建的3D实体所需的最小单位立方元数-R.J.卡诺2015年9月29日
此外，从具有反射面的长方体内的发射点到达接收点的n阶镜面反射数-迈克尔·舒特2018年9月18日
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参考文献
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H.S.M.Coxeter，“多面体数”，R.S.Cohen等人，编辑，为Dirk Struik。雷德尔，多德雷赫特，1974年，第25-35页。
格梅林无机和有机物手册。化学。，1994年第8版，TYPIX搜索码（225）cF8
B.Grünbaum，《三维空间的均匀平铺》，《地理组合学》，4（1994），49-56。参见瓷砖#16和#22。
R.W.Marks和R.B.Fuller，Buckminster Fuller的Dymaxion世界。Anchor，纽约，1973年，第46页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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巴里·巴洛夫，受限制的瓷砖和石膏，J.整数序列。15（2012），第2号，第12.2.3条，第17页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《低维格VII:协调序列》，Proc。伦敦皇家学会，A453（1997），2369-2389(pdf格式).
皮埃尔·德拉哈普，论群体成长的史前史，arXiv:2106.02499[math.GR]，2021。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
奥基夫先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908.
奥基夫先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908. [带注释的扫描副本]
卡洛斯·佩雷兹·桑切斯，颤动的光谱作用，arXiv:2401.03705[math.RT]，2024。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
B.K.Teo和N.J.A.Sloane，多边形和多面体簇中的幻数，无机。化学。24 (1985),4545-4558.
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公式
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通用名称：（1+x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
[1，5，7，1，-1，1，-1，1，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月2日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），其中a（0）=1，a（1）=6，a（2）=18，a（3）=38-哈维·P·戴尔2011年11月8日
递归：n*a（n）=（n-2）*a（n-2-林风2014年4月15日
a（n）=2*d*超几何2F1（1-d，1-n，2，2），其中d=3，n>0-谢尔·卡潘2023年2月16日
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MAPLE公司
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数学
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联接[{1}，4Range[40]^2+2]（*或*）联接[{1'，LinearRecurrence[{3，-3，1}、{6，18，38}，40]](*哈维·P·戴尔2011年11月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（（1+x）/（1-x））^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（岩浆）[0..50]]中的[4*n^2+2:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
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交叉参考
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28块统一的3D瓷砖：驾驶室：A299266型,A299267型；crs：A299268型,A299269型；催化裂化装置：A005901号,A005902号；费用：A299259号,A299265型；流体e：A299272号,A299273号；fst（飞行时间）：A299258型,A299264型；哈尔：A299274型,A299275型；hcp:A007899号,A007202号；十六进制：A005897号,A005898号；卡格：A299256型,A299262型；lta：A008137号,A299276号；pcu：A005899号,A001845号；pcu-i：A299277型,A299278号；雷奥：A299279号,A299280型；reo-e：A299281型,A299282型；ρ：A008137号,A299276号；草地：A005893号,A005894号；速度：A299255型,A299261型；svh（奇异值）：A299283型,A299284号；svj公司：A299254型,A299260型；svk公司：A010001型,A063489号；技术合作协议：A299285型,A299286型；经颅多普勒超声心动图：A299287型,A299288型；tfs公司：A005899号,A001845号；tsi：A299289号,A299290型；ttw:A299257型,A299263型；ubt（ubt）：A299291型,A299292型；bnn编号：A007899号,A007202号。请参阅中的Proserpio链接A299266型以获取概述。
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A000337号
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| a（n）=（n-1）*2^n+1。
（原M3874 N1587）
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+10
69
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0, 1, 5, 17, 49, 129, 321, 769, 1793, 4097, 9217, 20481, 45057, 98305, 212993, 458753, 983041, 2097153, 4456449, 9437185, 19922945, 41943041, 88080385, 184549377, 385875969, 805306369, 1677721601, 3489660929, 7247757313, 15032385537, 31138512897, 64424509441
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）还以二进制数1到111..1（n+1位）给出了0的个数-史蒂芬·G·彭瑞斯2000年10月1日
n-立方体的图的亏格=a（n-3）=1+（n-4）*2^（n-3），n>1。
a（n-2）是高度>=3时正好有一个峰值的Dyck n路径数。例如，有5个n=4的这样的路径：UUUUDDD、UUDUUDDI、UUUDDUD、UDUUUDDI和UUUDTDUD-大卫·卡伦2004年3月23日
S_{n+2}中的排列避免了12-3，而12-3正好包含模式13-2一次。
a（n）是n=2,3,7,27,51,55,81的素数。a（n）是n=4，5，6，8，9，10，11，13，15，19，28，32，39，57，63，66，75，97的半素数-乔纳森·沃斯邮报2005年7月18日
Brehm中给出的等价公式：对于每一个q>=3，存在一个{4，q}型的多面体映射M_q，其[顶点数]f_0=2^q和[属]g=（2^（q-3））*（q-4）+1，使得M_q及其对偶在R^3中具有多面体嵌入[McMullen等人]-乔纳森·沃斯邮报2009年7月25日
（1+5*x+17*x^2+49*x^3+…）=（1+2*x+4*x^2+8*x^3+…）*（1+3*x+7*x*2+15*x^3）+…）-加里·亚当森2012年3月14日
a（n）是{1,2，..，n}所有子集中最大元素的和。例如，a（3）=17；{1,2,3}的子集为{1}、{2}、}3}、[1,2}，{1,3}，[2,3}和[17]，最大元素之和为17-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日
a（n-1）是包含n的{1,2，..，n}子集中第二大元素的和。例如，对于n=4，a（3）=17；含有4的{1,2,3,4}的子集是{4}、{1,4}，{2,4}和{3,4{3,4]，{1,2,4}，{1,3,4neneneep，{2,3,4}，第二大元素之和为17-恩里克·纳瓦雷特2020年8月24日
a（n-1）也是包含n的{1,2，…，n}的所有子集的直径之和。例如，对于n=4，a（3）=17；含有4的{1,2,3,4}的子集为{4}、{1,4}，{2,4}和{3,4]，{1,2,4}、{1,3,4{、{2,3,4、{1,2,3、4}；这些组的直径为0,3,2,1,3,3,2,3，总和为17-恩里克·纳瓦雷特2020年9月7日
a（n-1）也是使用网格方法计算一般n×n矩阵的永久性所需的加法数（见Kiah等人的定理5和6，第10-11页）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年11月2日
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参考文献
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F.Harary，图论中的拓扑概念，F.Harari和L.Beineke的第13-17页，编辑，图论研讨会，霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，纽约，1967年。
V.G.Gutierrez和S.L.de Medrano，《Riemann和Klein曲面中作为完全交点的曲面，自同构、对称和模空间》，由Milagros Izquierdo、S.Allen Broughton、Antonio F.Costa和Contemp编辑。数学。2014年第629卷，第171-页。
F.Harary，图论。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1969年，第119页。
G.H.Hardy，关于无穷基数的定理，夸脱。数学杂志。，35（1904），p.90=G.H.Hardy的论文集，第七卷，p.430。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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L.W.Beineke和F.Harary，n-立方体的亏格、加拿大。数学杂志。，17 (1965), 494-496.
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点Hilbert格式的ζ函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[这篇论文的后一版本有不同的标题和内容，论文的数论部分被移到了下面的出版物中。]
韩茂凯、亚历山大·瓦迪、姚汉文，计算网格上的永久值，arXiv:2107.077377[cs.IT]，2021年。
S.Kitaev、J.Remmel和M.Tiefenbruck，132-避免排列I中的标记网格图案，arXiv预印本arXiv:1201.6243[math.CO]，2012。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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公式
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G.f.:x/（（1-x）*（1-2*x）^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）-exp（2*x）*（1-2*x）。a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+1，n>0。g.f.A（x）的级数反转为x*A034015号（-x）-迈克尔·索莫斯
n/（n+1）的二项式变换是a（n）/（n/1）-保罗·巴里2005年8月19日
a（n）=5*a（n-1）-8*a（n-2）+4*a（n-3），n>2-哈维·P·戴尔2011年6月21日
a（n）=求和{k=1..n}求和{i=1..n{i*C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月19日
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MAPLE公司
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数学
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表[求和[（-1）^（n-k）k（-1）*（n-k）二项式[n+1，k+1]，{k，0，n}]，{n，0，28}](*零入侵拉霍斯2009年7月8日*）
表[（n-1）2^n+1，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年6月21日*）
线性递归[{5，-8，4}，{0，1，5}，40](*哈维·P·戴尔2011年6月21日*）
系数列表[系列[x/（（1-x）（1-2x）^2），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年11月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，（n-1）*2^n+1）
（岩浆）[（n-1）*2^n+1:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2014年11月21日
（Python）a=λn：（（n-1）<<（n））+1#印地瑞尼Ghosh2017年1月5日
（GAP）列表（[0..30]，n->（n-1）*2^n+1）#穆尼鲁A阿西鲁2018年10月24日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A143007号
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| 正方形数组，由反对偶读取，其中第n行等于2*n维晶格A_n x A_n的水晶球序列。 |
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+10
63
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1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 13, 13, 1, 1, 25, 73, 25, 1, 1, 41, 253, 253, 41, 1, 1, 61, 661, 1445, 661, 61, 1, 1, 85, 1441, 5741, 5741, 1441, 85, 1, 1, 113, 2773, 17861, 33001, 17861, 2773, 113, 1, 1, 145, 4873, 46705, 142001, 142001, 46705, 4873, 145, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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A_n晶格由Z^（n+1）中的所有向量v=（x_1，…，x_（n+1x（n+1）=0。晶格具有范数||v|=1/2*（|x_1|+…+|x_（n+1）|）。乘积格A_n x A_n中的格点对（v，w）具有范数||（v，w）||=||v||+|w||。然后，A_n x A_n晶格的水晶球序列中的第k项给出了||（v，w）||小于或等于k的此类对（v，w）的数量。
这个数组与Apery常数zeta（3）有着显著的关系。数组的行（或列）和主对角线项以zeta（3）的系列加速度公式出现。对于第n行条目，包含zeta（3）=（1+1/2^3+…+1/n^3）+Sum_{k>=1}1/（k^3*T（n，k-1）*T（n，k））。此外，由于Apery证明了zeta（3）的非理性，我们得到了沿表主对角线的一个级数加速度公式：zeta（三）=6*sum{n>=1}1/（n^3*T（n-1，n-1）*T（n，n））。Apery的结果似乎推广到了表中的其他对角线。计算表明以下结果可能成立：zeta（3）=1+1/2^3+…+1/k^3+和{n>=1}（2*n+k）*（3*n^2+3*n*k+k^2）/（n^3*（n+k，^3*T（n-1，n+k-1）*T（n，n+k。
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链接
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R.Bacher、P.de la Harpe和B.Venkov，羊角面包和埃哈特羊角协会，C.R.学院。科学。巴黎，325（系列1）（1997），1137-1142。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，低维晶格VII配位序列，程序。英国皇家学会。，序列号。A、 453（1997），2369-2389。
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公式
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T（n，k）=和{j=0..n}C（n+j，2*j）*C（2*j，j）^2*C（k+j，2*j）。
阵列是对称的T（n，k）=T（k，n）。
第k列中的项满足类Apery-like递归n^3*T（n，k）+（n-1）^3*T（n-2，k）=（2*n-1）*（n^2-n+1+2*k^2+2*k）*T（n-1，k）。
方形数组的LDU分解是L*D*转置（L），其中L是下三角数组A085478号D是对角矩阵图（C（2n，n）^2）。第n行的O.g.f.：晶格A_n配位序列的生成函数是[Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*x^k]/（1-x）^n。因此积晶格A_nx A_n的配位序列生成函数是{[Sum_{k=0..n}C，晶格A_n x A_n的晶球序列等于[Sum{k=0..n}C（n，k）^2*x^k]^2/（1-x）^（2n+1）=1/（1-x。参见[Conway&Sloane]。
zeta（3）的级数加速公式：行n:zeta（三）=（1+1/2^3+…+1/n^3）+Sum_{k>=1}1/（k^3*T（n，k-1）*T（n，k）），n=0,1,2。例如，表的第四行（n=3）给出了zeta（3）=（1+1/2^3+1/3^3）+1/（1^3*1*25）+1/。请参见2013年1月13日了解更多详细信息。
主对角线：ζ（3）=6*Sum_{n>=1}1/（n^3*T（n-1，n-1）*T（n，n））。其他对角线的推测结果：zeta（3）=1+1/2^3+…+1/k^3+和{n>=1}（2*n+k）*（3*n^2+3*n*k+k^2）/（n^3*（n+k，^3*T（n-1，n+k-1）*T（n，n+k。
主超对角数S（n）：=T（n，n+1）似乎满足素数p>=5和n中m，r的超同余S（m*p^r-1）==S（m*1（r-1）-1）（mod p^（3*r））（这是真的：参见A352653型. -彼得·巴拉2022年4月16日）。
G.f.A（x，y）=和{n>=0，k=0..n}T（n，k）*x^n*y^k可以表示为：
（1） 求和{n>=0}x^n*y^n/（1-x）^（2*n+1）*[求和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k]^2，
（2） 求和{n>=0}x^n/（1-x*y）^（2*n+1）*[求和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k*y^k]^2，
（3） 求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}C（n，k）^2*y^k*求和_{j=0..k}C（k，j）^2*x^j，
（4） 和{n>=0}x^n*和{k=0..n}C（n，k）^2*y^（n-k）*和{j=0..k}C（k，j）^2*x ^j*y^j。（结束）
T（n，k）=和{j=0..n}C（n，j）^2*C（n+k-j，k-j）^2。
T（n，k）=二项式（n+k，k）^2*超几何（[-n，-n，-k，-k]，[-n-k，-n-k，1]，1）。
T（n，k）=超几何（[n+1，-n，k+1，-k]，[1，1，1]，1）。（结束）
T（n，k）=1/（（1-x-y）*（1-z-T）-x*y*z*T）展开式中（x*z）^n*（y*T）^k的系数。
T（n，k）=A（n，k，n，k。
对于所有素数p>=5以及正整数n和k，超同余T（n*p^r，k*p^ r）==T（n*p^（r-1），k*p ^（r-1））（mod p^，3*r）成立。
公式T（n，k）=超几何（[n+1，-n，k+1，-k]，[1，1，1]，1）允许表索引扩展到n和k的负值；我们有T（-n，k）=T（n-1，k）和T（n，-k。（结束）
设t（n，k）=t（n-k，k）为反对角线三角形，则：
t（n，k）=t（n，n-k）。
总和{k=0..楼层（n/2）}t（n-k，k）=A246563型（n） ●●●●。
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例子
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表格开始
n\k |0…1…..2…..3…..4…..5
======================================
0..|1…1….1….1….1….1….1….1….1….1
1..|1...5....13.....25......41......61A001844号
3..|1..25...253...1445....5741...17861A143009型
4..|1..41...661...5741...33001..142001A143010型
5..|1..61..1441..17861..142001..819005A143011号
........
示例行1[1,5,13，…]：
格A_1 x A_1等价于Z x Z中所有整数格点v=（x，y）的正方形格，并配备出租车范数||v||=（|x|+|y|）。有4个满足||v||=1的格点（在下图中用1标记）和8个满足|v||=2的格点。因此，A_1 x A_1晶格的水晶球序列开始于1，1+4=5，1+4+8=13。
。
。
. . . . . 2 . . . . .
. . . . 2 1 2 . . . .
. . . 2 1 0 1 2 . . .
. . . . 2 1 2 . . . .
. . . . . 2 . . . . .
。
。
第1行=[1,5,13，…]是A008574号；第2行=[1,13,73，…]是A008530号，所以第2行是晶格A_2 x A_2（四维二异六方正交晶格）的晶球序列。
将数组作为三角形读取
n\k |0…1…2…3…4…5
===========================
0..|1
1..|1...1
2..|1...5....1
3..|1..13..13..1
4..|1..25…73…25…1
5..|1..41..253..253..41...1
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MAPLE公司
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与（组合）：T:=（n，k）->加（二项式（n+j，2*j）*二项式；
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）/*打印为方形数组：*/
{T（n，k）=和（j=0，n，二项式（n+j，2*j）*二项式
for（n=0，10，for（k=0，10，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）/*（1）G.f.A（x，y）当读作三角形时：*/
{T（n，k）=局部（A=1+x）；A=和（m=0，n，x^m*y^m/（1-x+x*O（x^n））^（2*m+1）*和（k=0，m，二项式（m，k）^2*x^k）^2）；极坐标（极坐标（A，n，x），k，y）}
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）/*（2）G.f.A（x，y）当读作三角形时：*/
{T（n，k）=局部（A=1+x）；A=和（m=0，n，x^m/（1-x*y+x*O（x^n））^（2*m+1）*和（k=0，m，二项式（m，k）^2*x^k*y^k）^2）；极坐标（极坐标（A，n，x），k，y）}
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）/*（3）G.f.A（x，y）当读作三角形时：*/
{T（n，k）=局部（A=1+x）；A=总和（m=0，n，x^m*总和（k=0，m，二项式（m，k）^2*y^k*总和（j=0，k，二项性（k，j）^2*x^j）+x*O（x^n））；polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）/*（4）G.f.A（x，y）当读作三角形时：*/
{T（n，k）=局部（A=1+x）；A=总和（m=0，n，x^m*总和（k=0，m，二项式（m，k）^2*y^（m-k）*总和（j=0，k，二项性（k，j）^2*x^j*y^j）+x*O（x^n）））；polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
/*结束*/
（岩浆）
A： =func<n，k|（&+[（二项式（n，j）*Binominal（n+k-j，k-j））^2:j in[0..n]]）>；//阵列
（SageMath）
定义A（n，k）：返回和（（二项式（n，j）*二项式
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186, 192, 198, 204, 210, 216, 222, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 264, 270, 276, 282, 288, 294, 300, 306, 312, 318, 324, 330, 336, 342, 348
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。它也是平面网3.3.3.3.3.3。
二维分原子晶格Z[zeta_6]的配位序列。
除了初始项外，Gamma_0（20）的权空间2n尖点的维数也是形式的。
将k编号为k+floor（k/2）|k*floor（k/2）-韦斯利·伊万·赫特2020年12月1日
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链接
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M.Beck和S.Hosten，分圆多胞与分圆格的生长级数，arXiv:math/0508136[math.CO]，2005-2006。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《低维格VII:协调序列》，Proc。伦敦皇家学会，A453（1997），2369-2389(pdf格式).
罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第19页第4.1节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
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公式
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通用名称：（1+4*x+x^2）/（1-x）^2。
等于[1，5，1，-1，1，-1，1，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年7月8日
G.f.：超几何2F1（[3，-2]，[1]，-x/（1-x））-保罗·巴里2008年9月18日
n（a）（1）+（n-1）*a（2）+（n-2）*a（3）+…+2*a（n-1）+a（n）=n^3-沃伦·布雷斯洛2013年10月28日
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例子
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初始术语说明：
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.1 o o o o o o o o
.6 o o o o o o o o
.12 o o o o
. 18
. 24
（结束）
G.f.=1+6*x+12*x^2+18*x^3+24*x^4+30*x^5+36*x^6+42*x^7+48*x*x^8+54*x^9+。。。
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MAPLE公司
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1，seq（6*n，n=1..65）；
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数学
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连接[{1}，6*范围[60]](*哈维·P·戴尔，2013年7月21日*）
a[n_]：=布尔[n==0]+6 n；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=6*n+（！n）}；
（岩浆）[0..60]]中[0^n+6*n:n//文森佐·利班迪2011年8月21日
（Maxima）makelist（如果n=0，则1其他6*n，n，0，65）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（SageMath）[6*n+int（n==0），对于范围（66）中的n）]#G.C.格鲁贝尔2023年5月25日
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号；[3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型；[3.3.3.4.4] =A298022型,A298024型；[3.3.4.3.4] =A008574号,A296368型；[3.6.3.6] =A298026型,A298028型；[3.4.6.4] =209029元,A298031型,A298033型；[3.12.12] =A019557号,A298035型；[4.4.4.4] =A008574号；[4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型；[4.8.8] =A022144号,A234275号；[6.6.6] =A008458号.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A298024型
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| 通用公式：（x^4+3*x^3+6*x^2+3*x+1）/（（1-x）*（1-x^3））。 |
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+10
57
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1, 4, 10, 14, 18, 24, 28, 32, 38, 42, 46, 52, 56, 60, 66, 70, 74, 80, 84, 88, 94, 98, 102, 108, 112, 116, 122, 126, 130, 136, 140, 144, 150, 154, 158, 164, 168, 172, 178, 182, 186, 192, 196, 200, 206, 210, 214, 220, 224, 228, 234, 238, 242, 248, 252, 256, 262
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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关于四价节点的双（3^3.4^2）瓷砖的协调顺序。这种瓷砖也称为棱柱五边形瓷砖或cem-d网。这是11块Laves瓷砖中的一块。（在定义中，这个坐标序列与g.f.的标识首先是由科林·巴克（2018年1月22日）
此外，“krl”二维平铺（或网络）中四价节点的协调序列。
这两种标识都可以使用“配色书”方法轻松确定，请参阅古德曼-斯特劳斯和斯隆链接。
Shutov/Maleev link确认的线性重现性和g.f-雷·钱德勒2023年8月31日
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参考文献
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Branko Grünbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案。W.H.Freeman，纽约，1987年。见第66页表2.2.1，第三行，第二块瓷砖。（用于krl瓷砖。）
B.Gruenbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案，W.H.Freeman，纽约，1987年。见第96页。（对于双（3^3.4^2）平铺。）
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链接
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Chung、Ping Ngai、Miguel A.Fernandez、Yifei Li、Michael Mara、Frank Morgan、Isamar Rosa Plata、Niralie Shah、Luis Sordo Vieira和Elena Wikner。等周五角瓷砖《AMS 59通知》，第5期（2012年），第632-640页。见图1（右）。
弗兰克·摩根，最佳五角平铺，视频，2021年5月[提及此平铺
安东·舒托夫和安德烈·马列夫，2-一致图的协调序列、Z.Kristallogr.、。，235 (2020), 157-166. 请参见补充材料krb，顶点u_1。
N.J.A.斯隆，初始术语说明[1（黑色）、4（黑色），10（黑色）和14（红色）]
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
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公式
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当n>4时，a（n）=a（n-1）+a（n-3）-a（n-4）。（推测正确，根据科林·巴克，2018年1月22日。）
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数学
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系数列表[系列[（x^4+3x^3+6x^2+3x+1）/（（1-x）（1-x^3）），{x，0，60｝]，x]（*或*）线性递归[{1，0，1，-1}，{1，4，10，14，18｝，80](*哈维·P·戴尔2018年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）见链接部分。
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号；[3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型；[3.3.3.4.4] =A298022型,A298024型；[3.3.4.3.4] =A008574号,A296368型；[3.6.3.6] =A298026型,A298028型；[3.4.6.4] =A298029型,A298031型,A298033型；[3.12.12] =A019557号,1998年；[4.4.4.4] =A008574号；[4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型；[4.8.8] =A022144号,A234275号；[6.6.6] =A008458号.
20个2-均匀平铺的协调顺序，按照它们在Galebach目录中的出现顺序，以及它们在RCSR数据库中的名称（每个平铺两个顺序）：#1 krtA265035型,A265036型; #2每小时A301287型,A301289型; #3公里A301291型,A301293型; #4千升A301298型,A298024型; #5千卡A301299型,A301301型; #6千瓦时A301674型,A301676型; #7千卢比A301670型,A301672型; #8千卡A301291型,A301293型; #9克朗A301678型,A301680型; #10千克A301682型,A301684型; #11当心A008574号,A296910型; #12千小时A301686型,A301688型; #13克朗A301690型,A301692型; #14克朗A301694型,A219529型; #15千卡A301708型,A301710型; #16美元A301712型,A301714型; #17千焦A219529型,A301697型; #18克朗A301716型,A301718型; #19克朗A301720型,A301722型; #20克拉A301724型,A301726型.
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非n,容易的
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