%I M3416 N1382#504 2024年2月16日16:57:00

%S 0,0,1,4,11,26,57120247501013203640838178163693275265519，

%电话：131054262125524268104855520971304194281838858416777191，

%电话：335544066710837134217700026843542753687088210737417932147483616429496726385934558

%N个欧拉数（欧拉三角形：A008292的k列=2，A173018的k列=1）。

%C欧拉三角形有两种版本：

%C*A008292 Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本。

%C*A173018 Graham、Knuth和Patashnik在混凝土数学中使用的欧拉三角形版本。(1990).

%C Euler的三角形行和列索引约定：

%C*A008292欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）

%C*A173018欧拉三角形的行和列都是从0开始索引的。（格雷厄姆等人）

%C半长n的Dyck路径的数量正好有一个长上升（即至少有两个长度上升）。示例：a（4）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有正好一个长上坡的路径是UDUDUD（无长上坡）、UUDDUUDD和UUDUUDDD（两个长上坡）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。还有n条边正好有一个分支节点的有序树的数量（即，出度的顶点至少为两个）_Emeric Deutsch，2004年2月22日

%C{1,2，…，n}正好有一个下降的置换数（即置换（p（1），p（2），。。。，p（n））使得{i:p（i）>p（i+1）}=1）。例如，a（3）=4，因为{1,2,3}的一个下降排列是132、213、231和312。

%C a（n+1）是非负整数（A001477）和二次幂（A000079）的卷积_Graeme McRae_，2006年6月7日

%C A125127.-主对角线的部分和_Jonathan Vos Post，2006年11月22日

%C正好有一个块大小大于1的n个集合的分区数。例如：a（4）=11，因为如果分区集是{1,2,3,4}，那么我们有1234、123|4、124|3、134|2、1|234、12|3|4、13|2|4、14|2|3、1|23 |4、1|24 |3和1|2|34_Emeric Deutsch，2006年10月28日

%Cn除以a（n+1）得到n=A014741（n）={1，2，6，18，42，54，126，162，294，342，378，486，882，1026，…}_Alexander Adamchuk，2006年11月3日

%C（避开模式321、2413、3412、21534的排列数）减1_Jean-Luc Baril_，2007年11月1日，2008年3月21日

%C棱镜图P_n在n>=3.-时的色不变量_Jonathan Vos Post，2008年8月29日

%C与2^n-1的二进制表示和n的二进制表示进行XOR运算的结果相对应的十进制整数，带前导零。这个序列和其他几个序列在句法上相似。对于n>0，设D（n）表示与具有n个连续1的二进制数对应的十进制整数。OP.n表示序列的第n项。OP.表示二进制运算符，如“+”、“-”、“*”、“quotentof”、“mod”、“choose”。然后我们得到各种序列A136556、A082495、A082482、A066524、A000295、A052944。当我们将第n项取为f（D（n））时，会得到另一个语法相似的序列。OP.f（n）。例如，如果f='factorial'和。OP.=“/”，我们得到（A136556）（A000295）；如果f=“平方”和。OP.=“-”，我们得到（A000295）（A052944）。-_K.V.Iyer，2009年3月30日

%棱镜图Y_n的色不变量。

%C高度为n-1的完整二叉树的标签数，这样从根到任何叶的每条路径都包含{1,2，…，n-1}中的每个标签一次迈克尔·维埃哈伯（Vielhaber（AT）gmail.com），2009年11月18日

%C另外，弱结合律X（（YZ）T）=（X（YZ，））T在带有n个开括号和n个闭括号的单词上生成的非平凡等价类的数目。同时还研究了n片叶子二叉树剪枝嫁接格中的join（resp.met）-不可约元素的个数Jean Pallo，2010年1月8日

%该序列的C非零项可以从从Pascal三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到，如下大括号所示：

%C 1；

%C 1，1；

%{1}，2，1；

%{1,3},3,1；

%{1,4,6}，4,1；

%{1,5,10,10},5,1；

%{1，6，15，20，15}，6，1；

%C…-_L.Edson Jeffery，2011年12月28日

%C对于整数a，b，用a<+>b表示最小C>=a，使得汉明距离D（a，C）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。那么对于n>=3，a（n）=n<+>n。这有一个简单的解释：对于二进制中的n>=3，我们有一个（n）=（2^n-1）-n=“anti-n”_Vladimir Shevelev，2012年2月14日

%C a（n）是长度为n且至少有一对01的二进制序列的数目_Branko Curgus_2012年5月23日

%非零项是存在完美（汉明）纠错码的整数k_L.Edson Jeffery，2012年11月28日

%C a（n）是按以下方式构造的长度n个二进制字的数目：选择两个位置，在其中放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置（可能没有），然后用0或1的任意字符串完成单词。因此a（n）=Sum_{k=2..n}（k-1）*2^（n-k）.-_Geoffrey Critzer，2013年12月12日

%C如果没有前0：a（n）/2^n等于Sum_{k=0..n}k/2^k。例如：a（5）=57，57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32_Bob Selcoe，2014年2月25日

%C假设数字为权重，帕斯卡三角形前n行质心的第一个重心坐标为A000295（n+1）/A000337（n）。见附图。-César Eliud Lozada_，2014年11月14日

%C从（0,1,4,11，…）开始，这是（0,12,2,2，…）的二项式变换_Gary W.Adamson，2015年7月27日

%C也是n三角形蜂巢图中（非空）连通诱导子图的数目_Eric W.Weisstein_，2017年8月27日

%C a（n）是在最坏的情况下，使用（自下而上）heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换次数_Rudy van Vliet_，2017年9月19日

%C具有n个参与者的大型网络，特别是社交网络的效用由该序列的a（n）项给出。这一主张被称为里德定律，请参阅维基百科链接_Johannes W.Meijer，2019年6月3日

%C a（n-1）是{1..n}的子集数，其中集合中最大的元素超过了下一个最大的元素至少2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,2,4}_Enrique Navarrete，2020年4月8日

%C a（n-1）也是{1..n}的子集数，其中集合的第二个最小元素至少超过最小元素2。例如，对于n=5，a（4）=11，并且11个集合是{1,3}、{1,4}、{1,5}、{2,4}、{2,5}、{3,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,4,5}、{1,3,4,5}_恩里克·纳瓦雷特，2020年4月9日

%Ca（n+1）是{1..n}的所有子集的最小元素的和。例如，对于n=3，a（4）=11；{1,2,3}的子集是{1}、{2}、}3}、[1,2}，{1,3}，[2,3}。最小元素之和为11_Enrique Navarrete，2020年8月20日

%C具有多个元素的n个集合的子集数_埃里克·施密特（Eric M.Schmidt），2021年3月13日

%C在不同的比赛中，对n-1匹马、狗等进行“全套”下注的个人下注次数。每匹马等可以下注或不下注，下注2^n次。但是，按照惯例，单打（只在一场比赛中下注）不包括在内，因此下注总数减少了n。也不可能完全不下注，下注数量再减少1。因此，4匹马、4条狗等的完全覆盖是6个双打、4个高音和1个四马等累加器。在英国博彩业中，这种对4匹马等的赌注是扬基队的；5号，超级洋基队_保罗·杜克特，2021年11月17日

%C来自_Enrique Navarrete，2022年5月25日：（开始）

%C长度为n且至少有两个1的二进制序列的数目。

%C a（n-1）是从n个元素中选择奇数个大于或等于3个元素的方法数。

%C a（n+1）是将[n]={1,2，…，n}拆分为两个（可能为空）互补间隔{1,2…，i}和{i+1，i+2，…，n}，然后从第一个间隔（2^i选项，0<=i<=n）选择子集，从第二个间隔（n-i选项，0<=i≤n）选择一个块/单元（即子间隔）的方法数。

%C（结束）

%C n个行星系统中可能的连词数；例如，一个行星可以有0个连接，一个有两个行星，四个有三个行星（三对行星加上一个所有三个行星），依此类推。-Wendy Appleby，2023年1月2日

%C 2^m除以（2^n-1）的最大指数m！.-_Franz Vrabec，2023年8月18日

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%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-5,2）。

%F a（n）=2^n-n-1。

%F G.F.:x^2/（（1-2*x）*（1-x）^2）。

%F A107907（a（n+2））=A000079（n+2）。-_Reinhard Zumkeller_，2005年5月28日

%F例如：exp（x）*（exp（x）-1-x）.-_Emeric Deutsch，2006年10月28日

%F a（0）=0，a（1）=0、a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+1_Miklos Kristof，2005年3月9日

%对于Z中的所有n，F a（0）=0，a（n）=2*a（n-1）+n-1。

%F a（n）=和{k=2..n}二项式（n，k）.-_保罗·巴里（Paul Barry），2003年6月5日

%F a（n+1）=和{i=1..n}和{j=1..i}C（i，j）.-_Benoit Cloitre_，2003年9月7日

%F a（n+1）=2^n*求和{k=0..n}k/2^k.-_贝诺伊特·克罗特，2003年10月26日

%对于i>1_Gerald McGarvey，2004年6月12日

%F a（n+1）=和{k=0..n}（n-k）*2^k.-Paul Barry，2004年7月29日

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k+2）；a（n+2）=Sum_{k=0..n}二项式（n+2，k+2）。-_Paul Barry_，2004年8月23日

%F a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-k-1，k+1）*2^（n-k-2）*（-1/2）^k.-Paul Barry，2004年10月25日

%F a（0）=0；a（n）=箍筋2（n，2）+a（n-1）=A000225（n-1_托马斯·维德，2007年2月18日

%F a（n）=A000325（n）-1.-_Jonathan Vos Post，2008年8月29日

%F a（0）=0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}2^k-1_Doug Bell，2009年1月19日

%F a（n）=A000225（n）-n.-_Zerinvary Lajos_，2009年5月29日

%F a（n）=n*（2F1（[1,1-n]，[2]，-1）-1）_奥利维尔·杰拉德，2011年3月29日

%A173018的F列k=1开始a'（n）=0，1，4，11。。。并具有超几何表示n*超几何（[1，-n+1，[-n]，2）。这可以被视为一个正式的论据，认为Euler的A173018优于A008292_Peter Luschny_，2014年9月19日

%F例如：exp（x）*（exp（x）-1-x）；这是U（0），其中U（k）=1-x/（2^k-2^k/（x+1-x^2*2^（k+1）/；（连分数，第3类，4步）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年12月1日

%F a（n）=A079583（n）-A000225（n+1）_Miquel Cerda，2016年12月25日

%F a（0）=0；a（1）=0；对于n>1:a（n）=总和{i=1..2^（n-1）-1}A001511（i）.-_David Siegers_，2019年2月26日

%F a（n）=A007814（A028366（n））_Franz Vrabec，2023年8月18日

%总长度=x^2+4*x^3+11*x^4+26*x^5+57*x^6+120*x^7+247*x^8+502*x^9+。。。

%p[seq（2^n-n-1，n=1..50）]；

%p A000295:=-z/（2*z-1）/（z-1）**2；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%p#语法规范：

%p规范：=[S，{B=集合（Z，1<=卡），C=序列（B，2<=卡，S=生产（B，C）}，未标记]：

%p结构：=n->combstruct[count]（规范，大小=n+1）；

%p序列（结构（n），n=0..33）；#_Peter Luschny_，2014年7月22日

%ta[n_]=n*（超几何PFQ[{1，1-n}，{2}，-1]-1）；表[a[n]，{n，1，30}]（*_Livier Gérard_，2011年3月29日*）

%t线性递归[｛4，-5，2｝，｛0，0，1｝，40]（*_Vincizo Librandi_，2015年7月29日*）

%t表[2^n-n-1，{n，20}]（*_Eric W.Weisstein_，2017年11月16日*）

%o（PARI）a（n）=2^n-n-1\_Charles R Greathouse IV_，2011年6月10日

%o（Haskell）a000295 n=2^n-n-1---Reinhard Zumkeller_，2013年11月25日

%o（岩浆）[0..40]]中[2^n-n-1:n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年7月29日

%Y参见A008292（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。

%Y参见A173018（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。

%Y参见A008949、A000079、A002662（部分总和）、A00266、A0021664、A035039-A035042、A000108、A014741、A130128、A130330、A131768、A130321、A131816、A000975、A016031。

%Y A000225的部分总和。

%三角形A014473的Y行和。第二列三角形A112493和A112500。

%Y参考A000325。

%Y a（n）-A002662（n）=A000217（n-1），对于n>0.-_杰弗里·克里泽尔，2009年2月11日

%Y行合计A143291.-_Alois P.Heinz，2009年6月1日

%Y序列A125128和A130103基本相同_M.F.Hasler，2015年7月30日

%Y列k=1，共A124324列。

%K nonn，简单，不错

%O 0.4

%A _N.J.A.斯隆_