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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000975美元 a(2n)=2*a(2n-1),a(2n+1)=2*a(2n)+1(a(n)也是没有连续相等二进制数字的第n个数字)。 290
0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682, 1365, 2730, 5461, 10922, 21845, 43690, 87381, 174762, 349525, 699050, 1398101, 2796202, 5592405, 11184810, 22369621, 44739242, 89478485, 178956970, 357913941, 715827882, 1431655765, 2863311530, 5726623061, 11453246122 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
乔治·克里斯托夫·利希滕贝格(Georg Christoph Lichtenberg)于1769年就中国指环谜(baguenaudier)进行了讨论,之后可能被称为“利希滕伯格序列”-安德烈亚斯·欣兹(Andreas M.Hinz)2017年2月15日
使用格雷码从n 0的二进制字符串更改为n 1的步骤数乔恩·斯塔德勒(jstadler(AT)coaster.edu)
诸如螺旋输出(Spin-Out)和大脑谜题(The Brain Puzzler)之类的流行谜题是基于灰色二进制系统的,需要(n)个步骤才能完成一些数字n。
猜想:{a(n)}也给出了其中的所有jA048702号(j)=A000217号(j) ;也就是说,如果我们取a(n)-th三角数(a(nA048701号(a(n))由a(n”)及其反面串联而成。例如,a(4)=10,二进制为1010;第十个三角形数是55,二进制中55*3=165=1010101-Antti Karttunen公司大约1999年。(Paul K.Stockmeyer在他的arXiv:1608.08245论文中证明了这一点。)-Antti Karttunen公司2016年8月31日
打平n圈或更少半圈的方法的数量,不包括镜像。在三角形格上长度为n或更小的游动次数,有以下限制:;给定l、r和c作为晶格轴。1.所有步骤均在正轴方向执行。2.不得在同一轴上连续执行两个步骤。3.所有步行从1.4开始。所有步行都以rlc或lrc结束-比尔·布莱维特2000年12月21日
a(n)是平衡树B_n的顶点覆盖中要选择的最小顶点数-森彭Eu2002年6月15日
A087117美元(a(n))=A038374号当n>1时,(a(n))=1;另请参见A090050型. -莱因哈德·祖姆凯勒2003年11月20日
的交点A003754号A003714号的补语A107907号. -莱因哈德·祖姆凯勒2005年5月28日
等价地,对于某些数字k,其二进制表示有效的数字m是k的惰性斐波那契表示和Zeckendorf表示(在这种情况下是k=A022290号(m) )-彼得·穆恩2022年10月6日
a(n+1)给出Riordan数组的行和(1/(1-x),x(1+2x))-保罗·巴里2005年7月18日
长度为n+1的所有二进制字中初始01的总数。例如:a(3)=5,因为以01开头的长度为4的二进制字是(01)00、(01)(01)、(01)10和(01)11,而初始01的总数是5(显示在括号中)。a(n)=和{k>=0}k*A119440号(n+1,k)-Emeric Deutsch公司2006年5月19日
在挪威,我们把10环拼图称为“strikekoty”或“knitwear”(见链接)。这两个部分需要682步才能松开-汉斯·伊斯达尔2008年1月7日
等于A002450美元A020988号交错-扎克·塞多夫2008年2月10日
对于n>1,设B_n=顶点集为V的完备二叉树,其中|V|=2^n-1。如果VC是B_n的最小顶点覆盖,Sen-Peng-Eu指出a(n)=|VC|。如果IS=V\VC,a(n+1)=|IS|-K.V.Iyer公司2009年4月13日
从1开始,用[1,2,2,…]卷积=A000295号. -加里·亚当森2009年6月2日
以2为基数的a(n)是序列A056830号(n) -雅罗斯拉夫·克里泽克2009年8月5日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A,b:c,d:k]中的序列A(0,1;1,2;1),在下面给出的W.Lang链接中被视为A(A,b;c,d;k)-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
发件人弗拉基米尔·舍维列夫2012年1月30日,2012年2月13日:(开始)
1) 用{n,k}表示1,…,的置换数。。。,n和上下索引k(有关定义,请参阅中的注释A203827型). 那么max_k{n,k}={n,a(n)}=A000111号(n) ●●●●。
2) a(n)是海明距离d_H(a(n-1),a(n。。。(结束)
发件人Hieronymus Fischer公司2012年11月22日:(开始)
以二进制形式表示,第二个词条之后的每个词条都包含前一个词条作为子字符串。
项a(2)=2和a(3)=5是唯一的素数。证明:对于偶数n,我们得到a(n)=2*(2^(2*n)-1)/3,这表明a(n。对于奇数n,我们有a(n)=(2^(n+1)-1)/3=(2^((n+1)/2)-1)*(2^((n+1)/2)+1)/3。显然,如果n>3,这些因子中至少有一个可以被3整除,两者都大于6。因此,对于所有奇数n>3,a(n)都是复合的。
用二进制数表示,a(n+1)正好有n个素子串。证明:显然,a(1)=1_2为零,a(2)=10_2为1素子串。设n>1。用二进制表示,a(n+1)是101010101…01(如果n+1是奇数),是101010101…10(如果n/1是偶数),数字是n+1。只有2位数和3位数的子串10_2(=2)和101_2(=5)是素子串。所有其他子串都是非素数的,因为每个子串是前一项,所有不等于2和5的项都是非素的。对于偶数n+1,等于2=10_2的素子串的数目为(n+1)/2,等于5=101_2的素子串的数目是(n-1)/2,构成n的和。对于奇数n+1我们得到两者的n/2,2的素子字符串和5的素子string的数目,在任何情况下,总和都是n。
(结束)
此外,如果两个基本顶点的颜色是固定的,则为具有n+2个顶点的基上所有三角化平面多边形的顶点的不同三色数-帕特里克·拉巴基2013年2月9日
A090079号(a(n))=(n)和A090079号(m) 对于m<a(n),<>a(n-莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月16日
a(n)是长度为n的二进制字的数量,其中包含至少一个1,并以0的偶数(可能为零)结尾。a(3)=5,因为我们有:001,011,100,101,111-杰弗里·克雷策2013年12月15日
a(n)是长度为n+1且只有一个下降的置换数,使得置换的第一个元素是偶数-冉·潘2015年4月18日
a(n)是通过Sylvester构造得到的Hadamard矩阵H(2^n)最后一行的序列:H(2)=[1,1;1,-1],H(2~n)=H(2~(n-1))*H(2,其中*是Kronecker积-威廉·奥里克2015年6月28日
的推测记录值A264784型:a(n)=A264784型(A155051号(n-1))-莱因哈德·祖姆凯勒2015年12月4日。(Paul K.Stockmeyer在他的arXiv:1608.08245论文中证明了这一点。)-Antti Karttunen公司,2016年8月31日
基于5细胞von Neumann邻域,由“规则131”定义的二维元胞自动机生长的第n阶段的x轴从原点到右边缘的十进制表示。请参阅A279053型以获取参考和链接-罗伯特·普莱斯2016年12月5日
对于n>4,a(n-2)是A127824号. -德米特里·卡梅内茨基2017年2月11日
猜想:a(n+1)是n的两种成分n和n’的组合数,其中1和1’的顺序无关紧要。对于n=2,a(3)=5个成分,列举如下:2;2'; 1,1; 1',1 = 1',1; 1',1'. -格雷戈里·西蒙2017年9月2日
通过识别适当的g.f.来证明猜想是x/(1-x)(1-x,(1-2*x^2-2x^3-…)=x/(1-2*x-x^2+2x^3)-格雷戈里·西蒙2017年9月10日
a(n)=2^(n-1)+2^(n-3)+2^(n-5)+。。。a(2*k-1)=A002450型(k) 是4的幂之和。a(2*k)=2*A002450型(k) ●●●●-格雷戈里·西蒙2017年9月27日
在二进制表示中,a(2*n)=n乘以字符串[10],a(2*n+1)=n除以字符串[10][1]。例如:二进制中的a(7)=85=(1010101),二进制中的b(8)=170=(1010110)-Ctibor O.Zizka公司,2018年11月6日
除了0之外,这些都是正整数,它们的二进制展开具有切割阻力1。对于将所有行程缩短1的操作,切割阻力是达到一个空单词所需的应用程序数量。切割阻力2为A329862型. -古斯·怀斯曼2019年11月27日
发件人马库斯·西格2020年9月14日:(开始)
设s(k)是k的Collatz轨道的长度,例如s(1)=1,s(2)=2,s(3)=5。则s(a(n))=n+3,对于n>=3。归纳证明:s(a(3))=s(5)=6=3+3。对于奇数n>=5,我们有s(a(n))=s(4*a(n-2)+1)=s。
猜想:对于n>=3,a(n)是第二大自然数,其Collatz轨道长度为n+3。(结束)
发件人加里·亚当森2021年5月14日:(开始)
偏移量为1时,序列等于从n=1到3、从3到7、从7到15……的1个数。。。;属于A035263号如下所示:
..1 3 7 15...
..1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1...
..1.....2...........5......................10...; a(n)=总和_(k=1..2n-1)A035263号(k)
.....1...........2.......................5...; 至于零。
河内之塔游戏中的..1代表CW移动模式中的磁盘:
..0, 1, 2, 0, 1, 2, ... 而偶数磁盘按以下模式移动:
..0, 2, 1, 0, 2, 1, ... (结束)
除了0之外,在格雷码表示中是重复单位的数字(A014550美元). -阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月21日
发件人古斯·怀斯曼,2023年4月20日:(开始)
还有具有整数中值的{1..n}的非空子集的数量,其中多集的中值在奇数长度的情况下是中间部分,在偶数长度的情况下是两个中间部分的平均值。例如,a(1)=1到a(4)=10个子集是:
{1} {1} {1} {1}
{2} {2} {2}
{3} {3}
{1,3} {4}
{1,2,3} {1,3}
{2,4}
{1,2,3}
{1,2,4}
{1,3,4}
{2,3,4}
补码按A005578号
对于平均值而不是中位数,我们有A051293号,计算空集A327475型
对于正常多集,我们有A056450型,强正常A361202型
对于分区,我们有A325347型,严格A359907型,补语A307683型
(结束)
参考文献
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链接
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N.J.A.斯隆,变换
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埃里克·魏斯坦的数学世界,九连环
A.K.惠特福德,广义比奈公式,《斐波那契季刊》,第15卷,第1期,1979年,第21、24、29页。
常系数线性递归的索引项,签名(2,1,-2)。
配方奶粉
a(n)=天花板(2*(2^n-1)/3)。
{2^n-1}的交替和变换(PSumSIGN)(A000225号).
a(n)=a(n-1)+2*a(n-2)+1。
a(n)=2*2^n/3-1/2-(-1)^n/6。
a(n)=和{i=0..n}A001045号(i) ,的部分和A001045号. -比尔·布莱维特
a(n)=n+2*Sum_{k=1..n-2}a(k)。
G.f.:x/((1+x)*(1-x)x(1-2*x))=x/(1-2xx^2+2*x^3)-保罗·巴里2003年2月11日
a(n)=2*a(n-1)+a(n-2)-2*a(n-3)-保罗·巴里2003年2月11日
a(n)=和{k=0..层((n-1)/2)}2^(n-2*k-1)};a(n+1)=和{k=0..层(n/2)}2^(n-2*k)-保罗·巴里2003年11月11日
a(n+1)=和{k=0..层(n/2)}2^(n-2*k);a(n+1)=和{k=0..n}和{j=0..k}(-1)^(j+k)*2^j-保罗·巴里2003年11月12日
(-1)^(n+1)*a(n)=和{i=0..n}和{k=1..i}k*k*箍筋2(i,k)*(-1)^(k-1)=(1/3)*(-2)^马里奥·卡塔拉尼(Mario.Catalani(AT)unito.it),2003年12月22日
a(n+1)=(n!/3)*和{i-(-1)^i+j=n,i=0..n,j=0..n}1/(i-(-1-)^i)/j-贝诺伊特·克洛伊特,2004年5月24日
a(n)=A001045号(n+1)-A059841号(n) -保罗·巴里2004年7月22日
a(n)=和{k=0..n}2^(n-k-1)*(1-(-1)^k),行和A130125号. -保罗·巴里2004年7月28日
a(n)=和{k=0..n}二项式(k,n-k+1)2^(n-k);a(n)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n-k,k+1)2^k-保罗·巴里2004年10月7日
a(n)=A107909号(A104161号(n) );A007088号(a(n))=A056830号(n) -莱因哈德·祖姆凯勒2005年5月28日
a(n)=地板(2^=A005578号(n+1)-1-保罗·巴里2005年10月8日
“S_n中所有231个避免对合的不动点数”的卷积(A059570号)带“1-n”(24000澳元),将结果视为偏移量为0-格雷姆·麦克雷2006年7月12日
a(n)=A081254号(n) -2^n个-菲利普·德尔汉姆2006年10月15日
从(1、2、5、10、21、42…)开始,这些是三角形的行和A135228号. -加里·亚当森2007年11月23日
设T=3 X 3矩阵[1,1,0;1,0,1;0,1,1]。则T^n*[1,0,0]=[A005578号(n) ,A001045号(n) ,a(n-1)]-加里·亚当森2007年12月25日
2^n=2*A005578号(n-1)+2*A001045号(n) +2*a(n-2)-加里·亚当森2007年12月25日
如果我们定义f(m,j,x)=和{k=j.m}二项式(m,k)*stirling2(k,j)*x^(m-k),那么a(n-3)=(-1)^(n-1)*f(n,3,-2),(n>=3)-米兰Janjic2009年4月26日
a(n)+A001045美元(n)=166920英镑(n) ●●●●。a(n)+A001045号(n+2)=A051049号(n+1)-保罗·柯茨2009年10月29日
a(n)=地板(A051049号(n+1)/3)-加里·德特利夫斯2010年12月19日
a(n)=圆形((2^(n+2)-3)/6)=地板((2qu(n+1)-1)/3)=圆形;a(n)=a(n-2)+2^(n-1),n>1-米尔恰·梅卡2010年12月27日
a(n)=k=0..n时2^k-1的二进制异或-保罗·D·汉纳2011年11月5日
例如:2/3*exp(2*x)-1/2*exp;U(k)=1-3/(4*(2^k)-4*(2*k)/(1+3*(-1)^k-24*x*(2|k)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月21日
以“1”开始=三角形A059260号*[1,2,2,…]作为向量-加里·亚当森2012年3月6日
a(n)=2*(2^n-1)/3,对于偶数n;a(n)=(2^(n+1)-1)/3=(1/3)*-Hieronymus Fischer公司,2012年11月22日
a(n)+a(n+1)=2^(n+1)-1-阿里·博斯2013年4月3日
G.f.:Q(0)/(3*(1-x)),其中Q(k)=1-1/(4^k-2*x*16^k/(2*x*4^k-1/(1+1/(2x4^k-8*x*16 ^k/)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月21日
地板(a(n+2)*3/5)=A077854号(n) ,对于n>=0-阿尔曼德斯·斯特拉兹兹2014年9月21日
a(n)=(2^(n+1)-2+(n模2))/3-保罗汤姆斯2015年3月18日
a(0)=0,a(n)=2*(a(n-1))+(n模2)-保罗汤姆斯2015年3月18日
二进制:a(n)=(a(n-1)左移1)+(a(n-1))NOR(…11110)-保罗汤姆斯2015年3月18日
二进制:对于n>1,a(n)=2*a(n-1)或a(n-2)-斯坦尼斯拉夫·西科拉2015年11月12日
a(n)=A266613型(n) -20*2^(n-5),对于n>2-安德烈斯·西卡廷2016年3月31日
发件人迈克尔·索莫斯2017年7月23日:(开始)
对于偶数n,a(n)=-(2^n)*a(-n);a(n)=-(2^(n+1))*a(-n)+1,对于奇数n。
Z中所有n的0=+a(n)*(+2+4*a(n
通用格式:(x^1+x^3+x^5+x^7+…)/(1-2*x)-格雷戈里·西蒙,2017年9月27日
a(n+1)=A051049号(n)+A001045号(n) -宇春记2018年7月12日
a(n)=A153772号(n+3)/4-马库斯·西格2020年9月14日
a(4*k+d)=2^(d+1)*a(4*1)+a(d),a(n+4)=a(n)+2^n*10,a(0..3)=[0,1,2,5]。所以最后一个数字总是重复0、1、2、5-宇春记2023年5月22日
例子
a(4)=10,因为0001、0011、0010、0110、0111、0101、0100、1100、1101、1111是切换0000到1111的10个二进制字符串。
a(3)=1,因为“lrc”是用3个半身转弯打平平局的唯一方法,也就是说,将平局的商务端从站立部分后面向左,从前面向右,然后从后面到中间。最后一个动作是把松紧的一端塞到“lr”片后面的前面,这不被视为“一步”。
a(4)=2,因为“lrlc”是用4个半程转弯打平平局的唯一方法。请注意,由于移动次数是偶数,第一步是走到领带前面的左边,而不是后面。这个结是标准的“四手”结,是最常见的男士领带结。相比之下,第二个最著名的领带,温莎,则以“lcrlcrlc”为代表。
a(n)=(2^0-1)异或(2^1-1)异或。。。异或(2^n-1)-保罗·D·汉纳2011年11月5日
G.f.=x+2*x^2+5*x^3+10*x^4+21*x^5+42*x^6+85*x^7+170*x^8+。。。
a(9)=341=2^8+2^6+2^4+2^2+2^0=4^4+4^3+4^2+4^1+4^0=A002450型(5). a(10)=682=2*a(9)=2*A002450美元(5). -格雷戈里·西蒙,2017年9月27日
枫木
A000975美元:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则n else如果n mod 2=0,则2*A000975号(n-1)其他2*A000975号(n-1)+1 fi;fi;结束;
seq(iquo(2^n,3),n=1..33)#零入侵拉霍斯2008年4月20日
f: =n->如果n mod 2=0,则(2^n-1)/3其他(2^n-2)/3;fi;[序列(f(n),n=0..40)]#N.J.A.斯隆2017年3月21日
数学
阵列[天花板[2(2^#-1)/3]&,41,0]
递归表[{a[0]==0,a[1]==1,a[n]==a[n-1]+2a[n-2]+1},a,{n,40}](*或*)
线性递归[{2,1,-2},{0,1,2},40](*哈维·P·戴尔2013年8月10日*)
f[n_]:=块[{exp=n-2},和[2^i,{i,exp,0,-2}]];数组[f,33](*罗伯特·威尔逊v2015年10月30日*)
f[s_List]:=块[{a=s[[-1]]},附加[s,If[OddQ@Length@s,2a+1,2a]]];嵌套[f,{0},32](*罗伯特·威尔逊v2017年7月20日*)
雀巢列表[2#+Boole[EvenQ[#]]&,0,39](*阿隆索·德尔·阿特2018年9月21日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,2*2^n\3)}/*迈克尔·索莫斯2006年9月4日*/
(PARI)a(n)=如果(n<=0,0,bitxor(a(n-1),2^n-1))\\保罗·D·汉纳2011年11月5日
(PARI)连接(0,Vec(x/(1-2*x-x^2+2*x^3)+O(x^100))\\阿尔图格·阿尔坎,2015年10月30日
(PARI){a(n)=(4*2^n-3-(-1)^n)/6}/*迈克尔·索莫斯2017年7月23日*/
(哈斯克尔)
a000975 n=a000975_列表!!n个
a000975_list=0:1:map(+1)
(zipWith(+)(尾部a000975_list)(映射(*2)a000975 _ list))
(岩浆)[(2^(n+1)-2+(n mod 2))/3:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2015年3月18日
(GAP)列表([0..35],n->(2^(n+1)-2+(n mod 2))/3)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月1日
(Python)
定义a(n):返回(2**(n+1)-2+(n%2))//3
打印([a(n)代表范围(35)中的n])#迈克尔·S·布兰尼基2021年12月19日
交叉参考
的部分总和A001045号
三角形的行和A013580型
等于A026644号/2.
双射物的联合A002450型A020988号. -罗伯特·威尔逊v2014年6月9日
第k列=第3列,共列A261139型
的补语A107907号
第3行,共行A300653型
与术语二进制表示相关的其他序列:A003714号,A003754号,A007088号,A022290号,A056830号,A104161号,A107909号
囊性纤维变性。A005186号,A033491号,A153772号
囊性纤维变性。A014550型,A035263号
关键词
非n,容易的,美好的
作者
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来自的其他评论巴里·威廉姆斯2000年1月10日
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已批准

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