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| A000975号 |
| a（2n）=2*a（2n-1），a（2n+1）=2*a（2n）+1（a（n）也是没有连续相等二进制数字的第n个数字）。 |
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291
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0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682, 1365, 2730, 5461, 10922, 21845, 43690, 87381, 174762, 349525, 699050, 1398101, 2796202, 5592405, 11184810, 22369621, 44739242, 89478485, 178956970, 357913941, 715827882, 1431655765, 2863311530, 5726623061, 11453246122
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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乔治·克里斯托夫·利希滕贝格（Georg Christoph Lichtenberg）于1769年就中国指环谜（baguenaudier）进行了讨论，之后可能被称为“利希滕伯格序列”-安德烈亚斯·欣兹（Andreas M.Hinz），2017年2月15日
使用格雷码从n 0的二进制字符串更改为n 1的步骤数乔恩·斯塔德勒（jstadler（AT）coaster.edu）
诸如螺旋输出（Spin-Out）和大脑谜题（The Brain Puzzler）之类的流行谜题是基于灰色二进制系统的，需要（n）个步骤才能完成一些数字n。
猜想：{a（n）}也给出了其中的所有jA048702号（j）=A000217号（j） ；也就是说，如果我们取a（n）-th三角数（a（nA048701号（a（n））由a（n”）及其反面串联而成。例如，a（4）=10，二进制为1010；第十个三角数是55，并且在二进制中55*3=165=1010100101-安蒂·卡图恩大约1999年。（Paul K.Stockmeyer在他的arXiv:1608.08245论文中证明了这一点。）-安蒂·卡图恩2016年8月31日
打平n圈或更少半圈的方法的数量，不包括镜像。在三角形格上长度为n或更小的游动次数，有以下限制：；给定l、r和c作为晶格轴。1.所有步骤均在正轴方向执行。2.不得在同一轴上连续执行两个步骤。3.所有步行从1.4开始。所有步行都以rlc或lrc结束-比尔·布莱维特2000年12月21日
a（n）是平衡树B_n的顶点覆盖中要选择的最小顶点数-森彭Eu2002年6月15日
等价地，对于某些数字k，其二进制表示有效的数字m是k的惰性斐波那契表示和Zeckendorf表示（在这种情况下是k=A022290号（m） ）-彼得·穆恩，2022年10月6日
a（n+1）给出Riordan数组的行和（1/（1-x），x（1+2x））-保罗·巴里2005年7月18日
长度为n+1的所有二进制字中初始01的总数。例如：a（3）=5，因为以01开头的长度为4的二进制字是（01）00、（01）（01）、（01）10和（01）11，而初始01的总数是5（显示在括号中）。a（n）=和{k>=0}k*A119440号（n+1，k）-Emeric Deutsch公司2006年5月19日
在挪威，我们把10环拼图称为“strikekoty”或“knitwear”（见链接）。这两个部分需要682步才能松开-汉斯·伊斯达尔2008年1月7日
对于n>1，设B_n=顶点集为V的完备二叉树，其中|V|=2^n-1。如果VC是B_n的最小顶点覆盖，Sen-Peng-Eu指出a（n）=|VC|。如果IS=V\VC，a（n+1）=|IS|-K.V.Iyer公司2009年4月13日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0，1；1，2；1），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
1） 用{n，k}表示1，…，的置换数。。。，n和上下索引k（有关定义，请参阅中的注释A203827型). 那么max_k{n，k}={n，a（n）}=A000111号（n） 。
2） a（n）是海明距离d_H（a（n-1），a（n。。。（结束）
以二进制形式表示，第二个词条之后的每个词条都包含前一个词条作为子字符串。
项a（2）=2和a（3）=5是唯一的素数。证明：对于偶数n，我们得到a（n）=2*（2^（2*n）-1）/3，这表明a（n。对于奇数n，我们有a（n）=（2^（n+1）-1）/3=（2 ^（（n+1。显然，这些因素中至少有一个可以被3整除，只要n>3，两者都大于6。因此，对于所有奇数n>3，a（n）是复合的。
用二进制数表示，a（n+1）正好有n个素子串。证明：显然，a（1）=1_2为零，a（2）=10_2为1素子串。设n>1。用二进制表示，a（n+1）是101010101…01（如果n+1是奇数），是101010101…10（如果n/1是偶数），数字是n+1。只有2位数和3位数的子串10_2（=2）和101_2（=5）是素子串。所有其他子串都是非素数的，因为每个子串是前一项，所有不等于2和5的项都是非素的。对于偶数n+1，等于2＝10_2的素数子串的数量是（n+1）/2，等于5＝101_2的素数子串的数量是（n-1）/2，形成n的和。对于奇数n+1，我们得到这两者的n/2，2和5的素数子串的数量，在任何情况下，和都是n。
（结束）
此外，如果两个基本顶点的颜色是固定的，则为具有n+2个顶点的基上所有三角化平面多边形的顶点的不同三色数-帕特里克·拉巴基2013年2月9日
a（n）是长度为n的二进制字的数量，其中包含至少一个1，并以0的偶数（可能为零）结尾。a（3）=5，因为我们有：001，011，100，101，111-杰弗里·克雷策2013年12月15日
a（n）是长度为n+1且只有一个下降的置换数，使得置换的第一个元素是偶数-冉·潘2015年4月18日
a（n）是通过Sylvester构造得到的Hadamard矩阵H（2^n）最后一行的序列：H（2）=[1,1；1，-1]，H（2~n）=H（2~（n-1））*H（2，其中*是Kronecker积-威廉·奥里克2015年6月28日
基于5细胞von Neumann邻域，“规则131”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴从原点到右边缘的十进制表示。请参见A279053型以获取参考和链接-罗伯特·普莱斯2016年12月5日
猜想：a（n+1）是n的两种成分n和n’的组合数，其中1和1’的顺序无关紧要。对于n＝2，a（3）＝5个组成，列举如下：2；2'; 1,1; 1',1 = 1',1; 1',1'. -格雷戈里·西蒙2017年9月2日
通过识别适当的g.f.来证明猜想是x/（1-x）（1-x，（1-2*x^2-2x^3-…）=x/（1-2*x-x^2+2x^3）-格雷戈里·西蒙，2017年9月10日
在二进制表示中，a（2*n）=n乘以字符串[10]，a（2*n+1）=n除以字符串[10][1]。例如：二进制中的a（7）=85=（1010101），二进制中的b（8）=170=（1010110）-Ctibor O.Zizka公司2018年11月6日
除了0之外，这些是正整数，其二进制展开具有抗割性1。对于将所有运行缩短1的操作，cuts-resistance是达到一个空单词所需的应用程序数。切割阻力2为329862美元. -古斯·怀斯曼2019年11月27日
设s（k）是k的Collatz轨道的长度，例如s（1）=1，s（2）=2，s（3）=5。则s（a（n））=n+3，对于n>=3。归纳证明：s（a（3））=s（5）=6=3+3。对于奇数n>=5，我们有s（a（n））=s（4*a（n-2）+1）=s。
猜想：对于n>=3，a（n）是第二大自然数，其Collatz轨道长度为n+3。（结束）
偏移量为1时，序列等于从n=1到3、从3到7、从7到15……的1个数。。。；属于A035263号; 如下所示：
..1 3 7 15。。。
..1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1...
..1.....2...........5......................10...; a（n）=总和_（k=1..2n-1）A035263号（k）
.....1...........2.......................5...; 至于零。
河内之塔游戏中的..1代表CW移动模式中的磁盘：
..0, 1, 2, 0, 1, 2, ... 而偶数磁盘按以下模式移动：
..0, 2, 1, 0, 2, 1, ... （结束）
还有具有整数中值的{1..n}的非空子集的数量，其中多集的中值在奇数长度的情况下是中间部分，在偶数长度的情况下是两个中间部分的平均值。例如，a（1）=1到a（4）=10子集为：
{1} {1} {1} {1}
{2} {2} {2}
{3} {3}
{1,3} {4}
{1,2,3} {1,3}
{2,4}
{1,2,3}
{1,2,4}
｛1，3，4｝
{2,3,4}
（结束）
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参考文献
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托马斯·芬克（Thomas Fink）和永茂（Yong Mao），《打领带的85种方式》（The 85 Ways to Tie a Tie），百老汇图书，纽约（1999），第138页。
Clifford A.Pickover，《数学书》，《从毕达哥拉斯到第57维度》，《数学史上的250个里程碑》，斯特林出版社。，纽约，2009年。
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链接
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David Hayes、Kaveh Khodjasteh、Lorenza Viola和Michael J.Bieruk，沃尔什调制动态量子差错抑制中降低排序复杂度，arXiv:1109.6002[定量/小时]，2011年。
Clemens Heuberger和Daniel Krenn，正则序列的渐近分析，arXiv:1810.13178[math.CO]，2018年。见第29页。
Andreas M.Hinz、Sandi Klavíar、UrošMilutinović和Ciril Petr，河内塔-神话与数学，Birkhäuser 2013。见第56页。图书网站
贾黄和埃尔科·莱顿，几种群胚的结合交换谱，arXiv:2401.15786[math.CO]，2024。见第17页。
贾黄、麦迪逊·米奇、徐建白，双减运算的非结合性《整数序列杂志》，第20卷（2017年），#17.10.3。
D.E.Knuth和O.P.Lossers，循环集的分区，Amer中的问题11151。数学。月刊114（3）（2007）第265页，E_3。
S.Lafortune、A.Ramani、B.Grammaticos、Y.Ohta和K.M.Tamizhmani，混合两个离散可积性准则：奇异性约束和代数熵，arXiv:nlin/0104020[nlin.SI]，2001年。
Gregg Musiker和Son Nguyen，二叉树上的标记芯片点火，arXiv:2206.02007[math.CO]，2022。
A.K.Whitford，广义比奈公式《斐波纳契季刊》，第15卷，第1期，1979年，第21、24、29页。
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配方奶粉
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a（n）=天花板（2*（2^n-1）/3）。
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+1。
a（n）=2*2^n/3-1/2-（-1）^n/6。
a（n）=n+2*Sum_{k=1..n-2}a（k）。
G.f.:x/（（1+x）*（1-x）x（1-2*x））=x/（1-2xx^2+2*x^3）-保罗·巴里2003年2月11日
a（n）＝2*a（n-1）+a（n-2）-2*a（n-3）-保罗·巴里2003年2月11日
a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}2^（n-2*k-1）}；a（n+1）=和{k=0..层（n/2）}2^（n-2*k）-保罗·巴里2003年11月11日
a（n+1）=和{k=0..层（n/2）}2^（n-2*k）；a（n+1）=和{k=0..n}和{j=0..k}（-1）^（j+k）*2^j-保罗·巴里，2003年11月12日
（-1）^（n+1）*a（n）=和{i=0..n}和{k=1..i}k*k*箍筋2（i，k）*（-1）^（k-1）=（1/3）*（-2）^马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月22日
a（n+1）=（n！/3）*和{i-（-1）^i+j=n，i=0..n，j=0..n}1/（i-（-1-）^i）/j-贝诺伊特·克洛伊特2004年5月24日
a（n）=和{k=0..n}二项式（k，n-k+1）2^（n-k）；a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k+1）2^k-保罗·巴里2004年10月7日
如果我们定义f（m，j，x）=Sum_{k=j.m}二项式（m，k）*stirling2（k，j）*x^（m-k），则a（n-3）=（-1）^（n-1）*f（n，3，-2），（n>=3）-米兰Janjic2009年4月26日
a（n）=圆形（（2^（n+2）-3）/6）=地板（2^（n+1）-1）/3）=圆形（2^（n+1）-2）/3）；a（n）=a（n-2）+2^（n-1），n>1-米尔恰·梅卡2010年12月27日
a（n）=k=0..n时2^k-1的二进制异或-保罗·D·汉纳2011年11月5日
例如：2/3*exp（2*x）-1/2*exp；U（k）=1-3/（4*（2^k）-4*（2*k）/（1+3*（-1）^k-24*x*（2|k）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月21日
a（n）=2*（2^n-1）/3，对于偶数n；a（n）=（2^（n+1）-1）/3=（1/3）*（2^（（n+1）/2）-1）*（2^（（n+1）/2）+1），对于奇数n-Hieronymus Fischer公司2012年11月22日
a（n）+a（n+1）=2^（n+1”）-1-阿里·博斯2013年4月3日
G.f.：Q（0）/（3*（1-x）），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1+1/（2x4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月21日
a（n）=（2^（n+1）-2+（n模2））/3-保罗汤姆斯2015年3月18日
a（0）＝0、a（n）＝2*（a（n-1））+（n mod 2）-保罗汤姆斯2015年3月18日
二进制：a（n）=（a（n-1）左移1）+（a（n-1））NOR（…11110）-保罗汤姆斯2015年3月18日
二进制：对于n>1，a（n）=2*a（n-1）或a（n-2）-斯坦尼斯拉夫·西科拉2015年11月12日
对于偶数n，a（n）=-（2^n）*a（-n）；a（n）=-（2^（n+1））*a（-n）+1对于奇数n。
Z中所有n的0=+a（n）*（+2+4*a（n
通用格式：（x^1+x^3+x^5+x^7+…）/（1-2*x）-格雷戈里·西蒙2017年9月27日
a（4*k+d）=2^（d+1）*a（4*1）+a（d），a（n+4）=a（n）+2^n*10，a（0..3）=[0,1,2,5]。所以最后一个数字总是重复0、1、2、5-宇春记2023年5月22日
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例子
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a（4）=10，因为0001、0011、0010、0110、0111、0101、0100、1100、1101、1111是切换0000到1111的10个二进制字符串。
a（3）=1，因为“lrc”是用3个半身转弯打平平局的唯一方法，也就是说，将平局的商务端从站立部分后面向左，从前面向右，然后从后面到中间。最后一个动作是把松紧的一端塞到“lr”片后面的前面，这不被视为“一步”。
a（4）=2，因为“lrlc”是用4个半程转弯打平平局的唯一方法。请注意，由于移动次数是偶数，第一步是走到领带前面的左边，而不是后面。这个结是标准的“四手”结，是最常见的男士领带结。相比之下，第二个最著名的领带，温莎，则以“lcrlcrlc”为代表。
a（n）=（2^0-1）异或（2^1-1）异或。。。异或（2^n-1）-保罗·D·汉纳2011年11月5日
G.f.=x+2*x^2+5*x^3+10*x^4+21*x^5+42*x^6+85*x^7+170*x^8+。。。
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MAPLE公司
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seq（iquo（2^n，3），n=1..33）#零入侵拉霍斯2008年4月20日
f： =n->如果n mod 2=0，则（2^n-1）/3其他（2^n-2）/3；fi；[序列（f（n），n=0..40）]#N.J.A.斯隆2017年3月21日
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数学
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阵列[天花板[2（2^#-1）/3]&，41，0]
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==a[n-1]+2a[n-2]+1}，a，{n，40}]（*或*）
线性递归[{2，1，-2}，{0，1，2}，40](*哈维·P·戴尔2013年8月10日*）
f[n_]：=块[{exp=n-2}，和[2^i，{i，exp，0，-2}]]；数组[f，33](*罗伯特·威尔逊v2015年10月30日*）
f[s_List]：=块[{a=s[[-1]]}，附加[s，If[OddQ@Length@s，2a+1，2a]]]；嵌套[f，{0}，32](*罗伯特·威尔逊v2017年7月20日*）
嵌套列表[2#+Boole[EvenQ[#]]&，0，39](*阿隆索·德尔·阿特2018年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*2^n\3）}/*迈克尔·索莫斯2006年9月4日*/
（PARI）a（n）=如果（n<=0，0，bitxor（a（n-1），2^n-1））\\保罗·D·汉纳2011年11月5日
（PARI）连接（0，Vec（x/（1-2*x-x^2+2*x^3）+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月30日
（PARI）{a（n）=（4*2^n-3-（-1）^n）/6}/*迈克尔·索莫斯2017年7月23日*/
（哈斯克尔）
a000975 n=a000975_列表！！n个
a000975_list=0:1:map（+1）
（zipWith（+）（尾部a000975_list）（映射（*2）a000975 _ list））
（岩浆）[（2^（n+1）-2+（n mod 2））/3:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2015年3月18日
（GAP）列表（[0..35]，n->（2^（n+1）-2+（n mod 2））/3）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月1日
（Python）
定义a（n）：返回（2**（n+1）-2+（n%2））//3
打印（[a（n）代表范围（35）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年12月19日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000295美元,A005578号,A015441号,A043291号,A053404号,A059260美元,A077854美元,A119440号,A127824号,A130125号,A135228号,A155051号,179970英镑,A264784型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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