二项式变换图解===================================（弗兰克·埃勒曼（AT）t-online.de）如果你和我一样，你从来没有听说过“二项式变换”，甚至“兰伯特函数”。给定一个未知序列，我要做的第一件事是看看连续的差异：只要在差异表只包含0，序列可能是n中的多项式。差分表的第n行称为这里的“一阶和深度N的差”。第一对角线，即每行中的初始数字，简单地称为“一阶差”。写下序列作为第一对角线，并重建差分表，被称为“二项式变换”。如果序列A是“差异则序列B为“二项式变换”序列A没有更多的定义，有趣的是：自然数0、1、2、3等的二项式变换导致序列A001787。跳过0，我们得到A001792。当然A001792是A001787下方的行（也称为“深度差1”）。接下来的3行是A045623、A045891和A034007。到目前为止，我们发现了6个已知序列，参见下面的第一个三角形。为了获得二阶差异，只需使用一阶差分作为输入序列。二项式变换A001787的第1行给出A027471（下面第2个三角形的第1行）。在换言之，A027471的二阶差（再次）是自然数。重复这个过程，我们得到9个三角形，第一行对应至A001787、A027471、A002697、A053464、A05346、A02747、A053539、，A053540，最后是A053541，非常漂亮（以10为基数）。A053541的9阶差是自然数我们发现14=6+8个已知序列（EIS中的“已知”）。理论上，这个过程可以永远重复，我们发现更多通过将生成的三角形一个接一个地放置在另一个三角形的后面来排序：第一行中的第二个数字构成A005843（偶数，无聊），第三个数字组成A033428，第四个数字是A033430。但是还有更多经过改造的轮子：取N三角形第（N+1）行的第一个数字，如下是序列A000312，N的N次幂（N^N和N**N）。第一第N个三角形第N行中的数字是序列A053606，并且A053606（n）和A000312（n）以下的数字是序列A055897。+-------------A005843：（2），4,6,8,10,12,14,16,18,22,24，。。：+----------A033428:（3），12,27,48,75108147192243300，。。：：+------A033430:（4），3210825650086413722048，。。: : :A001787:0 1 4 12 32 80 192 448 1024 2304 5120A001792:1 3 8 20 48 112 256 576 1280 2816A045623:2 5 12 28 64 144 320 704 1536A045891:3 7 16 36 80 176 384 832A034007:4 9 20 44 96 208 4485 11 24 52 112 2406 13 28 60 1287 15 32 688 17 369 1910A027471:0 1 6 27 108 405 1458 5103 17496 59049 196830A053606（2）：1 5 21 81 297 1053 3645 12393 41553 137781A000312（2）：4 16 60 216 756 2592 8748 29160 96228A055897（3）：12 44 156 540 1836 6156 20412 6706832 112 384 1296 4320 14256 4665680 272 912 3024 9936 32400192 640 2112 6912 22464448 1472 4800 155521024 3328 107522304 74245120A002697:0 1 8 48 256 1280 6144 28672 131072 589824 26214401 7 40 208 1024 4864 22528 102400 458752 2031616A053606（3）；6 33 168 816 3840 17664 79872 356352 1572864A000312（3）：27 135 648 3024 13824 62208 276480 1216512A055897（4）：108 513 2376 10800 48384 214272 940032405 1863 8424 37584 165888 7257601458 6561 29160 128304 5598725103 22599 99144 43156817496 76545 33242459049 255879196830A053464:0 1 10 75 500 3125 18750 109375 625000 3515625 195312501 9 65 425 2625 15625 90625 515625 2890625 160156258 56 360 2200 13000 75000 425000 2375000 13125000A053606（4）：48 304 1840 10800 62000 350000 1950000 10750000A000312（4）：256 1536 8960 51200 288000 1600000 8800000A055897（5）：1280 7424 42240 236800 1312000 72000006144 34816 194560 1075200 588800028672 159744 880640 4812800131072 720896 3932160589824 32112642621440A053469:0 1 12 108 864 6480 46656 326592 2239488 15116544 1007769601 11 96 756 5616 40176 279936 1912896 12877056 8566041610 85 660 4860 34560 239760 1632960 10964160 7278336075 575 4200 29700 205200 1393200 9331200 61819200A053606（5）：500 3625 25500 175500 1188000 7938000 52488000A000312（5）：3125 21875 150000 1012500 6750000 44550000A055897（6）：18750 128125 862500 5737500 37800000109375 734375 4875000 32062500625000 4140625 271875003515625 2304687519531250A027473:0 1 14 147 1372 12005 100842 823543 6588344 51883209 4035360701 13 133 1225 10633 88837 722701 5764801 45294865 35165286112 120 1092 9408 78204 633864 5042100 39530064 306357996108 972 8316 68796 555660 4408236 34487964 266827932864 7344 60480 486864 3852576 30079728 232339968A053506（6）：6480 53136 426384 3365712 26227152 202260240A000312（6）：46656 373248 2939328 22861440 176033088A055897（7）：326592 2566080 19922112 1531716482239488 17356032 13324953615116544 115893504100776960A053539:0 1 16 192 2048 20480 196608 1835008 16777216 150994944 13421772801 15 176 1856 18432 176128 1638400 14942208 134217728 119118233614 161 1680 16576 157696 1462272 13303808 119275520 1056964608147 1519 14896 141120 1304576 11841536 105971712 9376890881372 13377 126224 1163456 10536960 94130176 83171737612005 112847 1037232 9373504 83593216 737587200A053506（7）：100842 924385 8336272 74219712 653993984A000312（7）：823543 7411887 65883440 579774272A055897（8）：6588344 58471553 51389083251883209 455419279403536070A053540:0 1 18 243 2916 32805 354294 3720087 38263752 387420489 38742048901 17 225 2673 29889 321489 3365793 34543665 349156737 348678440116 208 2448 27216 291600 3044304 31177872 314613072 3137627664192 2240 24768 264384 2752704 28133568 283435200 28230145922048 22528 239616 2488320 25380864 255301632 253957939220480 217088 2248704 22892544 229920768 2284277760196608 2031616 20643840 207028224 2054356992A053506（8）：1835008 18612224 186384384 1847328768A000312（8）：16777216 167772160 1660944384A055897（9）：150994944 14931722241342177280A053541:0 1 20 300 4000 50000 600000 7000000 80000000 9000000000000001 19 280 3700 46000 550000 6400000 73000000 820000000 910000000018 261 3420 42300 504000 5850000 66600000 747000000 8280000000243 3159 38880 461700 5346000 60750000 680400000 75330000002916 35721 422820 4884300 55404000 619650000 685260000032805 387099 4461480 50519700 564246000 6232950000354294 4074381 46058220 513726300 56687040003720087 41983839 467668080 5154977700A053506（9）：38263752 425684241 4687309620A000312（9）：387420489 4261625379A055897（10）：3874204890顺便说一句，不要用斐波那契数来代替自然数你会一次又一次得到A000045（移位和/或签名）。