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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A112493号 按行读取的三角形,T(n,k)=和{j=0..n}C(n-j,n-k)*E2(n,j),其中E2是二阶欧拉数A201637号,对于n>=0和0<=k<=n。 14
1,1,1,1,4,3,1,11,25,15,1,26,130,210,105,1,57,546,1750,2205,945,1,120,2037,11368,26775,27720,10395,1,247,7071,63805,247555,460845,405405405,135135,1,502,23436,325930,1939630,5735730,8828820,6756750,2027025,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

以前的名字是:系数三角多项式用于斯特林2对角线。

对于Stirling2三角形对角线k的o.g.f.也有类似的结果。看到了吗A008517型(二阶欧拉三角形)。

A(m,x),即m列的o.g.f.满足递归A(m,x)=x*(x*(d/dx)A(m-1,x)+m*A(m-1,x))/(1-(m+1)*x),对于m>=1和A(0,x)=1/(1-x)。

列k+1,k>=0中的序列的e.g.fA008278号,即对于Stirling2三角形的对角线k>=0A048993号,是exp(x)*和{m=0..k}a(k,m)*(x^(m+k))/(m+k)!。

看起来这个序列中的三角形和A124324号有相同的列,除了班次-约根·巴克林2022年6月20日

这个三角形的改进版本如A356145型,其中包含一个链接,该链接提供了A124324号这篇文章,证实了约根·贝克林上面的观察-汤姆·科普兰2022年9月24日

链接

n=0..45的n,a(n)表。

F、 博格伦,弗莱约特博士和萨尔维博士,生长树种,计算机科学讲义第581卷,J.-C.Raoult版,斯普林格1992年,第24-48页。

D、 多米尼克,嵌套导数:求逆函数级数展开式的一种简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA],2005年。

沃尔夫迪特·朗,前十排。

安德鲁·艾尔维·普莱斯和艾伦·D·索卡尔,系统发育树,增广完美匹配,以及Ward多项式的Thron型连分式(T-分数),arXiv:2001.01468[math.CO],2020年。

公式

a(k,m)=0,如果k<m,a(k,-1):=0,a(0,0)=1,a(k,m)=(m+1)*a(k-1,m)+(k+m-1)*a(k-1,m-1)否则。

彼得·巴拉2011年9月30日:(开始)

E、 g.f.:A(x,t)=-1-(1+t)/t*兰伯特W(-t/(1+t)*exp((x-t)/(1+t))=x+(1+t)*x^2/2!+(1+4*t+3*t^2)*x^3/3!+。。。。A(x,t)是(1+t)*log(1+x)-t*x的反函数。

A(x,t)满足偏微分方程(1-x*t)*dA/dx=1+A+t*(1+t)*dA/dt。结果表明,行生成多项式R(n,t)满足递推R(n+1,t)=(n*t+1)*R(n,t)+t*(1+t)*dR(n,t)/dt。囊性纤维变性。A054589号A075856号多项式t/(1+t)*R(n,t)是A134991年.

母函数A(x,t)满足自治微分方程dA/dx=(1+A)/(1-t*A)。应用[Bergeron等人,定理1]给出了行生成多项式R(n,t)的组合解释:R(n,t)计数n+1顶点上的平面增长树,其中出度k的非叶顶点为t^(k-1)*(1+t)颜色。下面给出了一个例子。囊性纤维变性。A006351号应用[Dominici,定理4.1]给出了计算行多项式R(n,t)的如下方法:设f(x)=(1+x)/(1-x*t)。然后R(n,t)=(f(x)*d/dx)^n(f(x))在x=0处计算。(结束)

和{j=0..n}T(n-j,j)=A000110号(n) 一-海因茨2022年6月20日

例子

三角形起点:

[1]

[1,1]

[1,4,3]

[1,11,25,15]

[1,26,130,210,105]

[1,57,546,1750,2205,945]

...

例如[0,0,1,7,25,65,…],k=3列A008278号,但偏移量n=0时,为exp(x)*(1*(x^2)/2!+4*(x^3)/3!+3*(x^4)/4!)。

第三行[1,4,3]:在3个顶点上有三个平面递增树。颜色数显示在顶点的右侧。

...................................................

……1开(1+t)……1开(1+t)……1o.t*(1+t)….1o.t*(1+t)。。。

....|................. /.\............/.\..........

....|................ /...\........../...\.........

….2o.(1+t)………2o…..3o……3o….2o。。。。。。。。

....|..............................................

....|..............................................

……3点。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

...................................................

树的总数是(1+t)^2+t*(1+t)+t*(1+t)=1+4*t+3*t^2=R(2,t)。

枫木

T:=(n,k)->加法(组合:-eulerian2(n,j)*二项式(n-j,n-k),j=0..n):

顺序(顺序(T(n,k),k=0..n),n=0..9)#彼得·卢什尼2016年4月11日

数学

最大值=11;f[x,t_x]:=-1-(1+t)/t*产品日志[-t/(1+t)*扩展[(x-t)/(1+t)];coes=CoefficientList[系列[f[x,t],{x,0,max},{t,0,max}],{x,t}]*范围[0,max]!;Table[coes[[n,k]],{n,0,max},{k,1,n-1}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2012年11月22日,e.g.f.*)

交叉引用

行总和给出A006351号(k+1),k>=0。

列序列以A000012号(1的幂),A000295型(欧拉数字),A112495年,A112496号,A112497号.

囊性纤维变性。A008278号,A008517型,A048993号,A054589号,A075856号,A134991年,A201637号,A124324号.

反斜线数A000110号.

囊性纤维变性。A356145型.

上下文顺序:A172106号 邮编:A128813 A109062号*A010305型 A308326 A098234号

相邻序列:A112490号 A112491号 A112492号*A112494号 A112495年 A112496号

关键字

,容易的,

作者

狼牙2005年10月14日

扩展

新名称来自彼得·卢什尼2016年4月11日

状态

经核准的

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上次修改时间:2022年12月6日08:36。包含358605个序列。(运行在oeis4上。)