0,5

曾用名为：多项式的系数三角形，用于Stirling2对角线的f.s。

对于斯特林2三角形对角线k的o.g.f.，有一个类似的结果。请参见A008517号（二阶欧拉三角形）。

A（m，x）是m列的o.g.f.，满足递推关系A（m、x）=x*（x*（d/dx）A（m-1，x）+m*A（m-l，x））/（1-（m+1）*x），对于m>=1和A（0，x）=1/（1-x）。

例如，对于第k+1列中的序列，k>=0A008278号即，对于Stirling2三角形的对角线k>=0A048993号，是exp（x）*Sum_{m=0..k}a（k，m）*（x^（m+k））/（m+k）！。

看起来这个序列中的三角形和A124324号除班次外，其他列都相同-约根·巴克林2022年6月20日

下面给出了这个三角形的改进版本A356145型，其中包含一个链接，提供了A124324号和这个条目，证实了Jörgen Backelin在上面的观察-汤姆·科普兰2022年9月24日

n，a（n）的表，n=0..45。

F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。

D.多米尼克，嵌套导数：一种计算反函数级数展开式的简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA]，2005年。

沃尔夫迪特·朗，前十行。

Andrew Elvey Price和Alan D.Sokal，Ward多项式的系统发生树、增广完美匹配和Thron型连分数（T分数），arXiv:2001.01468[math.CO]，2020年。

如果k<m，a（k，-1）：=0，a（0，0）=1，a（k，m）=（m+1）*a（k-1，m）+（k+m-1）*a。

发件人彼得·巴拉2011年9月30日：（开始）

例如：A（x，t）=-1-（1+t）/t*兰伯特W（1+4*t+3*t^2）*x^3/3！+。。。。A（x，t）是（1+t）*log（1+x）-t*x的反函数。

A（x，t）满足偏微分方程（1-x*t）*dA/dx=1+A+t*（1+t）*d A/dt。由此可知，行生成多项式R（n，t）满足递归R（n+1，t）=（n*t+1）*R（n、t）+t*（1+t）*dR（n和t）/dt。囊性纤维变性。A054589号和A075856号多项式t/（1+t）*R（n，t）是A134991号.

母函数A（x，t）满足自治微分方程dA/dx=（1+A）/（1-t*A）。应用[Bergeron等人，定理1]对行生成多项式R（n，t）：R（n、t）计数平面递增树的n+1顶点给出了组合解释，其中出度k的非叶顶点为t^（k-1）*（1+t）颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A006351号，对应于t=1的情况。应用[Dominici，定理4.1]给出了计算行多项式R（n，t）的以下方法：设f（x）=（1+x）/（1-x*t）。然后R（n，t）=（f（x）*d/dx）^n（f（x））在x=0处求值。（结束）

和{j=0..n}T（n-j，j）=A000110号（n） ●●●●-阿洛伊斯·海因茨2022年6月20日

三角形开始：

[1]

[1, 1]

[1, 4, 3]

[1, 11, 25, 15]

[1, 26, 130, 210, 105]

[1, 57, 546, 1750, 2205, 945]

...

例如，f.[0,0,1,7,25,65，…]，k=3列A008278号，但偏移量n=0，是exp（x）*（1*（x^2）/2！+4*（x^3）/3！+3*（x^4）/4！）。

第三行[1,4,3]：在三个顶点上有三个平面递增树。颜色的数量显示在顶点的右侧。

...................................................

….1o.（1+t）。。。

....|................. /.\............/.\..........

....|................ /...\........../...\.........

……2o.（1+t）…….2o…..3o…..2o。。。。。。。。

....|..............................................

....|..............................................

….3o。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

...................................................

树的总数是（1+t）^2+t*（1+t）+t*[1+t]=1+4*t+3*t^2=R（2，t）。

T:=（n，k）->加（组合：-欧拉2（n，j）*二项式（n-j，n-k），j=0..n）：

seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2016年4月11日

最大值=11；f[x_，t_]：=-1-（1+t）/t*产品日志[-t/（1+t）*Exp[（x-t）/（1+t）]]；coes=系数列表[系列[f[x，t]，{x，0，max}，{t，0，max}]，{x，t}]*范围[0，max]！；表[coes[[n，k]]，{n，0，max}，{k，1，n-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2012年11月22日，例如f.*）

行总和给出A006351号（k+1），k>=0。

列序列以开头A000012号（1的权力），A000295号（欧拉数），A112495型,A112496号,A112497号.

囊性纤维变性。A008278号,A008517号,A048993号,A054589号,A075856号,A134991号,A201637号,A124324号.

反对角线和给出A000110号.

囊性纤维变性。A356145型.

上下文中的序列：A172106号 A128813号 A109062号*A010305型 A308326型 A098234号

相邻序列：A112490型 A112491号 A112492号*A112494号 A112495型 A112496号

非n,容易的,表

沃尔夫迪特·朗2005年10月14日

来自的新名称彼得·卢什尼2016年4月11日

经核准的