搜索： a008458-编号：a008458
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A250120型
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| 平面网3.3.3.3.6（也称为fsz网）的协调顺序。 |
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6134
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1, 5, 9, 15, 19, 24, 29, 33, 39, 43, 48, 53, 57, 63, 67, 72, 77, 81, 87, 91, 96, 101, 105, 111, 115, 120, 125, 129, 135, 139, 144, 149, 153, 159, 163, 168, 173, 177, 183, 187, 192, 197, 201, 207, 211, 216, 221, 225, 231, 235
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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共有十一种均匀（或阿基米德）平铺（或平面网），顶点符号为3^6、3^4.6、3^3.4^2、3^2.4.3.4、4^4、3.4.6.4、3.6.3.6、6^3、3.12^2、4.6.12和4.8^2。Grünbaum和Shephard（1987）是最好的参考。
a（n）是距离任何固定顶点的图形距离n处的顶点数。
Mathematica笔记本可以计算30或40次迭代，并用周期5给它们上色。如果你想的话，你也可以改变图像。这些图表更适合分析模式的5个迭代块。您可以看到，在迭代过程中，所有圆周碎片都保持了形状，并向外平移了大约sqrt（21）的距离（相对于小三角形边缘），即较大菱形单元的长对角线的长度。推测的重现应该来自对翻译作品之间如何出现新作品的分析-布拉德利·克莱2014年11月26日
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参考文献
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Branko Grünbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案。W.H.Freeman，纽约，1987年，图2.1.5，第63页。
Marjorie Senechal，《准晶与几何》，剑桥大学出版社，1995年，图1.10，第1.3节，第13-16页。
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链接
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布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
N.J.A.斯隆，均匀平面网及其A数【Grünbaum and Shephard（1977）的带注释扫描图】
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第1部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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公式
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根据Darrah Chavey、Bradley Klee和Maurizio Paolini的计算，有一个强烈的推测，这个序列的第一个差异是4、4、6、5、5、4、5、五、五、四、六、四、五、。。。，也就是说，4后面跟着（4,6,4,5,5）重复。
这意味着序列满足重现性：
对于n>2，a（n）=a（n-1）+｛n=0,3（mod 5），4；n=4（mod 5），6；n==1，2（mod 5），5｝
（来自Darrah Chavey）
并具有生成功能
（x^2+x+1）*（x^4+3*x^3+3*x+1）/（（x^4+x^3+x^2+x+1）x（x-1）^2）
以上所有猜测都是正确的，如需证明，请参阅我与Chaim Goodman-Strauss合著的文章链接-N.J.A.斯隆2018年1月14日；链接于2018年3月26日添加
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数学
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系数列表[级数[（x^2+x+1）（x^4+3x^3+3x+1）/（（x^4+x^3+x^2+x+1））（x-1）^2），{x，0，80}]，x]（*或*）线性递归[{1，0，0，1，-1}，{1，5，9，15，19，24，29}，60](*哈维·P·戴尔2018年5月5日*）
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黄体脂酮素
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Maurizio Paolini 2014年11月23日对C程序的评论（见链接）：基本上，我所做的是将网络变形到积分格上，连接从东北到西南水平、垂直或对角排列的节点，将坐标（I，j）满足I+2*j=0 mod 7的节点标记为不可访问。然后，该代码计算从每个节点到网格中心节点的距离。
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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a（11）-a（49），Maurizio Paolini，2014年11月23日
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状态
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经核准的
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A004016号
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| 平面六角晶格A_2的Theta系列。
（原名M4042）
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+10
311
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1, 6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 12, 6, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
a（n）是x^2+x*y+y^2=n（或等价于x^2-x*y+y^2=n）的整数解的数目-迈克尔·索莫斯2004年9月20日
a（n）是x^2+y^2+z^2=2*n的整数解数，其中x+y+z=0-迈克尔·索莫斯2012年3月12日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，见第171页，条目28。
哈维·科恩，《高级数论》，多佛出版公司，1980年，第89页。例18。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球面封装、格和群”，Springer Verlag，第111页。
M.N.Huxley，面积，格点和指数和，牛津，1996；第236页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.M.Borwein和P.B.Borwein，雅各比身份和年度股东大会的立方对应物，事务处理。阿米尔。数学。Soc.，323（1991），第2期，691-701。MR1010408（91e:33012）见第695页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:11505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
N.J.A.斯隆，球形填料和球形代码表，IEEE传输。信息理论，第IT-27卷，1981年，第327-338页。
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公式
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a（q）的q次幂展开式，其中a（q）是第一个三次AGMθ函数。
θ_3（q）*theta_3（q^3）+θ_2（q）*θ_2。
φ（x）*phi（x^3）+4*x*psi（x^2）*psi（x^6）的x次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
（1/Pi）积分{0..Pi/2}θ_3（z，q）^3+θ_4（z，q）^3 dz的幂展开式-迈克尔·索莫斯2012年1月1日
系数x^0在f（x*q，q/x）^3中以q^2的幂展开，其中f（，）是Ramanujan的广义θ函数-迈克尔·索莫斯2012年1月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2-3*v^2-2*u*w+4*w^2-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
G.f.A（x）满足0=f（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A“x^6”），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2-迈克尔·索莫斯2005年5月20日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（3t））=3^（1/2）（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年9月11日
G.f.A（x）从拉马努扬（Ramanujan）出发，满足A（x）+A（-x）=2*A（x^4）。
一般公式：1+6*Sum_{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））-迈克尔·索莫斯2003年10月6日
G.f.：总和_（q^（n^2+n*m+m^2）），其中总和（对于n和m）延伸到整数上-乔格·阿恩特2011年7月20日
通用公式：θ_3（q）*θ_3（q^3）+θ_2（q）*theta_2（q^2）=（eta（q^（1/3））^3+3*eta（q ^3）^3）/eta（q）。
一般公式：1+6*Sum_{n>=1}x^（3*n-2）/（1-x^-保罗·D·汉纳2011年7月3日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=2*Pi/sqrt（3）=3.627598(A186706号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月15日
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例子
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G.f.=1+6*x+6*x^3+6*x^4+12*x^7+6*x|9+6*x*12+12*x^13+6*x*16+。。。
最小范数为2:
1+6*q^2+6*q^6+6*q ^8+12*q ^ 14+6*q^18+6*q ^ 24+12*q^ 26+6*q^32+12*q^38+12*q ^42+6*q ^ 50+6*q ^54+12*q^56+12*^128+12*q^134+12*q ^146+6*q ^150+12*q ^152+12*q^158+。。。
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MAPLE公司
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局部a，j；
对于从0到n/3的j do
结束do：
a；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，6除数和[n，KroneckerSymbol[#，3]&]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月8日*）
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q]^3+9 q QPochharmer[q ^9]^3）/QPochhammer[q ^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2014年11月13日*）
a[n_]：=系列系数[EllipticTheta[3，0，q]椭圆Theta[3,0，q^3]+椭圆Theta[2,0，q]椭圆Theta[2,0、q^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*）
a[n_]：=长度@FindInstance[x^2+xy+y^2==n，{x，y}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年9月14日*）
术语=81；f[q_]=LatticeData[“A2”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；s=级数[f[q]，{q，0，2项}]；系数列表[s，q^2][[1；；项]](*Jean-François Alcover公司2017年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=因子（n）；6*prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==3，1，p%3==1，e+1，1-e%2））}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月20日*//*编者注：这是最有效的程序*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1+6*和（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2003年10月6日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，kronecker（d，3）））}/*迈克尔·索莫斯2005年3月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3==2））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n*=3；a=x*O（x^n）；波尔科夫（（eta（x+a）^3+3*x*eta（x^9+a））^3）/eta（x^3+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=if（n＜1，n＝＝0，qfrep（[2，1；1，2]，n，1）[n]*2）}/*迈克尔·索莫斯2005年7月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（1+6*和（k=1，n，x^（3*k-2）/（1-x^/*保罗·D·汉纳2011年7月3日*/
（Sage）模块形式（Gamma1（3），1，prec=81）.0#迈克尔·索莫斯2013年6月4日
（Magma）基（模形式（Gamma1（3），1），81）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，2）；A<q>：=ThetaSeries（L，161）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（Python）
来自数学导入产品
来自sympy导入因子
定义A004016号（n） ：如果p%3==1，则返回6*prod（e+1）；如果p！=3） 如果n其他1#柴华武2022年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000537号
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| 前n个立方体的总和；或第n个三角形数的平方。
（原名M4619 N1972）
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+10
183
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0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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n X n菱形中平行四边形的数量。-马蒂·德克雷恩（Matti DeCraene（AT）rug.ac.be），2000年5月14日
第n个三角数T（n）=Sum_{r=1..n}r=n（n+1）/2满足以下关系：（i）T（n”）+T（n-1）=n^2和（ii）T（n-）-T（n-1*（n+1）/2）^2-Lekraj Beedassy公司2004年5月14日
{0,1，…，n}中的四元组整数的数量，不重复，其最后一个分量严格大于其他分量。{1，…，n}中的四元组整数的数目，重复，其最后一个分量大于或等于其他分量。
{0,1，…，n}不重复的二元子集的有序对数。
具有重复的{1，…，n}的2元多子集的有序对数。
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=（1+2+3+…+n）^2。
a（n）是通过已知n维黎曼流形（M，g）的所有二阶导数来了解其黎曼度量g所需的参数数量；尽管要知道曲率张量R需要（由于对称性）（n^2）*（n^2-1）/12个参数，但需要一个较小的数（和一个4维金字塔数）-乔纳森·沃斯邮报2006年5月5日
n个不同字母（ABCD…）的排列数，每个字母出现两次，分别带有4个和n-4个固定点-泽因瓦利·拉霍斯2006年11月9日
偏移量1=[1，8，19，18，6，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年12月3日
该序列与A000330号通过a（n）=n*A000330号（n） -和{i=0..n-1}A000330号（i） ：这是恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-Sum_{i=0..n-1}i*（d*1i-d+2，/2=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中的情况d=1-布鲁诺·贝塞利2010年4月26日，2012年3月1日
对于正整数S（k，n）的幂和：=Sum_{j=1..n}j^k，一个有递推项S（k、n）=（n+1）*S（k-1，n）-Sum_{l=1..n{S（k-1,l），n>=1，k>=1。
Ibn al-Haytham将其用于k=4，以计算抛物面内部的体积。请参阅Strick参考，其中显示了他使用的技巧，以及W.Lang链接。
这个技巧立即推广到任意幂k。对于k=3:a（n）=（n+1）*A000330号（n） -和{l=1..n}A000330号（l） 这与Berselli之前评论中给出的公式一致。（结束）
关于之前的贡献，另请参见Matem@ticamente公司在Links字段中，此注释以类似的顺序重复出现（n次方的部分和）-布鲁诺·贝塞利2013年6月24日
对于k=1到n，k^3的第r次连续求和的公式是（6*n^2+r*（6*n+r-1）*（n+r）！）/（（r+3）*（n-1）！），（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2014年1月2日
请注意，这个序列及其公式是尼科马库斯已知的（也可能是尼科马库斯发现的），比伊本·海瑟姆早800年-查尔斯·格里特豪斯四世2014年4月23日
也是完全二分图K_{n+1，n+1}中无弦循环的个数-埃里克·韦斯特因2018年1月2日
a（n）是乘法表[0..n]X[0..n]中元素的总和-米歇尔·马库斯2021年5月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
Avner Ash和Robert Gross，《总结》，普林斯顿大学出版社，2016年，第62页，等式（6.3），k=3。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第110页及其后。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第155页。
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第36、58页。
Clifford Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.K.Strick，Geschichten aus der Mathematik II，Spektrum Spezial 3/11，第13页。
D.Wells，《你是数学家》，“计算矩形中的矩形数”，第8H题，第240页；254，企鹅图书1995。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
马塞尔·伯杰，与几何仪相遇，第二部分《美国数学学会通告》，第47卷，第3期，（2000年3月），第326-340页。[关于米哈埃尔·格罗莫夫的工作。]
比卡什·查克拉博蒂，无词证明：自然数幂和，arXiv:2012.11539[math.HO]，2020年。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
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公式
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a（n）=（n*（n+1）/2）^2=A000217号（n） ^2=和{k=1..n}A000578号（k） ，即1^3+2^3+3^3+…+n^3=（1+2+3+…+n）^2。
总尺寸：（x+4*x^2+x^3）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=总和（总和（1+总和（6*n））），重新表述中的公式A000578号-泽维尔·阿克洛普，2003年1月21日
这个序列可以从通式n*（n+1）*（n+2）*（n+3）**（n+k）*（n*（n+k）+（k-1）*k/6）/（（k+3）/6） k=1时-亚历山大·波沃洛茨基，2008年5月17日
G.f.:x*f（3,3；1；x）-保罗·巴里2008年9月18日
和{k>0}1/a（k）=（4/3）*（Pi^2-9）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月20日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep求和{k=1.n}最大值（i，j，k）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年2月26日
a（n）=-总和{j=1..3}j*斯特林1（n+1，n+1-j）*斯特林2（n+3-j，n）-米尔恰·梅卡2014年1月25日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*（3-4*log（2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月13日
例如：x*（4+14*x+8*x^2+x^3）*exp（x）/4。
Dirichlet g.f.：（zeta（s-4）+2*zeta（s3）+zeta（s2））/4。（结束）
a（n）=n*二项（n+2,3）+二项（n+2,4）+二项式（n+1，4）-托尼·福斯特三世2017年11月14日
另一个身份：。。。，a（3）=（1/2）*（1*（2+4+6）+3*（4+6）+5*6）=36，a）=225-J.M.贝戈2022年8月27日
前面的注释将a（n）表示为所有n X n乘法表数组项的总和。
例如，对于n=4：
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
此数组和可以拆分为以下内容：
+---+---------------+
| 0 | 1 2 3 4 | (0+1)*(1+2+3+4)
| +---+-----------+
| 0 | 2 | 4 6 8 | (1+2)*(2+3+4)
| | +---+-------+
| 0 | 3 | 6 | 9 12 | (2+3)*(3+4)
| | | +---+---+
| 0 | 4 | 8 |12 |16 | (3+4)*(4)
+---+---+---+---+---+
这种行+列总和被Ramanujan和其他人用来对Lambert级数求和。（结束）
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例子
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G.f.=x+9*x^2+36*x^3+100*x^4+225*x^5+441*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年8月29日
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MAPLE公司
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a： =n->（n*（n+1）/2）^2：
seq（a（n），n=0..40）；
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数学
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f[n]：=n^2（n+1）^2/4；数组[f，39，0](*罗伯特·威尔逊v2012年11月16日*）
表[CycleIndex[{1，2，3，4}，{3，2，1，4}，{1，4，3，2}，}，3,4，1，2}}，s]/。表[s[i]->n，{i，1，2}]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2014年6月18日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，1，9，36，100}，20](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
系数列表[级数[-（（x（1+4x+x^2））/（-1+x）^5），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n*（n+1）/2）^2
（岩浆）[（n*（n+1）/2）^2:n in[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月6日
（哈斯克尔）a000537=a000290。a000217号--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月26日
（GAP）列表（[0..40]，n->（n*（n+1）/2）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月5日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000332号,A000566号,A035287号,A039623号,A053382号,A053383号,A059376号,A059827号,A059860号,A085582号,A127777号,176271英镑.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186, 192, 198, 204, 210, 216, 222, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 264, 270, 276, 282, 288, 294, 300, 306, 312, 318, 324, 330, 336, 342, 348
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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对于n>3，骑士<=n的无限三列半条棋盘上的方块数从短边上的任何固定点移动。
的第二个差异A000578号——Cecilia Rossiter（Cecilia（AT）notificatingnumbers.net），2004年12月15日
a（n）可表示为三个但不是两个连续非负整数的和，例如6=1+2+3、12=3+4+5、18=5+6+7等（参见A138591号). -马丁·瑞诺2016年3月14日（修订人大卫·A·科内斯2016年8月12日）
有三个连续除数的数：对于某些k，k、k+1和k+2中的每一个除数都除以n-查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月16日
数字k，其中{phi（k），phi（2k），φ（3k）}是算术级数-伊凡·内雷廷2016年8月12日
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链接
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公式
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a（n）=6*n=2*a（n-1）-a（n-2）。
总尺寸：6*x/（1-x）^2。（结束）
例如：6*x*exp（x）。
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MAPLE公司
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[序列（6*n，n=0..45）]；
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[6*n:n在[0..60]]中//文森佐·利班迪2011年7月16日
（Maxima）标记列表（6*n，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（哈斯克尔）
a008588=（*6）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（n+1）X（n+1”）板周长上的正方形数-乔恩·佩里2003年7月27日
方格网（或等效平面网4.4.4.4）的协调顺序。
显然，平面网的配位顺序也是3.4.6.4-达拉·查维2014年11月23日
我确认这确实是平面网3.4.6.4的协调顺序。图形距离此网络中固定点n处的点基本上位于六边形上（参见链接中的插图）。
如果n=3k，k>=1，则六边形的每条边上有2k+1个节点。这将对六边形的角进行两次计数，因此壳中的点数为6（2k+1）-6=4n。如果n=3k+1，六边形六个边上的点数为2k+2（4倍）和2k+1（2倍），总计12k+10-6=4n。如果n=3k+2，数字是2k+2（4倍）和2k+3两倍，我们再次得到4n分。
该图显示了壳0到12，以及由壳9（绿色，36点）、壳10（黑色，40点）、壳体11（红色，44点）和壳12（蓝色，48点）组成的六边形。
从网上可以清楚地看出，这种周期3的结构永远持续下去，并建立了定理。
相反，对于4.4.4.4平面网，连续的壳是菱形而不是六边形，第n个壳（n>0）也包含4n个点。
当然，这两个网络是非常不同的，因为4.4.4.4具有正方形的对称性，而3.4.6.4仅具有镜像对称性（相对于点），并且具有正六边形相对于任何12边形中心的对称性。（结束）
同时也给出了二维分圆晶格Z[zeta_4]的配位序列。
二维伊辛模型的敏感性系列H_1（除以2）。
2 X n个二进制矩阵的数量同时避免了直角编号的多值模式（ranpp）（00,0）、（00；1）和（10；1）。矩阵a=（a（i，j））中ranpp（xy；z）的出现是一个三元组（a（i1，j1），a（i2，j2），a-谢尔盖·基塔耶夫2004年11月11日
几乎可以肯定，这也是Dual（3.3.4.3.4）相对于四价节点的配位顺序-汤姆·卡泽斯2020年4月1日
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链接
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Matthias Beck和Serkan Hosten，分圆多面体与分圆晶格的生长级数，arXiv:math/0508136[math.CO]，2005-2006。
皮埃尔·德拉哈普，论群体成长的史前史，arXiv:2106.02499[math.GR]，2021。
罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第20页第4.2节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
A.J.Guttmann，格子模型的可解性指标，离散数学。，217 (2000), 167-189.
Anton Shutov和Andrey Maleev，2-一致图的协调序列、Z.Kristallogr.、。，235 (2020), 157-166. 请参见补充材料krb，顶点u_1。
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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公式
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通用名称：（（1+x）/（1-x））^2。例如：1+4*x*exp（x）-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
a（-n）=-a（n），除非n=0-迈克尔·索莫斯2007年4月16日
a（n）=a（n-1）+4，n>1-文森佐·利班迪2010年12月31日
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例子
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以正方形周长表示初始术语的图示（参见佩里的上述评论）：
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.
. 1 4 8 12 16 20
（结束）
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数学
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f[0]=1；f[n]：=4 n；数组[f，59，0]（*或*）
系数列表[级数[（1+x）^2/（1-x）^2，{x，0，58}]，x](*罗伯特·威尔逊v2011年1月2日*）
联接[{1}，范围[4，232，4]](*哈维·P·戴尔2011年8月19日*）
a[n]：=4 n+布尔[n==0]；(*迈克尔·索莫斯2019年1月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=4*n+！n}/*迈克尔·索莫斯2007年4月16日*/
（哈斯克尔）
a008574 0=1；a008574 n=4*n
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号; [3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,2016年2月28日; [3.3.3.4.4] =A298022型,A298024型; [3.3.4.3.4] =A008574号,A296368型; [3.6.3.6] =A298026型,A298028型; [3.4.6.4] =A298029型,A298031型,1998年2月33日; [3.12.12] =A019557号,1998年; [4.4.4.4] =A008574号; [4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型; [4.8.8] =A022144号,A234275号; [6.6.6] =A008458号.
20个2-均匀平铺的协调顺序，按照它们在Galebach目录中的出现顺序，以及它们在RCSR数据库中的名称（每个平铺两个顺序）：#1 krtA265035型,A265036型; #每小时2次A301287型,A301289型; #3公里A301291型,A301293年; #4千升A301298型,A298024型; #5千卡A301299型,A301301型; #6千瓦时A301674,A301676型; #7千卢比A301670型,A301672型; #8千卡A301291型,A301293型; #9克朗A301678型,A301680型; #10克A301682型,A301684型; #11当心A008574号,A296910型; #12千赫A301686型,A301688型; #13 krfA301690型,A301692型; #14克朗A301694型,A219529型; #15千卡A301708型,A301710型; #16美元A301712型,A301714型; #17克朗A219529型,A301697型; #18克朗A301716型,A301718型; #19克朗A301720型,A301722型; #20千帕A301724型,A301726型.
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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平面网6^3（石墨网或石墨烯晶体）的配位序列——也就是说，在图中距离任何固定原子n处的原子数。也适用于hcb或蜂窝网-N.J.A.斯隆2013年1月6日，2018年3月31日
二维分圆晶格Z[zeta_3]的配位序列。
这个推测是正确的。证明：对于n=0，定理成立，最大平面图有n+2=2个顶点和1条边。现在假设我们有一个至少有3个顶点的连通平面图。如果它包含一个不是三角形的面，我们可以添加一条边，将该面分成两部分，而不会破坏其平面性。因此，所有最大平面图都是三角剖分。平面图的欧拉公式指出，在任何具有V个顶点、E条边和F个面的平面简单图中，我们有V+F-E=2。如果所有面都是三角形，则F=2E/3，即E=3V-6。因此，对于n>0，每个具有n+2个顶点的最大平面简单图都有3n条边-Michal Forisek公司2009年4月23日
a（n）=自然数m的总和，使得n-1<=m<=n+1。推广：如果a（n，k）=自然数m的和，使得n-k<=m<=n+k（k>=1），则a（n、k）=（k+n）*（k+n+1）/2=A000217号（k+n）对于0≤n≤k，a（n，k）=a（n-1，k）+2k+1=（（k+n-1）*（k+n）/2）+2k+1=A000217号（k+n-1）+2k+1表示n>=k+1（参见示例。A008486号). -雅罗斯拉夫·克里泽克2009年11月18日
a（n）被推测为Ngaokrajang链接中显示的多边形展开（类型a、B、C、D和E）经过n次迭代后添加的多边形数。当n->无穷大时，这些图案应分别成为平面阿基米德网3.3.3.3.3.3、3.6.3.6、3.12.12、3.3.3.3.6和4.6.12-基瓦尔·Ngaokrajang2014年12月28日
具有关系（S_i）^2=（S_i S_j）^3=i的3个生成器S_i上Coxeter群中长度为n的约简字数-雷·钱德勒2016年11月21日
推测：设m=n+2，p是由m个点的凸包形成的多面体，q是p的四边形面的数量（见下面的维基百科链接），f（m）=a（n）-q。那么f（m）将是3空间中所有m的Thompson问题的解-谢尔盖·帕夫洛夫2017年2月3日
此外，序列定义为a（0）=1，a（1）=3，c（0）=2，c（1）=4；然后a（n）=c（n-1）+c（n-2），c由a中缺失的数字组成（参见A001651号). -伊凡·内雷廷2017年3月28日
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参考文献
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J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第158页。
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链接
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M.Beck和S.Hosten，分圆多胞与分圆格的生长级数，arXiv:math/0508136[math.CO]，2005-2006年。
A.S.Fraenkel，与新旧序列相关的新游戏，INTEGERS，《组合数论电子杂志》，第4卷，G6论文，2004年。（见表5。）
罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸集团的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第20页第4.3节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺，《数学杂志》，第50期（1977年），第227-247页。
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
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公式
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长度3序列的欧拉变换[3，0，-1]-迈克尔·索莫斯2009年8月4日
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例子
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G.f.=1+3*x+6*x^2+9*x^3+12*x^4+15*x^5+18*x^6+21*x^7+24*x^8+。。。
将初始术语表示为三角形：
.o型
.o o o o（零）
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.
. 1 3 6 9 12 15
（结束）
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数学
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系数列表[级数[（1+x+x^2）/（1-x）^2，{x，0，80}]，x](*文森佐·利班迪2014年11月23日*）
a[n_]：=如果[n==0，1，3 n]；(*迈克尔·索莫斯，2015年4月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，3*n）}/*迈克尔·索莫斯2015年5月5日*/
（岩浆）[0..90]]中[0^n+3*n:n//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a008486 0=1；a008486 n=3*n
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交叉参考
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Laves tilings（或均匀平面网的对偶）的配位序列列表：[3,3,3,3.3]=A008486号; [3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型; [3.3.3.4.4] =A298022型,A298024型; [3.3.4.3.4] =A008574号,A296368型; [3.6.3.6] =A298026型,A298028型; [3.4.6.4] =A298029型,A298031型,A298033型; [3.12.12] =A019557号,A298035型; [4.4.4.4] =A008574号; [4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型; [4.8.8] =A022144美元,A234275号; [6.6.6] =A008458号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A298024型
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| 通用公式：（x^4+3*x^3+6*x^2+3*x+1）/（（1-x）*（1-x^3））。 |
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+10
57
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1, 4, 10, 14, 18, 24, 28, 32, 38, 42, 46, 52, 56, 60, 66, 70, 74, 80, 84, 88, 94, 98, 102, 108, 112, 116, 122, 126, 130, 136, 140, 144, 150, 154, 158, 164, 168, 172, 178, 182, 186, 192, 196, 200, 206, 210, 214, 220, 224, 228, 234, 238, 242, 248, 252, 256, 262
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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关于四价节点的双（3^3.4^2）瓷砖的协调顺序。这种瓷砖也称为棱柱五边形瓷砖或cem-d网。这是11块Laves瓷砖中的一块。（该配位序列与定义中的g.f.的识别首先是由科林·巴克（2018年1月22日）
此外，“krl”二维平铺（或网络）中四价节点的协调序列。
这两种标识都可以使用“配色书”方法轻松确定，请参阅古德曼-斯特劳斯和斯隆链接。
Shutov/Maleev link确认的线性重现性和g.f-雷·钱德勒2023年8月31日
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参考文献
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Branko Grünbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案。W.H.Freeman，纽约，1987年。见第66页表2.2.1，第三行，第二块瓷砖。（用于krl瓷砖。）
B.Gruenbaum和G.C.Shephard，《瓷砖和图案》，W.H.Freeman，纽约，1987年。见第96页。（对于双（3^3.4^2）瓷砖。）
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链接
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Chung、Ping Ngai、Miguel A.Fernandez、Yifei Li、Michael Mara、Frank Morgan、Isamar Rosa Plata、Niralie Shah、Luis Sordo Vieira和Elena Wikner。等周五角瓷砖《AMS 59通知》，第5期（2012年），第632-640页。见图1（右）。
弗兰克·摩根，最佳五角平铺，视频，2021年5月[提及此平铺
安东·舒托夫和安德烈·马列夫，2-一致图的协调序列、Z.Kristallogr.、。，235 (2020), 157-166. 请参见补充材料，krb，顶点u1。
N.J.A.斯隆，初始术语说明[1（黑色）、4（黑色），10（黑色）和14（红色）]
N.J.A.斯隆，Laves瓷砖的协调顺序概述【Grünbaum-Shephard 1987的图2.7.1，添加了A编号，在某些情况下，还添加了RCSR数据库中的名称】
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公式
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当n>4时，a（n）=a（n-1）+a（n-3）-a（n-4）。（推测正确，根据科林·巴克（2018年1月22日）
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数学
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系数列表[级数[（x^4+3x^3+6x^2+3x+1）/（（1-x）（1-x^3）），{x，0，60}]，x]（*或*）线性递归[{1，0，1，-1}，{1，4，10，14，18}，80](*哈维·P·戴尔2018年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）请参阅链接部分。
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交叉参考
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Laves瓷砖（或均匀平面网对偶）的协调顺序列表：[3,3,3,1,3.3]=A008486号; [3.3.3.3.6] =A298014型,A298015型,A298016型; [3.3.3.4.4] =1998年22月,A298024型; [3.3.4.3.4] =A008574美元,A296368型; [3.6.3.6] =209026元,A298028型; [3.4.6.4] =A298029型,A298031型,A298033型; [3.12.12] =A019557号,A298035型; [4.4.4.4] =A008574号; [4.6.12] =A298036型,A298038型,A298040型; [4.8.8] =A022144号,A234275号; [6.6.6] =A008458号.
20个2-均匀平铺的协调顺序，按照它们在Galebach目录中的出现顺序，以及它们在RCSR数据库中的名称（每个平铺两个顺序）：#1 krt25035英镑,A265036型; #2每小时A301287型,A301289型; #3公里A301291型,A301293型; #4千升A301298型,A298024型; #5千卡A301299型,A301301型; #6千瓦时A301674型,A301676型; #7千卢比A301670型,A301672; #8千卡A301291型,A301293型; #9克朗A301678型,A301680型; #10千克A301682型,A301684型; #11当心A008574号,A296910型; #12千赫A301686型,A301688型; #13克朗A301690型,A301692型; #14克朗A301694型,A219529型; #15千卡A301708型,2017年3月10日; #16美元A301712型,A301714型; #17千焦A219529型,A301697型; #18克朗A301716型,A301718型; #19克朗2017年3月20日,A301722型; #20千帕A301724型,A301726型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 5, 11, 16, 21, 27, 32, 37, 43, 48, 53, 59, 64, 69, 75, 80, 85, 91, 96, 101, 107, 112, 117, 123, 128, 133, 139, 144, 149, 155, 160, 165, 171, 176, 181, 187, 192, 197, 203, 208, 213, 219, 224, 229, 235, 240, 245, 251, 256, 261, 267, 272, 277, 283, 288, 293, 299
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n）是3.3.4.3.4分片的顶点数（分片有三个三角形和两个正方形，按给定的循环顺序，在每个顶点相遇），其连接到给定原点顶点的最短路径包含n条边。
提供的前几个条款艾伦·C·韦克斯勒; 弗雷德·伦农和弗雷德·海伦纽斯给了接下来的几个；Fred Lunnon认为n>1的复发率为a（n+3）=a（n）+16。[这个推测是正确的-请参阅CGS-NJAS链接以获得证明-N.J.A.斯隆2017年12月31日]
似乎也是“krd”2-D平铺（或网络）中V2类型节点的协调序列。这应该很容易通过彩绘书的方法来证明（参见链接）-N.J.A.斯隆2018年3月25日
似乎也是“krj”二维平铺（或网络）中V1型节点的协调序列。这也应该很容易通过配色书方法证明（参见链接）-N.J.A.斯隆2018年3月26日
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参考文献
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Branko Grünbaum和G.C.Shephard，瓷砖和图案。W.H.Freeman，纽约，1987年。见表2.2.1，第67页，第1行，第2个贴砖，以及第2行，第3个贴砖。
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链接
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Brian Galebach，n-均匀平铺的集合参见20块2-均匀瓷砖列表中的编号14和17。
Chaim Goodman-Strauss和N.J.A.Sloane，树干和树枝着色（取自前面的参考文献）
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
安东·舒托夫和安德烈·马列夫，2-一致图的协调序列、Z.Kristallogr.、。，235 (2020), 157-166. 请参见补充材料krb，顶点u_1。
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第一部分,第2部分,幻灯片。（提到这个序列）
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公式
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当n>0时，假设a（n）=楼层（（16n+1）/3）；a（0）=1；这是由于Lunnon建议再次出现的结果（见注释）。[这个推测是正确的-请参阅中的CGS-NJAS链接1963年作为证据-N.J.A.斯隆2017年12月31日]
通用格式：（x+1）^4/（（x^2+x+1）*（x-1）^2）-N.J.A.斯隆2018年2月7日
a（n）=（16*n-ChebyshevU（n-1，-1/2））/3，对于n>0，a（0）=1。
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MAPLE公司
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A219529型：=n->`如果`（n=0，1，（16*n+1-`修改`（n+1，3））/3）；
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数学
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表[如果[n==0，1，（16*n+1-Mod[n+1，3]）/3]，{n，0，60}](*G.C.格鲁贝尔2020年5月27日*）
系数列表[级数[（x+1）^4/（（x^2+x+1）（x-1）^2），{x，0，70}]，x](*哈维·P·戴尔2021年7月3日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
--速度很慢，当然可以加速。SST代表Snub Square瓷砖。
集合联合[]l2=l2
setUnion（a:rst）l2=if（elem a l2）然后doRest else（a:doRest）
其中doRest=setUnion rst l2
setDifference[]l2=[]
setDifference（a:rst）l2=if（elem a l2）然后doRest else（a:doRest）
其中doRest=setDifference rst l2
调整k=（如果（偶数k），则1其他-1）
堰相邻（x，y）=（x+（调整y），y+（调整x））
sst相邻（x，y）=[（x+1，y），（x-1，y）
sstNeighbors核心=foldl setUnion核心（映射sstAdjacents核心）
sstGlob n核心=if（n==0）然后核心else（sstGlab（n-1）（sstNeighbors核心））
sstHalo核心=setDifference（sstNeighbors核心）核心
原点=[（0，0）]
a219529 n=长度（sstHalo（sstGlob（n-1）原点）
（鼠尾草）[1]+[（16*n+1-（n+1）%3）/3代表n in（1..60）]#G.C.格鲁贝尔，2020年5月27日
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交叉参考
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20个2-均匀平铺的协调顺序，按照它们在Galebach目录中的出现顺序，以及它们在RCSR数据库中的名称（每个平铺两个顺序）：#1 krt25035英镑,A265036型; #2每小时A301287型,A301289型; #3公里A301291型,A301293型; #4千升A301298型,A298024型; #5千卡A301299型,A301301型; #6千瓦时A301674型,A301676型; #7千卢比A301670型,A301672; #8千卡A301291型,A301293型; #9克朗A301678型,A301680型; #10千克A301682型,A301684型; #11当心A008574号,A296910型; #12千赫A301686型,A301688型; #13克朗A301690型,A301692型; #14克朗A301694型,A219529型; #15千卡A301708型,2017年3月10日; #16美元A301712型,A301714型; #17千焦A219529型,A301697; #18克朗A301716型,A301718型; #19克朗2017年3月20日,A301722型; #20千帕A301724型,A301726型.
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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《评论》中正确的定语和认识论地位；提供了慢速Haskell代码-艾伦·C·韦克斯勒2012年11月30日
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状态
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经核准的
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0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, 181, 216, 253, 294, 337, 384, 433, 486, 541, 600, 661, 726, 793, 864, 937, 1014, 1093, 1176, 1261, 1350, 1441, 1536, 1633, 1734, 1837, 1944, 2053, 2166, 2281, 2400, 2521, 2646, 2773, 2904, 3037, 3174, 3313, 3456, 3601, 3750
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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六边形网络上的细胞自动机。序列给出了第n阶段后结构中“ON”单元的数量。A007310号给出了第一个区别。有关没有单词的定义，请参阅示例部分中的初始术语说明。请注意，电池会变得间歇。A083577号给出了这个序列的素数。
无限方阵T（n，k）的行和，其中k列列出2*k-1个零，后跟数字A008458号（参见示例）。（结束）
从0开始，在0，1，…方向读取行，找到序列。。。和从0开始的同一条直线，在0，6，…，方向上。。。，在顶点为广义五边形数的正方形螺旋中A001318号.主轴垂直于A045943号在同一螺旋中-奥马尔·波尔2011年9月8日
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链接
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公式
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通用公式：（x+4*x^2+x^3）/（1-2*x+2*x^3-x^4）=x*（1+4*x+x^2）/（1+x）*（1-x）^3）。
a（n）=+2*a（n-1）-2*a（n-3）+1*a（n-4）。（结束）
a（n）=（6*n^2+（-1）^n-1）/4-布鲁诺·贝塞利2011年8月22日
a（-n）=a（n）。
当n>1时，a（n）=a（n-2）+6*（n-1）。
例如：（3*x*（x+1）*cosh（x）+（3*x^2+3*x-1）*sinh（x））/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年8月19日
和{n>=1}1/a（n）=Pi^2/36+tan（Pi/（2*sqrt（3）））*Pi/-阿米拉姆·埃尔达尔，2023年1月16日
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例子
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0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...
0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, ...
等等。
===========================================
列的总和给出了这个序列：
0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, ...
...
同心六边形的初始术语说明：
.
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.
. 1 6 13 24 37
.
（结束）
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数学
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f[n_，m_]：=总和[下限[n^2/k]，{k，1，m}]；t=表格[f[n，2]，{n，1，90}](*克拉克·金伯利2012年4月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[底板（3*n^2/2）：n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a032528 n=a032528_列表！！n个
a032528_list=扫描（+）0 a007310_list
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003154号,A007310号,A008458号,A033581号,A083577美元,A000326号,A001318号,A005449号,A045943号,A032527号,A195041号第6列，共列A195040型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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新名称和更多术语a（41）-a（50）来自奥马尔·波尔2011年8月20日
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 19, 21, 24, 27, 29, 32, 35, 37, 40, 43, 45, 48, 51, 53, 56, 59, 61, 64, 67, 69, 72, 75, 77, 80, 83, 85, 88, 91, 93, 96, 99, 101, 104, 107, 109, 112, 115, 117, 120, 123, 125, 128, 131, 133
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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此外，仿射Coxeter（或Weyl）群B_2的增长级数-N.J.A.斯隆2016年1月11日
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参考文献
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N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10b，第231页，W_a（t）。
A.V.Shutov，《关于平面晶体群中给定长度的单词数》（俄语），Zap。诺什。塞姆·S·彼得堡·奥特尔。Mat.Inst.Steklov公司。（POMI）302（2003），分析。特奥。Chisel i Teor公司。Funkts公司。19, 188--197, 203; J.Math中的翻译。科学。（纽约州）129（2005），第3号，3922-3926[MR2023041]。见表1。
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链接
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罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第22页第4.5节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
W.M.Meier和H.J.Moeck，三维四连通网络拓扑。。。《固体化学杂志》27 1979 349-355，特别是第351页。
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公式
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G.f.：（（1+x）^2*（1+x^2））/（（1-x）^2*（1+x+x^2））-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月24日
a（0）=1，a（1）=3，a（2）=5，a（3）=8，a（4）=11，a（n）=a（n-1）+a（n-3）-a（n-4）-哈维·P·戴尔2011年11月24日
a（0）=1；此后a（3k）=8k，a（3k+1）=8k+3，a（3G+2）=8k+5-N.J.A.斯隆2015年12月22日
上面的g.f.和递归最初是经验观察，但我现在有了证据（细节将在后面添加）。这也证明了Maple和Mma程序以及b文件的合理性-N.J.A.斯隆2015年12月22日
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MAPLE公司
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如果n mod 3=0，则8*n/3 elif n mod 3=1，然后8*（n-1）/3+3，否则8*（n-2）/3+5 fi；
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数学
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cspn[n_]：=模块[{c=Mod[n，3]}，其中[c==0，（8n）/3，c==1，（8（n-1））/3+3，真，（8，n-2）/3+5]]；联接[{1}，数组[cspn，50]]（*或*）联接[{1'，线性递归[{1，0，1，-1}，{3，5，8，11}，50](*哈维·P·戴尔，2011年11月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（[0,1,0,0；0,0,1,0；0，0,0，1；-1，1，0，1]^n*[1；3；5；8]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年4月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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