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A000 4016 六角晶格Ath2的θ系列。
(原M4042)
二百五十二
1, 6, 0、6, 6, 0、0, 12, 0、6, 0, 0、6, 12, 0、0, 6, 0、0, 12, 0、12, 0, 0、0, 6, 0、6, 12, 0、0, 12, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、2

评论

六角晶格是熟悉的二维晶格,其中每个点有6个邻居。这有时被称为三角晶格。

A(n)是x^ 2+x*y+y^ 2=n(或等价x=2×x+y+y^ 2=n)的整数解的个数。-米迦勒索摩斯9月20日2004

A(n)是x^ 2+y^ 2+z ^ 2=2×n的整数解的数,其中x+y+z=0。-米迦勒索摩斯3月12日2012

RAMANUJAN-theta函数:f(q)(参见)A121378(φ(q))A000 0122(psi(q))A010054)(χ(q))A000 0700

立方AGMθ函数:A(q)(本序列),b(q)A000 5928(c)(c)A00 582

A(n)=6A000(n)如果n>0,并且A000是乘法的,因此A(1)*A(m*n)=a(n)*a(m),如果n>0,m>0是相对素数。-米迦勒索摩斯3月17日2019

推荐信

B. C. Berndt,RAMANUJAN的笔记本第四部分,Springer Verlag,见第171页,条目28。

H. Cohn,先进数论,多佛出版公司,1980,第89页。第18章。

J. H. Conway和N.J.A.斯隆,“Sphere Packings,格和群”,Springer Verlag,第111页。

M. N. Huxley,Area,格点和指数和,牛津,1996;第236页。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

Seiichi Manyaman,a(n)n=0…10000的表(术语0…1000从T.D.NOE)

S. AhlgrenRAMANUJYAθ函数的第六、第八、第九和第十幂,PROC。埃默。数学SOC,128(1999),1333-1338;FY3(Q)。

J. M. Borwein和P. B. Borwein雅可比恒等式的三次对应与AGM,反式。埃默。数学SOC,323(1991),2,691-701。MR1010408(91E:33012)见第695页。

G. L. Hall评论“THETA系列和钻石和某些离子晶体结构的魔法数”[ J. Math。Phys。28, 1653(1987)]. 《数学物理学报》,第1988卷,第29卷第9期,第2090-2092页。-来自斯隆12月18日2012

M. D. Hirschhorn关于数列表示的三个经典结果,Lotharingien de Combinatoire,B42F(1999),8页。

克里斯蒂安·卡塞尔和Christophe Reutenauer二维环面上n点希尔伯特格式的Zeta函数,ARXIV:150 5.07229 V3 [数学AG],2015。[注意,本文的后一版本有不同的标题和不同的内容,并且论文的理论部分被移到下表中的出版物。]

克里斯蒂安·卡塞尔和Christophe Reutenauer二维环面上n点希尔伯特格式Zeta函数的完全确定,阿西夫:1610.07793(数学,NT),2016。

G. Nebe和N.J.A.斯隆,六角(或三角形)点阵A2主页

斯隆等人,二元二次型与OEIS(相关序列、程序、参考文献的索引)

斯隆,球面Packings和球面码表IEEE Trac。信息论,第27卷,第1981页第327页-338页

斯隆,金刚石和某些离子晶体结构的θ系列和幻数J. Math。Phys。28(1987),1653-1657。

M. SomosRAMANUJAN-THETA函数简介

Eric Weisstein的数学世界,Ramanujan Theta函数

与A2=六角形=三角形格子有关的序列的索引条目

公式

q(q)是第一立方AGMθ函数的q(q)的展开。

θa3(q)*θa3(q^ 3)+θa2(q)*theta a2(q^ 3)在q幂中的扩展。

φ(x)*φ(x^ 3)+4×x*psi(x^ 2)*psi(x^ 6)在x(pHi),psi-()中的幂展开为RAMANUUTH-THETA函数。

(1/π)积分的扩展{ 0…π/2 }θa3(z,q)^ 3 +θa4(z,q)^ 3 dz在q^ 2的幂。-米迦勒索摩斯,01月1日2012

F(x*q,q/x)^ 3在q ^ 2的幂中的x ^ 0系数的展开,其中F(,)是RAMANUJYA的一般θ函数。-米迦勒索摩斯,01月1日2012

G.f. A(x)满足0=f(a(x),a(x^ 2),a(x^ 4)),其中f(u,v,w)=u ^ 2 - 3*v^ 2 - 2*u*w+4*w ^ 2。-米迦勒索摩斯6月11日2004

G.f. A(x)满足0=f(a(x),a(x^ 2),a(x^ 3),a(x^ 6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=(u1-u3)*(u3-u6)-(u2-u6)^ 2。-米迦勒索摩斯5月20日2005

G. F是满足F(- 1(/ 3 T))=3 ^(1/2)(T/I)F(t)的周期1傅立叶级数,其中q=EXP(2πI T)。-米迦勒索摩斯9月11日2007

G.f. A(x)满足A(x)+a(-x)=2×a(x^ 4),来自Ramanujan。

G.f.:1+6×SUM{{K>0 } x^ k/(1 +x^ k+x^(2×k))。-米迦勒索摩斯,10月06日2003

G.f.:和(q^(n^ 2 +n*m+m ^ 2)),其中和(n和m)在整数上延伸。-乔尔格阿尔恩特7月20日2011

G.f.:θa3(q)*θa3(q^ 3)+θa2(q)*θa2(q^ 3)=(η(q^(1/3))^ 3+3×η(q^ 3)^ 3)/η(q)。

G.f.:1+6×Suth{{n>=1 } x^(3×n-2)/(1-x^(3×n-2))-x^(3×n-1)/(1-x^(3×n-1))。-保罗·D·汉娜,朱尔03 2011

A(3×n+2)=0,a(3×n)=a(n),a(3×n+1)=6**A033677(n)。-米迦勒索摩斯7月16日2005

A(2×n+1)=6A033 762(n),a(4×n+2)=0,a(4×n)=a(n),a(4×n+1)=6**A112604(n),a(4×n+3)=6*A112595(n)。-米迦勒索摩斯5月17日2013

A(n)=6A000(n)如果n>0。A(n)=A000 5928(3×N)。

欧拉变换A1927. -米迦勒索摩斯3月12日2012

a(n)=(1)^ n *A180318(n)。-米迦勒索摩斯9月14日2015

例子

G.F.=1+6×x+6×x ^ 3+6×x ^ 4+12×x ^ 7+6×x ^ 9+6*x ^ ^ 12+占卜×x ^+××^ ^+…

最小标准为2的标准尺度上的AA2系列θ系列:

* Q^ ^+q*α+q*α+q*α+q*α+q*α+ q*α+ q*α+ q*α+ q*α+ q*α+ q*α+ q^α+ q*α+ q*α+ q^α+ q*α+ q^α+ q^α+ q*α+ q*α^ q+α+ q^α+* * q^α+…1+6×q^ 2+6*q^ 6+6×q^ 8+12×q^ 14+6*q^ 18+6

Mathematica

a[n]:=If [ n<1,布尔[ n=0 ] ],6除数和[n,knnkk-符号[a,3 ] ] ];米迦勒索摩斯,11月08日2011日)

a[n]:=级数系数[(qPOCHMARK[Q] ^ 3+9 qqCHCHMAL[Q^ 9 ] ^ 3)/qPoCHHAML[Q^ 3 ],{Q,0,n};米迦勒索摩斯11月13日2014*)

A [n]:=级数系数[Opjiththeta [ 3, 0,q]椭圆曲线]〔3, 0,q^ 3〕+椭圆曲线[ 2, 0,q]椭圆曲线[ 2, 0,q^ 3 ],{q,0,n}];米迦勒索摩斯11月13日2014*)

a [n]:=长度@ FunDebug [x^ 2 +x y+y^ 2==n,{x,y},整数,10 ^ 9 ];(*)米迦勒索摩斯9月14日2015*)

项=81;f [ q] ]=LigTigeDATA [“A2”,“TestaseIsEffice”] [S- log [q] /PI];s=系列[f[q],{q,0, 2项}];系数列表[s,q^ 2 ] [[1;;条款] ]让弗兰,JUL 04 2017*)

黄体脂酮素

(a){a(n)=If(n<0, 0),PoCo(1+6×和(k=1,n,x^ k/(1 +x^ k+x^(2*k)),x*o(x^ n)),n)};/*米迦勒索摩斯,10月06日2003

(PARI){A(n)=IF(n<1,n=0, 6×SUDIVI(n,d,krnECKER(d,3))};/*米迦勒索摩斯3月16日2005*

(PARI){A(n)=IF(n<1,n=0, 6×SUDIVI)(n,d,(d % 3=1)-(d % 3=2))};/*米迦勒索摩斯5月20日2005*

(a){(n)=i(a,p,e);如果(n=1,n=0,a=因子(n));6 * pod(k=1,MatSead(a))[1 ],[p,e]=a[k,];If(p=3, 1,p% 3==1,e+1,1-e% 2))};/*;米迦勒索摩斯5月20日2005*

{(n)=i(a);如果(n<0, 0,n*=3;a= x*o(x^ n);polcoeff((η(x+a)^ 3+3×x*η(x^ 9 +a)^ 3)/η(x^ 3 +a),n))};/*米迦勒索摩斯5月20日2005*

(PARI){A(n)=IF(n<1,n==0,qFRIP([2, 1;1, 2),n,1)[n] * 2)};/*米迦勒索摩斯7月16日2005*

(A){A(n)=IF(n<0, 0,PoCoFEF)(1=6×和)(k=1,n,x^(3×k- 2)/(1 -x^(3×k- 2))-x^(3×k- 1)/(1 -x^(1*k -x)),x*o(x^ n)),n)}/*保罗·D·汉娜,JUL 03 2011*

(SAGE)模形(GAMMA1(3),1,PREC=81)。0;米迦勒索摩斯,军04 2013

(岩浆)基(模(GAMMA1(3),1),81)〔1〕;米迦勒索摩斯5月27日2014*

(岩浆)L:=格(“A”,2);< q>:= thasasices(L,161);A;/*米迦勒索摩斯11月13日2014*

交叉裁判

囊性纤维变性。A000A000 3051A000 32 15A000 588A00 582A000 5928A000 845A033685A033677A038 5870-A038 591等。

也见A035019.

囊性纤维变性。A000 0 07A000 0122A000 4015A000 844A000 8445A000 846A000 844A000 844A000 844(θ系列的格AA0,AA1,AA3,AA4,…)

语境中的顺序:A4499 A092605 A180318*A093577 A06562 AA775 2

相邻序列:A000 4013 A000 4014 A000 4015*A000 4017 A000 4018 A000 4019

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改9月17日20:39 EDT 2019。包含327143个序列。(在OEIS4上运行)