%I M4042#129 2022年11月18日03:38:58

%S 1,6,0,6,6,0,12,0,0,0,12,0,5,0,2,0,6,12,0,12,12,0,0，0,06,06,12,0，

%T 12,0,0,,0,6,12,0,12,0,12,0,12,0，0,0,18,0,0，12,0，0,12,1，0,0，

%U 12,0,12,6,0,0,12,0,0-0,0,12,0,6,12,0,12,0

%平面六角晶格A_2的Nθ级数。

%六角晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个相邻点。这有时被称为三角晶格。

%C a（n）是x^2+x*y+y^2=n（或等价的x^2-x*y+y^2=n）的整数解的数目_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年9月20日

%C a（n）是x^2+y^2+z^2=2*n的整数解数，其中x+y+z=0_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年3月12日

%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。

%C立方AGMθ函数：a（q）（当前序列），b（q）。

%如果n>0，C a（n）=6*A002324（n），并且A002324s是乘法的，因此，如果n>0，m>0，a（1）*a（m*n）=a（n*a（m）是相对素数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2019年3月17日

%D B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，见第171页，条目28。

%D Harvey Cohn，《高级数论》，多佛出版公司，1980年，第89页。例18。

%D J.H.Conway和N J.A.Sloane，“球面封装、格和群”，Springer Verlag，第111页。

%D M.N.Huxley，面积，格点和指数和，牛津，1996；第236页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Seiichi Manyama，n表，n（n）表示n=0..10000（术语0..1000来自T.D.Noe）

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%H J.M.Borwein和P.B.Borwein<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1991-1010408-0“>雅各比恒等式和AGM</A>的三次对应，《美国数学会杂志》，323（1991），第2期，691-701页。MR1010408（91e:33012）见第695页。

%H G.L.霍尔，<a href=“http://dx.doi.org/10.1063/1.527833“>评论论文“钻石和某些离子晶体结构的Theta级数和幻数”[J.Math.Phys.28，1653（1987）]发件人：N.J.A.Sloane，2012年12月18日

%H M.D.Hirschorn，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/wpapers/s42hirsch.html“>关于数字表示的三个经典结果，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B42f（1999），8 pp。

%H克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺尔（Christophe Reutenauer），<a href=“https://arxiv.org/abs/1505.07229v3“>二维环面上n个点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]

%H克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺尔（Christophe Reutenauer），<a href=“https://arxiv.org/abs/1610.07793“>完全确定二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1610.07793[math.NT]，2016。

%小池正雄，<a href=“https://oeis.org/A004016/A004016.pdf“>非紧算术三角形群上的模形式</a>，未出版手稿[N.J.a.Sloane用OEIS a-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]

%H G.Nebe和N.J.A.Sloane，<A href=“http://www.math.rwth-aachen.de/~加布里埃尔。Nebe/LATTICES/A2.html“>六边形（或三角形）晶格A2主页。

%H N.J.A.Sloane等人，<A href=“https://oeis.org/wiki/Binary_Quadratic_Forms_and_oeis“>二进制二次型和OEIS</a>（相关序列、程序、参考的索引）。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://dx.doi.org/10.1109/TIT.1981.1056351“>球形填料和球形代码表，IEEE Trans.Information Theory，第IT-27卷，1981年，第327-338页。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://dx.doi.org/10.1063/1.527472“>钻石和某些离子晶体结构的Theta级数和幻数</a>，《数学物理杂志》28（1987），1653-1657。

%H Michael Somos，<a href=“/A010815/A010815.txt”>Ramanujan theta函数简介</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数。

%H<a href=“/index/Aa#A2”>与A2=六角形=三角形晶格相关的序列的索引条目</a>。

%F（q）的q次幂展开式，其中a（q）是第一个三次AGMθ函数。

%F theta_3（q）*theta_3（q^3）+theta_2（q）*theta_2（q^3）以q的幂展开。

%Fφ（x）*phi（x^3）+4*x*psi（x^2）*psi（x^6）的x次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。

%F（1/Pi）积分{0..Pi/2}θ_3（z，q）^3+θ_4（z，q）^3 dz的幂展开式_Michael Somos，2012年1月1日

%F系数x^0在F（x*q，q/x）^3中以q^2的幂展开，其中F（，）是Ramanujan的广义θ函数_Michael Somos，2012年1月1日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x^4）），其中F（u，v，w）=u^2-3*v^2-2*u*w+4*w^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年6月11日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^3），A）（x ^6）），其中F（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日

%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（3t））=3^（1/2）（t/i）F（t），其中q=exp（2Pi it）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年9月11日

%F G.F.A（x）满足A（x”）+A（-x）=2*A（x^4），来自Ramanujan。

%固定资产净值：1+6*Sum_{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年10月6日

%F G.F.：总和_（q^（n^2+n*m+m^2）），其中总和（对于n和m）延伸到整数上_Joerg Arndt_2011年7月20日

%F G.F.：θ_3（q）*θ_3（q^3）+θ_2（q）*theta_2（q^2）=（eta（q^（1/3））^3+3*eta（q ^3）^3）/eta（q）。

%计算公式：1+6*Sum_{n>=1}x^（3*n-2）/（1-x^_Paul D.Hanna，2011年7月3日

%F（3*n+2）=0，a（3*n）=a（n），a（3+n+1）=6*A033687（n）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年7月16日

%F a（2*n+1）=6*A033762（n），a（4*n+2）=0，a（4*n）=a_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2013年5月17日

%如果n>0，F a（n）=6*A002324（n）。a（n）=A005928（3*n）。

%A192733的F Euler变换_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年3月12日

%F a（n）=（-1）^n*A180318（n）.-_Michael Somos，2015年9月14日

%F渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=2*Pi/sqrt（3）=3.627598…（A186706）.-_Amiram Eldar，2022年10月15日

%e.G.f.=1+6*x+6*x^3+6*x^4+12*x^7+6*x*^9+6*x^12+12*x^13+6*x*16+。。。

%标准尺度上A_2的Theta级数，其中最小范数为2:

%e 1+6*q^2+6*q*6+6*qq^8+12*q^14+6*q*18+6*q|24+12*q ^26+6*qqu32+12*q^38+12*q ^42+6*q ^50+6*q^54+12*qua^56+12*qu^62+6*q′72+12*que^74+12*k^78+12*sq^86+6*qq ^96+18*q^98+12*q^104+12*q ^114+12*12*q′126+6*q^128+12*q^134+12*q ^146+6*q^150+12*。。。

%p A004016:=程序（n）

%p局部a，j；

%p a：=A033716（n）；

%p表示j从0到n/3 do

%p a：=a+A089800（n-1-3*j）*A089800；

%p端do：

%p a；

%p端程序：

%p序列（A004016（n），n=0..49）；#_R.J.Mathar，2021年2月22日

%t a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，6除数和[n，KroneckerSymbol[#，3]&]]；（*迈克尔·索莫斯，2011年11月8日*）

%t a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q]^3+9 q QPochharmer[q ^9]^3）/QPochhamer[q ^3]，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2014年11月13日*）

%t a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]椭圆Theta[3,0，q^3]+椭圆Theta[2,0，q]椭圆Theta[2,0、q^3]，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2014年11月13日*）

%t a[n_]：=长度@FindInstance[x^2+xy+y^2==n，{x，y}，整数，10^9]；（*迈克尔·索莫斯，2015年9月14日*）

%t项=81；f[q_]=LatticeData[“A2”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；s=级数[f[q]，{q，0，2项}]；系数列表[s，q^2][[1；；术语]]（*Jean-François Alcover_，2017年7月4日*）

%o（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=因子（n）；6*prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==3，1，p%3==1，e+1，1-e%2））}；/*_Michael Somos_，2005年5月20日*//*编者注：这是最有效的程序*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1+6*和（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*o（x^n）），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年10月6日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，kronecker（d，3）））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年3月16日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3=2））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n*=3；a=x*o（x^n）；波尔科夫（（eta（x+a）^3+3*x*eta（x^9+a））^3）/eta（x^3+a），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，qfrep（[2，1；1，2]，n，1）[n]*2）}；/*_迈克尔·索莫斯，2005年7月16日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（1+6*和（k=1，n，x^（3*k-2）/（1-x^*/

%o（Sage）模块形式（Gamma1（3），1，prec=81）。0；#_Michael Somos，2013年6月4日

%o（岩浆）基础（模块形式（伽马1（3），1），81）[1]；/*_Michael Somos_，2014年5月27日*/

%o（岩浆）L:=晶格（“A”，2）；A<q>：=ThetaSeries（L，161）；A、 /*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年11月13日*/

%o（Python）

%o来自math导入prod

%o来自sympy进口保理商

%o def A004016（n）：返回6*prod（e+1，如果p%3==1 else int（而不是e+1）for p，e in factorint（n）.items（）if p！=3） 如果还有1号，2022年11月17日，Chai Wah Wu_

%Y参考A002324、A003051、A003215、A005881、A00588、A005928、A008458、A033685、A03368、A038587-A038591等。

%Y另见A035019。

%Y参考A00007、A000122、A004015、A008444、A008445、A008446、A008447、A008448、A008449（晶格A_0、A_1、A_3、A_4…的Theta系列），A186706。

%K nonn，很好，很容易

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_