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二元二次型与OEIS

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1.总结

  • A类二元二次型ax^2+bxy+cy^2有鉴别的d=b^2-4ac，并且是正定的如果d<0，或无限期的如果d>0。
  • 本网页提供了OEIS中以下序列的索引：
    • 用正定二元二次型表示的数（或素数）（第3节），
    • 用不定二元二次型表示的数（或素数）（第4节），
  • 本页还列出了计算这些序列的程序（在第5节中）以及参考和链接列表（在第6节中）。
  • 还有很多工作要做：
    • 有几种情况下，序列似乎以几种不同的方式出现，但并不是所有这些情况都被证明具有相同的序列（例如，请参阅A033212号和A141184号). 一旦解决了这些问题，就可以合并条目。【2014年10月18日增补：感谢J.B.Tunnel的工作（请参阅A033212号，其中一些推测的副本现在已知是真实的，并且已经被合并N.J.A.斯隆]
    • 并不是目前OEIS中的所有序列都被包括在内，以及
    • 还可以添加更多内容（包括OEIS和此处）。
    • 许多由不定二次型（见第4节）产生的序列是用“蛮力”计算的，这是一种众所周知的不可靠的方法（研究佩尔方程就知道了）。这些也需要检查。

2.引言和注释

  • 起点是Fermat的结果首要的p是两个平方和，当且仅当p为2或与1模4同余（参见A002313号)，更一般地说数n是两个平方和，当且仅当3模4的每个素数同余在n中出现偶次幂时(A001481号)也就是说，当且仅当n=square*2^{0或1}*{distinct素数的乘积==1（mod 4）}。
  • 一个等价的语句是，我们正在寻找整数x和y，使得x^2+y^2=p，或x^2+y^2=n。
  • 很自然地会问，如果我们不考虑x^2+y^2，而是考虑任意二次型ax^2+bxy+cy^2，其中a、b和c是整数，会发生什么？它代表什么质数？它代表什么数字？如果形式是正定的，这些问题更容易回答。
  • A类二元二次型f（x，y）=ax^2+bxy+cy^2有鉴别的d=b^2-4ac，并且是正定的如果d<0，并且无限期的如果d>0。注意，d总是与0或1（mod 4）同余。
    • f（x，y）代表整数n，如果存在整数x和y，使得f（x，y）=n[Buell，第1页；Cox，第1版，第24页；第2版，第22页]。
    • 当然，任何二次型都表示0；f（x，y）表示0非私人地如果f（x，y）=0有一个x和y都不为0的解。
    • f（x，y）原始地如果f（x，y）=n有一个x和y相对素数的解，则表示n。
  • 这个格拉姆矩阵对应的形式是2X2矩阵[a，b/2；b/2，c]，如果b是奇数，我们可以用[2a，b；b，2c]替换它。这个行列式形式的是Gram矩阵的行列式，即ac-b^2/4或4ac-b^2。
  • 人们通常假设判别式不是一个完美的正方形。如果b^2-4ac=s^2，那么在乘以4a并完成平方后，该形式分解为两个线性因子的乘积，即（2ax+（b+s）y）（2ax+（b-s）y。

3.正定二元二次型索引

评论

  • 每行中的第一个数字是判别式d=b²-4ac。
  • Buell（1989年，第19和20页）给出了这些形式的表格（对于d==1 mod 4，|d|≤163，对于d==0 mod 4），并且在Conway-Sloane，第362-363页中，有一个按行列式（ac-b²/4）而非判别式分类的列表，对于行列式≤50。如果能引用一个更大的表，那就太好了。MAGMA命令Q:=BinaryQuadraticForms（d）；简化形式（Q）；产生判别式d的简化形式的列表。
  • 在列表中，一对[A111111号,A222222型]表示A111111号给出由该形式表示的所有整数，以及A222222型只给出素数。成对用分号分隔。
  •  ??? 表示要填写的A编号，可能是通过创建新序列。
  • 在许多情况下，有两个或多个候选人A222222型（定义不同）。最好能证明这些序列实际上是相同的，在这种情况下，应该合并条目。沃伊特的论文（见第6节）应该完全解决了这个问题。
  • x²+Ny²形式的素数，其中N是方便号码(A000926号)特别有趣，见第3.4节
  • 在经典理论中，允许x和y取任何积分值。但有时，在下面的列表中，对于x和y仅取非负值的子序列有附加条目（例如，参见d=-7）。
  • 显然，这个列表中还可以添加更多的判别词——请帮助！（我已经检查过这个二次型列表是正确的列表，大约d=-47。）此外，这些条目中的许多都需要b文件。
  • 虽然它目前不是本网页的主要关注点，但对于每一个正定二次型，我们也可以考虑给出整数解（x，y）的数量到x²+xy+2y²=n（或2n，如果形式只代表偶数）的序列。例如，请参见，A004016号列在d=-3和A002652号以d=-7列出。在这个列表中包含更多这样的序列是很好的。

所有正定二次型ax^2+bxy+cy^2的并表

形式为x^2+Ny^2的素数，其中N<=102

  • 这是第3.2节中列表的子列表。
  • 列表：

形式为x^2+Ny^2的素数的完整列表，其中N是一个方便的数字(A000926号)

  • 对于每N英寸A000926号有一个数字列表R，使得素数p用x^2+Ny^2表示当且仅当p与R的元素mod4N同余时。列表R在不规则三角形的行中给出A139642号例如，如果N=4，R是{1，5，9，13}，那么p的形式是x^2+4y^2当且仅当它与1，5、9或13中的一个mod 16同余时，或者更简单地说，如果且仅当p的形式为4k+1时，它给出了A002144号.
  • 这是第3.2节中列表的子列表。
  • 列表：

4.不定二元二次型索引

评论

  • 每行中的第一个数字是判别数d。
  • Conway-Sloane第362-363页列出了这些不定形式的列表，按行列式（ac-b^2/4）而非判别式进行分类，用于|行列式|<=100。最好能引用由discriminant排列的更大的表。也许是Ince（1934），我目前还无法访问。MAGMA命令Q:=BinaryQuadraticForms（d）；简化形式（Q）；产生判别式d的简化形式的列表。
  • 方格>9的判别法尚未包括在内（但肯定应该包括在内）。
  • 在列表中，一对[A111111号,A222222型]表示A111111号给出由该形式表示的所有非负整数，以及A222222型只给出素数。成对用分号分隔。
  • 在许多情况下，有两名候选人A222222型（定义不同）。最好能证明这些序列实际上是相同的，在这种情况下，应该合并条目。
  • 注意，如果ax^2+bxy+cy^2是一个不定形式，那么-ax^2+bxy-cy^2，即使它有相同的判别式，通常也会表示不同的正数集和不同的素数集。
  • 不定格比正定格更困难（见第6节中的参考文献）。首先，它不能用暴力解决。
    • 例如，考虑不定形式x^2-ky^2，对于一个正整数k，具有判别4k。这是佩尔方程的一个特例。一个著名的例子是x^2-61y^2，带有判别式244。这代表1吗？一般来说，x=1，y=0是一个解，但y为正的最小解是x=1766319049，y=226153980，这不是用蛮力可以找到的。参见第6节中的参考，以及OEIS索引中的条目佩林方程
  •  ??? 表示要填写的A编号，可能是通过创建新序列。
  • 显然，这个列表中还可以添加更多的判别词——请帮助！（我已经检查过，这个二次型列表通过（大约）d=52（对于d是4的倍数）和d=21（对于d==1模4）是正确的。）此外，这些条目中的许多都需要b文件。
  • 与正定情况相反，这里我们不关心给定的不定形式表示n的次数（因为这里它要么是0，要么是无穷大），除非判别式是平方，给定n的解的数目是有限的。

列表

5.计算机程序

评论

  • 注意，对于大多数程序来说，目标是找到所有非负数或所有素数，这些素数由二进制二次型ax^2+bxy+cy^2表示，允许x和y的任何整数值。有两个例外：
    • Jagy的程序Conway_Positive_Primitive会找到以下正数吗原始地用不定形式表示。
    • 程序QuadPrimes和QuadPrims2寻找由正定形式表示的素数，允许只有x和y的非负整数值.
  • 目前OEIS中用于查找由不定形式表示的数字的许多程序都使用暴力（请参阅A031363号,A035251号,A084916号,A089270美元等）。这是一种众所周知的不可靠方法，所有这些条目（尤其是任何b文件）都应该使用Jagy的程序Conway_Positive_all或Maple的isolve进行重新计算（参见第5节）。(A031363号现已更正。）

用定或不定二元二次型表示素数的PARI程序fc

  • fc（a、b、c、M）使用PARIqfb解算命令列出范围2<=p<=x中由ax^2+bxy+cy^2表示的所有素数p。
  • 判别式b^2-4ac不应为正方形。（如果是，请使用Maple程序联邦调查局（见下文）
  • 适用于正定和不定形式。
fc（a、b、c、x、文件名）={我的（L=列表（），n=0）；对于素数（p=2，x，my（t=qfbsolve（Qfb（a，b，c），p））；if（t，if（文件名，写入（文件名、n++、“”、p）、列表输入（L、p））);if（！文件名，Vec（L））};fc（1,1,2100）\\给出A045373号

正定二元二次型表示的数和素数的Maple程序fd

  • Maple程序fd（a，b，c，M）将返回两个列表：由正定二元二次形式ax^2+bxy+cy^2表示的0<=n<=M范围内的所有数字，以及所表示的该范围内的所有素数。
fd:=程序（a，b，c，M）局部dd，xlim，ylim，x，y，t1，t2，t3，t4，i；dd:=4*a*c-b^2；如果dd<=0，则错误“形式应为正定。”；断裂；fi；t1:={}；xlim:=天花板（平方米（M/a）*（1+abs（b）/sqrt（dd））；ylim:=天花板（2*sqrt（a*M/dd））；对于x从0到xlim do对于y从-ylim到ylim dot2：=a*x^2+b*x*y+c*y^2；如果t2<=M，则t1:={op（t1），t2}；fi；日期：日期：t3：=排序（转换（t1，列表））；t4：=[]；对于i从1到nops（t3）do如果是i素数（t3[i]），则t4：=[op（t4），t3[i]]；fi；日期：[[seq（t3[i]，i=1..nops（t3））]，[seq（t4[i]，i=1..nops（t4））]]；结束；fd（1,1,3500）；#给予A028954号和A056874号

Jagy列出用不定二元二次型表示的非负数的程序

  • 有两个程序，用C++编写（也可以用Sage和Maple编写，见下文），速度非常快。
  • 程序Conway_Positive_All.cc查找由不定形式ax^+bxy+cy^2表示的所有正整数n，其中n<=M。
    • 可以找到源文件在这里
    • 要编译它，请键入g++-o Conway_Positive_All Conway_Ppositive_All.cc-lm
    • 要使用它，请键入例如/Conway_Positive_All 1 0-3 100（产生A084916号)
    • 可以找到示例输出在这里
  • 程序Conway_Ppositive_Pimitive.cc找到所有正整数n，这些正整数最初由不定形式ax^+bxy+cy^2表示，其中n<=M。
    • 可以找到源文件在这里
    • 要编译它，请键入g++-o Conway_Positive_Primitive Conway-Positive-Primitive.cc-lm
    • 要使用它，请键入例如/Conway_Ppositive_Plimitive 1 0-3 100（产生A243655型)
    • 可以找到示例输出在这里
  • Peter Luschny已经将这些程序移植到Sage和Maple：参见在这里.
  • Michael Somos已将Conway_Positive_Primitive.cc移植到PARI/GP-请参阅在这里

使用Maple的isolve命令列出由不定二次型表示的非负数

  • 可以使用Maple的isolve命令执行此操作。下面是Robert Israel为A031363号:

选择（t->nops（[isolve（5*x^2-y^2=t）]）>0，[$1..1000]）；

如果判别式是正方形：Maple程序用于表示数字和素数

  • 如果判别式是一个非零完美平方（这意味着二次型是不定的），Maple程序fc（a，b，c，M）将返回两个列表：范围0<=n<=M内的所有数字，用形式ax^2+bxy+cy^2表示，以及该范围内的所有素数。
fb:=程序（a，b，c，M）局部s，t1，t2，n，d，dp；如果不是issqr（b^2-4*a*c），则错误“discriminant not a square”；回报；fi；s： =平方英尺（b^2-4*a*c）；t1:={0}；t2:={}；对于从1到M的n do对于numtheory[除数]（4*a*n）中的d，做dp:=4*a*n/d；如果（（d-dp）mod 2*s）=0且（（（b+s）*dp-（b-s）*d）mod 4*a*s）=0则t1:={op（t1），n}；如果是素数（n），则t2:={op（t2），n}；fi；断裂；fi；日期：日期：[排序（convert（t1，list）），排序（convert（t2，list））]；结束；fb（1,1，-2500）；#给予A242660型和A002476号

列出由不定二元二次型表示的非负数的Mathematica程序

  • 手动输入系数。例如，要查找由2x^2+3xy-4y^2表示的非负数(A035269号)，运行：
收获[For[n=0，n<=100，n++，If[FindInstance[2*x^2+3*x*y-4*y^2==n，{x，y}，整数，1]！={}，母猪[n]]][[2，1]]
  • 在许多情况下，该程序速度太慢，无法使用。使用Jagy的程序。
  • 要找到这个序列中的素数，假设命令有效，请按照上面的命令执行：
选择[%，PrimeQ]

有缺陷的Mathematica程序QuadPrimes

四元素数[a_，b_，c_，lmt_]：=模[{p，d，lst={}，xMax，yMax}，d=b^2-4a*c；如果[a>0&&c>0&&d<0，则xMax=Sqrt[lmt/a]]；做[yMax=（（-b）*x+Sqrt[4c*lmt+d*x^2]）/（2c）；做[p=a*x^2+b*x*y+c*y^2；如果[PrimeQ[p]&&！成员Q[lst，p]，附加到[lst、p]]，{y，0，yMax}]，{x，0，xMax}]；排序[lst]]；四元数[1,1,2,1000]（*应该给出A106856号*)
  • 如果b不为零，这个程序可能会给出错误的答案，因为xMax应该是sqrt（lmt/a）*（1+|b|/sqrt（-d）），正如完成平方所看到的那样。这只会对接近极限的素数产生影响。
  • 对于QuadPrimes给出错误答案的特定示例，请运行QuadPrims[2，-1，17，100000]。这会找到858个素数，但由于x的范围太小，它会遗漏素数99713和99833，运行QuadPrimes[2，-1，17，100500]可以看出这一点。
  • 有关发现使用QuadPrimes计算的b文件存在错误的序列的详细信息，请参阅第7节。

修正后的版本，QuadPrimes2

  • 以下Mathematica程序具有正确的限制。
四元数2[a_，b_，c_，lmt_]：=模[{p，d，lst={}，xMax，yMax}，d=b^2-4 a*c；如果[a>0&&c>0&d<0，xMax=平方[lmt/a]*（1+绝对值[b]/楼层[Sqrt[-d]]）；做[如果[4 c*lmt+d*x^2>=0，yMax=（（-b）*x+平方[4 c*lmt+d*x^2]）/（2c），yMax=0]；做[p=a*x^2+b*x*y+c*y^2；如果[PrimeQ[p]&&p<=lmt&&！成员Q[lst，p]，附录[lst、p]]；，{y，0，yMax}]；，{x，0，xMax}]；,打印[“错误，格式不正确：{a，b，c}=”，{a，b}，“，d=”，d]；];排序[lst]]；四元数2[1,1,2,1000]（*给出A106856号*)
  • 以下替代版本更适合创建b文件。
四元数2[a_，b_，c_，lmt_]：=模[{p，d，lst={}，xMax，yMax}，d=b^2-4 a*c；如果[a>0&&c>0&d<0，xMax=平方[lmt/a]*（1+绝对值[b]/楼层[Sqrt[-d]]）；做[如果[4 c*lmt+d*x^2>=0，yMax=（（-b）*x+平方[4 c*lmt+d*x^2]）/（2c），yMax=0]；做[p=a*x^2+b*x*y+c*y^2；如果[PrimeQ[p]&&p<=lmt&&！成员Q[lst，p]，附录[lst、p]]；，{y，0，yMax}]；，{x，0，xMax}]；,打印[“错误，格式不正确：{a，b，c}=”，{a，b}，“，d=”，d]；];排序[lst]]；t2=四素数2[1,1,2,350000]；长度[t2]（*看看找到了多少素数*）t2[[长度[t2]]（*看最后一项*）对于[n=1，n<=10000，n++，打印[n，“，t2[[n]]]（*创建b文件*）

MAGMA命令

  • MAGMA有许多用于研究二进制二次型的命令。
  • 命令Q:=BinaryQuadraticForms（d）；简化形式（Q）；生成判别式d的简化形式列表，其中d可以是负数或正数。
  • 要找到由正定二次型表示的数字，可以说Q:=BinaryQuadraticForms（d）；f:=Q！【a、b、c】；T型：=ThetaSeries（f，100）；，其给出所表示的数（指数）和表示的数（系数）。我不知道MAGMA能否找到用不定形式表示的数字。

PARI命令qfsolve

  • 这将包含在PARI 2.8中，并将发现理性的ax^2+bxy+cy^2=n的解。

Dario Alpern的在线二次方程解算器

彼得·卢什尼的节目

  • 彼得·卢什尼（Peter Luschny）有一个卫星页面，在那里他将其中一些程序移植到了Sage和Maple：参见在这里.

6.关于二元二次型的参考文献

评论

  • 有关一般理论，请特别参阅Buell、Cox和Zagier的著作。
  • Delone、Kitaoka、Schering、Timofeev和Watson（以及Estes-Lee）的论文涉及两个正定二次型何时表示相同的数字的问题。
  • 李的两篇论文涉及两个不定二元二次型何时表示相同数字的问题。
  • Jagy-Kaplansky和Voight的论文关注的是两个二元二次型何时表示相同的素数的问题。

工具书类

  • Z.I Borevich和I.R.Shafarevich，《数论》，纽科姆·格林利夫译自俄语，学术出版社，纽约，1966年。
  • D.A.Buell，《二元二次型》，斯普林格出版社，纽约，1989年。
  • G.Chrystal，《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第7版。编辑，切尔西，纽约，1964年。尤其见第478-490页。
  • Harvey Cohn，代数数和类域的经典邀请。Universitext公司。Springer-Verlag，纽约-海德堡，1978年。xiii+328页，ISBN:0-387-90345-3 MR0506156（80c:12001）。特别参见第14章。
  • J.H.Conway，《感官（二次）形式》，Carus数学专著第26卷，美国数学协会，华盛顿特区，1997年。
  • J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，纽约州斯普林格-弗拉格出版社，第3期。1999年编辑。特别参见第15章和第360和362-363页的表格。
  • 大卫·A·考克斯，《x^2+ny^2形式的素数》，威利出版社，1989年；第二。2013年版。
  • H.M.Edwards，《费马最后定理：代数数论的遗传介绍》，Springer-Verlag，NY，1977年。具体参见第8章。
  • B.N.德隆。正二次型几何，附录，Uspechi Mat.Sri，4（1938），102-164。
  • Dennis R.Estes。；艾伯特·李。用表示法对秩2二次格进行分类。Nova J.代数几何。2（1993），第2期，201--217。MR1273739（95天：11041）
  • G.Frei，欧拉方便数，数学。Intelligencer，第7卷，第3期（1985年），55-58和64。
  • C.F.Gauss，《算术研究》，耶鲁，1965年。
  • E.L.Ince，二次域中简化理想的循环。英国数学表格协会，第4卷，伦敦，1934年。
  • Y.Kitaoka，关于具有相同表示数的正定二次型之间的关系，Proc。日本。学院。，47 (1971), 439-441.
  • 李德朗，表示相同数字的不定二进制形式，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.92（1982），第1期，29-33。
  • 李德朗，用二元二次型表示数字，数学学报。Sinica（N.S.）3（1987），第1期，58-65。
  • M.Schering，《作为模因命名代表的二次方关系定理》，J.Math，pures el appl。，2系列4（1859年）。
  • V.N.蒂莫菲耶夫。关于正二次型，代表相同的数字，Uspekhi Mat.Nauk，18（1963），191-193。
  • Watson，G.L.通过整数点上的值确定二元二次型。Mathematika 26（1979），第1期，72-75。MR0557128（81e:10019）。
  • Watson，G.L.鸣谢：“通过二元二次型在整数点上的值来确定二元二次型[Mathematika 26（1979），编号1，72-75；MR 81e:10019]。Mathematika 27（1980），第2期，188（1981）。MR0610704（82d:10037）
  • D.B.Zagier，Zetafunktionen und Quadratische Körper，柏林斯普林格出版社，1981年。

链接

7.需要检查的正定形式序列列表

  • 本节给出了基于正定二次型ax^2+bxy+cy^2和b！=的序列的完整列表0和提到有缺陷的程序QuadPrimes，因此需要检查。
  • 有关QuadPrimes中的错误描述和替换程序，请参阅第5节。
  • QuadPrimes的两个替代程序是QuadPrimes2（如果希望重现QuadPrimers声称的功能），或者如果只想用二进制二次形式表示所有素数，则使用更快的PARI程序fc。
  • 请注意，需要检查OEIS条目中的数据行和（如果存在）b文件。
  • 检查或纠正这些序列后，在第7节和OEIS条目中添加注释，如“XXX于2014年6月15日使用YYY程序检查”。然后从OEIS条目中删除有缺陷的程序QuadPrimes。
  • 下面列出的所有序列现已检查完毕。发现11个b-文件有错误，并按照以下注释进行了更正雷·钱德勒，2014年8月5日。
  • 要检查的顺序：
    • A056874号QuadPrimes[1，-1，3，10000][由NJAS检查，6月16日使用PARI程序fc]
    • A106856号QuadPrimes[1,1,2,1000][由NJAS于2014年6月6日使用QuadPrims2]检查
    • A106857号QuadPrimes[1,1,3,10000][由NJAS于2014年6月16日使用QuadPrims2]检查
    • A106858号QuadPrimes[2,1,2,10000][NJAS于2014年6月17日使用QuadPrims2]检查
    • A106859号联盟[QuadPrimes[2,1,2,10000]，QuadPrimers[2,1,1,10000]]由NJAS于2014年6月6日使用PARI程序fc]检查
    • A106860号四元数[2，-1，2，1000000][审核人里克·L·谢泼德2014年7月25日13:25（UTC）使用QuadPrimes2]
    • A106861号QuadPrimes[1,1,41000000][审核人里克·L·谢泼德2014年7月25日14:02（UTC）使用QuadPrimes2]
    • 电话：106862QuadPrimes[1,1,5,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106863号QuadPrimes[1，-1，5，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106864号QuadPrimes[2,2,3,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106865号四边形素数[2，-2，3，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A106866号QuadPrimes[2,1,3,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106867号Union[QuadPrimes[2，1，3，10000]，QuadPrices[2，-1，3，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106868号四边形素数[2，-1，3，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106869号QuadPrimes[1,1,6,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • 106870英镑QuadPrimes[1，1，710000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106871号QuadPrimes[2,1,4,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106872号Union[QuadPrimes[2，1，4，10000]，QuadPrices[2，-1，4，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 106873年四边形素数[2，-1，4，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106874号QuadPrimes[1,1,8,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106875号QuadPrimes[3，2，3，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106876号QuadPrimes[3，-2，3，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 电话：106877QuadPrimes[3，1，3，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106878号Union[QuadPrimes[3，1，3，10000]，QuadPrimers[3，-1，3，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106879号QuadPrimes[3，-1，3，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106880号QuadPrimes[1,1,9,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106881号QuadPrimes[1，-1，9，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106882号QuadPrimes[2,2,5,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106883号QuadPrimes[3,3,4,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106884号QuadPrimes[3，-3，4，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 106885英镑QuadPrimes[2,1,5,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106886号Union[QuadPrimes[2，1，5，10000]，QuadPrices[2，-1，5，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106887号QuadPrimes[2，-1，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106888号QuadPrimes[1,1,10100000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106890号QuadPrimes[1,1,11,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106891号QuadPrimes[1，-1，11，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106892号QuadPrimes[3，2，410000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106893号QuadPrimes[3，-2，4，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106894号QuadPrimes[3，1，4，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • 106895英镑Union[QuadPrimes[3，1，4，10000]，QuadPrimers[3，-1，4，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106896号QuadPrimes[3，-1，4，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106897号QuadPrimes[2,1,6,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106898号Union[QuadPrimes[2，1，6，10000]，QuadPrices[2，-1，6，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106899号四边形素数[2，-1，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106900型QuadPrimes[1,1,12,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106901号QuadPrimes[3,3,5,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106902号QuadPrimes[3，-3，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106903号QuadPrimes[1,1,13,10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106904号QuadPrimes[1，-1，13，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106905号四边形素数[2,2,710000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • 106906英镑四边形素数[2，-2，7，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106907号QuadPrimes[4,3,4,10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106908号Union[QuadPrimes[4，3，4，10000]，QuadPrices[4，-3，4，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106909号QuadPrimes[4，-3，410000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106910号QuadPrimes[2,1,7,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106911标准Union[QuadPrimes[2，1，7，10000]，QuadPrices[2，-1，7，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 106912年四边形素数[2，-1，7，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106913号QuadPrimes[1,1,14140000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106914号QuadPrimes[3，2，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 邮编：106915Union[QuadPrimes[3，2，5，10000]，QuadPrices[3，-2，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106916号QuadPrimes[3，-2，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106918号QuadPrimes[3，1，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106919号Union[QuadPrimes[3，1，5，10000]，QuadPrimers[3，-1，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106920号QuadPrimes[3，-1，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106921号QuadPrimes[1,1,15,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106922号QuadPrimes[1，-1，15，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106923号QuadPrimes[4，1，4，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106924号Union[QuadPrimes[4，1，4，10000]，QuadPrimers[4，-1，4，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106925号QuadPrimes[4，-1，4，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106926号QuadPrimes[2,1,8,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106927号Union[QuadPrimes[2，1，8，10000]，QuadPrimes[2，-1，8，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • 106928年四边形素数[2，-1，8，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106929号QuadPrimes[1,1,16,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106930号QuadPrimes[1，-1，16，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106931号QuadPrimes[4，4，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106932号QuadPrimes[1,1,17,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106933号QuadPrimes[1，-1，17，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106934号QuadPrimes[3，2，6，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106935号Union[QuadPrimes[3，2，6，10000]，QuadPrices[3，-2，6，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106936号QuadPrimes[3，-2，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106937号QuadPrimes[2,2,910000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106938号四边形素数[2，-2，9，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A106939号QuadPrimes[4,3,5,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106940号Union[QuadPrimes[4，3，5，10000]，QuadPrices[4，-3，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106941号QuadPrimes[4，-3，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106942号QuadPrimes[3，1，6，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 106943年Union[QuadPrimes[3，1，6，10000]，QuadPrimers[3，-1，6，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106944号QuadPrimes[3，-1，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106945号QuadPrimes[2,1,9,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106946号联合[QuadPrimes[2，1，9，10000]，QuadPrimers[2，-1，9，10000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106947号四边形素数[2，-1，9，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106948号QuadPrimes[1，1，18，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106951号四边形素数[3,3,7,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A106952号QuadPrimes[3，-3，7，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106953号QuadPrimes[4，2，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106954号Union[QuadPrimes[4，2，5，10000]，QuadPrices[4，-2，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106955号QuadPrimes[4，-2，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106956号QuadPrimes[4，1，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106957号Union[QuadPrimes[4，1，5，10000]，QuadPrices[4，-1，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106958号QuadPrimes[4，-1，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106959号QuadPrimes[2,1,10,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106960号联合[QuadPrimes[2，1，10，10000]，QuadPrimers[2，-1，10，10000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106961号四边形素数[2，-1，10，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106962号QuadPrimes[1,1,20,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106964号QuadPrimes[3，2，7，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106965号QuadPrimes[3，-2，7，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106966号QuadPrimes[3，1，7，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106967号Union[QuadPrimes[3，1，7，10000]，QuadPrimers[3，-1，7，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106968号QuadPrimes[3，-1，710000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106969号QuadPrimes[1,1,21,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106970号QuadPrimes[1，-1，21，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 1906971年QuadPrimes[5,4,5,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106972号Union[QuadPrimes[5，4，5，10000]，QuadPrimes[5，-4，5，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106973号QuadPrimes[5，-4，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106974号QuadPrimes[2,2,11,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106975号QuadPrimes[4,3,6,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106976号Union[QuadPrimes[4，3，6，10000]，QuadPrices[4，-3，6，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106977号QuadPrimes[4，-3，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106978号四边形素数[3,3,8,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • 106979年QuadPrimes[3，-3，8，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106980号QuadPrimes[2,1,11,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • 电话：106981联合[QuadPrimes[2,1,11,10000]，QuadPrimers[2,1,1,10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106982号四边形素数[2，-1，11，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A106983号QuadPrimes[1,1,22,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106985号QuadPrimes[5,3,5,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106986号Union[QuadPrimes[5,3,5,10000]，QuadPrimers[5,-3,5,10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106987号QuadPrimes[5，-3，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106988号QuadPrimes[1,1,23,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106989号QuadPrimes[1，-1，23，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106990号QuadPrimes[5，5，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A106991号QuadPrimes[5，-5，6，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106992号QuadPrimes[4，1，6，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106993号Union[QuadPrimes[4，1，6，10000]，QuadPrimers[4，-1，6，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106994号四边形素数[4，-1，6，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A106995号QuadPrimes[3，1，8，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106996号Union[QuadPrimes[3，1，8，10000]，QuadPrimes[3，-1，8，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • 1997年6月QuadPrimes[3，-1，8，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A106998号QuadPrimes[2,1,12,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A106999号Union[QuadPrimes[2,1,12,10000]，QuadPrices[2,1,12.12,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107000号四边形素数[2，-1，12，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A107001号QuadPrimes[1,1,24,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A107002号QuadPrimes[5，2，5，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107003号Union[QuadPrimes[5，2，5，10000]，QuadPrimers[5，-2，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107004号QuadPrimes[5，-2，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107005号QuadPrimes[4,4,7,10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A107006号QuadPrimes[4，-4，7，10000][由NJAS检查，2014年6月8日]
    • A107009号QuadPrimes[5，1，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A107010号Union[QuadPrimes[5，1，5，10000]，QuadPrimers[5，-1，5，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107011号QuadPrimes[5，-1，5，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A107012号QuadPrimes[1,1,25,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A107013标准QuadPrimes[1，-1，2510000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A121243号四边形素数[4，-4，9，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A139827号四边形素数[2，-2，17，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A139828号QuadPrimes[6，-6，7，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139829号四边形素数[4，-4，11，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A139830号Union[QuadPrimes[7，6，7，10000]，QuadPrimers[7，-6，7，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139831号四边形素数[2，-2，23，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A139832号Union[QuadPrimes[7，4，7，10000]，QuadPrices[7，-4，7，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139833号四边形素数[2，-2，29，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用四边形素检查2]
    • A139834号QuadPrimes[6，-6，110000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139835号四边形素数[2，-2，43，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A139836号QuadPrimes[10，-10，11，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139837号QuadPrimes[4，-4，23，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139838号QuadPrimes[8，-8，13，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139839号四边形素数[2，-2，47，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A139840号QuadPrimes[6，-6，17，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139844号QuadPrimes[2，-2，53，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139847号QuadPrimes[6，-6，19，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139899英镑QuadPrimes[10，-10，13，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139850型Union[QuadPrimes[11，8，11，10000]，QuadPrimes[11，-8，11，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139851号QuadPrimes[4，-4，29，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139853号Union[QuadPrimes[11,6,11,10000]，QuadPrices[11,6,11,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139855英镑QuadPrimes[4，-4，31，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139858号QuadPrimes[8，-8，17，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139859英镑Union[QuadPrimes[11,2,11,10000]，QuadPrices[11,2,11-10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139860号QuadPrimes[12，-12，13，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139864号四边形素数[2，-2，67，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • A139866号Union[QuadPrimes[13，12，13，10000]，QuadPrices[13，-12，13，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139867号QuadPrimes[2，-2，83，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139870号QuadPrimes[6，-6，29，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139871号QuadPrimes[10，-10，190000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139873号Union[QuadPrimes[13,4,13,10000]，QuadPrices[13,-4,13,10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139875号QuadPrimes[4，-4，43，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139878号QuadPrimes[8，-8，23，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139879号QuadPrimes[12，-12，17，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • 139880英镑Union[QuadPrimes[13,2,13,10000]，QuadPrices[13,-2,13,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139881号QuadPrimes[2，-2，89，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A139883号QuadPrimes[6，-6，31，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139894号QuadPrimes[4，-4，59，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139896号QuadPrimes[8，-8，31，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139898号QuadPrimes[4，-4，61，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139900澳元QuadPrimes[12，-12，23，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139902号QuadPrimes[16,16,19,10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139903号Union[QuadPrimes[17,14,17,10000]，QuadPrices[17,14]，17,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139904号QuadPrimes[2，-2，127，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A139906号Union[QuadPrimes[17,12,17,10000]，QuadPrices[17,12,17,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139907号四边形素数[2，-2，137，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • 139909英镑QuadPrimes[6，-6，47，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139912号QuadPrimes[14，-14，23，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139913号Union〔QuadPrimes〔17，8，17，10000〕，QuadPrimes〔17，-8，17，10000〕〕〔由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2〕
    • A139914号QuadPrimes[4，-4，71，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139918号QuadPrimes[8，-8，37，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139919号Union[QuadPrimes[17,6,17,10000]，QuadPrices[17,6-17,10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139920号Union[QuadPrimes[19，18，19，10000]，QuadPrices[19，-18，19，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139922号QuadPrimes[4，-4，79，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139924号QuadPrimes[8，-8，41，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139925号QuadPrimes[12，-12，29，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A139927号Union[QuadPrimes[19，14，19，10000]，QuadPrices[19，-14，19，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139935年四边形素数[2，-2，173，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用四边形素2]
    • 139938年QuadPrimes[6，-6，59，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139939年QuadPrimes[10，-10，37，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A139941号Union[QuadPrimes[19，8，19，10000]，QuadPrices[19，-8，19，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139942号QuadPrimes[2，-2，179，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139944号QuadPrimes[6，-6，61，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139946号QuadPrimes[14，-14，29，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139948号Union[QuadPrimes[19，4，19，10000]，QuadPrices[19，-4，19，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139949号QuadPrimes[2，-2，193，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139952号QuadPrimes[10，-10，41，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A139954号QuadPrimes[14，-14，310000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139955号QuadPrimes[22，-22，23，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139957号QuadPrimes[4，-4，10310000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139959号QuadPrimes[8，-8，53，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139960型QuadPrimes[12，-12，37，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139962号Union[QuadPrimes[23，22，23，10000]，QuadPrices[23，-22，23，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139970号QuadPrimes[4，-4，131，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139973号QuadPrimes[8，-8，67，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139975号QuadPrimes[20，-20，31，10000][由Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]进行检查和更正
    • A139976号Union[QuadPrimes[23，6，23，10000]，QuadPrices[23，-6，23，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139977号QuadPrimes[4，-4，191，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139980年QuadPrimes[8，-8，97，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139982号QuadPrimes[20，-20，43，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 139983年Union[QuadPrimes[29，18，29，10000]，QuadPrices[29，-18，29，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139985号QuadPrimes[4，-4，211，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139989号QuadPrimes[8，-8，107，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139990型QuadPrimes[12，-12，73，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139992号QuadPrimes[20，-20，47，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139995号QuadPrimes[24，-24，41，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139996号QuadPrimes[28，-28，370000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A139997号Union[QuadPrimes[29，2，29，10000]，QuadPrices[29，-2，29，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A139998号Union[QuadPrimes[31，22，31，10000]，QuadPrices[31，-22，31，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140000个QuadPrimes[4，-4，331，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140003型QuadPrimes[8，-8，167，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 2014年QuadPrimes[12，-12，113，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140007型QuadPrimes[20，-20，71，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140009型QuadPrimes[24，-24，61，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140011型Union[QuadPrimes[37，14，37，10000]，QuadPrices[37，-14，37，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140012型QuadPrimes【40，-40，43，10000】【由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2】
    • A140013型联合[QuadPrimes[41，38，41，10000]，QuadPrices[41，-38，41，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140014型QuadPrimes[2，-2，683，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A140017号QuadPrimes[6，-6，229，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140019型QuadPrimes[10，-10，139，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140021型QuadPrimes[14，-14，101，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140024型QuadPrimes[26，-26，59，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140025型QuadPrimes[30，-30，53，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140027号Union[QuadPrimes[37，4，37，10000]，QuadPrices[37，-4，37，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140028号QuadPrimes[42，-42，43，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140030型QuadPrimes[4，-4，463，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140033号QuadPrimes[8，-8233，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A140035型QuadPrimes[12，-12，157，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140038号QuadPrimes[24，-24，83，10000][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140039号QuadPrimes[28，-28，73，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140041号联合[QuadPrimes[43，2，43，10000]，QuadPrices[43，-2，43，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140042号QuadPrimes[44，-44，53，10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140043型联合[QuadPrimes[47，38，47，10000]，QuadPrimers[47，-38，47，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140613号联盟[QuadPrimes[7，6，39，10000]，QuadPrimers[7，-6，39，10000]][由NJAS于2014年6月7日使用添加的新PARI程序进行检查]
    • A140614号Union[QuadPrimes[15,12,20,10000]，QuadPrices[15,12,20,1000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140615号Union[QuadPrimes[13，6，21，10000]，QuadPrimes[13，-6，21，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • A140616号Union[QuadPrimes[5，4，68，10000]，QuadPrimers[5，-4，68，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • 140617英镑Union[QuadPrimes[11，8，32，10000]，QuadPrimes[11，-8，32，10000]][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrimes2]
    • 140618英镑Union[QuadPrimes[20，4，23，10000]，QuadPrices[20，-4，23，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140619号Union[QuadPrimes[19,4,28,10000]，QuadPrices[19,-4,28,10000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查
    • A140620型联合[QuadPrimes[23，4，68，10000]，QuadPrices[23，-4，68，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140621号Union[QuadPrimes[28，12，57，10000]，QuadPrices[28，-12，57，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140622号Union[QuadPrimes[21，12，76，10000]，QuadPrices[21，-12，76，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140623号联合[QuadPrimes[35，30，51，10000]，QuadPrices[35，-30，51，10000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140624号Union[QuadPrimes[19，14，91，10000]，QuadPrices[19，-14，91，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140625号Union[QuadPrimes[28，20，85，10000]，QuadPrices[28，-20，85，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140626号Union[QuadPrimes[51，48，56，10000]，QuadPrices[51，-48，56，10000]][Ray Chandler于2014年7月26日使用QuadPrims2]检查并更正
    • A140627号Union[QuadPrimes[33，24，88，10000]，QuadPrices[33，-24，88，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140628号Union[QuadPrimes[39，6，71，10000]，QuadPrices[39，-6，71，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140629号联合[QuadPrimes[76，20，145，10000]，QuadPrimers[76，-20，145和10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140630型Union[QuadPrimes[88，32，127，10000]，QuadPrices[88，-32，127和10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140631号联合[QuadPrimes[57，18，193，10000]，QuadPrimers[57，-18，193和10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140632号联合[QuadPrimes[55，10，199，10000]，QuadPrimers[55，-10，199和10000][由Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]
    • A140633号Union[QuadPrimes[7，4，52，10000]，QuadPrices[7，-4，52，10000]][Ray Chandler检查，2014年7月26日使用QuadPrims2]

8.想帮忙吗？

  • 目前OEIS中用于查找由不定形式表示的数字的许多程序都使用暴力（请参阅A031363号,A035251号,A084916号,A089270美元,A243180型,A243181型等）。这是一种众所周知的不可靠方法，所有这些条目（尤其是任何b文件）都应该使用Jagy的程序Conway_Positive_all或Maple的isolve进行重新计算（参见第5节）。A031363号现已更正。
  • 另一项重要任务是检查第3节和第4节中的列表是否尽可能完整，并通过包含更多的判别词来扩展它们。
    • 选择一个判别词d，运行MAGMA（参见第5节）查找该判别词的所有简化形式，并检查每个形式的数字序列和所表示的素数是否在OEIS中，并在此网页中列出。
  • 使用沃伊特的文章（见第6节）来解决第3节中关于两个明显相同的素数序列是否真的相同的问题。

9.关于本页

  • 创建者N.J.A.斯隆2014年6月5日至12日。
  • 感谢Jean-François Alcover、Bill Allombert、Ray Chandler、Charles R Greathouse IV、Will Jagy、Peter Luschny、Michael Somos和其他人就本页主题发送的有用电子邮件。
  • 如果您对此页面进行了任何更改，请在上面签名并注明日期。
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