显示找到的149个结果中的1-10个。
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三
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9
10...15
a=3,b=2:Zs(n,3,2)是3^n-2^n的最大除数(A001047号)对于所有正整数m<n,它相对素数为3^m-2^m。
+20 5
1, 5, 19, 13, 211, 7, 2059, 97, 1009, 11, 175099, 61, 1586131, 463, 3571, 6817, 129009091, 577, 1161737179, 4621, 267331, 35839, 94134790219, 5521, 4015426801, 320503, 397760329, 369181, 68629840493971, 7471, 617671248800299, 43112257
评论
全因式分解是乘法的;也就是说,因子的构成是由n的原因子化决定的。
例子
设n为7;那么g(n):=3^n-2^n的因式分解就是g(7)=A(7)=2059,因为n是素数;设n是3,那么g(3)=A(3)=19的因式分解,因为n是素数;设n为21,则因子分解为g(21)=A(3)*A(7)*A;无论n是复合的还是非复合的,每个n(至少)除了由n的素因子决定的因子之外,还会出现一个新因子,因此它不是纯乘法的。
MAPLE公司
f: =程序(a,M)局部n,b,d,t1,t2;
b: =[];
对于从1到M的n do
t1:=除数(n);
t2:=mul(a[d]^mobius(n/d),t1中的d);
b: =[op(b),t2];
od;
b;
结束;a: =[seq(3^n-2^n,n=1..50)];
1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1
数学
nmax=200;系数列表[系列[积[1+x^(3^k-2^k),{k,1,楼层[Log[nmax]/Log[2]+1}],{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年1月24日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a241759=p$tail a001047_list,其中
p _ 0=1
p(k:ks)m=如果m<k,则0,否则p ks(m-k)+p ks m
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 31, 33, 33, 34, 35, 36, 38, 38
配方奶粉
G.f.:产品{k>=1}1/(1-x^(3^k-2^k))-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月23日
例子
a(18)={5+5+5+1+1,5+5+8x1,5+13x1,18x1}=4;
a(19)={19,5+5+5+1+1,5+5+9x1,5+14x1,19x1}=5;
a(20)={19+1,5+5+5+5,5+5+5x1,5+5+10x1,5+15x1,20x1}=6;
a(21)={19+1+1,5+5+5+1,5/5+5+6x1,5+5+11x1,5%16x1,21x1}=6。
数学
nmax=100;系数列表[系列[乘积[1/(1-x^(3^k-2^k)),{k,1,楼层[Log[nmax]/Log[2]]+1}],{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月24日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a241766=p$tail a001047_list,其中
p _ 0=1
p ks'@(k:ks)m=如果m<k,则0,否则p ks'(m-k)+p ks m
2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a241783 n=a241783列表!!(n-1)
a241783_list=过滤器((==0)。a241759)[0..]
5, 19, 13, 211, 7, 29, 71, 97, 1009, 11, 23, 331, 61, 53, 29927, 463, 3571, 17, 401, 129009091, 577, 1559, 745181, 4621, 43, 6217, 35839, 47, 2002867877, 5521, 101, 39756701, 79, 4057, 397760329, 369181, 68629840493971, 31, 241, 617671248800299, 3041, 14177
链接
格雷厄姆·埃弗勒斯(Graham Everest)、肖恩·史蒂文斯(Shaun Stevens)、邓肯·塔姆塞特(Duncan Tamsett)和汤姆·沃德(Tom Ward),递归序列生成的素数阿默尔。数学。月刊,114(2007年第5期),417-431。
4, 18, 14, 64, 60, 46, 210, 206, 192, 146, 664, 660, 646, 600, 454, 2058, 2054, 2040, 1994, 1848, 1394, 6304, 6300, 6286, 6240, 6094, 5640, 4246, 19170, 19166, 19152, 19106, 18960, 18506, 17112, 12866, 58024, 58020, 58006, 57960, 57814
例子
a(1)=s(2)-s(1)=(3^2-2^2)-(3^1-2^1)=4
a(2)=s(3)-s(1)=19-1=18
a(3)=s(3)-s(2)=19-5=14
a(4)=s(4)-s(1)=65-1=64
1, 2, 5, 4, 10, 19, 8, 20, 38, 65, 16, 40, 76, 130, 211, 32, 80, 152, 260, 422, 665, 64, 160, 304, 520, 844, 1330, 2059, 128, 320, 608, 1040, 1688, 2660, 4118, 6305, 256, 640, 1216, 2080, 3376, 5320, 8236, 12610, 19171
评论
行和为A066810号(偏移量2):(1、7、33、131、473、1611…)
配方奶粉
T(n,k)=2^n*(3*(3/2)^k-2)-阿洛伊斯·海因茨2023年12月20日
例子
序列的开头是由行读取的三角形:
1;
2, 5;
4, 10, 19;
8, 20, 38, 65;
16, 40, 76, 130, 211;
32, 80, 152, 260, 422, 665;
...
数学
T[n_,k_]:=总和[3^j*2^(n-j),{j,0,k}];扁平[表[T[n,k],{n,0,8},{k,0,n}]](*Detlef Meya酒店2023年12月20日*)
a(n)=2^n-1。(有时称为梅森数字,尽管该名称通常用于A001348号.)(原名M2655 N1059)
+10 1289
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
评论
这是q=2的高斯二项式系数[n,1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外,贝拿勒斯神庙问题的解决方案(移动次数最少),即三个菱形针,其中n个针盘按第一个针的大小递减,以相同的顺序放置在第三个针盘上,每次移动不超过一个针盘,也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque,2003年10月18日
a(0)=0,a(1)=1;a(n)=最小值,使得a(n,a(m)==0(mod(n-m+1)),对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1,1/2,1/3,…]的二项式变换=[1/1,3/2,7/3,…];(2^n-1)/n,n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如,第7项为(2^7)-1=127=1111111(以2为基数)-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2,a(n)是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P(A)是n元集A的幂集,则A(n+1)=P(A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯(bsl04(AT)uark.edu),2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列,A001045号,(1,1,3,5,11,21,…)与(1,2,2,…)卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n是偶数a(n)mod 3=0。这来自同余2^(2k)-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0(mod 3)。(请注意,2*2*…*2有偶数个术语。)-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[1,j]=1,A[i,i]:=2,(i>1),A[i,i-1]=-1,否则A[i、j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det(a)-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A,b:c,d:k]中的序列A(0,1;1,2;2)=A(0,1;3,-2;0),在下面给出的W.Lang链接中被视为A(A,b;c,d;k)-Wolfdieter Lang公司2010年10月18日
a(n)=S(n+1,2),第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a(n)行的条目都是奇数,而a(n。。。,奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作,该操作翻转每个条目的符号。那么a(n+1)是长度为2n的有符号置换的数量,它等于它们的反向补足的条,并且避免了模式集{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}。(参见Hardt和Troyka参考资料。)-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a(n)是数字k,使得映射k->(3k+1)/2==1(mod 2)直到达到(3k+1/2==0(mod 2中)为止的迭代次数等于n(参见Collatz问题)-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a,b,用a<+>b表示,最小c>=a,使得Hd(a,c)=b(注意,一般来说,a<+>b与b<+>a不同)。则a(n+1)=a(n)<+>1。因此,这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度:1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1,n-2,…,1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如,3->{2,1}和2->{1},因此a(3)=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U(P=3,Q=2)序列-R.J.马塔尔,2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数,以二为基数。参见链接中的命题1和5.2:“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
H树中第n级之后的线段数-奥马尔·波尔,2013年2月16日
a(n)是2的最高幂,因此2^a(n)除以(2^n)-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中,这些是唯一的无符号数字,例如k&(k+1)=0,其中&是按位AND运算符,数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数(例如,参见下面的NRICH1246链接或Britton链接)-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a(n)!==4(第5版);a(n)!==10(11年款);a(n)!==2、4、5、6(第7版)-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后,由整数(1,2,3,4,…)的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a(n+1)等于长度为n的三元字的数量,避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时,第n项为0,0,1,3,7,15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如,4:={0,1,2,3}:={{},{}},}}。此外,对于n>0,a(n)是序数n-1的完全展开的冯·诺依曼定义中所需的符号总数,其中总是使用单个符号(像往常一样)来表示空集,并且忽略空格。例如,a(5)=31,表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德,2016年5月7日
除初始项外,二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示,由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义,基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a(n),n>1,是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1,n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(i+j-1,j)*p+二项式的行列式(i+j-1,i),在这种情况下p=2(经验观察)-托尼·福斯特三世2019年5月11日
a(n)是包含n的{1,2,..,n}的所有子集中最小元素的和。例如,a(3)=7;{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3},{2,3}、{1,2,3,最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a(n-1)是{1,2,..,n}的非空子集的数目,其中没有与集合大小相同的元素。例如,对于n=4,a(3)=7,并且子集是{2}、{3}、{4}、{1,3}、{1,4}、{3,4}、{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外,当n>=3时,n-helm图中的最小支配集数。(结束)
猜想:除了a(2)=3之外,数字m使得2^(m+1)-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a(n)是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
对于n==1(mod 4),a(n)==1(mod 30);
对于n==3(mod 4),a(n)==7(mod 120);
(a(n)-1)/30=(a(n+2)-7)/120,对于n奇数;
此外,高度为n-1的完美二叉树中的节点数,或:毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形(或三角形)数:从线段开始。在每一步中,构建以最近的线段为底的正方形,并将正方形的相对侧作为斜边的等角直角三角形(每个正方形的“顶部”)。在下一步中,这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒2024年3月11日
a(n)是n-Hanoi图的直径。等效地,a(n)是河内塔问题(即上述贝拿勒斯神庙问题)的任何两个状态之间的最大最小移动次数-艾伦·比克2024年8月9日
参考文献
P.Bachmann,Niedere Zahlentheorie(1902年,1910年),再版切尔西,纽约,1968年,第2卷,第75页。
Ralph P.Grimaldi,《离散和组合数学:应用导论》,第五版,Addison-Wesley,2004年,第134页。
约翰·彼得·赫贝尔(Johann Peter Hebel),《赫拉斯盖伯州第二大道的Gesammelte Werke》:简·克诺普夫(Jan Knopf),弗兰兹·利特曼(Franz Littmann)和汉斯格·施密特·伯格曼(Hansgeorg Schmidt-Bergmann unter Mitarbeit von Ester Stern),沃尔斯泰·弗拉格。波段3,S.20-21,Loesung,S.36-37。另请参阅下面的链接。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
D.Wells,《企鹅奇趣数字词典》,“河内塔”,企鹅图书,1987年,第112-113页。
链接
M.Baake、F.Gahler和U.Grimm,替代系统及其因素示例,arXiv:1211.5466[math.DS],2012-2013年。
Michael Baake、Franz Gähler和Uwe Grimm,替代系统及其因素示例《整数序列杂志》,第16卷(2013年),#13.2.14。
乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔,彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》,第24卷(2021年),第21.10.4条。
迈克尔·博德曼,鸡蛋滴数,《数学杂志》,77(2004),368-372。
John Brillhart等人。,坎宁安项目[将b^n+-1,b=2,3,5,6,7,10,11,12分解为高幂][需要订阅]。
吉尔·布里顿,汉诺塔[视频文件,Wayback Machine缓存版本]。
吉尔·布里顿,青蛙拼图[Wayback Machine缓存版本]。
P.Catarino、H.Campos和P.Vasco,关于梅森序列《Annales Mathematicae et Informaticae》,46(2016),第37-53页。
W·M·B·杜克斯,有限集上拟阵的个数,arXiv:math/0411557[math.CO],2004年。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
G.Everest等人。,递归序列生成的素数阿默尔。数学。月刊,114(2007年第5期),417-431。
G.Everest、S.Stevens、D.Tamsett和T.Ward,二次多项式序列的本原因子,arXiv:math/0412079[math.NT],2004-2006。
G.Everest、A.J.van der Poorten、Y.Puri和T.Ward,整数序列和周期点《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.2.3条。
伊曼纽尔·费兰德,泰勒公式的变形《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.7条。
A.Hardt和J.M.Troyka,受限对称有符号置换《纯粹数学与应用》,第23卷(2012年第3期),第179-217页。
A.Hardt和J.M.Troyka,幻灯片(与上述Hardt和Troyka参考相关)。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第11页。图书网站
爱德华·卢卡斯,简单周期数值函数理论斐波那契协会,1969年。文章“Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques,I”的英文翻译,Amer。数学杂志。,1 (1878), 184-240.
N.Moreira和R.Reis,有限集划分语言的密度《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.2.8条。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
Y.Puri和T.Ward,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1号。
伯纳德·肖特,布列西利安裸鼠,转载自Quarture,编号76,avril-juin 2010,第30-38页,经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》(2019)第8卷,第4期,第87-92页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》(2019)第8卷第10期。
Eric Weistein的《数学世界》,完全二部图
Eric Weistein的《数学世界》,独立顶点集
Eric Weistein的《数学世界》,最小支配集
Eric Weistein的《数学世界》,顶点覆盖
配方奶粉
G.f.:x/((1-2*x)*(1-x))。
例如:exp(2*x)-exp(x)。
例如,如果偏移量1:((exp(x)-1)^2)/2。
a(n)=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a(n)=a(n-1)+2*a(n-2)+2,a(0)=0,a(1)=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b(n)=(-1)^(n-1)*a(n)。那么b(n)=和{i=1..n}i*i*斯特林2(n,i)*(-1)^(i-1)。b(n)的示例:(exp(x)-1)/exp(2x).-马里奥·卡塔拉尼(Mario.Catalani(AT)unito.it),2003年12月19日
a(n+1)=2*a(n)+1,a(0)=0。
a(n)=和{k=1..n}二项式(n,k)。
a(n)=n+和{i=0..n-1}a(i);a(0)=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a(n+1)=(n+1”)*和{k=0..n}二项式(n,k)/(k+1)-保罗·巴里2004年8月6日
a(n+1)=和{k=0..n}二项式(n+1,k+1)-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2(n-k,2)从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a(n)=箍筋S2(n+1,2)-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a(n)=J_n(2),其中J_n是第n个Jordan Totient函数:(A007434号,是J_2)。
a(n)=和{d|2}d^n*mu(2/d)。(结束)
a(n)=det(|s(i+2,j+1)|,1<=i,j<=n-1),其中s(n,k)是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-1/(4^k-2*x*16^k/(2*x*4^k-1/(1-1/(2*4^k-8*x*16 ^k/)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日
例如:Q(0),其中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*xx2^k-(k+1)/Q(k+1;(续分数)。
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*xx2^k-1/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a(n)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式(t1+t2+…+t_n,t1,t2,…,t_n)/(t1+t1+…+tn)-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3,二项式系数C(n,a(k))与其自身的卷积是C(n、a(k+1))-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a(n)=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C(k,i)-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a(n+m)=a(n)*a(m)+a(n-宇春记2018年7月27日
a(n+m)=a(n+1)*a(m)-2*a(n)*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a(n+1)是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(i+j-1,j)*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
例子
对于n=3,a(3)=S(4,2)=7,第二类斯特林数,因为有7种方法可以将{a,b,c,d}划分为2个非空子集,即:,
{a} U型{b,c,d},{b} U型{a,c,d},{c} U型{a,b,d},{d} U型{a,b,c},{a,b}U{c,d},{a,c}U{b、d}和{a,d}U{b,c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a(3)=7,所以有7个4的有符号置换,它们等于它们的反向补足的条,并避免{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}。这些是:
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). (结束)
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
对于具有2个圆盘的河内塔问题,移动如下,因此a(2)=3。
12|_|_ -> 2|1|_ -> _|1|2 -> _|_|12 -艾伦·比克2024年8月7日
MAPLE公司
A000225号:=n->2^n-1;[seq(2^n-1,n=0..50)];
数学
a[n]:=2^n-1;表[a[n],{n,0,30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*)
阵列[2^#-1&,50,0](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)
线性递归[{3,-2},{1,3},20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
系数列表[级数[1/(1-3 x+2 x ^2),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a000225=(减去1)。(2 ^)
a000225_list=迭代((+1)。(* 2)) 0
(PARI)连接(0,Vec(x/((1-2*x)*(1-x))+O(x^100))\\阿尔图格·阿尔坎2015年10月28日
(SageMath)
定义isMersenne(n):返回n==总和([(1-b)<<s用于枚举((n+1).bits())中的(s,b)])#彼得·卢什尼,2019年9月1日
(Python)
3的幂:a(n)=3^n。 (原名M2807 N1129)
+10 844
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
评论
与Pisot序列E(1,3)、L(1,3)、P(1,3)、T(1,3)相同。基本上与活塞序列E(3,9),L(3,九),P(3,九),T(3,九月)相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量(0),s(1)。。。,s(2n+2)),使得0<s(i)<6和|s(i。。。,2n+2,s(0)=1,s(2 n+2)=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a(1)=1,a(n+1)是使a(n)和a(n+1)之间有一个(n)偶数的最小数。k:1,k,k^2,k^3,k^4,…幂序列的推广。。。在a(n)和a(n+1)之间有一个k-1的(n)倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p(n)是n的整数分区数,p(i)是n第i个分区的部分数,d(i)为n第i分区的不同部分数,m(i,j)是n第一个分区的第j部分的重数,和{i=1..p(n,一个有:a(n)=和{i=1..p(n)}(p(i)/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!)*2^(p(i)-1)-托马斯·维德2005年5月18日
a(n-1)是组成成分的数量。通常,(k+1)^(n-1)是k级嵌套成分的数量(例如,4^(n-1)是成分组成的成分数量,等等)。元素之间的n-1个空格中的每一个都可以是k个级别中的一个级别的中断,或者根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P(a)上的二元关系,使得对于每个元素x,P(a)的y,如果x是y的子集,那么a(n)=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论:
参考a(n+1)英寸A028243号如果考虑非空子集,并且x是y的适当子集(End)
如果X_1、X_2。。。,X_n是集合{1,2,…,2*n}划分成大小为2的块,然后,对于n>=1,a(n)等于函数f:{1,2,…,2*n}->{1,2}的数目,这样对于固定的y_1,y_2。。。,在{1,2}中有f(X_i)<>{y_i},(i=1,2,…,n)-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a(n)=[(2^k)-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a(n)在函数f:[n]的个数中变成P([k])-{}。a(n)也是进入P([n])的函数f:[k]的数量,使得对于[k]中的所有i,f(i)的广义交集是空集。其中[n]={1,2,…,n},P([n])是[n]的幂集,{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^(n+1)=(1,2,2,…)点(1,1,3,9,…,3^n);例如,3^3=27=(1,2,2)点(1,1,3,9)=(1+2+6+18)-加里·亚当森2010年5月17日
a(n)是当存在3*2^i不同类型的i(i=1,2,…)时,n的广义组成数-米兰Janjic,2010年9月24日
对于n>=1,a(n-1)是当存在2^(i-1)不同类型的i,(i=1,2,…)时n的广义组成数-米兰Janjic,2010年9月24日
所讨论的序列(“3的幂”)还描述了第k个磁盘解决[红色;蓝色;蓝色]或[红色;红色;蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数(参见。A183111号-A183125号).
(1+x+x^2)^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a(n)是{0,1,2}中n个元素的组成数;例如,a(2)=9,因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日;由编辑修改。]
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1,a(n)等于n的3色组成数,因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中,因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式(n-1,k-1)。
对于n的p色组成,使得没有相邻部分具有相同的颜色,第一部分的颜色正好有p个选择,每个附加部分的颜色(除了前一部分的颜色之外的任何颜色)有p-1个选择。所以,对于k部分的划分,有p(p-1)^(k-1)个有效的着色。
因此,n的p色组分精确到k个部分,使得相邻部分没有相同颜色,这是二项式(n-1,k-1)p(p-1)^(k-1)。
n的p色成分的总数,使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式(n-1,k-1)*p*(p-1)^(k-1)=p^n。
要了解这一点,请注意((p-1)+1)^(n-1)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-1,k)(p-1)^k1^。
(结束)
此外,矩阵的第一个和最小元素[1,sqrt(2);sqrt,2]^(n+1)-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m(0,n)=m(n,0)=2^n的数组;m(i,j)等于m(i、j)左边的项与m(i和j)上面的项之和,即m。反对角线(n+1)中的项之和=4*a(n)-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组,使m(0,k)=2^k和m(n,k)=Sum_{c=0..k-1}m(n、c)+Sum_}r=0..n-1}m(r,k),这是m(n和k)左边的项加上m(n与k)上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号,列k=0包括A011782号,行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a(n):1=3^0,1+2=3^1,2+3+4=3^2,4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/(1-3*x^2),A(2*k)=0,A(2*k+1)=3^k=A(k),k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho(6)=2*cos(Pi/6)=sqrt(3)的2次,最小多项式C(6,x)=x^2-3(参见A187360型,n=6),是六边形中较小对角线和边的长度比。因此,ρ(6)^n=A(n-1)*1+A(n)*rho(6),在二次数域Q(rho(5))的幂基中。还需要A(-1)=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310美元. -Wolfdieter Lang公司2013年10月2日
对k进行编号,使σ(3k)=3k+σ(k)-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号),因为当n>0时,φ(3^n)=2*3^(n-1),因此求和{i=0..n}φ(3|i)=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1,13,93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x,对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…},“123”运行之前的数字分别是{9,5,1,7,3,9,9,5。因此,我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔,2014年7月3日
A^n的所有元素,其中A=(1,1,1;1,1,1,1;1,1,1)-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年7月23日
计算长度为n(开放或闭合)的三角形顶点上的所有行走次数,该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉斯,2014年10月3日
a(n)计算图G上的行走次数(闭合)(1-顶点;1-循环,1-循环,1-loop)-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年12月11日
2*a(n-2)计算距离三角形顶点长度(n)的孤立闭合游动的所有置换,该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外,C(m,k)=2*(2^m)*B(m+k-2,m)计算包含(m)个循环和(k)个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年12月11日
使三项式x^(2*n)+x^n+1在GF(2)上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特,2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill,2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a(n-1)也是n的组成数,如果这些部分可以是从1到n的任意长度,并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙,2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外,还包括n-鸡尾酒会图中的团数(不一定是最大的)-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a(n-1)是n的2-分量的数目;参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯,2020年8月15日
a(n)是n维超立方体的任何维度(顶点、边、正方形面等)的面的数量。例如,0维超立方体是一个点,它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线,它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个正方形,它有四个顶点、四条边和一个正方面-凯文·朗2023年3月14日
a(n)是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m,其中l_1。。。,l_m是{x_1,…,x_n,NOT x_1,..,NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n,同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n,析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i,只有x_i或NOT x_ i,所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{,析取从句对应于一个函数f,使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n,其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择({0}、{1}或{0,1}),我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地,a(n)是n个变量的连接子句的数量。(结束)
有限子序列a(2),a(3),a(4),a(5)=9,27,81243是仅有的两个可以用简单多边形的所有内角(所有整数,以度为单位)形成的几何序列之一。另一个序列是A007283号(请参阅此处的注释)-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
T.Banchoff,计算高维立方体的面《超越第三维度:几何、计算机图形和更高维度》,科学美国图书馆,1996年。
A.博斯坦,格路组合的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
Brian Hopkins和Stéphane Ouvry,多成分组合学,arXiv:2008.04937[math.CO],2020年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1号。
Eric Weistein的《数学世界》,独立顶点集
Eric Weistein的《数学世界》,阶梯横档图
Eric Weistein的《数学世界》,顶点覆盖
Doron Zeilberger,惊人3^n定理及其更惊人的证明[由Xavier G.Viennot和他的爱科尔Bordelaise帮派发现],arXiv:1208.2258, 2012.
配方奶粉
a(n)=3^n。
a(0)=1;a(n)=3*a(n-1)。
G.f.:1/(1-3*x)。
例如:exp(3*x)。
a(n)=和{k=0..n}2^k*二项式(n,k),的二项式变换A000079号.
a(n)=2*搅拌S2(n+1,3)+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a(n)=2*斯特林S2(n+1,3)+斯特林S2(n+2,2)=2*(斯特林S2(n+1,3)+斯特林S2(n+1,2))+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
和{n>=0}1/a(n)=3/2-加里·亚当森,2008年8月29日
如果p(i)=Fibonacci(2i-2),并且如果A是由A(i,j)=p(j-i+1),(i<=j),A(i、j)=-1,(i=j+1)和A(i和j)=0定义的n阶Hessenberg矩阵,否则,对于n>=1,A(n-1)=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley,系列总结,多佛,1961]
求和{n>0}Mobius(n)/a(n)=0.181995386702633887827…(参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53 (1970) 348.
a(n)=(tan(Pi/3))^(2*n)-伯纳德·肖特2022年5月6日
a(n-1)=二项式(2*n-1,n)+和{k>=1}二项式[2*n,n+3*k)*(-1)^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式:和{k>=0}x^k/(1-2*x)^(k+1)-凯文·朗2023年3月14日
例子
G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
数学
系数列表[系列[1/(1-3 x),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
嵌套列表[3#&,1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
(Maxima)标记列表(3^n,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
(Scala)val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate(1:BigInt)(_*3)
(Python)
2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503
评论
一些较大的条目可能只对应于可能的素数。
与2381和2833项相关的1137位和1352位数值已通过Primo认证为素数-里克·L·谢泼德2002年11月12日
用Primo证明了3^k-2^k为素数k=36133853392952977417-大卫-哈里森,2011年6月8日
数学
平行图[If[PrimeQ[3^#-2^#],#,Nothing]&,Prime@Range@941](*罗伯特·威尔逊v2017年6月28日*)
扩展
a(20)=90217由奥基斯2001年2月23日
术语a(21)=122219,a(22)=173191,a(23)=256199由奥基斯2003年至2005年。相应的小数位数为58314、82634、122238。
a(24)=336353由奥基斯2007年10月15日。它对应于一个160482位小数的可能素数。
a(25)=485977由奥基斯2009年9月6日;它对应于一个231870位数的可能素数-奥基斯2009年9月8日
a(26)=591827由奥基斯2009年8月25日;它对应一个282374位的可能素数。
a(27)=1059503由奥基斯,2012年4月12日;它对应于一个505512位数的可能素数-奥基斯2012年4月14日
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