搜索： a146559-编号：a146558
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, -2, 1, 3, 1, 0, -4, -4, 3, 4, 1, 0, -4, -12, -5, 6, 5, 1, 0, 0, -16, -24, -4, 10, 6, 1, 0, 8, -4, -42, -39, 0, 15, 7, 1, 0, 16, 32, -24, -88, -55, 8, 21, 8, 1, 0, 16, 80, 72, -80
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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配方奶粉
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第k列的G.f:（（x-x^2）/（1-2*x+2*x^2。
G.f.：（1-2*x+2*x^2）/（1-2x+2*x^2-x*y+x^2*y）。
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-2*T（n-2，k）-T（n-2，k-1。
T（n，k）=（-1）^（n-k）*A181472号（n-1，k-1）对于n>0和k>0。
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例子
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三角形开始：
1
0, 1
0, 1, 1
0, 0, 2, 1
0, -2, 1, 3, 1
0, -4, -4, 3, 4, 1
0, -4, -12, -5, 6, 5, 1
0, 0, -16, -24, -4, 10, 6, 1
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A056594号
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| 周期4：重复[1,0，-1,0]；展开1/（1+x^2）。 |
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+10
108
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1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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i^n的实部和i^（n+1）的虚部，i=sqrt（-1）-莱因哈德·祖姆凯勒2007年7月22日
a（n-1），n>=1，是非平凡Dirichlet特征模4，称为Chi_2（4；n）（平凡的是由周期（1,0）给出的Chi_1（4；n）=A000035号（n） ）。参见Apostol参考，第139页，k=4，phi（k）=2表-沃尔夫迪特·朗2011年6月21日
a（n-1），n>=1，是Dirichletβ函数的特征-丹尼尔·福格斯2012年9月15日
a（n-1），n>=1，也是Niven-Zuckerman参考文献第150页定理5.12的（强）乘法函数h（n）。请参阅公式部分。此函数h（n）可用于计算n=x^2+y^2的整数解。请参见A002654号获取公式的注释-沃尔夫迪特·朗2013年4月19日
对于n>=2，这给出了具有2*n个节点的二分图和具有元素A（n；1,2）=1=A（n；n，n-1）的邻接矩阵A（n）的行列式，并且对于1<i<nA（n；i，i+1）=1=A（n；i，i-1），否则为0-沃尔夫迪特·朗2023年6月25日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1986年。
I.S.Gradstein和I.M.Ryshik，级数、乘积和积分表，第1卷，Verlag Harri Deutsch，1981年。
Ivan Niven和Herbert S.Zuckerman，《数字理论导论》，纽约：John Wiley（1980），第150页。
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：1/（1+x^2）。
例如：cos（x）。
a（n）=（1/2）*（（-i）^n+i^n），其中i=sqrt（-1）-米奇·哈里斯2005年4月19日
a（n）=（1/2）*（（-1）^（n+楼层（n/2））+（-1）*楼层（n/3））。
递归：a（n）=a（n-4），a（0）=1，a（1）=0，a（2）=-1，a（3）=0。
a（n）=S（n，0）=A049310型（n，0）；S（n，x）：=U（n，x/2），第二类切比雪夫多项式。
a（n）=（1/2）*（1+（-1）^n）*（-1）（n/2）-布鲁诺·贝塞利2012年3月13日
如果n是偶数，a（0）=1，a（n-1）=0，a（n-1）=Product_{j=1..m}（-1）^（e_j*（p_j-1）/2）如果奇数n-1=p_1^（e_1）*p_2^（e_2）**p_m^（e_m）具有不同的奇素数p_j，j=1..m。参见Niven-Zuckerman参考文献中定理5.12的函数h（n）-沃尔夫迪特·朗2013年4月19日
a（n）=（-4/（n+1）），n>=0，其中（k/n）是克罗内克符号。查看Eric Weisstein和维基百科链接。多亏了韦斯利·伊万·赫特-沃尔夫迪特·朗2013年5月31日
a（n）=R（n，0）/2，行多项式R为A127672号这是根据R的零点乘积和公式product_{k=0..n-1}2*cos（（2*k+1）*Pi/（2*n））=（1+（-1）^n）*（-1）（n/2），n>=1得出的（见Gradstein和Ryshik参考文献，第63页，1.396 4。，其中x=sqrt（-1））-沃尔夫迪特·朗，2013年10月21日
a（n）=和{k=0..n}i^（k*（k+1）），其中i=sqrt（-1）-布鲁诺·贝塞利2015年3月11日
a（n）的Dirichlet g.f.右移：L（chi_2（4），s）=β（s）=（1-2^（-s））*（d.g.f.ofA034947号)，请参阅Lang和Forgues的评论-拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
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例子
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Niven-Zuckerman的a（n-1）=h（n）：a（62）=h-沃尔夫迪特·朗2013年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1+x^2），{x，0，50}]，x]
系数列表[级数[1/分圆[4，x]，{x，0，100}]，x](*文森佐·利班迪2014年4月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=实数（I^n）｝
（PARI）{a（n）=kronecker（-4，n+1）}
（岩浆）&cat[[1，0，-1，0]：n in[0..23]]//布鲁诺·贝塞利2011年2月8日
[1，0，-1，0][1+修改（n，4）]
（Python）
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A098158号
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| 三角形T（n，k）与对角线T（n，n-k）=二项式（n，2*k）。 |
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+10
77
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 1, 0, 0, 1, 6, 1, 0, 0, 0, 5, 10, 1, 0, 0, 0, 1, 15, 15, 1, 0, 0, 0, 0, 7, 35, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 28, 70, 28, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 84, 126, 36, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 45, 210, 210, 45, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11, 165, 462, 330, 55, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 66, 495, 924
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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长度n的排列数同时避免了具有k个从左到右最小值的图案123和132。置换A（1）A（2）中的从左到右的最小值。。。a（n）是位置i，因此a（j）>a（i）代表所有j<i-田汉2023年11月16日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（n，2*（n-k））。
例如：exp（t*x）*cosh（t*sqrt（x））。
O.g.f.：（1/2）*（1/（1-（1+sqrt（1/x））*x*t）+1/（1-（1-sqrt。
行多项式：x^n*（（1+sqrt（1/x））^n+（1-sqrt，1/x）^n）/2。（结束）
k列由多项式和{j=0..floor（k/2）}C（k，2j）*x^（k-j）生成-保罗·巴里2005年1月22日
通用格式：（1-x*y）/（1-x*y）^2-x^2*y）-保罗·D·汉纳2005年2月25日
T（n，k）=T（n-1，k-1）+和{i=0..k-1}T（n-2-i，k-1-i）；T（0,0）=1；如果n<0或k<0或n<k，则T（n，k）=0。例如：T（8,5）=T（7,4）+T（6,4）+T（5,3）+T-菲利普·德尔汉姆2006年12月4日
T（n，k）=2*T（n-1，k-1）+T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年3月15日
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例子
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行开始
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 0, 3, 1;
0, 0, 1, 6, 1;
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数学
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表[二项式[n，2*（n-k）]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年10月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（（1-x*y）/（（1-x*y）^2-x^2*y）+x*O（x^n），n，x）+y*O（y^k），k，y）}（汉娜）
（PARI）T（n，k）=二项式（n，2*（n-k））；
for（n=0，12，for（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（岩浆）[二项式（n，2*（n-k））：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（Sage）[[二项式（n，2*（n-k））用于k in（0..n）]用于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（GAP）平面（列表（[0.12]，n->列表（[0.n]，k->二项式（n，2*（n-k））））#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A101455号
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| 偶数n的a（n）=0，奇数n的b（n）=（-1）^（（n-1）/2）。周期序列1,0，-1,0，。。。 |
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+10
60
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1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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哈代和赖特（第241页）将其称为X（n）（即Chi（n）），他们证明，当n和m为奇数时，X（n*m）=X（n。
相关的Dirichlet L-函数例如L（1，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n=A003881号，或L（2，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^2=A006752号，或L（3，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^3=A153071号.（结束）
a（n）是[Kimberling，p.16]中给出的强椭圆可除序列tn，其中x=0，y=-1，z是任意的-迈克尔·索莫斯2019年11月27日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格出版社，1986年，第139页，k=4，Chi_2（n）。
哈代和赖特，《数论导论》。第五版，牛津大学出版社，1979年，第241页。
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链接
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埃蒂安·福夫里、克劳德·列夫斯克、米歇尔·沃尔德施米特，整数的分圆二进制表示，arXiv:1712.09019[math.NT]，2017年。
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配方奶粉
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与a（2^e）=0相乘，否则a（p^e）=（-1）^（（p^e-1）/2）相乘-米奇·哈里斯2005年5月17日
长度为4的序列[0，-1，0，1]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯，2005年9月2日
通用公式：（x-x^3）/（1-x^4）=x/（1+x^2）-迈克尔·索莫斯2005年9月2日
G.f.A（x）满足：0=f（A（x），A（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2*（1+2*v）-迈克尔·索莫斯2011年8月4日
a（n+4）=a（n），a（n+2）=a（-n）=-a（n）、a（2*n）=0，a（2xn+1）=（-1）^n表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2011年8月4日
完全乘法，a（p）=2-（p mod 4）-沃纳·舒尔特2018年2月1日
a（n）=（-（n mod 2））^二项式（n，2）-彼得·卢什尼2018年9月8日
a（n）=sin（n*Pi/2）=Im（i^n），其中i是虚单位-宋嘉宁2018年9月9日
a（n）=（（-4）/n）（或者更一般地说，i>0时为（-4^i）/n。），其中（k/n）是克罗内克符号。
例如：sin（x）。
狄利克雷g.f.是狄利克雷β函数。
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例子
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G.f.=x-x^3+x^5-x^7+x^9-x^11+x^13-x^15+x^17-x^19+x^21+。。。
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MAPLE公司
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a:=n->`如果`（n mod 2=0，0，（-1）^（（n-1）/2））：
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数学
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a[n]：={1，0，-1，0}[[模式[n，4，1]]；(*迈克尔·索莫斯2014年1月13日*）
线性递归[{0，-1}，{1，0}，75](*G.C.格鲁贝尔2018年8月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n%2，（-1）^（n\2））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=kronecker（-4，n）}/*迈克尔·索莫斯2012年3月30日*/
（间隙）a:=[1,0]；；对于[3..10^2]中的n，执行a[n]：=a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月2日
（岩浆）m:=75；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（x/（1+x^2））//G.C.格鲁贝尔，2018年8月23日
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交叉参考
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关键词
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签名,多重,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, 0, -64, -128, -128, 0, 256, 512, 512, 0, -1024, -2048, -2048, 0, 4096, 8192, 8192, 0, -16384, -32768, -32768, 0, 65536, 131072, 131072, 0, -262144, -524288, -524288, 0, 1048576, 2097152, 2097152, 0, -4194304, -8388608, -8388608, 0, 16777216, 33554432
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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也是由a（0）=0和b（0）=1构建的两个关联序列a（n）和b（n）的第一个，公式为a（n）=a（n-1）+b（n-1。第二序列b（n）的初始项为1、1、0、-2、-4、-4、0、8、16、16、0、-32、-64、0、128、256。。。复平面的点Mn（a（n）+b（n）*I）位于螺旋对数rho=2*（1/2）^（2*theta）/Pi）上，并且位于从原点绘制的直线上，斜率为：无穷大，1/2，0，-1/2Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月30日
皮萨诺周期长度：1、1、8、1、4、8、24、1、24、4、40、8、12、24、8、16、24、72、4-R.J.马塔尔2012年8月10日
变体0、1、-2、2、0、-4、8、-8、0、16、-32、32、0、-64（带有不同的符号）是Lucas U（-2,2）序列-R.J.马塔尔2013年1月8日
这是Lucas U（2,2）序列-拉斐·弗兰克2015年11月28日
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链接
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配方奶粉
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a（0）=0；a（1）=1；a（2）=2；a（3）=2；a（n）=-4*a（n-4），n>3拉里·里维斯（larryr（AT）acm.org），2000年8月24日
G.f.:x/（1-2*x+2*x^2）。
例如：sin（x）*exp（x”）。
a（n）=S（n-1，sqrt（2））*（sqrt，2））^（n-1），其中S（n，x）=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式Cf。A049310型，S（-1，x）：=0。
a（n）=（（1+i）^n-（1-i）^n）/（2*i）=2*a（n-1）-2*a（n-2）（a（0）=0，a（1）=1）-亨利·博托姆利2001年5月10日
a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^楼层（k/2）*二项式（n-1，k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月31日
a（n）=2^（n/2）sin（Pi*n/4）-保罗·巴里2003年9月17日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k+1）*（-1）^k-保罗·巴里2003年9月20日
a（n）=2*（（1/2）^（2*θ（n）/Pi））*cos（θ（n））其中θ（4*p+1）=p*Pi+Pi/2，θ（4*p+2）=p*Pi+Pi/4，θ>3a（n）=-4*a（n-4）。用正弦替换余弦的第二个序列的公式相同。例如：a（0）=0，b（0）=1；a（1）=0+1=1，b（1）=-0+1=1；a（2）=1+1=2，b（2）=-1+1=0；a（3）=2+0=2，b（3）=-2+0=-2.-Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月30日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n2）+4*a（n-3），n>3，这意味着序列与其第四个差相同。0，1，0，-1的二项式变换-保罗·柯茨，2007年12月21日
对数g.f.弧（x/（1-x））=和{n>0}a（n）/n*x^n-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年8月11日
例如：exp（x）*sin（x，x）=x+x^2/（g（0）-x）；G（k）=2k+1+x-x*（2k+1）/（4k+3+x+x^2*（4k/3）/（（2k+2）*（4k+5）-x^2-x*（4k+2）*/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月15日
a（n）=Im（（1+i）^n），其中i=sqrt（-1）Stanislav Sykora，2012年6月11日
G.f.:x*U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2012年10月10日
G.f.:G（0）*x/（2*（1-x）），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月25日
G.f.:x+x^2*W（0），其中W（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）+1/W（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2-2*x）/（x*（4*k+4-2*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月6日
a（n）=（a^n-B^n）/（a-B），其中a=1+i和B=1-i；A和B是x^2-2*x+2=0的解-拉斐·弗兰克2015年11月28日
当n>=2时，a（n）=2^（n-1）*hypergeom（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，2））-彼得·卢什尼2015年12月17日
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MAPLE公司
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t1:=总和（n*x^n，n=0..100）：F:=系列（t1/（1+x*t1），x，100）：对于从0到50的i，打印F（`%d，`，系数（F，x，i））od：#零入侵拉霍斯2009年3月22日
G（x）：=exp（x）*sin（x，x）：f[0]：=G（x，n从1到54 do f[n]：=diff（f[n-1]，x）od:x:=0:seq（f[n'，n=0..50）#零入侵拉霍斯2009年4月5日
A009545美元：=n->`如果`（n<2，n，2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，2））：
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数学
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nn=104；范围[0，nn-1]！系数列表[Series[Sin[x]Exp[x]，{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊2007年5月26日*）
f[n]：=（1+I）^（n-2）+；数组[f，51，0](*罗伯特·威尔逊v，2011年5月30日*）
线性递归[{2，-2}，{0，1}，110](*哈维·P·戴尔2011年10月13日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，2）代表范围（0，51）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯（exp（x）*sin（x”））/*乔格·阿恩特2011年4月24日*/
（PARI）x='x+O（'x^100）；concat（0，Vec（x/（1-2*x+2*x^2））\\阿尔图格·阿尔坎2015年12月4日
（鼠尾草）
x、 y=0，-1
为True时：
收益率x
x、 y=x-y，x+y
（岩浆）I:=[0,1,2,2]；[n le 4选择I[n]else-4*Self（n-4）：n in[1..60]]//文森佐·利班迪，2015年11月29日
（Python）
定义A009545美元（n） ：return（（0，1，2，2）[n&3]<<（（n>>1）&-2））*（如果n为-1，则为-1，否则为4 1）#柴华武，2024年2月16日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年8月24日
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状态
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经核准的
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A030528型
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| 行读取的三角形：a（n，k）=二项式（k，n-k）。 |
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+10
48
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1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 6, 5, 1, 0, 0, 0, 4, 10, 6, 1, 0, 0, 0, 1, 10, 15, 7, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 20, 21, 8, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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符号三角矩阵a（n，m）*（-1）^（n-m）是三角加泰罗尼亚卷积矩阵的逆矩阵A033184美元（n+1，m+1），n>=m>=0，带A033184号（n，m）：如果n<m，则=0。
Riordan阵列（1+x，x（1+x））。有符号三角形是Riordan数组（1-x，x（1-x）），与c（x），xc（xA000108号. -保罗·巴里，2005年2月2日[偏移量为0]
此外，a（n，k）=n的组成数为1和2的k部分。例如：a（6,4）=6，因为我们有2211、2121、2112、1221、1212和1122-Emeric Deutsch公司2005年4月5日[见MacMahon和Riordan-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
a（n，k）是长度为n-1的二进制序列的数量，没有两个连续的0，正好是k-1 1。例如：a（6,4）=6，因为我们有01011，01101，01110，10101，10110，11010-杰弗里·克雷策2013年7月22日
镜像、移位斐波那契多项式A011973号该项的多项式（如下所示）具有p（n，t）=t*[p（n-1，t）+p（n-2，t）]的性质。帕斯卡三角形的可加性(A007318号)反映在这些多项式的多项式中，如下面的示例部分所示，当下面的o.g.f.g（x，t）展开为序列x*（1+x）+t*[x*（l+x）]^2+t^2*[xx（1+x）]^3+。另请参见A053122号与Cartan矩阵的关系-汤姆·科普兰2014年11月4日
此条目的行显示为Copeland链接中显示的无穷小生成器的数组列-汤姆·科普兰2015年12月23日
对于n>=2，第n行也是（n-1）-路图P_{n-1}的顶点覆盖多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月10日
对于n>0，附加一个初始矩阵元素a_（0,0）=1和零列a_（n，0）=0，这些是从下到上读取莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵数值系数的反对角线，列于Olver论文第9页），它是用（c）生成的exp[c.*M]^n=c_n和M李无穷小生成器A218272型.参见。A011973美元.和A169803号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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参考文献
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P.A.MacMahon，《组合分析》，两卷（合订为一卷），切尔西出版公司，纽约，1960年，第一卷，编号124，第151页。
约翰·里奥登，《组合分析导论》，约翰·威利父子出版社，伦敦，1958年。等式（35），第124页，第11页。第154页。
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链接
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D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，正确生成树的代数2000年9月，凡尔赛数学和计算机科学座谈会。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，正确生成树的代数《数学与计算机科学》，数学趋势系列第127-139页的一部分。
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配方奶粉
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a（n，m）=2*（2*m-n+1）*a（n-1，m）/n+m*a（n-1，m-1）/n，n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0；a（1，1）=1。
第m列的总长度：（x*（1+x））^m。
作为偏移量为0的数字三角形，这是T（n，k）=和{i=0..n}（-1）^（n+i）*二项式（n，i）*二项式（i+k+1，2k+1）。反对角和给出了Padovan序列A000931号（n+5）。的反二项式变换A078812号（下三角矩阵的乘积）-保罗·巴里2004年6月21日
通用名称：（1+x）/（1-y*x-y*x^2）-杰弗里·克雷策，2013年7月22日[偏移量0][偏移量1:g.f.y:x*（1+x）*y/（1-x*（1'x）*y）中的行多项式-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
O.g.f:g（x，t）=x*（1+x）/[1-t*x*（1+x）]=-P[Cinv（-x），t]，其中P（x，t）=x/（1+t*x）和CinvA000108号.
因此，Ginv（x，t）=-C[Pinv（-x，t）]={-1+sqrt[1+4*x/（1+t*x）]}/2，即-A124644号（-x，t）。
这将此数组置于一系列数组中，这些数组由P和C的组成及其倒数和t插值相关，例如A091867号和A104597号，并与加泰罗尼亚语、莫茨金、芬恩和斐波那契数相关联。参见。A104597年（以t为单位移位的多项式）A125145号,A146559号,A057078号,A000045号,A155020号,A125145号,A039717号,A001792号,A057862号,A011973号,A115139号.（结束）
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例子
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三角形开始：
[ 1] 1
[ 2] 1 1
[ 3] 0 2 1
[4]0 1 3 1
[ 5] 0 0 3 4 1
[ 6] 0 0 1 6 5 1
[ 7] 0 0 0 4 10 6 1
[ 8] 0 0 0 1 10 15 7 1
[ 9] 0 0 0 0 5 20 21 8 1
[10] 0 0 0 0 1 15 35 28 9 1
[11] 0 0 0 0 0 6 35 56 36 10 1
[12] 0 0 0 0 0 1 21 70 84 45 11 1
[13] 0 0 0 0 0 0 7 56 126 120 55 12 1
...
为了与其他多项式进行快速比较：
p（1，t）=1
p（2，t）=1+1 t
p（3，t）=0+2t+1 t^2
p（4，t）=0+1 t+3 t^2+1 t^3
p（5，t）=0+0+3 t^2+4 t^3+1 t^4
p（6，t）=0+0+1 t^2+6 t^3+5 t^4+1 t^5
p（7，t）=0+0+0+4 t^3+10 t^4+6 t^5+1 t^6
p（8，t）=0+0+0+1 t^3+10 t^4+15 t^5+7 t^6+1 t^7
...
沿着列阅读可以得到帕斯卡三角形的行。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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nn=10；系数列表[级数[（1+x）/（1-y x-y x ^2），{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年7月22日*）
表[二项式[k，n-k]，{n，13}，{k，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年12月23日*）
系数列表[表[x^（n/2-1）斐波那契[n+1，Sqrt[x]]，{n，10}]，
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（k，n-k）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年11月5日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, -1, 0, 2, -4, 4, 0, -8, 16, -16, 0, 32, -64, 64, 0, -128, 256, -256, 0, 512, -1024, 1024, 0, -2048, 4096, -4096, 0, 8192, -16384, 16384, 0, -32768, 65536, -65536, 0, 131072, -262144, 262144, 0, -524288, 1048576, -1048576, 0, 2097152, -4194304
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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除符号外，由H_2^n=[1,1；-1,1]^n的1,1位置生成；和a（n）=2^（n/2）*cos（Pi*n/2）-保罗·巴里2004年2月18日
等于“周期4，重复[1，0，-1，0]”的二项式变换-加里·亚当森2009年3月25日
皮萨诺周期长度：1、1、8、1、4、8、24、1、24、4、40、8、12、24、8、16、24、72、4-R.J.马塔尔2012年8月10日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=-2*（a（n-1）+a（n-2））；a（0）=1，a（1）=-1-迈克尔·索莫斯2002年11月17日
通用名称：（1+x）/（1+2*x+2*x^2）。
例如：cos（x）/exp（x）。
a（n）=-4*a（n-4）。
例如：cos（x）/exp（x）=1-x/（g（0）+1），其中g（k）=4k+1-x+（x^2）*（4k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月24日
G.f.：G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月20日
a（n）=（-1）^n*2^（n/2）*cos（n*Pi/4）-诺丁·法西，2013年12月18日
a（n）=（-1）^楼层（（n+1）/2）*2^（n-1）*H（n，n mod 2，1/2）对于n>=3，其中H（n、a、b）=高地层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，2）-彼得·卢什尼2019年9月3日
a（n）=2^（n/2）*ChebyshevT（n，-1/sqrt（2））-G.C.格鲁贝尔2023年4月17日
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例子
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G.f.=1-x+2*x^3-4*x^4+4*x^5-8*x^7+16*x^8-16*x^9+32*x^11-64*x^12+。。。
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MAPLE公司
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A009116号：=n->加（（-1）^j*二项式（n，2*j），j=0..层（n/2））；
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数学
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n=50；（*n=2 mod 4*）（系数列表[系列[Cos[x]/Exp[x]，{x，0，n}]，x]*表[k！，{k，0，n-1}]）[[1；；45]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+x）/（1+2*x+2*x^2）+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯2002年11月17日*/
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），50）；系数（R！（拉普拉斯（Exp（-x）*Cos（x）））//G.C.格鲁贝尔2018年7月22日；2023年4月17日
（SageMath）
定义A009116号（n） ：返回2^（n/2）*chebyshev_T（n，-1/sqrt（2））
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 10, 37, 150, 654, 3012, 14445, 71398, 361114, 1859628, 9716194, 51373180, 274352316, 1477635912, 8016865533, 43773564294, 240356635170, 1326359740956, 7351846397334, 40913414754324, 228508350629892
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n）是长度为n的Motzkin路径数，其中0级的（1,0）-步骤有3种颜色，更高级别的步骤有4种颜色。例如：a（3）=37，因为表示U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），我们有3^3=27条HHH形状路径、3条HUD形状路径、三条UDH形状路径和4条UHD形状路径-Emeric Deutsch公司2011年5月2日
a（n）是半长n的Schroeder路径数，其中（2,0）-步骤有2种颜色，在1,3,5-何塞·路易斯·拉米雷斯2013年3月30日
该数组是由特殊分数线性（Möbius）变换P（x，t）=x/（1-t*x）组成的加泰罗尼亚数组家族之一；其逆Pinv（x，t）=P（x，-t）；和加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号，C（x）=[1平方（1-4x）]/2；以及它的逆Cinv（x）=x*（1-x）。（抄送A126930号.)
O.g.f.：g（x）=C[P[P（x，-1），-1]]=C[P（x，-2）]=[1-sqrt（1-4*x/（1-2x）]/2=x*A064613号（x） ●●●●。
Ginv（x）=平[平[平（x），-2]=P[平（x），2]=x（1-x）/[1+2x（1-x）]=（x-x^2）/[1/2（x-x*2）]=x-3 x ^2+8 x ^3-。。。是-A155020号（-x）忽略第一项。（参见。A146559号,A125145号.）（结束）
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链接
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Isaac DeJager、Madeleine Naquin、Frank Seidl、，高阶有色Motzkin路2019年维拉姆。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*二项式的（2*k，k）*2^（n-k）/（k+1）。
a（n）=2^n*超深层（[1/2，-n]，[2]，-2）。
总面积：（1平方米（（1-6*x）/（1-2*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年5月3日
偏移量1:a（1）=1，a（n）=2^（n-1）+和{i=1..n-1}a（i）*a（n-i）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月16日
递归D-有限（n+1）*a（n）=（8*n-2）*a-弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月16日
例如：exp（4*x）*（贝塞尔I（0，2*x）-贝塞尔I-弗拉德塔·乔沃维奇2004年12月3日
G.f.：1/（1-3*x-x^2/（1-4*x-x*2/（2-4*x-x2/（1-4*x-x^2/（1-……（连分数））-保罗·巴里2009年7月2日
a（n）=M^n中的左上项，M=无限平方生产矩阵，如下所示：
3，1，0，0。。。
1, 3, 1, 0, ...
1, 1, 3, 1, ...
1, 1, 1, 3, ...
…（结束）
a（n）~2^（n-3/2）*3^（n+3/2）/（n^（3/2）*平方（Pi））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月29日
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数学
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系数列表[级数[（1-Sqrt[（1-6*x）/（1-2*x）]）/2/x，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月29日*）
a[n]：=2^n超几何2F1[1/2，-n，2，-2]；
数组[a，22，0](*彼得·卢什尼2020年1月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（（1-sqrt（（1-6*x）/（1-2*x））/（2*x））/*乔格·阿恩特2013年3月31日*/
（岩浆）I:=[3，10]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（（8*n-2）*Self（n-1）-（12*n-12）*Self（n-2））div（n+1）:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2017年1月23日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A028297号
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| 第一类切比雪夫多项式的系数：cos（n*x）按cos（x）的降次幂展开的系数三角形。 |
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+10
25
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1, 1, 2, -1, 4, -3, 8, -8, 1, 16, -20, 5, 32, -48, 18, -1, 64, -112, 56, -7, 128, -256, 160, -32, 1, 256, -576, 432, -120, 9, 512, -1280, 1120, -400, 50, -1, 1024, -2816, 2816, -1232, 220, -11, 2048, -6144, 6912, -3584, 840, -72, 1, 4096, -13312, 16640, -9984
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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如果在每行中附加零n>=1，则为了获得一个正三角形（参见菲利普·德尔汉姆注释、g.f.和示例）这将成为Riordan三角形（1-x）/（1-2*x），-x^2/（1-2**）。另请参阅未签名版本A201701型这个正三角形。
（结束）
系数似乎是由以下公式生成的：设SM_k=总和（d_（t1，t2）*eM_1^t1*eM_2^t2）在所有长度上求和2个整数分区k，即1*t1+2*t2=k，其中，SM_k是2个数据中的平均k次方和对称多项式（即，SM_k=S_k/2，其中S_k是k次方和和对称多项式，eM_k是平均的k次初等对称多项式，而eM_k=e_k/二项式（2，k），其中e_k是k次初值对称多项式。数据d_（t_1，t_2）形成不规则三角形，每个k值从k=1开始有一行。因此，本程序和相关OEIS序列208768元,A288199型,A288207型,A288211型,A288245型,A288188型是第一类切比雪夫多项式的推广-格雷戈里·杰拉德·沃纳2017年7月1日
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参考文献
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I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik，积分、级数和乘积表，第5版，第1.335节，第35页。
S.Selby，《CRC基本数学表》编辑，CRC出版社，1970年，第106页。[发件人里克·L·谢泼德2010年7月6日]
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]第795页。
Pantelis A.Damianou，美丽的正弦公式阿默尔。数学。《月刊》第121期（2014年），第2期，第120--135页。MR3149030。
Daniel J.Greenhoe，框架和底座：结构和设计，版本0.20，信号处理ABC系列（2019）第4卷，见第172页。
Daniel J.Greenhoe，一本关于变换的书第0.10版，信号处理ABC系列（2019）第5卷，见第94页。
G.G.Wojnar、D.Sz.Wojnar和L.Q.Brin，所有多项式中的普遍特殊线性平均关系，表GW.n=2，第22页，arXiv:1706.08381[math.GM]，2017年。
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配方奶粉
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Cos（n*x）=2*Cos（（n-1）*x）*Cos-里克·L·谢泼德2010年7月6日
G.f.：（1-x）/（1-2x+y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年12月16日
T（n，k）=[x^k]超几何（[1/2-n/2，-n/2]，[1/2]，1-x）-彼得·卢什尼2021年2月3日
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例子
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设c=cosx，我们得到：cos0x=1，cos1x=1c；cos 2x=2c^2-1；cos3x=4c^3-3c，cos4x=8c^4-8c^2+1等。
T4=8x^4-8x^2+1=8，-8，+1=2^（3）-（4）（2）+[2^（-1）]（4）/2。
不规则三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8。。。。
0: 1
1: 1
2: 2 -1
3：4-3
4: 8 -8 1
5: 16 -20 5
6: 32 -48 18 -1
7: 64 -112 56 -7
8: 128 -256 160 -32 1
9: 256 -576 432 -120 9
10: 512 -1280 1120 -400 50 -1
11: 1024 -2816 2816 -1232 220 -11
12: 2048 -6144 6912 -3584 840 -72 1
13: 4096 -13312 16640 -9984 2912 -364 13
14: 8192 -28672 39424 -26880 9408 -1568 98 -1
15: 16384 -61440 92160 -70400 28800 -6048 560 -15
...
T（4，x）=8*x^4-8*x^2+1*x^0，T（5，x）=16*x^5-20*x^3+5*x^1，具有切比雪夫T多项式(A053120号). （结束）
三角形（1,1,0,0,0，…）DELTA（0，-1,1,0,00,0
1;
1, 0;
2，-1，0；
4, -3, 0, 0;
8, -8, 1, 0, 0;
16, -20, 5, 0, 0, 0;
32, -48, 18, -1, 0, 0, 0; （结束）
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MAPLE公司
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b： =进程（n）b（n）：=`if`（n<2，1，展开（2*b（n-1）-x*b（n-2）））结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n））：
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数学
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t[n_]：=（Cos[n x]//TrigExpand）/。正弦[x]^m_/；EvenQ[m]->（1-Cos[x]^2）^（m/2）//展开；压扁[表[r=反向@系数列表[t[n]，Cos[x]]；如果[OddQ[Length[r]]，AppendTo[r，0]]；分区[r，2][[All，1]]，{n，0，13}]][[1；；53]](*Jean-François Alcover公司2011年5月6日*）
Tpoly[n_]：=超几何PFQ[{（1-n）/2，-n/2}，{1/2}，1-x]；
表[系数列表[Tpoly[n]，x]，{n，0，12}]//展平(*彼得·卢什尼2021年2月3日*）
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交叉参考
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关键词
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标签,容易的,签名
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作者
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扩展
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行长序列和Abramowitz-Stegun链接由添加沃尔夫迪特·朗2014年8月2日
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状态
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经核准的
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125145英镑
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| a（n）=3a（n-1）+3a（n-2）。a（0）＝1、a（1）＝4。 |
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+10
23
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1, 4, 15, 57, 216, 819, 3105, 11772, 44631, 169209, 641520, 2432187, 9221121, 34959924, 132543135, 502509177, 1905156936, 7222998339, 27384465825, 103822392492, 393620574951, 1492328902329, 5657848431840, 21450532002507
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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字母表{a，b，c，d}中长度为n的aa无效单词数。
这个数组是一个由C（x）=[1-sqrt（1-4x）]/2组成的系列之一，对于A000108号; 其逆Cinv（x）=x（1-x）；和特殊的Mobius变换P（x，t）=x/（1+t*x），在x中具有逆P（x、-t）。A091867号.
O.g.f.：g（x）=P[P[-Cinv（-x），-1]，-1]=P[-Cinv（-x，-3]=x*（1+x）/[1-3x（1-x）]=x*A125145号（x） 。
Ginv（x）=-C[-P（x，3）]=[-1+平方（1+4x/（1+3x））]/2=x*A104455号（-x）。
G（-x）=-x（1-x）*[1-3*[x*（1+x）]+3^2*[xx（1+x）]^2-…]，所以这个数组与A030528型*诊断（（-3）^1,3^2，（-3）|3，…）。（参见。A146559号.)
G（-x）的逆运算是C[-P（-x，3）]=[1-sqrt（1-4x/（1-3x））]/2=x*A104455号（x） ●●●●。（结束）
n+1的3个成分的数量限制为第1部分和第2部分（以及允许的零）；参见Hopkins&Ouvry参考资料-布莱恩·霍普金斯2020年8月16日
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链接
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D.Birmajer、J.B.Gil和M.D.Weiner，关于有限字母表上限制词的计数，J.国际顺序。19（2016）#16.1.3，示例7。
Martin Burtscher、Igor Szczyrba和RafałSzczzyrba，n-anacci常数的解析表示及其推广《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.5条。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
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配方奶粉
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例如：exp（3*x/2）*（21*cosh（sqrt（21）*x/2）+5*sqrt（21）*sinh（sqrt（21）*x/2））/21-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年8月4日
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MAPLE公司
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a[0]：=1:a[1]：=4：对于从2到27的n，执行a[n]：=3*a[n-1]+3*a[n-2]od:seq（a[n'，n=0..27）#Emeric Deutsch公司2007年2月27日
选项记忆；
如果n<=1，则
op（n+1，[1,4]）；
其他的
3*（进程名（n-1）+进程名（n-2））；
结束条件：；
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数学
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nn=23；系数列表[级数[（1+x）/（1-3x-3x^2），{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2014年2月9日*）
线性递归〔｛3，3｝，｛1，4｝，30〕(*哈维·P·戴尔2022年5月1日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a125145 n=a125145_列表！！n个
a125145_列表=
1:4:map（*3）（zipWith（+）a125145_list（尾部a125145_列表））
（岩浆）I:=[1,4]；[n le 2选择I[n]else 3*自我（n-1）+3*自我（n-2）：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2014年11月10日
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交叉参考
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参见。A028859号=a（n+2）=2a（n+1）+2a（n）；A086347美元=在3 X 3棋盘上，棋王在给定边格处结束的n步路线数。a（n）=4a（n-1）+4a（n-2）。
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关键词
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非n,容易的
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