%I#105 2021年8月8日01:14:56

%S 1,1,2，-1,4，-3,8，-8,1,16，-20,5,32，-48,18，-1,64，-112,56，-7128，-256，

%电话160，-32,1256，-576432，-120,9512，-12801120，-400,50，-11024，-2816，

%U 2816、-1232220、-112048、-61446912、-358840、-72、14096、-1331216640、-9984

%第一类切比雪夫多项式的系数：cos（N*x）按cos（x）的降次幂展开的系数三角形。

%C行的长度为1、1、2、2、3、3。。。（A008619）。

%C此三角形由A118800生成，通过向下移动列以允许每行中有（1、1、2、2、3、3…）项。-_Gary W.Adamson_，2007年12月16日

%C无符号三角形=A034839*A007318.-_Gary W.Adamson_，2008年11月28日

%C三角形，省略零，由（1，1，0，0，0,0，0,1，0,0,0…）DELTA（0，-1，1，0,0/0，0…）给出，其中DELTA是A084938中定义的运算符_Philippe Deléham，2011年12月16日

%C From _Wolfdieter Lang，2014年8月2日：（开始）

%C这个不规则三角形是A039991给出的切比雪夫T三角形A053120的行反转版本，删除了消失的奇数诱导柱。

%C如果在每行n>=1中附加零，为了获得一个正三角形（参见_Philippe Deléham_注释，g.f.和示例），这将成为Riordan三角形（1-x）/（1-2*x），-x^2/（1-2**）。另请参见此正三角形的无符号版本A201701。

%C（结束）

%显然，这个数组的无符号对角线是A200139行_汤姆·科普兰，2014年10月11日

%C似乎系数是由以下公式生成的：设SM_k=总和（d_（t_1，t_2）*eM_1^t_1*eM_2^t_2）在所有长度上求和k的2个整数分区，即1*t1+2*t2=k，其中，SM_k是2个数据中的平均k次方和对称多项式（即，SM_k=S_k/2，其中S_k是k次方和和对称多项式，eM_k是平均的k次初等对称多项式，而eM_k=e_k/二项式（2，k），其中e_k是k次初值对称多项式。数据d_（t_1，t_2）形成不规则三角形，每个k值从k=1开始有一行。因此，该过程和相关的OEIS序列A287768、A288199、A288207、A288211、A288245、A288188是第一类切比雪夫多项式的推广_Gregory Gerard Wojnar_，2017年7月1日

%D I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik，积分、级数和乘积表，第5版，第1.335节，第35页。

%D S.Selby，《CRC基本数学表》编辑，CRC出版社，1970年，第106页。【摘自Rick L.Shepherd_，2010年7月6日】

%H Alois P.Heinz，行n=0..200，扁平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]，第795页。

%H Pantelis A.Damianou，<A href=“https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.121.02.120“>《美丽正弦公式》，《美国数学月刊》第121期（2014年），第2期，第120--135页。MR3149030。

%H Daniel J.Greenhoe，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/337858762_Frames_and_Bases_Structure_and_Design_version_020“>框架和底座：结构和设计，0.20版，信号处理ABC系列（2019）第4卷，见第172页。

%H Daniel J.Greenhoe，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/337858659_A_Book_Concerning_Transforms_version_010“>关于变换的书，0.10版，信号处理ABC系列（2019）第5卷，见第94页。

%H Tian Xiao He、Peter J.-S.Shiue、Zihan Nie和Minghao Chen，<a href=“https://doi.org/10.3934/era.2020057“>递归序列和Girard-Waring恒等式及其在序列转换中的应用，电子研究档案（2020）第28卷，第2期，1049-1062。

%H C.Lanczos，应用分析（选定页面的注释扫描）

%H G.G.Wojnar、D.Sz.Wojnar和L.Q.Brin，<a href=“https://arxiv.org/abs/1706.08381“>所有多项式中的通用特殊线性平均关系</a>，表GW.n=2，第22页，arXiv:1706.08381[math.GM]，2017年。

%F Cos（n*x）=2*Cos（（n-1）*x）*Cos_Rick L.Shepherd_，2010年7月6日

%F G.F.：（1-x）/（1-2x+y*x^2）.-_Philippe Deléham，2011年12月16日

%F求和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A011782（n），A000012（n）、A146559（n）和A087455（n）以及A138230（n）的A006495（n_Philippe Deléham，2011年12月16日

%F T（n，k）=[x^k]超几何（[1/2-n/2，-n/2]，[1/2]，1-x）_Peter Luschny_，2021年2月3日

%设c=cos x，我们得到：cos 0x=1，cos 1x=1c；cos 2x=2c^2-1；cos3x=4c^3-3c，cos4x=8c^4-8c^2+1等。

%e T4=8x^4-8x^2+1=8，-8，+1=2^（3）-（4）（2）+[2^（-1）]（4）/2。

%e摘自沃尔夫迪特朗格，2014年8月2日：（开始）

%e不规则三角形T（n，k）开始于：

%e n\k 1 2 3 4 5 6 7 8。。。。

%e 0:1

%e 1：1

%e 2:2-1

%e三：4-3

%e 4:8-8 1

%e 5:16-20 5

%e 6:32-48 18-1

%电子7:64-112 56-7

%电子8:128-256 160-32 1

%电子邮箱9:256-576 432-120 9

%电子10:512-1280 1120-400 50-1

%电子11:1024-2816 2816-1232 220-11

%电子邮箱：2048-6144 6912-3584 840-72 1

%电子邮箱13:4096-13312 16640-9984 2912-364 13

%电子邮箱14:8192-28672 39424-26880 9408-1568 98-1

%电子邮箱：16384-61440 92160-70400 28800-6048 560-15

%e。。。

%e T（4，x）=8*x^4-8*x*2+1*x^0，T（5，x）=16*x^5-20*x^3+5*x^1，带有切比雪夫T多项式（A053120）。（结束）

%e摘自2011年12月16日的《菲利普·德雷厄姆》（_Philippe Deléham）：（开始）

%e三角形（1,1,0,0,0,1,0，…）DELTA（0，-1,1,0,,0,0，..）包括零，并以以下开头：

%e 1；

%e 1，0；

%e 2，-1，0；

%e 4，-3，0，0；

%e 8，-8，1，0，0；

%e 16，-20，5，0，0；

%e 32，-48，18，-1，0，0；（结束）

%p b：=进程（n）b（n）：=`if`（n<2，1，展开（2*b（n-1）-x*b（n-2）））结束：

%pT:=n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n））：

%p序列（T（n），n=0..15）；#_Alois P.Heinz，2019年9月4日

%t t[n_]：=（Cos[n x]//三角展开）/。正弦[x]^m_/；EvenQ[m]->（1-Cos[x]^2）^（m/2）//展开；压扁[表[r=反向@系数列表[t[n]，Cos[x]]；如果[OddQ[Length[r]]，AppendTo[r，0]]；分区[r，2][[All，1]]，{n，0，13}][[1；；53]]（*_Jean-François Alcover_，2011年5月6日*）

%t Tpoly[n_]：=超几何PFQ[{（1-n）/2，-n/2}，{1/2}，1-x]；

%t表[TCoefficientList[Tpoly[n]，x]，{n，0，12}]//压扁（*_Peter-Luschny_2021年2月3日*）

%Y参考A028298。

%主条目A008310的Y反射。带零：A039991。

%Y参考A053120（包括零的行反转表）。

%Y参见A118800、A034839、A081277、A124182。

%Y参见A001333（行总和1），A001332（交替行总和）_Wolfdieter Lang，2014年8月2日

%K tabf，简单，签名

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自_David W.Wilson的更多条款_

%E Row length sequence and link to Abramowitz-Stegun added by _Wolfdieter Lang_，Aug 02 2014年8月2日