搜索： a018819-编号：a018818
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 5, 9, 12, 16, 10, 18, 24, 32, 15, 20, 27, 36, 48, 64, 30, 40, 54, 72, 96, 128, 7, 25, 45, 60, 80, 81, 108, 144, 192, 256, 14, 50, 90, 120, 160, 162, 216, 288, 384, 512, 21, 28, 75, 100, 135, 180, 240, 243, 320, 324, 432, 576, 768, 1024, 42, 56, 150, 200, 270, 360, 480, 486, 640, 648, 864, 1152, 1536, 2048, 35, 63, 84, 112, 125, 225, 300, 400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以奇数开头的每一行（具有偶数索引的行）后跟一个具有相同长度、相同术语但乘以2的行。另请参阅的公式部分中的注释A018819年.
注意，尽管行的索引从零开始，但该序列的索引从1开始，其中（1）=1。
此外，二进制秩为n的整数分区的Heinz数，其中分区y的二进制秩由Sum_i2^（y_i-1）给出。例如，第n=6行是15、20、27、36、48、64，对应于分区（3,2）、（3,1,1）、（2,2,2）、-古斯·怀斯曼，2024年5月25日
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链接
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配方奶粉
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其他身份。对于所有n>=1：
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例子
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不规则表格的开头为：
行术语
0 1;
1 2;
2 3, 4;
3 6, 8;
4 5, 9, 12, 16;
5 10, 18, 24, 32;
6 15, 20, 27, 36, 48, 64;
7 30, 40, 54, 72, 96, 128;
8 7, 25, 45, 60, 80, 81, 108, 144, 192, 256;
9 14, 50, 90, 120, 160, 162, 216, 288, 384, 512;
10 21, 28, 75, 100, 135, 180, 240, 243, 320, 324, 432, 576, 768, 1024;
11 42, 56, 150, 200, 270, 360, 480, 486, 640, 648, 864, 1152, 1536, 2048;
...
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数学
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prix[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
表[Select[Range[0，2^k]，Total[2^（prix[#]-1）]==k&]，{k，0，10}](*古斯·怀斯曼2024年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（方案）
（定义（A277905双列）（让outloop（（k(A019565号行））（列列））（如果（零？列）k（让循环（（j（+1 k）））（if（=(A048675号j） 行）（outloop j（-col 1））（inloop（+1 j）））；；执行速度非常慢。
;; 基于简单重复的实现：
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 1, 3, 5, 12, 20, 41, 69, 132, 222, 399, 665, 1156, 1904, 3212, 5234, 8645, 13925, 22596, 36008, 57590, 90862, 143508, 224316, 350505, 543159, 840623, 1292317, 1983094, 3026178, 4608061, 6983663, 10559800, 15901698, 23889722, 35760786, 53405395, 79498207
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n的二维分区数，其中每行都是非平铺的。
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链接
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N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，arXiv:math/0312418[math.CO]，2003年。
N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，离散数学。，294 (2005), 259-274.
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例子
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a（4）=12：
4.31.3.22.2.211.21.2..2.11.11.1
.....1....2.....1..11.1.11.1..1
......................1....1..1
..............................1
211和1111被排除在外，因为它们会挤压。
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数学
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最大值=38；
b[0]=b[1]=1；b[n_]：=b[n]=如果[OddQ[n]，b[n-1]，b[1]+b[n/2]]；
乘积[1/（1-x^m）^b[m]，{m，1，maxm}]+O[x]^maxm//系数列表[#，x]&
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,9
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配方奶粉
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例子
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1 [0,0]: 0;
1 [0,0]: 0;
2 [0,1]: 0, 1;
2 [0,1]: 0, 1;
4 [0,3]: 0, 1, 2, 3;
4 [0,3]: 0, 1, 2, 3;
6 [0,5]: 0, 1, 2, 3, 4, 5;
等。
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黄体脂酮素
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非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 1, 3, 4, 9, 13, 25, 33, 56, 76, 122, 170, 264, 360, 538, 707, 1002, 1332, 1853, 2409, 3294
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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链接
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N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，离散数学。，294 (2005), 259-274.
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例子
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例如a（4）=9：
4.31.3.22.2.211.21..2..11
.....1....2.....1...1..11
....................1....
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非n,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 14, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 6
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评论
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行总和=A018819年从偏移量1开始；(1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 10, 10,...).
第n行项之和=下一行最右边的项。
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链接
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配方奶粉
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等于M*Q作为无限下三角矩阵，其中M=三角形A115361号，且Q=的对角化变量A018819年使得（1，1，2，2，4，4，6，6，…）=与其余零的最右边对角线。
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例子
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三角形的前几行=
1;
1, 1;
0, 0, 2;
1, 1, 0, 2;
0, 0, 0, 0, 4;
0, 0, 2, 0, 0, 4;
0, 0, 0, 0, 0 0, 6;
1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 6;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10;
0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 10;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14;
0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 14;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 26;
1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 26;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 36;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A048675号
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| 如果n=p_i^e_i*…*p_k^e_k，p_i<…<p_k素数（其中p_i=素数（i）），则a（n）=（1/2）*（e_i*2^i+…+e_k*2^k）。 |
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+10
241
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0, 1, 2, 2, 4, 3, 8, 3, 4, 5, 16, 4, 32, 9, 6, 4, 64, 5, 128, 6, 10, 17, 256, 5, 8, 33, 6, 10, 512, 7, 1024, 5, 18, 65, 12, 6, 2048, 129, 34, 7, 4096, 11, 8192, 18, 8, 257, 16384, 6, 16, 9, 66, 34, 32768, 7, 20, 11, 130, 513, 65536, 8, 131072, 1025, 12, 6, 36, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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满足a（n）=a的本原完全可加整数序列(A225546型（n） ），n>=1。通过本原，我们的意思是，如果b是另一个这样的序列，那么有一个整数k，使得b（n）=k*a（n）对于所有n>=1-彼得·穆恩2020年2月3日
如果整数分区y的二进制秩由Sum_i2^（y_i-1）给出，并且Heinz数是乘积_i素数（y_i），那么a（n）是具有Heinz数n的整数分区的二进制秩。注意，将集合s取为Sum_i2^（s_i-1）的函数是A048793号（二进制索引），将多集m转换为Product_i素数（m_i）的函数是A112798号（基本指数）-古斯·怀斯曼2024年5月22日
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链接
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配方奶粉
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a（1）=0，a（n）=1/2*（e1*2^i1+e2*2^i2+…+ez*2^iz）如果n=p_{i1}^e1*p_{i2}^e2**p_{iz}^ez，其中p_i是第i个素数。（例如p_1=2，p_2=3）。
a（p^e）=e*2^（PrimePi（p）-1）的总加性，其中PrimePi（n）=A000720号（n） 。[添加到注释中的缺少因子e安蒂·卡图恩2015年7月29日]
其他身份。对于所有n>=0：
（结束）
发件人安蒂·卡图恩，2020年2月2日至25日，2021年2月1日：（开始）
对于n>=2：
对于n>=1，以下链保持不变：
（结束）
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例子
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30: {1,2,3}
40: {1,1,1,3}
54: {1,2,2,2}
72: {1,1,1,2,2}
96: {1,1,1,1,1,2}
128: {1,1,1,1,1,1,1}
（结束）
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MAPLE公司
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nthprime:=proc（n）局部i；如果（isprime（n）），那么对于i从1到1000000，如果（ithprime（i）=n），那么返回（i）；fi；od；否则返回（0）；fi；结束；#n素数（2）=1，n素数A049084号.
A048675号：=proc（n）局部s，d；s：=0；对于ifactors（n）[2]中的d做s：=s+d[2]*（2^（n素数（d[1]）-1））；od；申报表；结束；
#更简单的替代方案
f： =n->添加（2^（数字理论：-pi（t[1]）-1）*t[2]，t=ifactors（n）[2]）：
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数学
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黄体脂酮素
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（方案，带有备忘录-宏定义，两个备选方案）
（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；和（k=1，#f~，f[k，2]*2^素数（f[k、1]））/2\\米歇尔·马库斯2016年10月10日
（PARI）
\\以下程序从Hans Havermann准备的因式分解文件中重建术语（例如为了检查目的）：
v048675sigs=readvec（“a048675.txt”）；
A048675号（n） =如果（n<=2，n-1，my（prsig=v048675sig[n]，ps=prsig[1]，es=prsig[2]）；prod（i=1，#ps，ps[i]^es[i]））\\安蒂·卡图恩2020年2月2日
（Python）
来自sympy导入因子primepi
定义a（n）：
如果n==1：返回0
f=因子（n）
返回和（[f[i]*2**（f中i的素数pi（i）-1））
打印（[a（n）代表范围（1,51）中的n]）#因德拉尼尔·戈什2017年6月19日
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交叉参考
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满足a（f（n））=g（n）的序列对（f，g），可能有偏移量变化：(A000203号,A331750型), (A005940号,A087808号), (A007913号,A248663型), (A007947号,A087207号), (A097248号,A048675号), (1996年2月,A000129号), (A248692型,A056239号), (A283477号,A005187号), (A284003型,A006068号), (A285101型,A028362号), (A285102型,A068052号), (2014年2月,A001065号), (A318834型,A051953号), (1999年3月1日,A293897型), (A319992型,A293898型), (A320017型,A318674型), (A329352型,A069359号), (A332461型,A156552号), (A332462型,A156552号), (A332825型,A000010号)而且很明显(A163511号,A135529号).
二进制索引：
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003238号
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| 具有n个顶点的根树的数量，其中同一级别的顶点具有相同的阶数。
（原名M0628）
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+10
195
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1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 16, 19, 26, 27, 40, 41, 53, 61, 77, 78, 104, 105, 134, 147, 175, 176, 227, 233, 275, 294, 350, 351, 438, 439, 516, 545, 624, 640, 774, 775, 881, 924, 1069, 1070, 1265, 1266, 1444, 1521, 1698, 1699
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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此外，正整数a_1、a_2……的序列数。。。，a_k使得1+a_1*（1+a_2*（……（1+a_k）…））=n.如果你取mu（a_1）*mu（a_2）**mu（a_k）对于每个序列，你得到1的0和-1。将它们相加，你就得到了A007554号. -克里斯蒂安·鲍尔1998年10月15日
被考虑的有根树被称为广义Bethe树；在Goldberg-Livshitz参考文献中，它们被称为均匀树。
此外，a（n）=n-1的分区数，其中每个部分都可以被下一部分整除。例如：a（5）=5，因为我们有4、31、22、211和1111。
在具有n+1个顶点的广义Bethe树和n个分区之间有一个简单的双射，其中每个部分都可以被下一部分整除（这些部分是由连续层的边数给出的）。我们有对应关系：边的数量——部分的总和；根度——最后一部分；叶数——第一部分；高度---零件数量。（结束）
a（n+1）=a（n）+1当且仅当n是素数-乔恩·佩里2012年11月24日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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G.Gati、F.Harary、R.W.Robinson、，具有可扩展自同构的线色树《数学科学学报》2.1（1982），105-110。（带注释的扫描副本）
M.K.Goldberg和E.M.Livshits，关于最小泛树《美国科学院数学笔记》。《苏联科学》第4卷，1968年，第713-717页（译自俄罗斯Mat.Zametki 4 1968年第371-379页）。
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278 (1975), 322-335.
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278 (1975), 322-335. （带注释的扫描副本）
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配方奶粉
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在逆Moebius变换下左移一位：a（n+1）=Sum_{k|n}a（k）。
推测：log（a（n））渐近于c*log（n）^2，其中0.4<c<0.5-贝诺伊特·克洛伊特2004年4月13日
对于偏移量为2的序列，生成函数P（x）服从P（x）=x^2*（1+Sum_{n>=1}P（x^n）/x^n。【Harary&Robinson】-R.J.马塔尔2011年9月28日
a（n）＝1+a（i）的和，使得n＝＝1（mod i）-乔恩·佩里2012年11月20日
通用公式：x*（1+Sum_{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n））。
L.g.f.：-log（乘积_{n>=1}（1-x^n）^（a（n）/n））=Sum_{n>=1}a（n+1）*x^n/n（完）
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例子
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种植的无枝树最多有7个节点：
1 -
1 (-)
2 (--), ((-))
3 (---), ((--)), (((-)))
5 (----), ((-)(-)), ((---)), (((--))), ((((-))))
6 (-----), ((----)), (((-)(-))), (((---))), ((((--)))), (((((-)))))
10 (------), ((-)(-)(-)), ((--)(--)), (((-))((-))), ((-----)), (((----))), ((((-)(-)))), ((((---)))), (((((--))))), ((((((-)))))). -古斯·怀斯曼2017年1月12日
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MAPLE公司
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with（numtheory）：aa:=proc（n）如果n=0，则1另外相加（aa（除数（n）[i]-1），i=1。。tau（n））end-if-end-proc:a:=proc（n）选项运算符，箭头：aa（n-1）end-proc:seq（a（n），n=1。。48); #Emeric Deutsch公司2012年8月18日
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数学
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achi[n_]：=如果[n===1，1，总计[achi/@Divisors[n-1]]；阵列[achi，50](*古斯·怀斯曼2017年1月12日*）
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黄体脂酮素
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（JavaScript）
a=新阵列（）；
对于（i=1；i<50；i++）a[i]=1；
对于（i=3；i<50；i++），对于（j=2；j<i；j++），如果（i%j==1）a[i]+=a[j]；
document.write（a+“<br>”）//乔恩·佩里2012年11月20日
（哈斯克尔）
a003238 n=a003238_列表！！（n-1）
a003238_list=1:f 1其中
f x=（总和（地图a003238$a027750_row x））：f（x+1）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,特征
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000123号
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| 二进制分区数：2n到2次方的分区数。
（原名M1011 N0378）
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+10
108
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1, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 26, 36, 46, 60, 74, 94, 114, 140, 166, 202, 238, 284, 330, 390, 450, 524, 598, 692, 786, 900, 1014, 1154, 1294, 1460, 1626, 1828, 2030, 2268, 2506, 2790, 3074, 3404, 3734, 4124, 4514, 4964, 5414, 5938, 6462, 7060, 7658, 8350, 9042, 9828
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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此外，a（n）=2n（或2n+1）的“非平分”分区数，即分区2n=p_1+p_2+…+p_k，1<=p_1<=p_2<=…<=p_k和p_1+p_2+…+p_i<=p_{i+1}表示所有1<=i<k[Hirschorn和Sellers]。
等于[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]充气的无穷卷积A000079号-1次，即[1,2,2,2,2,2,2,2,2]*[1,0,2,0,2,0,2]*[1,0,0,2,0,0,2]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年8月4日
它可以进一步分解为最终支持序列的无穷卷积，即[1,1]A000079号-1倍，具有多重性A000027号+1倍，即[1,1]*[1,1]*[1,0,1]*[1,0,1]**1,0,1]*[1,0,1]*。。。（下一项是[1,0,0,01]4倍，等等）-艾坦·莱文2023年6月18日
设M=一个无限下三角矩阵，每列中的（1，2，2，2，…）下移两次。A000123号=lim_{n->infinidy}M^n，被视为序列的左移向量。将（1，2，2，…）替换为（1，3，3，…），按照相同的步骤，我们得到A171370号: (1, 3, 6, 12, 18, 30, 42, 66, 84, 120, ...). -加里·亚当森2009年12月6日
序列的第一个差异是（1、2、2、4、4、6、6、10…），A018819年也就是说，序列本身除了第一个项外，每个项都是重复的（除非在计算第一个差之前加上前缀0），如公式a（n）-a（n-1）=a（floor（n/2））所示，如果我们让a（-1）=0，则对包括n=0在内的所有n都有效-M.F.哈斯勒2019年2月19日
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参考文献
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G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年。
R.F.Churchhouse，《二进制分区》，A.O.L.Atkin和B.J.Birch的第397-400页，《数论中的计算机》编辑。纽约学术出版社，1971年。
N.G.de Bruijn，《论马勒的分区问题》，《Indagationes Mathematicae》，第十卷（1948年），第210-220页。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
H.Gupta，关于二元分割的Churchhouse猜想的简单证明，Indian J.Pure Appl。数学。3 (1972), 791-794.
H.Gupta，关于二元分割的丘吉尔猜想的直接证明，印第安J.数学。18 (1976), 1-5.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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萨拉·比利、马蒂亚·科瓦林卡和弗雷德里克·马特森四世，在树上、缠结图上和缠结链上，hal-02173394[math.CO]，2020年。
R.F.Churchhouse教堂，二元配分函数的同余性质，程序。剑桥菲洛斯。Soc.66 1969年第371-376页。
P.Dumas和P.Flajolet，马勒连复发的渐进性《波尔多市政厅期刊》8（1996），第1-30页。
C.-E.Froberg，二进制分区数的精确估计，Nordisk Tidskr。信息行为（BIT）17（1977），386-391。
M.D.Hirschhorn和J.A.Sellers，M元分区的不同观点，澳大利亚J.Combin。, 30 (2004), 193-196.
Youkow Homma、Jun Hwan Ryu和Benjamin Tong，顺序不平分分区，演讲幻灯片，2014年7月24日。
K.Ji和H.S.Wilf，极端回文阿默尔。数学。月刊，115，第5期（2008），447-451。
Y.Kachi和P.Tzermias，关于m-ary分区数《代数与离散数学》，第19卷（2015年）。第1号，第67-76页。
D.E.Knuth，近似线性回归，光纤。夸脱。，4 (1966), 117-128.
M.Latapy，整数的幂分区，DMTCS论文集AA（DM-CCG），2001，215-228。
M.Latapy，整数的幂分区，DMTCS论文集AA（DM-CCG），2001，215-228。[缓存副本，具有权限]
B.雷兹尼克，一些二进制配分函数，《解析数论》（Conf.in authority P.T.Bateman，Allerton Park，IL，1989），451-477，Progr。数学。，85，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，1990年。
O.J.Rodseth，M-分区的枚举，离散数学。，306 (2006), 694-698.
O.J.Rodseth和J.A.Sellers，重新访问二进制分区，J.组合理论，A系列98（2002），33-45。
D.Ruelle，动态zeta函数和转移算子，通知Amer。数学。Soc.，49（第82002号），887-895；见第888页。
N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，arXiv:math/0312418[math.CO]，2003年。
N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，离散数学。，294 (2005), 259-274.
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+a（楼层（n/2））。有关证据，请参见A018819年.
如果n是偶数，则2*a（n）=a（n+1）+a（n-1）-迈克尔·索莫斯2011年1月7日
通用公式：（1-x）^（-1）产品{n>=0}（1-x^（2^n））^。
a（n）=总和{i=0..n}a（楼层（i/2））[O'Shea]。
G.f.A（x）满足A（x^2）=（（1-x）/（1+x））*A（x）-迈克尔·索莫斯2003年8月25日
G.f.：产品{k>=0}（1+x^（2^k））/（1-x^-乔格·阿恩特2005年4月24日
增长的渐近速度是精确已知的——见De Bruijn的论文。用p（n）将n分为二次幂的个数，de Bruijn的渐近公式为：log（p（2*n））=1/（2*L2）*（log（n/log（n））^2+（1/2+1/L2+LL2/L2）*log（n。
从数值上看，Phi（x）的平均值约为0.66。库尔特·马勒（Kurt Mahler）早些时候获得了O（1）项的展开式。（结束）
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例子
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对于n=3，2n=6的a（3）=6允许分区为1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+2+2、2+2+2，1+1+4和2+4-R.J.马塔尔，2021年8月11日
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MAPLE公司
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#第二个Maple程序：对大n更有效；尝试：a（10^25）；
g： =proc（b，n）选项记住`if`（b<0，0，`如果`（b=0或
n=0，1，`如果`（b>=n），加上（（-1）^（t+1）*二项式（n+1，t）
*g（b-t，n），t=1..n+1），g（b-1，n）+g（2*b，n-1））
结束时间：
a： =n->（t->g（n/2^（t-1），t））（最大值（ilog2（2*n），1））：
seq（a（n），n=0..60）#阿洛伊斯·海因茨2009年4月16日，2016年4月14日修订
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数学
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折叠[Append[#1，Total[Take[Flatten[Transpose[{#1，#1}]]，#2]]&，{1}，Range[2，49]](*Birkas Gyorgy公司2011年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，m）；如果（n<1，n==0，m=1；a=1+O（x）；而（m<=n，m*=2；a=子集（a，x，x^2）*（1+x）/（1-x））；波尔科夫（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，a（n\2）+a（n-1））}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
（PARI）A123=[]；A000123号（n） ={n<3&&return（2^n）；如果（n<=#A123，A123[n]&&return+A000123号（n\2）），n>2*#A123&&A123=连接（A123，向量（（n-#A123）\2））；A123[如果（n>#A123，1，n）]=2*总和（k=1，n\2-1，A000123号（k） ，1）+（n%2+1）*A000123号（n\2）}\\当大小小于n/2时，存储导致全局向量A123动态调整为最多3n/4。在~n秒内给出（n*10^6）-M.F.哈斯勒2009年4月30日
（PARI）{a（n）=polcoeff（exp（总和（m=1，n，2^估值（2*m，2）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2012年10月30日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a000123 n=a000123_列表！！n个
a000123_list=1:zipWith（+）
a000123_list（尾部$concat$转置[a000123_列表，a000123列表]）
（Magma）[1]cat[n eq 1 select n+1 else Self（n-1）+Self，n div 2）：[1..70]]中的n//文森佐·利班迪2016年12月17日
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Robin Trew（Trew（AT）hcs.harvard.edu）的术语
使用给定PARI代码检查的最大值为（10^4）M.F.哈斯勒2009年4月30日
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 20, 22, 23, 26, 28, 29, 32, 35, 37, 41, 45, 47, 51, 55, 58, 63, 68, 72, 77, 82, 86, 92, 98, 103, 111, 118, 123, 131, 139, 145, 154, 164, 171, 180, 190, 198, 208, 219, 229, 241, 253, 264, 278, 291
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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分区数p（1）+p（2）++p（m）=n（成正部分），从而2*p（k）<=p（k-1）。
n分为2^j-1，j=1,2，…形式部分的分区数，。。。（称为s-partitions）。例如：a（7）=4，因为我们有[7]，[3,3,1]，[3，1,1,1,1]和[1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月6日
两类分区之间双射的一个方向，作为算法：取分区P（P（1）+P（2）++p（m），使2*p（k）<=p（k-1），m是部分的数量），从p（m。另一个方向是将2^k-1部分（唯一）拆分为2的不同幂次，然后（按降序）在左侧相加-乔格·阿恩特2013年1月6日
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参考文献
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Steenrod，N.和Epstein，D.，《同源操作》，普林斯顿大学出版社，1962年。
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链接
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W.M.Y.Goh、P.Hitczenko和A.Shokoufandeh，s-分区，通知。过程。莱特。，82, 2002, 327-329.
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配方奶粉
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a（n）=p（n，1），p（n、k）=如果k<=n，则p（n-k，k）+p（n），2*k+1），否则为0^n-莱因哈德·祖姆凯勒2009年3月18日
通用公式：和{i>=0}x ^（2^i-1）/产品{j=1..i}（1-x^（2 ^j-1））-伊利亚·古特科夫斯基2017年6月5日
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例子
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有一个17的（17）=13划分为梅森数：
[ 1] [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 2] [ 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 3] [ 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 4] [ 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 5] [ 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ]
[ 6] [ 3 3 3 3 3 1 1 ]
[ 7] [ 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 8] [ 7 3 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 9] [ 7 3 3 1 1 1 1 ]
[10] [ 7 3 3 3 1 ]
[11] [ 7 7 1 1 1 ]
[12] [ 7 7 3 ]
[13] [ 15 1 1 ]
有a（17）=13个分区p（1）+p（2）++p（m）=17，这样2*p（k）<=p（k-1）：
[ 1] [ 10 4 2 1 ]
[ 2] [ 10 5 2 ]
[ 3] [ 11 4 2 ]
[ 4] [ 11 5 1 ]
[ 5] [ 12 4 1 ]
[ 6] [ 12 5 ]
[ 7] [ 13 3 1 ]
[ 8] [ 13 4 ]
[ 9] [ 14 2 1 ]
[10] [ 14 3 ]
[11] [ 15 2 ]
[12] [ 16 1 ]
[13] [ 17 ]
（结束）
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MAPLE公司
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序列是C（n，n），其中C:=proc（m，n）选项记住；局部k，a；如果m=0，那么如果n=0，则1，否则为0 fi；elif m>n，然后是C（n，n）；否则a:=0；对于从0到m的k，做a:=a+C（地板（k/2），n-k）od；a；fi端；
g： =1/产品（1-x^（2^k-1），k=1..10）：gser:=系列（g，x=0,70）：seq（系数（gser，x，n），n=0..64）#Emeric Deutsch公司2006年3月6日
#备选Maple计划：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
加（b（n-j，min（n-j、iquo（j，2））），j=1..i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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nn=63；系数列表[
系列[乘积[1/（1-x^（2^i-1））），{i，1，nn}]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2013年7月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
N=166；q='q+O（'q^N）；
gf=1/prod（n=1，1+细胞（log（n）/log（2）），1-q^（2^n-1））；
Vec（玻璃纤维）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 1, 4, 3, 8, 1, 2, 5, 16, 3, 32, 9, 6, 1, 64, 3, 128, 5, 10, 17, 256, 3, 4, 33, 2, 9, 512, 7, 1024, 1, 18, 65, 12, 3, 2048, 129, 34, 5, 4096, 11, 8192, 17, 6, 257, 16384, 3, 8, 5, 66, 33, 32768, 3, 20, 9, 130, 513, 65536, 7, 131072, 1025, 10, 1, 36, 19, 262144, 65, 258
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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a（n）的二进制表示表示哪个质数除以n，但不表示乘数。a（2）=1、a（3）=10、a（4）=1，a（5）=100、a（6）=11、a（10）=101、a（30）=111等。
（结束）
n的不同素数指数的二元秩，其中整数分区y的二元序由Sum_i2^（y_i-1）给出。对于所有素数指数（具有多重性），我们有A048675号. -古斯·怀斯曼2024年5月25日
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链接
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配方奶粉
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a（p^e）=2^（i-1）的加法，其中p是第i素数-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月29日
发件人安蒂·卡图恩，2017年4月17日、2017年6月19日和2018年12月6日：（开始）
（结束）
a（n^2）=a（n）。
（结束）
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例子
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a（38）=129，因为38=2*19=素数（1）*素数（8）和129=2^0+2^7（二进制10000001）。
a（140）=13，二进制1101，因为140可以被第一、第三和第四素数整除，2^（1-1）+2^（3-1）+2 ^（4-1）=13。
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a087207=总和。地图（2^）。（减去1）。a049084）。a027748_低
（PARI）a（n）={如果（n==1，0，my（f=factor（n），v=[]）；对于素数（p=2，vecmax（f[，1]），v=concat（v，vecsearch（f[、1]，p）！=0）；）；从数字（Vecrev（v），2））；}\\米歇尔·马库斯2017年6月5日
（PARI）A087207号（n） =vecsum（apply（p->1<<primepi（p-1），factor（n）[，1]））\\比使用sum（…）要快得多-M.F.哈斯勒2017年6月23日
（Python）
来自sympy导入因子primepi
定义a（n）：
因子（n）中i的返回和（2**primepi（i-1））
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什，2017年6月6日
（方案）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000120号,A001221号,A005117号,A008479号,A019565号,A055396美元,285320元,A285321型,A285329型,A285330型,A285332型.
特定值的位置为：A000079号\{1} (1),A000244号\{1} (2),A033845型(3),A000351号\{1} (4),A033846美元(5),A033849号(6),A143207号(7),A000420号\{1} (8),A033847号(9),A033850型(10),A033851号(12),A147576号(14),A147571型(15),A001020号\{1} (16),A033848号(17).
囊性纤维变性。A000720号,A005940号,A018819年,A023506号,A071814号,A225620型,A277319号,A277905型,A304818型,A372689型,A372890型.
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关键词
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非n,基础,美好的
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作者
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米奇·塞文卡（puritan（AT）planetkc.com），2003年10月26日
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扩展
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状态
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经核准的
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搜索在0.056秒内完成
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