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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A014486级 以10为基数写入的2n个二进制数字的完全平衡序列列表。每个项的二进制展开包含n个0和n个1,从左到右读取(最高有效位到最低有效位),0的数量永远不会超过1的数量。 374
0, 2, 10, 12, 42, 44, 50, 52, 56, 170, 172, 178, 180, 184, 202, 204, 210, 212, 216, 226, 228, 232, 240, 682, 684, 690, 692, 696, 714, 716, 722, 724, 728, 738, 740, 744, 752, 810, 812, 818, 820, 824, 842, 844, 850, 852, 856, 866, 868, 872, 880, 906, 908, 914 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
二进制Dyck-语言(A063171号)十进制表示。
这些编码宽度为2n的山脉、n+1个顶点和n个边的有根平面树、n个节点的平面种植树、n+1片叶子的有根的平面二叉树(2n个边、2n+1个点、n个内部节点、包含根)、Dyck单词、二元括号、括号、,加泰罗尼亚语系中的非交叉握手和分隔以及许多其他组合结构,列举如下A000108号.
和{k=1..n}a(k)/n^(5/2)有界吗-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月18日
此列表是A061854号A031443号. -杰森·金伯利2013年1月18日
序列确实从n=0开始,因为在Dyck语言的二进制解释中(例如,括号中“1”代表“(”,“0”代表“)”),如果(0)=0,那么它将代表“0”和“1”平衡的空字符串(因此括号是平衡的)-丹尼尔·福格斯2013年2月17日
对于n>=1,似乎可以通过将第n行长度为A000108号(n) 由B(n,0)递归定义=A020988号(n) 且B(n,k)=B(n、k-1)+D(n、k-1),其中D(x,y)=(2^(2*(A089309号(B(x,y))-1)-1)*(2/3)+2^A007814号(B(x,y))-劳尔·马里奥·托雷斯·席尔瓦米歇尔·马库斯2020年5月1日
这种编码与标准有序树编号的排序有关,因为(1)标准有序树的二进制编码由以下公式给出A358505型,而(2)按二进制编码排序的树的标准排名由下式给出A358523型. -古斯·怀斯曼2022年11月21日
参考文献
Donald E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4A卷:组合算法,第1部分,Addison-Wesley,2011年,第7.2.1.6节,第443页(算法P)。
链接
Paolo Xausa,n=0..23713的n,a(n)表(Franklin T.Adams-Waters的术语0..2500)。
杰森·贝尔、托马斯·芬恩·利德贝特和杰弗里·沙利特,正则语言逼近的加法数理论,arXiv:1804.07996[cs.FL],2018年。
N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt,关于梧桐树的一点注记,J.组合理论2(1967),27-34。
Gennady Eremin,平衡圆括号、字典级数和Dyck多项式的动力学,arXiv:1909.07675[math.CO],2019年。
R.K.盖伊,第二强大数定律,数学。Mag,63(1990),第1期,3-20。
Antti Karttunen,加泰罗尼亚排名和取消排名功能,OEIS Wiki。
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang,用图论寻找实数序列的结构:一个问题列表,arXiv:2012.04625[math.CO],2020-2021。
D.L.Kreher和D.R.Stinson,组合算法、生成、枚举和搜索,CRC出版社,1998年。
托马斯·芬恩·利德贝特,计数、加法和正则语言,加拿大安大略省滑铁卢大学硕士论文,2018年。
R.J.Mathar,平面上不相交圆的拓扑可区别集,arXiv:1603.00077[math.CO],2016年。
R.P.斯坦利,希帕克斯、普鲁塔克、施罗德和霍夫,美国数学。《月刊》,第104卷,第4期,第344页,1997年。
平面根树编码的索引项(该序列的各种子集)。
加泰罗尼亚自同构诱导的信号突变索引条目(作用于这些结构的各种双射运算引起的自然数排列)
Lisp的列表函数诱导的序列的索引项(这些代码或相应结构上的各种其他操作所产生的序列)。
例子
a(19)=226_10=11100010_2=A063171号(19) 作为括号表达式:((())()和二叉树,以深度优先的方式从左到右进行,二进制展开中的1表示内部(分支)节点,0表示叶子:
0 0
\ /
1 0 0 (0)
\ / \ /
1个
\ /
1
注意,在这个编码方案中,二叉树的最后一片叶子(在括号中)是隐式的。如果我们将其内部节点(1)解释为cons单元,每个向左分支是“car”,向右分支是对的“cdr”部分,终端节点(0)是()的(NIL),则该树也可以转换为Lisp、Scheme和Prolog等语言中的特定S表达式。这样我们就有了(cons(cons)(())()(cons,)())='((()。() ) . () ) . ( () . ())=(((()))()),即与上述括号表达式相同,但由额外的括号包围。此映射由Scheme函数执行A014486级->括号如下。
发件人古斯·怀斯曼2022年11月21日:(开始)
术语和相应的有序根树开始于:
0:o(零)
2:(o)
10:(oo)
12:(o)
42:(ooo)
44:(o(o))
50:(o)o)
52:((oo))
56:((o))
170:(oooo)
172:(oo(o))
178:(o(o)o)
180:(o(oo))
184:(o(o))
(结束)
MAPLE公司
#Maple程序CatalanUnrank改编自CAGES书籍的算法3.24和Ruskey论文中的Scheme函数CatalanOnrank。有关相应的c程序,请参见a089408.c程序。
CatalanSequences:=proc(upto_n)local n,a,r;a:=[];对于n从0到upto_n do,对于r从0到(二项式(2*n,n)/(n+1))-1 doa:=[op(a),CatalanUnrank(n,r)];od;od;返回a;结束;
CatalanUnrank:=proc(n,rr)local r,x,y,lo,m,a;r:=(二项式(2*n,n)/(n+1))-(rr+1);y:=0;lo:=0;a:=0;对于x从1到2*n做m:=Mn(n,x,y+1);如果(r<=lo+m-1),则y:=y+1;a:=2*a+1;否则lo:=lo+m;y:=y-1;a:=2*a;fi;od;返回a;结束;
Mn:=(n,x,y)->二项式(2*n-x,n-((x+y)/2))-二项式;
#备选方案:
bin:=n->ListTools:-反转(转换(n,base,2)):
isA014486:=进程(n):本地B,s,B;s:=0;
如果n>0,则
对于bin(n)do中的b
s:=s+ifelse(b=1,1,-1);
如果0>s,则返回假fi;
od fi;
s=0结束:
选择(isA014486,[seq(0..240)])#彼得·卢施尼2024年3月13日
数学
猫[n]:=(2 n)/不/(n+1)!;b2d[li_List]:=折叠[2#1+#2&,0,li]
d2b[n_Integer]:=整数位数[n,2]
树[n_]:=联接[表[1,{i,1,n}],表[0,{i,1,n}]]
nexttree[t_]:=展平[Reverse[t]/。{a___,0,0,1,b__}:>反向[{排序[{a,0}]//反向,1,0,b}]]
wood[n_/;n<8]:=嵌套列表[nexttree,tree[n],cat[n]-1]
表[反面[b2d/@wood[j]],{j,0,6}]//压扁
tbQ[n_]:=模块[{idn2=整数位数[n,2]},计数[idn2,1]==长度[idn2]/2和最小值[Accumulate[idn2/.{0->-1}]>=0];加入[{0},选择[Range[900],tbQ]](*哈维·P·戴尔2013年7月4日*)
balancedQ[0]=真;balancedQ[n_]:=模[{s=0},Do[s+=如果[b==1,1,-1];如果[s<0,返回[False]],{b,IntegerDigits[n,2]}];返回[s==0]];A014486级=FromDigits/@IntegerDigits[Select[Range[0,1000],balancedQ]](*Jean-François Alcover公司,2016年3月5日*)
A014486Q[0]=正确;A014486Q[n_]:=Catch[Fold[If[#<0,Throw[False],If[#2==0,#-1,#+1]]&,0,整数位数[n,2]]==0];选择[范围[0,880],A014486Q](*郑焕敏2016年12月11日*)
(*使用Knuth的TAOCP第7.2.1.6节中的算法P-参见参考和链接。*)
alist[n_]:=块[{a=扁平[表[{1,0},n]],m=2*n-1,j,k},
FromDigits[#,2]和/@Reap[
虽然[正确,
母猪[a];a[[m]]=0;
如果[a[[m-1]]==0,
a[[--m]]=1,j=m-1;k=2*n-1;
当[j>1&&a[j]]==1时,a[[j-]]=0;a[[k]]=1;k=2];
如果[j==1,则中断[]];
a[[j]]=1;m=2*n-1]
]][[2,1]]];
联接[{{0},{2}},数组[alist,4,2]](*保罗·沙萨,2024年3月16日*)
黄体脂酮素
(MIT/GNU方案)(定义(A014486级n) (让((w/2(A072643号n) )(加泰罗尼亚Unrank w/2(如果(零?n)0(-n(A014137号(-1+w/2)))
;;; 这是上的行A009766号“y”是第“m”行的位置A009766号,两者均>=0。生成的完全平衡二进制字符串被计算为变量“a”:
(定义(CatalanUnrank大小等级)(让循环((a 0)(m(-1+大小)))(y大小)(等级等级)(c(A009766号(-1+尺寸))(如果(负?m)a(如果(>=等级c)(回路(1+(*2a))m(-1+y)(-等级c)(A009766号m(-1+y))(回路(*2a)(-1+m)y秩(A009766号(-1+m)年))
;;; 这会将完全平衡的二进制字符串“n”转换为相应的S表达式:
(定义(A014486级->括号n)(let loop((n n)(stack(list(list))))(cond((zero?n)(car stack))((zero-(module n 2))(loop(floor->exact(/n 2))
(定义(cons2top!堆栈)(let((ex-cdr(cdr-stack)))(set-cdr!堆栈(car-ex-cdr)))
(PARI)是A014486(n)=my(v=二进制(n),t=0);对于(i=1,#v,t+=if(v[i],1,-1);如果(t<0,返回(0));t==0\\查尔斯·R·Greathouse IV,2011年6月10日
(SageMath)
定义为_A014486级(n) :
B=箱(n)[2::],如果n!=0其他0
s=0
对于b中的b:
如果b=='1'else-1,则s+=1
如果0>s:返回False
返回0==s
定义A014486级_列表(n):如果是,则返回[k代表(1..n)中的k_A014486级(k) ]
A014486级_列表(888)#彼得·卢施尼2012年8月10日
(Python)
从itertools导入计数,islice
从sympy.utilities.可交互导入multiset_permutations
定义A014486级_gen():#术语生成器
产量0
对于计数(1)中的l:
对于multiset_permutations('0'*l+'1'*(l-1))中的s:
c、 m=0,(l<<1)-1
对于范围(m)内的i:
如果s[i]==“1”:
c+=2
如果c<i:
打破
其他:
产量(1<<m)+int(''.join(s),2)
A014486级_list=列表(岛屿(A014486级_发电机(),30))#柴华武2023年11月28日
交叉参考
特性功能:A080116号.逆函数:A080300型.
二进制宽度2n的项由以下公式计算A000108号(n) ●●●●。的子集A036990号.每座山的山峰数(有根平面普通树的叶子数):A057514号。二进制扩展中的尾随零数:A080237号第一个区别:A085192号.
囊性纤维变性。A020988号,A089309号,A007814号.
有序树的分支按A057515号.
有序树的边缘按A072643号.
有序树的Matula-Goebel数为A127301号.
有序树的标准排名为358523美元.
有序树的深度为A358550型.
有序树的节点按A358551型.
关键词
非n,美好的,容易的,基础
作者
扩展
来自的其他评论安蒂·卡图恩2000年8月11日和2004年5月25日
添加了a(0)=0(已于2011年6月删除),乔格·阿恩特2013年2月27日
状态
经核准的

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