A014486-OEIS公司

抵消

0,2

二进制Dyck-语言(A063171号)十进制表示。

这些编码宽度为2n的山脉、n+1个顶点和n个边的有根平面树、n个节点的平面种植树、n+1片叶子的有根的平面二叉树（2n个边、2n+1个点、n个内部节点、包含根）、Dyck单词、二元括号、括号、，加泰罗尼亚语系中的非交叉握手和分隔以及许多其他组合结构，列举如下A000108号.

和{k=1..n}a（k）/n^（5/2）有界吗？ -贝诺伊特·克洛伊特2002年8月18日

此列表是A061854号和A031443号. -杰森·金伯利2013年1月18日

该序列确实从n=0开始，因为在Dyck语言的二进制解释中（例如，括号中“1”代表“（”和“0”代表“）”），如果（0）=0，它将起作用，因为它将代表“0”s和“1”s平衡的空字符串（因此括号是平衡的）。 -丹尼尔·福格斯2013年2月17日

对于n>=1，似乎可以通过将第n行长度为A000108号（n）由B（n，0）递归定义=A020988号（n）且B（n，k）=B（n、k-1）+D（n、k-1），其中D（x，y）=（2^（2*(A089309号（B（x，y））-1）-1）*（2/3）+2^A007814号（B（x，y））。 -劳尔·马里奥·托雷斯·席尔瓦和米歇尔·马库斯2020年5月1日

这种编码与标准有序树编号的排序有关，因为（1）标准有序树的二进制编码由以下公式给出A358505型，而（2）按二进制编码排序的树的标准排名由下式给出A358523型. -古斯·怀斯曼2022年11月21日

参考文献

Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷：组合算法，第1部分，Addison-Wesley，2011年，第7.2.1.6节，第443页（算法P）。

链接

保罗·沙萨（Paolo Xausa），n=0..23713的n，a（n）表（Franklin T.Adams-Waters的术语0..2500）。

杰森·贝尔、托马斯·芬恩·利德贝特和杰弗里·沙利特，正则语言逼近的加法数理论，arXiv:1804.07996[cs.FL]，2018年。

N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt，关于梧桐树的一点注记，J.组合理论2（1967），27-34。

Gennady Eremin，平衡括号、字典序列和Dyck多项式的动力学，arXiv:1909.07675[math.CO]，2019年。

R.K.盖伊，第二强大数定律，数学。Mag，63（1990），第1期，第3-20页。

安蒂·卡图恩，加泰罗尼亚排名和取消排名功能，OEIS Wiki。

安蒂·卡图恩，用此序列编码的加泰罗尼亚数字的各种组合解释说明626个初始项（最大n=7）.

安蒂·卡图恩，一个089408.c程序，用于计算这个序列和许多相关的自同构.

安蒂·卡图恩，关于加泰罗尼亚三角的几点注记.

Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang，用图论寻找实数序列的结构：一个问题列表，arXiv:2012.04625[math.CO]，2020-2021。

D.L.Kreher和D.R.Stinson，组合算法、生成、枚举和搜索，CRC出版社，1998年。

托马斯·芬恩·利德贝特，计数、加法和正则语言，加拿大安大略省滑铁卢大学硕士论文，2018年。

R.J.Mathar，平面上不相交圆的拓扑可区别集，arXiv:1603.00077[math.CO]，2016年。

OEIS Wiki，加泰罗尼亚数字的组合解释

F.Ruskey，两个组合问题的算法求解.

R.P.斯坦利，希帕克斯、普鲁塔克、施罗德和霍夫，美国数学。《月刊》，第104卷，第4期，第344页，1997年。

R.P.斯坦利，加泰罗尼亚语和相关数字练习.

保罗·沙萨（Paolo Xausa），Knuth算法P和U的Mathematica实现.

平面根树编码的索引项（该序列的各种子集）。

与括号相关的序列的索引项

加泰罗尼亚自同构诱导的信号突变索引条目（作用于这些结构的各种双射运算引起的自然数排列）

Lisp的列表函数诱导的序列的索引项（这些代码或相应结构上的各种其他操作所产生的序列）。

例子

a（19）=226_10=11100010_2=A063171号（19）作为括号表达式：（（（））（）和二叉树，以深度优先的方式从左到右进行，二进制展开中的1表示内部（分支）节点，0表示叶子：

0 0

\ /

1 0 0 (0)

\ / \ /

1 1

\ /

1

注意，在这个编码方案中，二叉树的最后一片叶子（在括号中）是隐式的。如果我们将其内部节点（1）解释为cons单元，每个向左分支是“car”，向右分支是对的“cdr”部分，终端节点（0）是（）的（NIL），则该树也可以转换为Lisp、Scheme和Prolog等语言中的特定S表达式。这样我们就有了（cons（cons）（（））（）（cons，）（））='（（（）。 () ) . () ) . ( () .（））=（（（（）））（）），即与上述括号表达式相同，但由额外的括号包围。此映射由Scheme函数执行A014486号->括号如下。

发件人古斯·怀斯曼2022年11月21日：（开始）

术语和相应的有序根树开始于：

0:o（零）

2:（o）

10:（oo）

12：（o）

42：（ooo）

44：（o（o））

50：（o）o）

52：（（oo））

56：（（o））

170：（oooo）

172:（oo（o））

178：（o（o）o）

180：（o（oo））

184：（o（o））

（结束）

MAPLE公司

#Maple程序CatalanUnrank改编自CAGES书籍的算法3.24和Ruskey论文中的Scheme函数CatalanOnrank。有关相应的c程序，请参见a089408.c程序。

CatalanSequences:=proc（upto_n）local n，a，r；a:=[]；对于n从0到upto_n do，对于r从0到（二项式（2*n，n）/（n+1））-1 doa:=[op（a），CatalanUnrank（n，r）]；od；od；返回a；结束；

CatalanUnrank:=proc（n，rr）local r，x，y，lo，m，a；r：=（二项式（2*n，n）/（n+1））-（rr+1）；y:=0；lo：=0；a:=0；对于x从1到2*n做m:=Mn（n，x，y+1）；如果（r<=lo+m-1），则y:=y+1；a:=2*a+1；否则lo：=lo+m；y：=y-1；a:=2*a；fi；od；返回a；结束；

Mn:=（n，x，y）->二项式（2*n-x，n-（（x+y）/2））-二项式；

#备选方案：

bin:=n->ListTools:-反转（convert（n，base，2））：

isA014486：=进程（n）：本地B，s，B；s：=0；

如果n>0，则

对于bin（n）do中的b

s：=s+ifelse（b=1，1，-1）；

如果0>s，则返回假fi；

od fi；

s=0结束：

选择（isA014486，[seq（0..240）]）； #彼得·卢什尼2024年3月13日

数学

猫[n]：=（2 n）！/n！/（n+1）！；b2d[li_List]：=折叠[2#1+#2&，0，li]

d2b[n_Integer]：=整数位数[n，2]

树[n_]：=联接[表[1，{i，1，n}]，表[0，{i，1，n}]]

nexttree[t_]：=展平[Reverse[t]/。{a___，0，0，1，b__}:>反向[{排序[{a，0}]//反向，1，0，b}]]

wood[n_/；n<8]：=嵌套列表[nexttree，tree[n]，cat[n]-1]

表[反面[b2d/@wood[j]]，{j，0，6}]//压扁

tbQ[n_]：=模块[{idn2=整数位数[n，2]}，计数[idn2，1]==长度[idn2]/2和最小值[Accumulate[idn2/.{0->-1}]>=0]；加入[{0}，选择[Range[900]，tbQ]](*哈维·P·戴尔2013年7月4日*）

balancedQ[0]=真；balancedQ[n_]：=模块[｛s=0｝，Do[s+=如果[b==1，1，-1]；如果[s<0，返回[False]]，{b，IntegerDigits[n，2]}]；返回[s==0]]；A014486号=FromDigits/@IntegerDigits[Select[Range[0，1000]，balancedQ]](*Jean-François Alcover公司2016年3月5日*）

A014486Q[0]=正确；A014486Q[n_]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，If[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；选择[范围[0，880]，A014486Q](*郑焕敏2016年12月11日*）

（*使用Knuth的TAOCP第7.2.1.6节中的算法P-参见参考和链接。*）

alist[n_]：=块[{a=扁平[表[{1，0}，n]]，m=2*n-1，j，k}，

FromDigits[#，2]和/@Reap[

而[真，

母猪[a]；a[[m]]=0；

如果[a[[m-1]]==0，

a[[--m]]=1，j=m-1；k=2*n-1；

当[j>1&&a[j]]==1时，a[[j-]]=0；a[[k]]=1；k=2]；

如果[j==1，则中断[]]；

a[[j]]=1；m=2*n-1]

]][[2, 1]]];

联接[{{0}，{2}}，数组[alist，4，2]](*保罗·沙萨2024年3月16日*）

黄体脂酮素

（MIT/GNU方案）（定义(A014486号n）（让（（w/2(A072643号n））（加泰罗尼亚Unrank w/2（如果（零？n）0（-n(A014137级（-1+w/2）））

；；；这里的'm'是上的行A009766号“y”是的第“m”行上的位置A009766号，两者均>=0。生成的完全平衡二进制字符串被计算为变量“a”：

（定义（CatalanUnrank大小等级）（让循环（（a 0）（m（-1+大小）））（y大小）（等级等级）（c(A009766号（-1+尺寸））（如果（负？m）a（如果（>=等级c）（回路（1+（*2a））m（-1+y）（-等级c）(A009766号m（-1+y））（回路（*2a）（-1+m）y秩(A009766号（-1+m）年））

；；；这会将完全平衡的二进制字符串“n”转换为相应的S表达式：

（定义(A014486号->括号n）（let loop（（n n）（stack（list（list））））（cond（（zero？n）（car stack））（（zero-（module n 2））（loop（floor->exact（/n 2））

（定义（cons2top！堆栈）（let（（ex-cdr（cdr-stack）））（set-cdr！堆栈（car-ex-cdr）））

（PARI）是A014486（n）=my（v=二进制（n），t=0）；对于（i=1，#v，t+=if（v[i]，1，-1）；如果（t<0，返回（0））；t==0\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日

（PARI）a_rows（N）=我的（a=Vec（[[0]]，N））；对于（r=1，N-1，my（b=a[r]，c=List（））；foreach（b，t，my（v=if（t，估值（t，2），0））；对于（i=0，v，listput（~c，（t<<2）+（2<<i）））；a[r+1]=Vec（c））；a\\路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2024年5月16日

（SageMath）

定义为_A014486号（n）：

B=箱（n）[2:：]如果n！=其他0

s=0

对于b中的b：

如果b=='1'else-1，则s+=1

如果0>s：返回False

返回0==s

定义A014486号_列表（n）：如果是，则返回[k代表（1..n）中的k_A014486号（k） ]

A014486号_列表（888）#彼得·卢什尼2012年8月10日

（Python）

从itertools导入计数，islice

从sympy.utilities.iterables导入multiset_permutations

定义A014486号_gen（）：#术语生成器

产量0

对于计数（1）中的l：

对于multiset_permutations（'0'*l+'1'*（l-1））中的s：

c、 m=0，（l<<1）-1

对于范围（m）内的i：

如果s[i]==“1”：

c+=2

如果c<i：

打破

其他：

产量（1<<m）+int（''.join（s），2）

A014486号_list=列表（岛屿(A014486号_发电机（），30））#柴华武2023年11月28日

交叉参考

特性功能：A080116号.逆函数：A080300型.

二进制宽度2n的项由以下公式计算A000108号（n） ●●●●。的子集A036990号.每座山的山峰数（有根平面普通树的叶子数）：A057514号。二进制扩展中的尾随零数：A080237号第一个区别：A085192号.

另请参阅A009766号,A014137级,A071156号,A079436号,A085184号,A213704型.

囊性纤维变性。A020988号,A089309号,A007814号.

有序树的分支按A057515号.

有序树的边缘按A072643号.

有序树的Matula-Goebel数为A127301号.

有序树的标准排名为A358523型.

有序树的深度为A358550型.

有序树的节点按A358551型.

囊性纤维变性。A000081号,A001263号,A358505型,A358524型.

上下文中的序列：A186630型 A154391号 A035928号*A166751号 A216649型 A071162号

相邻序列：A014483号 A014484号 A014485号*A014487号 A014488号 A014489号

关键词

非n,美好的,容易的,基础

作者

沃特·梅森

扩展

来自的其他评论安蒂·卡图恩2000年8月11日和2004年5月25日

添加a（0）=0（已于2011年6月删除），乔格·阿恩特2013年2月27日

状态

经核准的