0,2

二进制Dyck-语言(A063171号)十进制表示。

这些编码宽度为2n的山脉、n+1个顶点和n个边的有根平面树、n个节点的平面种植树、n+1片叶子的有根的平面二叉树（2n个边、2n+1个点、n个内部节点、包含根）、Dyck单词、二元括号、括号、，加泰罗尼亚语系中的非交叉握手和分隔以及许多其他组合结构，列举如下A000108号.

和{k=1..n}a（k）/n^（5/2）有界吗-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月18日

此列表是A061854号和A031443号. -杰森·金伯利2013年1月18日

序列确实从n=0开始，因为在Dyck语言的二进制解释中（例如，括号中“1”代表“（”，“0”代表“）”），如果（0）=0，那么它将代表“0”和“1”平衡的空字符串（因此括号是平衡的）-丹尼尔·福格斯2013年2月17日

对于n>=1，似乎可以通过将第n行长度为A000108号（n） 由B（n，0）递归定义=A020988号（n） 且B（n，k）=B（n、k-1）+D（n、k-1），其中D（x，y）=（2^（2*(A089309号（B（x，y））-1）-1）*（2/3）+2^A007814号（B（x，y））-劳尔·马里奥·托雷斯·席尔瓦和米歇尔·马库斯2020年5月1日

这种编码与标准有序树编号的排序有关，因为（1）标准有序树的二进制编码由以下公式给出A358505型，而（2）按二进制编码排序的树的标准排名由下式给出A358523型. -古斯·怀斯曼2022年11月21日

富兰克林·T·亚当斯-沃特斯，n=0..2500时的n、a（n）表

杰森·贝尔、托马斯·芬恩·利德贝特和杰弗里·沙利特，正则语言逼近的加法数理论，arXiv:1804.07996[cs.FL]，2018年。

N.G.De Bruijn和B.J.M.Morselt，关于梧桐树的一点注记，J.组合理论2（1967），27-34。

Gennady Eremin，平衡括号、字典序列和Dyck多项式的动力学，arXiv:1909.07675[math.CO]，2019年。

R.K.盖伊，第二强大数定律，数学。Mag，63（1990），第1期，3-20。

安蒂·卡图恩，加泰罗尼亚排名和取消排名功能，OEIS Wiki。

安蒂·卡图恩，用此序列编码的加泰罗尼亚数字的各种组合解释说明626个初始项（最大n=7）。

安蒂·卡图恩，一个089408.c程序，用于计算这个序列和许多相关的自同构

安蒂·卡图恩，关于加泰罗尼亚三角的几点注记

Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang，用图论寻找实数序列的结构：一个问题列表，arXiv:2012.046252020年12月8日

D.L.Kreher和D.R.Stinson，组合算法、生成、枚举和搜索，CRC出版社，1998年。

托马斯·芬恩·利德贝特，计数、加法和正则语言，加拿大安大略省滑铁卢大学硕士论文，2018年。

R.J.Mathar，平面上不相交圆的拓扑可区别集，arXiv:1603.00077[math.CO]，2016年。

OEIS Wiki，加泰罗尼亚数字的组合解释

F.Ruskey，两个组合问题的算法求解

R.P.斯坦利，希帕克斯、普鲁塔克、施罗德和霍夫，美国数学。《月刊》，第104卷，第4期，第344页，1997年。

R.P.斯坦利，加泰罗尼亚语和相关数字练习

平面根树编码的索引项（该序列的各种子集）。

与括号相关的序列的索引项

加泰罗尼亚自同构诱导的信号突变索引条目（作用于这些结构的各种双射运算引起的自然数排列）

Lisp的列表函数诱导的序列的索引项（这些代码或相应结构上的各种其他操作所产生的序列）。

a（19）=226_10=11100010_2=A063171号（19） 作为括号表达式：（（）））（），作为二叉树，从左到右以深度第一的方式进行，二进制展开中的1代表内部（分支）节点，0代表叶：

0 0

\ /

1 0 0 (0)

\ / \ /

1 1

\ /

1

注意，在这个编码方案中，二叉树的最后一片叶子（在括号中）是隐式的。如果我们将其内部节点（1）解释为cons单元，每个向左分支是“car”，向右分支是对的“cdr”部分，终端节点（0）是（）的（NIL），则该树也可以转换为Lisp、Scheme和Prolog等语言中的特定S表达式。这样我们就有了（cons（cons）（（））（）（cons，）（））='（（（）。() ) . () ) . ( () . （））=（（（（）））（）），即与上述括号表达式相同，但由额外的括号包围。此映射由Scheme函数执行A014486号->括号如下。

发件人古斯·怀斯曼2022年11月21日：（开始）

术语和相应的有序根树开始于：

0:o（零）

2:（o）

10:（oo）

12：（o）

42：（ooo）

44：（o（o））

50：（o）o）

52：（（oo））

56：（（o））

170：（oooo）

172:（oo（o））

178：（o（o）o）

180：（o（oo））

184：（o（o））

（结束）

#Maple程序CatalanUnrank改编自CAGES书籍的算法3.24和Ruskey论文中的Scheme函数CatalanOnrank。有关相应的c程序，请参阅a089408.c程序。

CatalanSequences:=proc（upto_n）local n，a，r；a:=[]；对于n从0到upto_n do，对于r从0到（二项式（2*n，n）/（n+1））-1 doa:=[op（a），CatalanUnrank（n，r）]；od；od；返回a；结束；

CatalanUnrank:=proc（n，rr）local r，x，y，lo，m，a；r:=（二项式（2*n，n）/（n+1））-（rr+1）；y:=0；lo：=0；a:=0；对于x从1到2*n做m:=Mn（n，x，y+1）；如果（r<=lo+m-1），则y:=y+1；a:=2*a+1；否则lo：=lo+m；y：=y-1；a:=2*a；fi；od；返回a；结束；

Mn:=（n，x，y）->二项式（2*n-x，n-（（x+y）/2））-二项式；

猫[n]：=（2 n）/不/（n+1）！；b2d[li_List]：=折叠[2#1+#2&，0，li]

d2b[n_Integer]：=整数位数[n，2]

树[n_]：=联接[表[1，{i，1，n}]，表[0，{i，1，n}]]

nexttree[t_]：=展平[Reverse[t]/。{a___，0，0，1，b__}:>反转[{排序[{a，0}]//反转，1，0，b}]]

wood[n_/；n<8]：=嵌套列表[nexttree，tree[n]，cat[n]-1]

表[反面[b2d/@wood[j]]，{j，0，6}]//压扁

tbQ[n_]：=模块[{idn2=整数位数[n，2]}，计数[idn2，1]==长度[idn2]/2和最小值[Accumulate[idn2/.{0->-1}]>=0]；加入[{0}，选择[Range[900]，tbQ]](*哈维·P·戴尔2013年7月4日*）

balancedQ[0]=真；balancedQ[n_]：=模[{s=0}，Do[s+=如果[b==1，1，-1]；如果[s<0，返回[False]]，{b，IntegerDigits[n，2]}]；返回[s==0]]；A014486号=FromDigits/@IntegerDigits[Select[Range[0，1000]，balancedQ]](*Jean-François Alcover公司2016年3月5日*）

A014486Q[0]=正确；A014486Q[n_]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，If[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；选择[范围[0，880]，A014486Q](*郑焕敏2016年12月11日*）

（麻省理工学院方案）（定义(A014486号n） （让（（w/2(A072643号n） ）（加泰罗尼亚Unrank w/2（如果（零？n）0（-n(A014137号（-1+w/2）））

（这里的“m”是上的行A009766号“y”是的第“m”行上的位置A009766号，两者均>=0。生成的完全平衡二进制字符串被计算为变量“a”）：（define（CatalanUnrank size rank）（let loop（（a 0）（m（-1+size））（y size）（rank rank））（c(A009766号（-1+尺寸））（如果（负？m）a（如果（>=等级c）（回路（1+（*2a））m（-1+y）（-等级c）(A009766号m（-1+y））（回路（*2a）（-1+m）y秩(A009766号（-1+m）年））

（这会将完全平衡的二进制字符串“n”转换为相应的S表达式：）（定义(A014486号->括号n）（let loop（（n n）（stack（list（list））））（cond（（zero？n）（car stack））（（zero-（module n 2））（loop（floor->exact（/n 2））

（定义（cons2top！堆栈）（let（（ex-cdr（cdr-stack）））（set-cdr！堆栈（car-ex-cdr）））

（PARI）是A014486（n）=my（v=二进制（n），t=0）；对于（i=1，#v，t+=if（v[i]，1，-1）；如果（t<0，返回（0））；t==0\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日

（鼠尾草）

定义为_A014486号（n） ：

B=箱（n）[2:：]，如果n！=0其他0

s=0

对于b中的b：

如果b=='1'else-1，则s+=1

如果0>s：返回False

返回0==s

定义A014486号_列表（n）：如果是，则返回[k代表（1..n）中的k_A014486号（k） ]

A014486号_列表（888）#彼得·卢什尼2012年8月10日

特性功能：A080116号.逆函数：A080300型.

二进制宽度2n的项由以下公式计算A000108号（n） ●●●●。的子集A036990号.每座山的山峰数（有根平面普通树的叶子数）：A057514号。二进制扩展中的尾随零数：A080237号第一个区别：A085192号.

另请参阅A009766号,A014137号,A071156号,A079436号,A085184号,A213704型.

囊性纤维变性。A020988号,A089309号,A007814号.

有序树的分支按A057515号.

有序树的边缘按A072643号.

有序树的Matula-Goebel数为A127301号.

有序树的标准排名为A358523型.

有序树的深度为A358550型.

有序树的节点按A358551型.

囊性纤维变性。A000081号,A001263号,A358505型,A358524型.

上下文中的序列：A186630型 A154391号 A035928号*A166751号 A216649型 A071162号

相邻序列：A014483号 A014484号 A014485号*A014487号 A014488号 A014489号

非n,美好的,容易的,基础

沃特·梅森

来自的其他评论安蒂·卡图恩2000年8月11日和2004年5月25日

添加了a（0）=0（已于2011年6月删除），乔格·阿恩特2013年2月27日

经核准的