0,2个

二进制戴克语言(A063171号)以十进制表示。

这些编码宽度为2n个山脉、n+1个顶点和n个边的有根平面树、具有n个节点的平面植树、具有n+1个叶子的有根平面二叉树（2n个边、2n+1个顶点、n个内部节点，包括根）、Dyck字、二进制括号、括号，加泰罗尼亚语系中的非交叉握手和分隔以及许多其他组合结构，列举如下A000108号.

和{k=1..n}a（k））/n^（5/2）有界吗？-贝诺伊特·克罗伊特2002年8月18日

这个列表是A061854号和A031443号. -杰森·金伯利2013年1月18日

序列确实从n=0开始，因为在Dyck语言的二进制解释中（例如，作为括号，其中“1”代表“（”和“0”代表“）”），因为它代表空字符串，其中“0”和“1”是平衡的（因此圆括号是平衡的）。-丹尼尔放弃了2013年2月17日

对于n>=1，可以通过将第n行长度为A000108号（n） 由B（n，0）递归地定义=A020988号（n） B（n，k）=B（n，k-1）+D（n，k-1），其中D（x，y）=（2^（2）*(A0309年（B（x，y））-1）*（2/3）+2^A007814号（B（x，y））。-劳尔马里奥·托雷斯·席尔瓦和米歇尔·马库斯2020年5月1日

富兰克林·T·亚当斯·沃特斯，n=0..2500时的n，a（n）表

杰森·贝尔，托马斯·芬恩·利德贝特，杰弗里·沙利特，正则语言逼近的加性数论，arXiv:1804.07996[cs.FL]，2018年。

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A、 卡图宁，626个初始项（大小n=7）的图解，其中包含由该序列编码的加泰罗尼亚数字的各种组合解释。

A、 卡图宁，计算这个序列和许多相关自同构的c-c程序

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D、 L.Kreher和D.R.Stinson，组合算法，生成，枚举和搜索，CRC出版社，1998年。

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R、 P.斯坦利，加泰罗尼亚语及相关数字练习

平面根树编码的索引项（该序列的不同子集）。

与括号相关的序列的索引项

Catalan自同构诱导的签名置换的索引项（由作用在这些结构上的各种双目标操作引起的自然数排列）

Lisp中列表函数诱导的序列的索引项（由对这些代码或相应结构进行的各种其他操作引起的序列）。

a（19）=226？10=11100010？2=A063171号（19） 作为括号表达式：（（（（）））（）和二叉树，从左到右深度优先，二进制展开中的1代表内部（分支）节点，0代表叶：

0 0

   \ /

1 0 0（0）

     \ /   \ /

11

       \   /

1

注意，在这个编码方案中，二叉树的最后一片叶子（在括号中）是隐式的。如果我们将树的内部节点（1）解释为cons单元，每个向左倾斜的分支是“car”，向右倾斜的分支是对的“cdr”部分，而终端节点（0）是（）的（NILs），那么这个树也可以转换成Lisp、Scheme和Prolog等语言中的一个特殊的S表达式。因此我们有（cons（cons（）（））（cons（）（））='（（（（））。() ) . () ) . ( () . （））=（（（（（）））（））即，与上面相同的括号表达式，但用额外的括号括起来。此映射由Scheme函数执行A014486号->下面是括号。

#Maple程序catalanurnank改编自CAGES book的算法3.24和Ruskey论文中的Scheme函数catalanurnank。有关相应的c程序，请参阅a089408.c程序。

CatalanSequences：=proc（up_u n）local n，a，r；a:=[]；对于n从0到r从0到（二项式（2*n，n）/（n+1））-1 do a：=[op（a），catalanurnrank（n，r）]；od；od；return a；end；

catalanurnrank:=proc（n，rr）局部r，x，y，lo，m，a；r：=（二项式（2*n，n）/（n+1））—（rr+1）；y:=0；lo:=0；a:=0；对于从1到2*n的x，do m:=Mn（n，x，y+1）；如果（r<=lo+m-1），则y:=y+1；a:=2*a+1；否则lo:=lo+m；y:=y-1；a:=2*a；fi；od；返回a；end；

Mn：=（n，x，y）->二项式（2*n-x，n-（（x+y）/2））-二项式（2*n-x，n-1-（（x+y）/2））；

cat[n_9]：=（2 n）！/n！/（n+1）！；b2d[li_List]：=Fold[2#1+#2&，0，li]；d2b[n_Integer]：=IntegerDigits[n，2]tree[n_u]：=Join[表[1，{i，1，n}]，表[0，{i，1，n}]]

nexttree[t_9]：=展平[Reverse[t]/。{a}，0，0，1，b}:>Reverse[{Sort[{a，0}]//Reverse，1，0，b}]]

木材[n_/；n<8]：=NestList[nexttree，tree[n]，cat[n]-1]

Table[Reverse[b2d/@wood[j]]，{j，0，6}]//展平

tbQ[n_u]：=模块[{idn2=IntegerDigits[n，2]}，Count[idn2，1]==Length[idn2]/2&&Min[Accumulate[idn2/{0->-1}]]>=0]；Join[{0}，选择[Range[900]，tbQ]](*哈维·P·戴尔2013年7月4日*）

balancedQ[0]=True；balancedQ[n_9]：=模块[{s=0}，Do[s+=If[b==1，1，-1]；如果[s<0，则返回[False]]，{b，IntegerDigits[n，2]}]；Return[s==0]]；A014486号=FromDigits/@IntegerDigits[选择[范围[0，1000]，balancedQ]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2016年3月5日*）

A014486Q[0]=真；A014486Q[n_q]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，如果[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；选择[Range[0，880]，a01486q](*郑焕民2016年12月11日*）

（麻省理工学院计划）（定义(A014486号n） （出租（w/2(A072643号n） ）（加泰罗尼亚银行w/2（如果（零？n） 0（-n(A014137号（-1+w/2）））））

（这里是“m”排在A009766号“y”是“m”行的位置A009766号，两者都>=0。得到的完全平衡二进制字符串被计算成变量“a”）：（define（catalanurnrank size rank）（let loop（（a0）（m（-1+size））（y size）（rank rank）（c(A0766号（-1+大小）大小））（如果（负数？m） a（如果（>=等级c）（回路（1+（*2A））m（-1+y）（-rank c）(A009766号m（-1+y））（回路（*2A）（-1+m）y列(A009766号（-1+m）y）））））

（这会将完全平衡的二进制字符串“n”转换为相应的S表达式：）（define(A014486号->圆括号n）（让循环（（n n）（堆栈（list（list））））（cond（（零？n） （汽车堆栈）（（零？（模n2））（循环（floor->精确（/n2））（cons（list）stack））（else（loop（floor->exact（/n2））（cons2top！烟囱（烟囱））））））

（定义（cons2top！堆栈）（let（（ex cdr（cdr stack）））（设置cdr！stack（car ex cdr））（设置汽车！ex-cdr堆栈）ex-cdr）

（PARI）isA014486（n）=my（v=二进制（n），t=0）；对于（i=1，#v，t+=if（v[i]，1，-1）；如果（t<0，返回（0））；t==0\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年6月10日

（圣人）

定义是_A014486号（n） 公司名称：

：（B）[n=2]如果！=0其他0

s=0

对于b中的b：

如果b==1，则s+=1；否则-1

如果0>s：返回False

返回0==s

定义A014486号_list（n）：如果是，则返回[k代表（1..n）中的k_A014486号（k） ]

A014486号_列表（888）#彼得·卢什尼2012年8月10日

特征函数：A080116. 反函数：A080300.

二进制宽度2n的项由A000108号[n] 一。的子集A036990型. 每座山的峰数（有根的平面普通树的叶数）：A057514号. 二进制展开中的尾随零数：A0237年. 第一个区别：A085192号.

请参阅A0766号,A014137号,A071156号,A072643号,A079436号,A085184,甲13704.

囊性纤维变性。A020988号,A089309号,A007814号.

上下文顺序：A186630 A154391号 A035928号*A166751号 A216649号 A071162

相邻序列：A014483号 A014484号 A014485号*A014487号 A014488号 A014489号

不,美好的,容易的,基础

伍特·梅森

其他评论来自安蒂·卡尔图宁，2000年8月11日和2004年5月25日

增加a（0）=0（2011年6月已删除），乔尔阿恩特2013年2月27日

经核准的