A003238的渐近性已知吗？

Question

顺序OEIS的A003238计数“具有$n$个顶点的根树，其中同一级别的顶点具有相同的阶数。”序列$a$开始

1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 16, ...

当然，通过递归很容易生成任意多的项（基本上$a（n）$是$a（d）$的和，因为$d$经过$n-1$的除数）。在OEIS页面的公式部分，我们发现：

推测：$\log（a（n））$渐近于$c\log，其中$0.4<c<0.5$（Benoit Cloitre，2004年4月13日）

我感兴趣的是这个猜想的状态，以及更广泛地说，分析由“相似”递归定义的序列的渐近性的方法——全局（如上所述）或平均意义，即$（1/n）\sum_{I=1}^na（n）$之类的事物的渐近性。

Answer 1

我会证明的$$ \对数a（n）\sim\frac{（\logn）^2}{\log4}\约为0.7213\ldots（\log n）^2。$$ 因此，猜想中给出的常数的范围是错误的，但它是一般形状的渐近形式持有。通过以下论证，可以获得更精确的渐近性。
粗略地说，该论点所说的是$a（n）$的行为（大致顺序）如下如果$n$是奇数，则序列$b（n）$由$b（n+1）=b（n$n$是偶数。

把$A（x）=\sum_{j\lex}A（j）$。然后$$ A（n+1）=sum_{j\len+1}\sum_{d|（j-1\sum_{d}\sum_{j\len，d|j}a（j/d）=\sum_dA（n/d）。$$ 重新安排我们得到$$ a（n+1）=a（n+1”）-a（n）=sum_{2\le d\le n}a（n/d）。$$

根据$a（n）$的单调性，可以得出如下结论$$a（n+1）\le\sum{2\le-d\le-n}\frac{n}{d}a（n/2\floor）\le（n\log n）a（n/2 floor）。$$ 迭代这个不等式可以得到估计值$$ \对数a（n）\le（1+o（1））\frac{（logn）^2}{2\log2}。$$

类似地，在我们得到的恒等式中只保留$d=2$项$$ a（n+1）\ge a（n/2）\ge压裂{n}{2\log n}a（楼层n/2-n/（2\logn）\r楼层），$$ 迭代它可以得到所需的下限$$\log a（n）\ge（1+o（1））\frac｛（\log n）^2｝｛2\log 2｝。$$