显示找到的28个结果中的1-10个。
a（n）=（2n+1）/不^2
（原名M4198 N1752）
+10
140
1, 6, 30, 140, 630, 2772, 12012, 51480, 218790, 923780, 3879876, 16224936, 67603900, 280816200, 1163381400, 4808643120, 19835652870, 81676217700, 335780006100, 1378465288200, 5651707681620, 23145088600920, 94684453367400, 386971244197200, 1580132580471900
评论
巴纳赫改进的匹配框问题中剩余的预期匹配数（从两个框中的一个中提取最后一个匹配时计算）乘以4^（n-1）-迈克尔·斯泰尔2001年4月13日
卷曲了A000108号: (1, 1, 1, 5, 14, 42, ...) =A000531号: (1, 7, 38, 187, 874, ...). -加里·亚当森2009年5月14日
1/a（n）是（x（1-x））^n在区间[0,1]上的积分。显然，约翰·沃利斯计算了n=0,1,2,3，…的积分，。。。。A004731号左移一，给出区间[0,1]上相关积分（1-x^2）^n的分子/分母-马克·范·列文2010年4月14日
将半长n的Dyck路径的三角峰向下延伸至基线，形成（可能）更大的重叠三角形。a（n）=这些三角形的面积之和。此外，a（n）=三角形（n）*加泰罗尼亚语（n）-大卫·斯卡布勒2010年11月25日
设H是n X n希尔伯特矩阵H（i，j）=1/（i+j-1），对于1<=i，j<=n。设B是H的逆矩阵。B的第n行元素之和等于a（n-1）-T.D.诺伊2011年5月1日
显然，半长为2n+1的所有对称Dyck路径中的峰值数-大卫·斯卡布勒2013年4月29日
使用n个字母A、n个字母B和1个字母C的长度为2n+1的不同字符串数-汉斯·哈弗曼2014年5月6日
Hasse图中n X n框中分区偏序集的边数，按包含顺序排列（根据上面的Havermann注释，C表示边中添加的正方形）-威廉·基思2015年8月18日
设V（n，r）表示半径为r的n维球体的体积，则V（n、1/2 ^n）=V（n-1、1/2 ^ n）/a（（n-1）/2）表示所有奇数n-彼得·卢什尼2015年10月12日
a（n）是处理帕斯卡三角形n+1行的结果A007318号采用A067056号示例：设n=3。给定帕斯卡三角形1,4,6,4,1的第四行，我们得到1*（4+6+4+1）+（1+4）*（6+4+1）*（1+4+6）*-J.M.贝戈2017年5月26日
a（n）是（n+1）X 2 Young tableaux的数量，第一列和第二列之间有两道水平墙。如果两个单元格之间有一个墙，则条目可能会减少；参见[Banderier，Wallner 2021]和A000984号用于一个水平墙-迈克尔·沃纳2022年1月31日
a（n）是2n+1顶点上循环图的对称边多面体的面数-玛丽尔·苏皮纳2022年5月12日
参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第83页，问题25；第168页，第30条。
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链接
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安德烈·斯维宁，关于一类和，arXiv:1610.05387[math.CO]，2016年。见第5页。
配方奶粉
G.f.：（1-4x）^（-3/2）=1F0（3/2；；4x）。
a（n-1）=二项式（2*n，n）*n/2=二项法（2*n-1，n）*n。
a（n-1）=4^（n-1”）*Sum_{i=0..n-1}二项式（n-1+i，i）*（n-i）/2^（n-1+i）。
a（n）~2*Pi^（-1/2）*n^（1/2）*2^（2*n）*{1+3/8*n^-1+…}.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2001年11月21日
（2*n+2）/（2*n！*（n+1）！）=（n+n+1）/（n！*n！）=1/β（n+1，n+1）英寸A061928号.
求和{i=0..n}i*二项式（n，i）^2=n*二项法（2*n，n）/2.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）~2*Pi^（-1/2）*n^（1/2）*2^（2*n）。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月7日
a（n）=1/积分{x=0..1}x^n（1-x）^n dx.-Fred W.Helenius（fredh（AT）ix.netcom.com），2003年6月10日
例如：exp（2*x）*（（1+4*x）*BesselI（0,2*x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月22日
a（n）=和{i+j+k=n}二项式（2i，i）*二项式-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月9日
和{n>=0}1/a（n）=2*Pi/3^（3/2）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年3月7日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2k，k）*4^（n-k）-保罗·巴里2009年4月26日
a（n）=二项式（2n+2,2）*二项式-鲁伊·杜阿尔特2011年10月8日
G.f.：（G（0）-1）/（4*x），其中G（k）=1+2*x*（（2*k+3）*G（k+1）-1）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2011年12月3日[编辑：迈克尔·索莫斯2013年12月6日]
G.f.：1-6*x/（G（0）+6*x），其中G（k）=1+（4*x+1）*k-6*x-（k+1）*（4*k-2）/G（k/1）；（续分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月13日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+4*（2*k+1）*x*（2xk+2+Q（k+1））/（k+1-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月10日[编辑：迈克尔·索莫斯2013年12月6日]
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-4*x*（2*k+3）/（4*xx（2*k+3）+2*（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月6日
a（n）=2^（4n）/和{k=0..n}（-1）^k*C（2n+1，n-k）/（2k+1）-米尔恰·梅卡2013年11月12日
a（n）=（2*n）*[x^（2*n）]HeunC（0,0，-2，-1/4,7/4,4*x^2），其中[x^n]f（x）是x ^n在f（x”）中的系数，HeunC是Heun合流函数-彼得·卢什尼2013年11月22日
对于Z中的所有n，0＝a（n）*（16*a（n+1）-2*a（n+2））+a（n+1）*（a（n+2）-6*a（n+1））-迈克尔·索莫斯2013年12月6日
a（n）=4^n*二项式（n+1/2，1/2）-彼得·卢什尼2014年4月24日
a（n）=4^n*超深层（[-2*n，-2*n-1,1/2]，[-2*n-2,1]，2）*（n+1）*（2*n+1）-彼得·卢什尼2014年9月22日
a（n）=4^n*超深层（[-n，-1/2]，[1]，1）-彼得·卢什尼2015年5月19日
a（n）=2*4^n*伽马（3/2+n）/（sqrt（Pi）*伽玛（1+n））-彼得·卢什尼2015年12月14日
和{n>=0}2^（n+1）/a（n）=Pi，与Newton/Euler的Pi收敛变换级数有关-托尼·福斯特三世2016年7月28日。参见Weisstein Pi链接，等式（23）-沃尔夫迪特·朗2016年8月26日
Boas-Buck递推：a（n）=（6/n）*Sum_{k=0..n-1}4^（n-k-1）*a（k），n>=1，a（0）=1。a（n）的证明=A046521号（n+1，1）。请参阅中的注释A046521号. -沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
a（n）=（1/3）*Sum_{i=0..n+1}C（n+1，i）*C（n+1,2*n+1-i）*C-彼得·巴拉2018年2月7日
a（n）=（2*n+1）*二项式（2*n，n）-科洛索夫石油公司2018年4月16日
a（n）=（-4）^n*二项式（-3/2，n）-彼得·卢什尼2018年10月23日
a（n）=1/和{s=0..n}（-1）^s*二项式（n，s）/（n+s+1）-科洛索夫石油公司2019年1月22日
a（n）=和{k=0..n}（2*k+1）*二项式（2*n+1，n-k）-彼得·巴拉2019年2月25日
4^n/a（n）=积分_{x=0..1}（1-x^2）^n-迈克尔·索莫斯2019年6月13日
带递归的D-有限：对于Z中的所有n，0=a（n）*（6+4*n）-a（n+1）*（n+1）-迈克尔·索莫斯2019年6月13日
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*arcsinh（1/2）/sqrt（5）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月10日
{1/a（n）}的G.f:4*arcsin（sqrt（x）/2）/sqrt（x*（4-x））。
例如，对于{1/a（n）}:exp（x/4）*sqrt（Pi/x）*erf（sqrt）/2）。（结束）
{1/a（n）}的G.f.：4*弧（sqrt（x/（4-x）））/sqrt（x*（4-x））-迈克尔·索莫斯2023年6月17日
例子
G.f.=1+6*x+30*x^2+140*x^3+630*x^4+2772*x^5+12012*x^6+51480*x^7+。。。
MAPLE公司
seq（（2*n）*系数（级数（HeunC（0，0，-2，-1/4，7/4，4*x^2），x，2*n+1），x、2*n），n=0..22）#彼得·卢什尼2013年11月22日
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（2*n+1）！/n！^2）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月9日*/
（PARI）a（n）=（2*n+1）*二项式（2*n，n）\\阿尔图·阿尔坎2018年4月16日
（哈斯克尔）
a002457 n=a116666（2*n+1）（n+1）
（鼠尾草）
（岩浆）[0..25]]中的阶乘（2*n+1）/阶乘（n）^2:n//文森佐·利班迪2015年10月12日
Apery（Apéry）数：Sum_{k=0..n}（二项式（n，k）*二项式（n+k，k））^2。
（原名M4020）
+10
127
1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, 21460825, 584307365, 16367912425, 468690849005, 13657436403073, 403676083788125, 12073365010564729, 364713572395983725, 11111571997143198073, 341034504521827105445, 10534522198396293262825, 327259338516161442321485
评论
推测：对于每个n=1,2,3，。。。Apéry多项式An（x）=Sum{k=0..n}二项式（n，k）^2*binominal（n+k，k）*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
exp（Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n）=1+5*x+49*x^2+685*x^3+11807*x^4+232771*x^5+。。。和exp（Sum_{n>=1}a（n-1）*x^n/n）=1+3*x+27*x^2+390*x^3+7038*x^4+144550*x^5+。。。两者似乎都有整数系数。请参见A267220型. -彼得·巴拉2016年1月12日
有理函数R（x，y，z，w）的对角线=1/（1-（w*x*y*z+w*xy+w*z+x*y+x*z+y+z））；有理函数H（x，y，z，w）的对角线=1/（1-w*（1+x）*（1+y）*（1+z）*（x*y*z+y*z+y+z+1））-Gheorghe Coserea公司，2018年6月26日
以法国数学家罗杰·阿佩里（1916-1994）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
参考文献
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配方奶粉
带递归的D-有限（n+1）^3*a（n+1）=（34*n^3+51*n^2+27*n+5）*a（n）-n^3*a（n-1），n>=1。
用Maple符号表示超几何函数4F3的特殊值：a（n）=超几何（[n+1，n+1，-n，-n]，[1，1，1]，1），n=0，1-卡罗尔·彭森2002年7月24日
通用公式：（-1/2）*（3*x-3+（x^2-34*x+1）^（1/2））*（x+1）*（-2）*超几何（[1/3,2/3]，[1]，（-1/2-马克·范·霍伊2011年10月29日
设g（x，y）=4*cos（2*x）+8*sin（y）*cos-彼得·巴拉2012年3月4日；编辑人G.A.埃德加2016年12月10日
a（n）~（1+sqrt（2））^（4*n+2）/（2^（9/4）*Pi^（3/2）*n^（2/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月1日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^2*C（n+k，k）-乔格·阿恩特2013年5月11日
0=（-x^2+34*x^3-x^4）*y''+（-3*x+153*x^2-6*x^3）*y''+（-1+112*x-7*x^2）*y''+（5-x）*y，其中y为g.f-Gheorghe Coserea公司2016年7月14日
a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^（n+j）*C（n，k）^2*C（n+k，k）|2*C。
a（n）=总和{0<=j，k<=n}C（n，k）*C（n+k，k）*C（k，j）^3（见Koepf，第55页）。
a（n）=和{0<=j，k<=n}C（n，k）^2*C（n、j）^2*C（3*n-j-k，2*n）（见Koepf，第119页）。
有理函数1/（（1-x-y）*（1-z-t）-x*y*z*t）的对角线系数（Straub，2014）。（结束）
a（n）=[x^n]1/（1-x）*（Legendre_P（n，（1+x）/（1-x）））^m，m=2。当m=1时，我们得到阿佩里数A005258号. -彼得·巴拉2020年12月22日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）*A108625号（n，k）-彼得·巴拉2024年7月18日
例子
G.f.=1+5*x+73*x^2+1445*x^3+33001*x^4+819005*x^5+21460825*x^6+。。。
a（2）=（二项式（2,0）*二项式（2+0,0））^2+（二项法（2,1）*二项式（2+1,1））^2+-迈克尔·波特2016年7月14日
MAPLE公司
a:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则1 elif n=1，然后5 else（n^（-3））*；fi；结束；
#备选方案：
a:=n->超深层（[-n，-n，1+n，1+n]，[1，1，1]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..17）#彼得·卢什尼2020年1月19日
数学
表[超几何PFQ[｛-n，-n，n+1，n+1｝，｛1，1，1｝，1]，｛n，0，13｝](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年4月1日*）
表[Sum[（二项式[n，k]二项式[n+k，k]）^2，{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年10月15日*）
a[n_]：=系列系数[SeriesCoefficient[Seriescoefficiency[SeriesCoefficient[1/（1-t（1+x）（1+y）（1++）（xyz+（y+1）（z+1））），{t，0，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2016年5月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，（二项式（n，k）*二项式式（n+k，k））^2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（哈斯克尔）
a005259 n=a005259_列表！！n个
a005259_list=1:5:zipWith div（zipWith（-）
（尾部$zipWith（*）a006221_list a005259_list）
（zipWith（*）（尾部a000578_list）a005259_list
（GAP）列表（[0..20]，n->总和（[0..n]，k->二项式（n，k）^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
（岩浆）[&+[二项式（n，k）^2*[0..n]]中的二项式//马吕斯·A·伯蒂2020年1月20日
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m*=（（n+k+1）*（n-k））**2
m//=（k+1）**4
交叉参考
类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,226535英镑,A227216号,A227454个,A229111年（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111年,A002895号,A290575型,A290576型,A005259看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
Apéry数：a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）^2*二项式（n+k，k）。
（原名M3057）
+10
109
1, 3, 19, 147, 1251, 11253, 104959, 1004307, 9793891, 96918753, 970336269, 9807518757, 99912156111, 1024622952993, 10567623342519, 109527728400147, 1140076177397091, 11911997404064793, 124879633548031009, 1313106114867738897, 13844511065506477501
评论
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
在库珀的论文中，这个序列是t5-杰森·金伯利2012年11月25日
推测：对于每个n=1,2,3，。。。多项式a_n（x）=Sum{k=0..n}C（n，k）^2*C（n+k，k）*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
有理函数的对角线1/（1-x-x*y-y*z-x*z-xy*z），1/（1+y+z+x*y+y*z+xx*y*z）、1/（1-x-y-z+x*y+x*y*z）和1/-Gheorghe Coserea公司2018年7月7日
参考文献
Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。
S.Melczer，《分析组合数学邀请函》，2021年；第129页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
R.Apéry，非理性泽塔（2）和泽塔（3）《阿里斯之旅》。发光。1978年6月20日至24日在鲁米尼鲁米尼中心大学举行的国家科学研究中心国际学术讨论会（CNRS）。《阿斯特里斯克》，61（1979），11-13。
R.Apéry，特定实体算术《极端分析集团》，第9期，第1期（1981-1982年），第16号实验，第2页。
托马斯·巴鲁切尔（Thomas Baruchel）和C.埃尔斯纳（C.Elsner），分母分裂有理逼近的误差和，arXiv预印本arXiv:1602.06445[math.NT]，2016。
A.Bostan、S.Boukraa、J.-M.Maillard和J.-A.Weil，有理函数的对角线与选定的微分Galois群，arXiv预印本arXiv:1507.03227[math-ph]，2015年。
E.延误，类Apéry数的算术性质，arXiv预印本arXiv:1310.4131[math.NT]，2013-2015。
Michael D.Hirschorn，Pi和Phi之间的连接，斐波纳契夸脱。53（2015），第1期，42-47。
E.Rowland和R.Yassawi，有理函数对角线的自动同余，arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT]，2013。
V.斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
配方奶粉
a（n）=上层（[n+1，-n，-n]，[1，1]，1）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月24日
带递归的D-有限：（n+1）^2*a（n+1）=（11*n^2+11*n+3）*a（n）+n^2*a（n-1）-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
设b（n）是b（0）=0，b（1）=5的上述递归的解。那么b（n）是有理数，b（n）/a（n）->ζ（2）非常快。恒等式b（n）*a（n-1）-b（n-1。常数e也有类似结果：参见A143413号. -彼得·巴拉2008年8月14日
G.f.：表皮（[1/12,5/12]，[1]，1728*x^5*（1-11*x-x^2）/（1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4）^3）/-马克·范·霍伊2011年10月25日
a（n）~（（11+5*sqrt（5））/2）^（n+1/2）/（2*Pi*5^（1/4）*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月5日
1/Pi=5*（sqrt（47）/7614）*Sum_{n>=0}（-1）^na（n）*二项式（2n，n）*（682n+71）/15228^n-杰森·金伯利2012年11月26日
如果n>=0，则a（-1-n）=（-1）^n*a（n）。如果n<0，a（-1-n）=-（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2013年9月18日
0=a（n）*（a（n+1）*（+4*a（n+2）+83*a*a（n+4））+a（n+2）*Z中的所有n均为-4*a（n+4））-迈克尔·索莫斯2016年8月6日
a（n）=二项式（2*n，n）*超几何（[-n，-n，/n]，[1，-2*n]，1）-彼得·卢什尼2018年2月10日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）^2-彼得·巴拉2018年2月10日
a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^（j+k）*C（n，k）*C（n+k，k）^2*C（n，j）*C。
a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^（n+j）*C（n，k）^2*C（n+k，k）*C。
a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^j*C（n，k）^2*C（n，j）*C（3*n-j-k，2*n）。（结束）
a（n）=[x^n]1/（1-x）*（Legendre_P（n，（1+x）/（1-x）））^m，m=1。当m=2时，我们得到阿佩里数A005259. -彼得·巴拉2020年12月22日
a（n）=（-1）^n*Sum_{j=0.n}（1-5*j*H（j）+5*j*H（n-j））*二项式（n，j）^5，其中H（n）表示n次谐波数，A001008号/A002805号（保罗/施耐德）-彼得·卢什尼2021年7月23日
g.f.T（x）遵循周期性ODE：
0=（3+x）*T（x）+（-1+22*x+3*x^2）*T'（x）+x*（-1+11*x+x^2。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出：
g2=3*（1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4）；
g3=1-18*x+75*x^2+75*x^4+18*x^5+x^6；
其确定了具有四个奇异纤维的椭圆表面。（结束）
猜想：a（n）^2=Sum_{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）*A143007号（n，k）-彼得·巴拉2024年7月8日
例子
G.f.=1+3*x+19*x^2+147*x^3+1251*x^4+11253*x^5+104959*x^6+。。。
MAPLE公司
与（组合）：seq（加（（多项式（n+k，n-k，k，k））*二项式（n，k），k=0..n），n=0..18）#零入侵拉霍斯2006年10月18日
a:=n->二项式（2*n，n）*超几何（[-n，-n，.n]，[1，-2*n]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..20）#彼得·卢什尼2018年2月10日
数学
表[Sum[二项式[n，k]^2二项式[n+k，k]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*哈维·P·戴尔2019年8月25日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a005258 n=总和[a007318 n k ^2*a007319（n+k）k | k<-[0..n]]
（PARI）{a（n）=如果（n<0，-（-1）^n*a（-1-n），和（k=0，n，二项式（n，k）^2*二项式/*迈克尔·索莫斯2013年9月18日*/
（GAP）a:=n->总和（[0..n]，k->（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）^2）；；
（GAP）列表（[0..20]，n->和（[0..n]，k->二项式（n，k）^2*二项式（n+k，k））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月29日
（岩浆）[&+[二项式（n，k）^2*二项式（n+k，k）：k in[0..n]]：n in[0..25]]//文森佐·利班迪2018年11月28日
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m*=（n+k+1）*（n-k）**2
m//=（k+1）**3
交叉参考
类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,226535英镑,A227216号,A227454个,A229111年（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111年,A002895号,A290575型,A290576型,A005259看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
莱布尼茨调和三角a（n，k）中分母的三角形，n>=1，1<=k<=n。
+10
65
1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 12, 12, 4, 5, 20, 30, 20, 5, 6, 30, 60, 60, 30, 6, 7, 42, 105, 140, 105, 42, 7, 8, 56, 168, 280, 280, 168, 56, 8, 9, 72, 252, 504, 630, 504, 252, 72, 9, 10, 90, 360, 840, 1260, 1260, 840, 360, 90, 10, 11, 110, 495, 1320, 2310, 2772, 2310, 1320, 495, 110, 11
评论
反对偶读取数组1/Beta（n，m）-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
a（n，k）=n个元素集的k大小子集族中所有元素的总大小。例如，一个2元素集，例如{1,2}，有3个k大小子集族：一个具有10大小元素，一个具有2个1大小元素，另一个具有1个2大小元素；分别为｛｛｝｝、｛｛1｝、｛2｝｝、｛｛1，2｝｝｝｝-罗斯·拉海耶2006年12月31日
沿着1-2-平面在立方体a（m，n，o）=a（m-1，n，o）+a（m、n-1，o）+a-托马斯·维德2006年8月6日
三角形，按行读取，由[2，-1/2,1/2,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[2，-1-2,1/2,0,00,0_0,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2007年10月7日
这个序列*[1/1，1/2，1/3，…]=（1，3，7，15，31，…）-加里·亚当森2007年11月14日
第n行=对应帕斯卡三角形行的一阶导数系数。例如：x^4+4x^3+6x^2+4x+1变为（4，12，12，4）-加里·亚当森2007年12月27日
考虑
1 1/2 1/3 1/4 1/5
-1/2 -1/6 -1/12 -1/20 -1/30
1/3 1/12 1/30 1/60 1/105
-1/4 -1/20 -1/60 -1/140 -1/280
1/5 1/30 1/105 1/280 1/630
这是第二种自动序列（二项式逆变换是有符号序列）：主对角线是第一个上对角线的2倍。
发件人路易斯·康诺弗（成都孔子国际学校九年级G1c数学班），2015年3月2日：（开始）
n^-1的第i阶差异出现在第（i+1）行中。
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, ...
1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, ...
1/3, 1/12, 1/30, 1/60, 1/105, 1/168, 1/252, 1/360, ...
1/4, 1/20, 1/60, 1/140, 1/280, 1/504, 1/840, 1/1320, ...
1/5, 1/30, 1/105, 1/280, 1/630, 1/1260, 1/2310, 1/3960, ...
1/6, 1/42, 1/168, 1/504, 1/1260, 1/2772, 1/5544, 1/12012, ...
（结束）
T（n，k）是n维超立方体中距离固定顶点k的边数-西蒙·伯顿2022年11月4日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，见130。
B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。由加利福尼亚州圣克拉拉圣克拉拉大学斐波纳契协会出版的英文译本，1993年；见第38页。
G.Boole，《关于有限差分计算的论文》，多佛，1960年，第26页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第83页，问题25。
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D.威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，35。
链接
D.Dumont，欧拉塞德尔矩阵，Sem.Loth公司。梳子。B05c（1981）59-78。
配方奶粉
a（n，1）=1/n；当k>1时，a（n，k）=a（n-1，k-1）-a（n，k-1）。
通用名称：x*y/（1-x-y*x）^2。
例如：x*y*exp（x+x*y）。（结束）
f（s，n）=积分{x=0..oo}exp（-s*x）*x^n dx=伽马（n）/s^n；t（n，m）=f（s，n）/（f（s，n-m）*f（s，m））=伽玛（n）/（伽玛（n-m）*伽玛（m）；s的幂抵消了-罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年9月14日
T（2*n，n）=T（2*n，n+1）=A005430型（n） ●●●●。（结束）
T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-2*T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年3月17日
T（n，k）=和{i=1..k}i*二项式（k，i）*二项式（n+1-k，k+1-i）-米尔恰·梅卡2012年4月11日
如果我们包括一个由零组成的主对角线，那么数组的形式是
0
1 0
2 2 0
3 6 3 0
4 12 12 4 0
...
a（n，k）=（n-1）/（n-k）！（k-1）！）如果k>n/2并且a（n，k）=（n-1）/（n-k-1）！k！）否则。[形成Pascal递归的“核心”；给出T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）的RHS的通用项]-乔恩·佩里2013年10月8日
假设偏移量0:T（n，k）=衰减因子（n+1，n）/（k！*（n-k）！）。使用上升阶乘的对应项是A356546型. -彼得·卢什尼2022年8月13日
例子
三角形开始于：
1;
1/2, 1/2;
1/3, 1/6, 1/3;
1/4, 1/12, 1/12, 1/4;
1/5, 1/20, 1/30, 1/20, 1/5;
...
分母三角形开始于：
1
2 2
3 6 3
4 12 12 4
5 20 30 20 5
6 30 60 60 30 6
7 42 105 140 105 42 7
8 56 168 280 280 168 56 8
9 72 252 504 630 504 252 72 9
10 90 360 840 1260 1260 840 360 90 10
11 110 495 1320 2310 2772 2310 1320 495 110 11
MAPLE公司
with（combstruct）：对于从0到11的n，执行序列（m*count（组合（n），大小=m），m=1。。n） od#零入侵拉霍斯2008年4月9日
数学
L[n_，1]：=1/n；L[n_，m_]：=L[n，m]=L[n-1，m-1]-L[n，m-1]；取[压扁[表[1/L[n，m]，{n，1，12}，{m，1，n}]]，66]
t[n_，m_]=伽马[n]/（伽马[n-m]*伽马[m]）；表[Table[t[n，m]，{m，1，n-1}]，{n，2，12}]；压扁[%](*罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年9月14日*）
表[k*二项式[n，k]，{n，1，7}，{k，1，n}](*彼得·卢什尼2011年5月27日*）
t[n_，k_]：=分母[n！*k！/（n+k+1）！]；表[t[n-k，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年11月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）A（i，j）=如果（i<1||j<1，0，1/subst（intformal（x^（i-1）*（1-x）^（j-1）），x，1））
（PARI）A（i，j）=如果（i<1||j<1，0，1/和（k=0，i-1，（-1）^k*二项式（i-1，k）/（j+k））
（PARI）{T（n，k）=（n+1-k）*二项式（n，k-1）}/*迈克尔·索莫斯，2011年2月6日*/
（哈斯克尔）
a003506 n k=a003506_tabl！！（n-1）！！（n-1）
a003506_row n=a003506-tabl！！（n-1）
a003506_tabl=扫描1（\xs ys->
zipWith（+）（zipWithWith（＋）（[0]++xs）（xs++[0]））ys）a007318_tabl
a003506_list=连接a003506-tabl
（SageMath）
T_row=λn：（n*（x+1）^（n-1））.list（）
对于（1..10）中的n：打印（T_row（n））#彼得·卢什尼2017年2月4日
#假设偏移量为0：
返回falling_factorial（n+1，n）//（阶乘（k）*阶乘（n-k））
（1-x）^（-3/2）展开式中的分子。
（原名M2986 N1207）
+10
49
1, 3, 15, 35, 315, 693, 3003, 6435, 109395, 230945, 969969, 2028117, 16900975, 35102025, 145422675, 300540195, 9917826435, 20419054425, 83945001525, 172308161025, 1412926920405, 2893136075115, 11835556670925
评论
a（n）是（sin（x））^（2*n+1）从0到Pi的积分的分母-詹姆斯·布登哈根2008年8月17日
a（n）是（2n）的分母/（2*n+1）！！=2^（2*n）*n*不/（2*n+1）！（见安德森）-N.J.A.斯隆2011年6月27日
a（n）是积分{x=-oo..oo}秒（x）^（2*n+2）dx的分母。相应的分子是A101926号（n） -亚辛2023年7月25日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第798页。
G.Prévost，功能表Sphériques。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第156-157页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Milton Abramowitz和Irene A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
a（n）是（2*n+1）*二项式（2*n，n）/（4^n）的分子。
（1-x）^（-3/2）=和{n>=0}（（2*n+1）*二项式（2*n，n）/（4^n）*x^n）
（结束）
有理表达式的截断，如分子或分母运算符给出的表达式，是整数公式中的伪影，有许多缺点。下面是一个纯整数公式。设n$表示摆动阶乘，sigma（n）=楼层（n/2）的base-2表示中‘1’的个数。那么a（n）=（2*n+1）$/西格玛（2*n+1）=A056040型（2*n+1）/A060632号（2*n+2）。简单地说：这个序列给出了奇指数下摆动阶乘的奇数部分-彼得·卢什尼2009年8月1日
MAPLE公司
swing:=proc（n）选项记住；如果n=0，则1 elif irem（n，2）=1，然后swing（n-1）*其他4*swing（n-1）/n fi结束：
σ：=n->2^（加（i，i=转换（iquo（n，2），基数，2））：
a:=n->摆动（2*n+1）/西格玛（2*n+1）#彼得·卢什尼2009年8月1日
数学
分子/@CoefficientList[系列[（1-x）^（-3/2），｛x，0，25｝]，x](*哈维·P·戴尔2011年2月19日*）
表[分母[1，n+1，1/2]，{n，0，22}](*格里·马滕斯2016年11月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=分子（（2*n+1）*二项式（2*n，n）/（4^n））\\阿尔图·阿尔坎2018年9月6日
（朱莉娅）
交叉参考
囊性纤维变性。A161198号（与（1-x）^（（-1-2*n）/2）级数展开式有关的三角形）。
（结束）
Apéry数：a（n）=n^2*C（2n，n）。
（原名M2136 N0848）
+10
17
0, 2, 24, 180, 1120, 6300, 33264, 168168, 823680, 3938220, 18475600, 85357272, 389398464, 1757701400, 7862853600, 34901442000, 153876579840, 674412197580, 2940343837200, 12759640231800, 55138611528000, 237371722628040, 1018383898440480
评论
设H是n X n希尔伯特矩阵H（i，j）=1/（i+j-1），对于1<=i，j<=n。设B是H的逆矩阵。B的第n-1行元素之和等于-a（n-1）-T.D.诺伊2011年5月1日
参考文献
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles，Gauthier-Villars，巴黎，1933年，第93页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
保罗·布鲁克曼，问题B-871《基本问题和解决方案》，《斐波纳契季刊》，第37卷，第1期（1999年），第85页。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
J.Ser，工厂会计戈蒂尔·维拉斯，巴黎，1933年（一些选定页面的注释扫描）。
Indulis Strazdins，问题B-871的解决方案《斐波纳契四分法》，第38卷，第1期（2000年），第86-87页。
Hans J.H.Tuenter，走进绝对总和，arXiv:math/0606080[math.NT]，2006年。发布版本于走进绝对总和《斐波纳契季刊》，第40卷，第2期（2002年5月），第175-180页。
配方奶粉
a（n）~4^n*n^（3/2）/sqrt（Pi）。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2*log（φ）^2=A086467号，其中phi是黄金比率。（结束）
递归D-有限：（-n+1）*a（n）+2*（n+4）*a-R.J.马塔尔2020年1月21日
a（n）=（2n）/（伽马（n））^2-迭戈·拉塔吉2020年3月30日
a（n）=和{k=0..2*n}二项式（2*n，k）*abs（n-k）^3（布鲁克曼，1999；斯特拉兹丁斯，2000）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月12日
MAPLE公司
seq（n^2*二项式（2*n，n），n=0..50）#罗伯特·伊斯雷尔，2014年8月7日
数学
系数列表[级数[x（4x+2）/（1-4x）^（5/2），{x，0，20}]，x](*罗伯特·威尔逊v2011年8月8日*）
表[n^2二项式[2n，n]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2017年6月21日*）
黄体脂酮素
（MuPAD）组合：：加泰罗尼亚语（n）*（n+1）*n^2$n=0..36//零入侵拉霍斯2007年4月17日
（岩浆）[n^2*二项式（2*n，n）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪，2014年8月8日
（PARI）x='x+O（'x^100）；concat（0，Vec（x*（4*x+2）/（（1-4*x）^（5/2）））\\阿尔图·阿尔坎2016年3月21日
（PARI）a（n）=n^2*二项式（2*n，n）\\米歇尔·马库斯2016年3月21日
（鼠尾草）[n^2*（n+1）*catalan_number（n）for n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2022年3月23日
行读取的三角形：[d^n/dx^n]（x/（1-x））^n/n！的部分分数分解系数！。
+10
9
1, 0, 1, 0, 2, 3, 0, 3, 12, 10, 0, 4, 30, 60, 35, 0, 5, 60, 210, 280, 126, 0, 6, 105, 560, 1260, 1260, 462, 0, 7, 168, 1260, 4200, 6930, 5544, 1716, 0, 8, 252, 2520, 11550, 27720, 36036, 24024, 6435, 0, 9, 360, 4620, 27720, 90090, 168168, 180180, 102960, 24310
评论
这些行给出了整值多项式（x+1）^2*（x+2）^2x（x+3）^2**（x+n）^2*（x+n+1）/（n！*（n+1）！）以二项式（x+i，i）为基础-F.查波顿2022年10月31日
这与B型集群风扇有关（参见Fomin和Zelevinsky参考）-F.查波顿2022年11月17日。
链接
S.Fomin和A.ZelevinskyY系与广义结合面体，数学系安。（2） 158（2003），第3期。
配方奶粉
方阵L（n，k）=（（n+k）/n！）*C（n+k-1，n-1）（与无符号Lah数相关）由R_n（x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）/（x-1）^（n+k）给出。
T（n，k）=C（n，k）*C（n+k-1，k-1）。
和{k=0..n}T（n，k）=（-1）^n*超几何（[-n，n]，[1]，2））=（-1）^n*A182626号（n） ●●●●。
行生成函数：Sum_{k>=1}T（n，k）*z^k=z*n*2F1（1-n，n+1；2；-z）-R.J.马塔尔2016年12月18日
G.f.：（1/2）*（1+（1-t）/sqrt（1-2*（2*x+1）*t+t^2））=1+x*t+（2*x+3*x^2）*t^2+（3*x+12*x^2+10*x^3）*t*3+。。。。
n≥1时，第n行多项式R（n，x）=（1/2）*（LegendreP（n，2*x+1）-LegendreP（n-1，2*x+1））。
行多项式是多项式x^n和x^（n+1）的黑钻石乘积（有关该乘积的定义，请参见Dukes and White 2016）。
exp（和{n>=1}R（n，x）*t^n/n）=1+x*t+x*（1+2*x）*t ^2+x*。。。是指A033282号，但偏移量不同。
多项式P（n，x）：=（-1）^n/n*x^（2*n）*（d/dx）^n（1+1/x）^ n开始1，3+2*x，10+12*x+3*x^2。。。和是该三角形的行反转的行多项式。（结束）
设Q（n，x）=和{j=0..n}（-1）^（n-j）*A269944型（n，j）*x^（2*j-1）和P（x，y）=彼得·巴拉以上）。那么n*（n-1）*当n>=1时，[y^n]P（x，y）=Q（n，x）-彼得·卢什尼2022年10月31日
G.f.：和{n>=0}二项式（2*n-1，n）*（x*t）^n/（1-t）^（2*n）=1+x*t+（2*x+3*x^2）*t^2+（3*x+12*x^2+10*x^3）*t*3+。。。。
第n行多项式R（n，x）=[t^n]（（1-t）/（1-（1+x）*t））^n。
对于整数x，序列{R（n，x）：n>=0}满足高斯同余：对于所有素数p和正整数n和R，R（n*p^R，x）==R（n*p^（R-1），x）（mod p^R）。
例子
[1]
[0, 1]
[0, 2, 3]
[0, 3, 12, 10]
[0, 4, 30, 60, 35]
[0, 5, 60, 210, 280, 126]
[0, 6, 105, 560, 1260, 1260, 462]
[0, 7, 168, 1260, 4200, 6930, 5544, 1716]
.
R_0（x）=1/（x-1）^0。
R_1（x）=0/（x-1）^1+1/（x-1）^2。
R_2（x）=0/（x-1）^2+2/。
R_3（x）=0/（x-1）^3+3/（x-1）^4+12/（x-l）^5+10/（x-1）^6。
MAPLE公司
T_row：=进程（n）局部egf，k，F，T；
如果n=0，则返回（1）fi；
egf:=（x/（1-x））^n/n！；t:=差异（egf，[x$n]）；
F:=换算（t，parfrac，x）；
#打印（序列（k！*系数（序列（F，x，20），x，k），k=0..7））；
seq（系数（F，（x-1）^（-k）），k=n..2*n）结束：
seq（打印（T_row（n）），n=0..7）；
二项（n，k）*二项（n+k-1，k-1）；
结束过程：
数学
表[二项式[n，k]二项式[n+k-1，k-1]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年2月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=二项（n，k）*二项（n+k-1，k-1）；
tabl（nn）=用于（n=0，nn，用于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯2018年4月29日
交叉参考
囊性纤维变性。A000142号,A001286号,A001754号,A001755号,A001777号,182626年,A266732型（行k=3），A008316型,A033282号,A063007号,A345013飞机,A269944型.
根植于外边缘且相对于该边缘不对称的n边的剖切数。
（原名M1753 N0696）
+10
7
0, 0, 1, 2, 7, 20, 66, 212, 715, 2424, 8398, 29372, 104006, 371384, 1337220, 4847208, 17678835, 64821680, 238819350, 883629164, 3282060210, 12233125112, 45741281820, 171529777432, 644952073662, 2430973096720, 9183676536076
评论
长度为2n的Dyck路径的数量，在偶数高度具有奇数个峰值。例如：a（3）=2，因为我们有UDU（UD）D和U（DU）DUD，其中U=（1,1），D=（1，-1），偶数高度的峰值显示在括号中-Emeric Deutsch公司2004年11月13日
对于n>=1，a（n）是具有n个内部节点的无序二叉树的数量，其中左子树与右子树是不同的-杰弗里·克雷策2013年2月21日
参考文献
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，《多烯烃类的计数：完整的数学解决方案》，《化学杂志》。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751
R.K.Guy，“将多边形剖分为三角形”，公牛。马来亚数学。Soc.，第5卷，第57-60页，1958年。
R.K.Guy，《将多边形剖分为三角形》，研究论文#9，数学。卡尔加里大学系，1967年。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第78页，（3.5.26）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.K.Stockmeyer，《魅力手镯问题及其应用》，图与组合数学（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。莱克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。
链接
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，化学杂志。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
R.K.盖伊，将多边形剖分为三角形，研究论文#9，数学。卡尔加里大学系，1967年。[带注释的扫描副本]
F.Harary和E.M.Palmer，关于非循环单形复形，Mathematika 15 1968 115-122。
Krishna Menon和Anurag Singh，避免同一性的格拉斯曼排列，arXiv:2212.13794[math.CO]，2022年。
P.J.Stockmeyer，魅力手镯问题及其应用《图与组合数学》（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。莱克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。[扫描的带注释和更正的副本]
配方奶粉
设c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）=加泰罗尼亚语数的g.f(A000108号)设d（x）=1+x*c（x^2）。则g.f.为（c（x）-d（x））/2。
c（x）的定义如上：g.f.=x*（c（x）^2/2-c（x^2）/2）-杰弗里·克雷策2013年2月21日
当n>0时，a（n）=（2^（n-3）/sqrt（Pi））*（4*2^n*GAMMA（n+1/2）/GAMMA（n+2）+（（-1）^n-1）*GAMMA（n/2）/GAMEMA（n/2+3/2））-马克·范·霍伊2009年11月11日
a（n）~2^（2*n-1）/（平方（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月10日
递归D-有限+n*（n+1）*（n-2）^2*a（n）-2*n*（2*n-5）*-R.J.马塔尔，2021年10月28日
数学
nn=20；系数列表[级数[x/2（（（1-（1-4x）^（1/2））/（2x））^2-（1-（2-4x^2）^(*杰弗里·克雷策2013年2月21日*）
用Hermite多项式H_m表示x^{2n}时的H_2系数。
（原名M4875 N2088）
+10
7
1, 12, 180, 3360, 75600, 1995840, 60540480, 2075673600, 79394515200, 3352212864000, 154872234316800, 7771770303897600, 420970891461120000, 24481076457277440000, 1521324036987955200000, 100610229646136770560000
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第801页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
例如：x*（1+2x）/（1-4x）^（5/2）。
a（n）=（2*n）/（2*（n-1）！）。
MAPLE公司
with（组合）：对于从1到16的n，执行printf（`%d，`，n！/2*sum（二项式（2*n，n），k=1..n））od：#零入侵拉霍斯2007年3月13日
a： =n->总和（计数（排列（n*2+2），大小=n+1），j=0..n）/2:seq（a（n），n=0..15）#零入侵拉霍斯，2007年5月3日
seq（1/2*mul（（n+k），k=1..n），n=0..16）#零入侵拉霍斯2007年9月21日
数学
表[（2*n）！/（2*（n-1）！），{n，1，20}](*文森佐·利班迪2011年11月22日*）
黄体脂酮素
（MuPAD）组合：：catalan（n）*二项式（n+1，2）*n！$n=1..16//零入侵拉霍斯2007年2月15日
（岩浆）[阶乘（2*n）/（2*阶乘（n-1））：[1..20]]中的n//文森佐·利班迪2011年11月22日
Apéry数：n^3*C（2n，n）。
（原M2169）
+10
7
0, 2, 48, 540, 4480, 31500, 199584, 1177176, 6589440, 35443980, 184756000, 938929992, 4672781568, 22850118200, 110079950400, 523521630000, 2462025277440, 11465007358860, 52926189069600, 242433164404200, 1102772230560000, 4984806175188840, 22404445765690560
参考文献
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第1.6.3节。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Kondratiewa和S.Sadov，马尔可夫级数变换与WZ方法，arXiv:math/0405592[math.CA]，2004年。
配方奶粉
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2*zeta（3）/5。
G.f.：（2*x*（2*x*（2x+5）+1））/（1-4*x）^（7/2）-哈维·P·戴尔2012年4月8日
a（n）~4^n*n^（5/2）/sqrt（Pi）。
Sum_{n>=1}1/a（n）=（1/2）*4F3（1,1,1,1；3/2,2,2；1/4）=A145438号.（结束）
数学
表[n^3二项式[2n，n]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2012年4月8日*）
系数列表[级数[（2*x*（2*x*（2xx+5）+1））/（1-4*x）^（7/2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年10月22日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[二项式（2*n，n）*n^3:n in[0..30]]//韦斯利·伊万·赫特2014年10月21日
（SageMath）[n^3*二项式（2*n，n）用于范围（31）中的n]#G.C.格鲁贝尔2022年11月19日
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