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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A048854号 按行读取的三角形。无符号Lah数的推广,称为L[4,1]。 30
1、2、2、1、2、12、12、1、120、180、30、1、1680、3360 3360、840、56、1、30240、75600、25200、2520、2520、90、1、665280、1995840、831600、110880、5940、5940、132、1、1729280、605480、30270240、50504040、360360 360、12012 12 12、182、182、1、518918400、20775673600、12108089600、2421216219202121622162216221622162096096096096021840、21840、240、240、1、1、176432255600、79393552394515200、529296767676800 529296767676800、529296767612350257920,1323241920,73513440、2227680、36720、306、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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s(n,x):=Sum{m=0..n}T(n,m)*x^m是满足s(n,x+y)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)*s(k,x)*p(n-k,y),多项式p(n,x)=Sum{m=1..n}A048786号(n,m)*x^m(三角形的行多项式)A048786号)p(0,x)=1。

在本影微积分中(见罗马参考文献,第21页),s(n,x)被称为(1/sqrt(1+4*t),t/(1+4*t))的谢弗多项式。这里谢弗符号不同。请参阅下面的W.Lang链接A006232.

一般L[d,a]三角形见邮编:A286724,也供参考。

这是广义无符号Lah数三角形L[4,1],谢弗三角形((1-4*t)^(-1/2),t/(1-4*t))。它被定义为转移矩阵

Riesfac[4,1](x,n)=Sum{m=0..n}L[4,1](n,m)*fallfac[4,1](x,m)的where Riesfac[4,1,1](x,n):=产品{0.n-1}(x+(1+4*j))为n>=1,而RiceFac[4,1,1,1](x,0):=1,而fallfac[4,1](x,n):=1,和fallfac[4,1](x,n):=产品{n-1 1}(x-(1+4*j)(x-(1+4*j))为n>=1和FallFallFallFallFallFallFallFallFallFallfac[4,1](x,0):=1。

在矩阵表示法中:L[4,1]=S1phat[4,1]*S2hat[4,1]与无符号标度Stirling1和标度Stirling2推广A290319号A111578号(但这里偏移量为0)。

这个Sheffer矩阵的a序列和z序列分别具有e.g.s Ea(t)=1+4*t和Ez(t)=(1+4*t)*(1-(1+4*t)^(-1/2))/t。也就是说,a={1,4,repeat(0)}和z(n)=2*A292220型(n) 一。在a序列和z序列上看到W.Lang链接。

逆矩阵T^(-1)=L^(-1)[4,1]是Sheffer((1+4*T)^(-1/2),T/(1+4*T))。这意味着T^(-1)(n,m)=(-1)^(n-m)*T(n,m)。

fallfac[4,1](x,n)=和{m=0..n}(-1)^(n-m)*T(n,m)*risefac[4,1](x,m),n>=0。

对角线序列有o.g.f.g(d,x)=A001813号(d) *和{m=0..d}A091042型(d,m)*x^m/(1-x)^{2*d+1},对于d>=0(d=0主对角线)。G(d,x)产生{A001813号(d) *二项式(2*(n+d),2*d)}{n>=0}。关于如何计算一般谢弗三角形对角线序列的o.g.f.s,请参阅第二个W.Lang链接。-狼牙2017年10月12日

参考文献

S、 罗曼,《本影演算》,学术出版社,纽约,1984年。

链接

迈克尔·德弗利格,n=0..11475的n,a(n)表(行0<=n<=150,展平)

奥利·赫斯科维奇,罗斯·G·平斯基,一个包含两类stirling数的恒等式及其与某些集合划分的右到左极小的联系(2019年)。

沃尔夫迪特·朗,关于算术级数的幂和,以及广义的斯特林数、欧拉数和伯努利数,arXiv:math/1707.04451[math.NT],2017年7月,第C)4节。

沃尔夫迪特·朗,关于Sheffer和Riordan数三角形对角线序列的母函数,arXiv:1708.01421[math.NT],2017年8月。

伊曼纽尔·穆纳里尼,舍弗矩阵中心系数的组合恒等式《应用分析与离散数学》(2019)第13卷,495-517。

公式

T(n,m)=(n!/m!)*A046521号(n,m)=(n!/m!)*二项式(2*n,n)*二项式(n,m)/二项式(2*m,m),n>=m>=0,a(n,m):=0,n<m。

和{n>=0,k>=0}T(n,k)*x^n*y^k/(2*n)!=exp(x)*cosh(平方英尺(x*y))。-弗拉德塔·乔沃维奇2003年2月21日

T(n,m)=L[4,1](n,m)=和{k=m..n}A290319号(n,k)*A111578号(k+1,m+1),0<=m<=n。

E、 行多项式R(n,x):=和{m=0..n}T(n,m)*x^m:

(1-4*t)^(-1/2)*exp(x*t/(1-4*t))(这是三角形的e.g.f.)。

E、 m列g.f:(1-4*t)^(-1/2)*(t/(1-4*t))^m/m!,m>=0。

列项目m>=1的三项递归:T(n,m)=(n/m)*T(n-1,m-1)+4*n*T(n-1,m),其中T(n,m)=0(n,m)=n*Sum{j=0..n-1}z(j)*T(n-1,j),n>=1,T(0,0)=0,从a序列{1,4重复(0)}和z(j)=2*A292220型(j) (见上文)。

四项递推:T(n,m)=T(n-1,m-1)+2*(4*n-3)*T(n-1,m)-8*(n-1)*(2*n-3)*T(n-2,m),n>=m>=0,其中T(0,0)=1,T(-1,m)=0,T(n,-1)=0,T(n,m)=0。

(monic)行多项式的Meixner型恒等式:(D_x/(1+4*D_x))*R(n,x)=n*R(n-1,x),n>=1,R(0,x)=1,D_x=D/dx。也就是说,和{k=0..n-1}(-4)^k*(D_x)^(k+1)*R(n,x)=n*R(n-1,x),n>=1。

谢弗行多项式的一般递推(见罗马参考文献,第50页,推论3.7.2,为目前的谢弗符号重写):

R(n,x)=[(2+x)*1+8*(1+x)*D_x+16*x*(D_x)^2]*R(n-1,x),n>=1,R(0,x)=1。

m列的Boas-Buck递归(参见中的注释邮编:A286724参考文献):T(n,m)=(n!/(n-m))*(2+4*m)*和{p=0..n-1-m}4^p*T(n-1-p,m)/(n-1-p)!,对于n>m>=0,输入T(m,m)=1。

显式形式(来自对角序列的o.g.f.s):((2*(n-m))!/(n-m)!)*二项式(2*n,2*(n-m)),n>=m>=0,n<m时消失-狼牙2017年10月12日

例子

三角形T(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。

0:1

1: 2 1个

2: 12月12日

3: 120 180 30 1

4: 1680 3360 840 56 1

5: 30240 75600 25200 2520 90 1

6: 665280 1995840 831600 110880 5940 132 1

7: 17297280 60540480 30270240 5040540 360360 12012 182 1

8: 518918400 2075673600 1210809600 242161920 216216096096021840 240 1

...

n=9:17643225600 79394515200 52929676800 12350257920 1323241920 73513440 2227680 36720 306 1,

n=10:670442572800 3352212864000 254159648000 670442572800 83805321600 5587021440 211629600 4651200 58140 380 1。

...

a序列的递推:T(4,2)=2*T(3,1)+4*4*T(3,2)=2*180+16*30=840。

z序列的递推:T(4,0)=4*(z(0)*T(3,0)+z(1)*T(3,1)+z(3,2)+z(3,3))=4*(2*120+2*180-8*30+60*1)=1680。

四项递推:T(4,2)=T(3,1)+2*13*T(3,2)-8*3*5*T(2,2)=180+26*30-120*1=840。

n=2的Meixner型恒等式:(D_x-4*(D_x)^2)*(12+12*x+1*x^2)=(12+2*x)-4*2=2*(2+x)。

R(3,x)的谢弗递归:[(2+x)+8*(1+x)*D_x+16*x*(D_x)^2](12+12*x+1*x^2)=(2+x)*(12+12*x+x^2)+8*(1+x)*(12+2*x)+16*2*x=120+180*x+30*x^2+x^3=R(3,x)。

Buck=4(重复次数=4)!*10/2)*(1*30/3!+4*1/2!)=840。

对角线序列d=2:{12,180,840…}有o.g.f.12*(1+10*x+5*x^2)/(1-x)^5(参见A001813号(2) 第n行=2A091042型)生成

{12*二项式(2*(n+2),4)}{n>=0}。-狼牙2017年10月12日

枫木

A290604型_行:=proc(n)exp(x*t/(1-4*t))/sqrt(1-4*t):系列(%,t,n+2):序列(n!*系数(系数(%,t,n),x,j),j=0..n)结束:seq(A290604型_第(n)行,n=0..9)#彼得·卢什尼2017年9月23日

数学

T[n,m]:=n!/m!*二项式[2*n,n]*二项式[n,m]/二项式[2*m,m];表[a[n,m],{n,0,8},{m,0,n}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年7月5日*)

T[0[0,0]=1;T[T[-1,[UU]=T[[1]=0;T[n[n[U,m UU]/;n<m=0;T[n n n UU,m UU]:=T[n[n-1,m-1]+2*(4*n-3)*T[n-1,m]-8*(n-1)8*(n-1)*(2*n-3)*T[n-n-2,m];表格[T[n[n n,m],{n n n,m],{n n,0 0,9},{m,0,0,9},{m,0,0,n}]//1}][[[m,0[三(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2017年9月23日*)

交叉引用

与三角形相关A046521号. 囊性纤维变性。A048786号. a(n,0)=A001813号.

A111578号,A271703号L[1,0],邮编:A286724L[2,1],A290319号,邮编:A290596[1,3],邮编:A290597L[3,2],A292220型.

对角线序列是:A000012号,2*A000384号(n+1),12*A053134号,120*A053135号1680年*A053137, ... -狼牙2017年10月12日

上下文顺序:A297967年 1999年30月 A278330号*邮编:A151508 邮编:A164826 A055392号

相邻序列:A048851号 A048852号 A048853号*A048855号 A048856号 A048857号

关键字

容易的,,

作者

狼牙

扩展

名称已更改,在合并我较新的副本后,从狼牙2017年10月10日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月14日19:09。包含336483个序列。(运行在oeis4上。)