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问候整数序列的在线百科全书!)
A08854 按行读取三角形。无符号Lah数的推广,称为L[4,1]。 二十九
1, 2, 1,12, 12, 1,120, 180, 30,1, 1680, 3360,840, 56, 1,30240, 75600, 25200,2520, 90, 1,665280, 1995840, 831600,110880, 5940, 132,1, 17297280, 60540480,30270240, 5045040, 360360,12012, 182, 1,12012, 182, 1,γ,γ,γ,γ,γ 列表(二)桌子(二)图表(二)参考文献(二)(二)历史(二)文本(二)内部格式
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S(n,x)=SuMu{{m=0…n} t(n,m)*x^ m是满足S(n,x+y)=SuMu{{N}二项式(n,k)*s(k,x)*p(nk,y)的一元多项式,其中多项式p(n,x)=SuMu{{m=1…n}。A08786A(n,m)*x^ m(三角形的行多项式)A08786A)和p(0,x)=1。

在阴阳演算中(参见罗马参考文献,第21页),S(n,x)被称为Sheffer多项式(1/qRT(1+4*t),t/(1+4×t))。这里的Sheffer符号不同。参见下面的W. Lang链接A000 623是的。

对于一般的L(d,a)三角形,A2667也供参考。

这是广义的无符号Lah数三角形L[4,1],Sheffer triangle((1—4×T)^(- 1/2),t/(1 - 4*T))。它被定义为转移矩阵。

4,1](n,m)* FrFaF[4],[1](x,m),其中,对于n>=1和RISeFAC[4,1](x,0)=1,和FalFa[4,1](x,n)=乘积{{ 0,n-1 }(x-(1+4*j))=n>=1和FalFa[4,1](x,0):=1。RISeFAC[4,1](x,n)=SuMu{{m=0…n} L[]

矩阵符号:L[4],[1]=S1PHAT[4],[1] *S2HAT[4],[1],用无符号缩放的STRIGLIN和缩放的Strim2推广A290319A111578(但这里有偏移量0)。

这个Sheffer矩阵的A和Z序列具有e.g.f.s Ea(t)=1+4*T和Ez(t)=(1+4×T)*(1 -(1+4×T)^(-1/2))/t。也就是说,a= { 1, 4,重复(0)}和z(n)=2**。A222220(n)。在A和Z序列上看到W. Lang链接。

逆矩阵T^(- 1)=L^(- 1)[4,1]是Sheffer((1+4×t)^(- 1/2),t/(1+4×t))。这意味着t^(- 1)(n,m)=(- 1)^(n- m)*t(n,m)。

FalFa[4,1](x,n)=SuMu{{m=0…n}(-1)^(n- m)*t(n,m)*RISeFAC[4,1](x,m),n>=0。

对角序列具有o.g.f. G(d,x)=A00 1813(d)*SuMu{{m=0…d}A091042(d,m)*x^ m/(1 -x)^ { 2×d+1 },对于d>=0(d=0主对角线)。g(d,x)生成{A00 1813(d)*二项式(2*(n+d),2×d)}{n>=0 }。请参阅第二个W. Lang链接,关于如何计算一般Sheffer三角形对角序列的O.G.F.S。-狼人郎10月12日2017

推荐信

《罗马》,《阴阳演算》,学术出版社,纽约,1984。

链接

n,a(n)n=0…54的表。

Wolfdieter Lang关于算术级数的幂和和广义斯特灵、欧拉和伯努利数,阿西夫:数学/ 1707.04451 [数学.NT ],2017年7月,C节)4。

Wolfdieter LangSheffer和Riordon数三角形对角序列的生成函数,阿西夫:1708.01421 [数学,NT ],2017年8月。

公式

t(n,m)=(n)!m)*A04621(n,m)=(n)!m)*二项式(2×n,n)*二项式(n,m)/二项式(2×m,m),n>=m>0,a(n,m):=0,n<m。

SuMu{{N>=0,k>=0 } t(n,k)*x^ n*y^ k/(2×n)!= EXP(x)*COSH(SqRT(x*y))。-瓦拉德塔约霍维奇2月21日2003

t(n,m)=L[4],[1](n,m)=SUMU{{K= M.N}A290319(n,k)*A111578(k+1,m+1),0<m=m=n。

行多项式r(n,x)的E.g.f.=SuMu{{m=0…n} t(n,m)*x^ m:

(1 - 4×T)^(- 1/2)*EXP(x*t/(1 - 4*T))(这是三角形的E.F.F)。

列m:(1—4×t)^(- 1/2)*(t/(1—4×t))^ m/m!,M>=0。

列项m≥1的三项递归:t(n,m)=(n/m)*t(n-1,m -1)+n*m(n,m)=n(m)=0,对于m=0:t(n,0)=n*SuMu{{n= 1}z(j)*t(n-1,j),n>=1,t(0, 0)=0,从A序列{1, 4重复(0)}和z(j)=0 *A222220(j)(见上文)。

四项递归:t(n,m)=t(n-1,m -1)+2(4×n-3)*t(n-1,m)- 8 *(n-1)*(2×n- 3)*t(n-2,m),n>=m>0,t(0, 0)=1,t(-1,m)=0,t(n,-1)=y,t(n,m)=y,如果n<m。

(MNIC)行多项式的Meixner型恒等式:(dxx/(1+4×dxx))*r(n,x)=n*r(n-1,x),n>=1,r(0,x)=1,dxx= d/dx。也就是说,SuMu{{K=0…n-1 }(-4)^ k*(dxx)^(k+ 1)*r(n,x)=n*r(n-1,x),n>=1。

Seffer-Read多项式的一般递归(参见罗马参考文献,P 50,推论3.7.2,重写当前Sheffer符号):

R(n,x)=[(2 +x)* 1+8 *(1 +x)*dx+* 16 *x*(dxx)^ 2 ] *r(n-1,x),n>=1,r(0,x)=1。

列M的Boas Buck递归(见注释)A2667(参考文献):t(n,m)=(n)!/(N-M)*(2+4×m)*SuMu{{P=0…n-1 M} 4 ^ p*T(n-1 p,m)/(n1-p)!n>m>0,输入t(m,m)=1。

显式(来自对角序列的O.G.F.S):((2*(N-M))!/(N-M)!*二项式(2×n,2 *(n- m)),n>=m>0,消失为n<m。狼人郎10月12日2017

例子

三角形T(n,m)开始:

n m 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8…

0:1

1:2、1

2:12 12 1

3:120、180、30、1

4:1680、3360、840、56、1

5:30240、75600、25200、2520、90、1

6:665280、1995840、831600、110880、5940、132、1

7:17297280、60540480、30270240、5045040、360360、12012、182 1

8:518918400、2075673600、1210809600、242161920、21621600、960960、21840 240 1

n=9∶17643225600,79394515200,52929676800,12350257920,1323241920,73513440,2227680,36720 306 1,

n=10∶670442572800,3352212864000,2514159648000,670442572800,83805321600,5587021440,211629600,4651200 58140 380 380。

A序列的递推:T(4, 2)=2*T(3, 1)+4*4*T(3, 2)=2×180+16*30=840。

Z序列的递推:T(4, 0)=4*(Z(0)*T(3, 0)+Z(1)*T(3, 1)+Z(2)*T(3, 2)+Z(3)*T(3, 3))=4*(2*+ +α* -α* + + * *)=α。

四项复发:T(4, 2)=T(3, 1)+2*13*T(3, 2)-8*3*5*T(2, 2)=180+26*26 - * *=γ。

n=2的Meixner型恒等式:(DYX×4×(Dyx)^ 2)*(12+12×x+1×x^ 2)=(12+2×x)-4*2=2*(2+x)。

r(3,x)的Sheffer递归:[(2 +x)+8 *(1 +x)*dx+16×*x*(dxx)^ 2 ](12 + 12×x+1 *x^ 2)=(2+x+x)*(12+ωx+x ^ ^)+*(α+x)*(α+* x)+ * * * * x=α+*×x + * x ^ ^ + x ^=r(α,x)。

n=4:t=2(n=4):Boas Buck递归(4)=(4)!* 10/2)*(1×30/3!+ 4×1/2!= 840。

对角序列D=2:{ 12, 180, 840…}具有O.G.F. 12 *(1 + 10×x+5×x^ 2)/(1 -x)^ 5(参见A00 1813(2)和行n=2A091042生成

{12*二项式(2*(n+2),4)}{{n>=0 }。-狼人郎10月12日2017

枫树

A290604yRO:= PROC(n)EXP(x*t/(1-4*T))/SqRT(1-4*T):级数(%,t,n+1):SEQ(n)!* COEFF(COEFF(%,t,n),x,j),j=0…n端:SEQ(A290604α(n),n=0,9);彼得卢斯尼9月23日2017

数学家

t[n],My]:= n!m!*二项式[ 2×n,n]*二项式[ n,m ] /二项式[ 2×m,m ];表[a[n,m ],{n,0, 8 },{m,0,n}] / /平坦(*)让弗兰,JUL 05 2013*)

t[〔0, 0〕=1;t〔1〕=1〕=0;t[n],My]=t[ n,m ]=t[n-1,m-1]+2 *(4×n-3)*t[n-1,m ] -8 *(n-1)*(2×n-3)*t[n-2,m ];表[t[n,m ],{n,0, 9 },{m,0,n}] / /平坦(*)让弗兰9月23日2017*)

交叉引用

三角关系A04621. 囊性纤维变性。A08786A. A(n,0)=A00 1813是的。

A111578A171703L[1,0],A2667L[2,1],A290319A290596L[3,1],A290597L[3,2],A222220是的。

对角线序列为:A000 0 12,2A000 038(n+1),12*A053134,120A053135,1680A053137,…-狼人郎10月12日2017

语境中的顺序:A29 7967 A9930 A78330*A151508 A16826 A055

相邻序列:A08851 A08852 A08853*A08855 A08856 A08875

关键词

容易诺恩塔布

作者

狼人郎

扩展

在合并了我的新副本之后,名称更改了狼人郎10月10日2017

地位

经核准的

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最后修改10月18日17:13 EDT 2019。包含328186个序列。(在OEIS4上运行)