搜索： a002457-id:a002457
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1, 7, 6, 43, 36, 30, 249, 206, 170, 140, 1395, 1146, 940, 770, 630, 7653, 6258, 5112, 4172, 3402, 2772, 41381, 33728, 27470, 22358, 18186, 14784, 12012, 221399, 180018, 146290, 118820, 96462, 78276, 63492
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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按行读取三角形。对于n>=0，k>=0让
T（n，k）=和{i=k.n}二项式（n-k，n-i）*（2i+1）$
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链接
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例子
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1
7, 6
43, 36, 30
249, 206, 170, 140
1395, 1146, 940, 770, 630
7653, 6258, 5112, 4172, 3402, 2772
41381, 33728, 27470, 22358, 18186, 14784, 12012
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MAPLE公司
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计算三角形的n行。有关“SumTria”和“swing”功能，请参见A163840个.
a:=n->SumTria（k->摆动（2*k+1），n，真）；
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数学
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sf[n]：=n/商[n，2]^2; t[n_，k_]：=和[二项式[n-k，n-i]*sf[2*i+1]，{i，k，n}]；表[t[n，k]，{n，0，7}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年6月28日*）
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经核准的
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1, 6, 36, 236, 1686, 13028, 108078, 956348, 8976708, 88962160, 927129786, 10125636716, 115543526476, 1373933166848, 16985192456410, 217851008508220, 2893517713599370, 39732264695056772, 563187218351672330, 8229159647194683140, 123795221970087313340
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=和（stirling2（n，k）*（2*k+2）/（2*k！*（k+1）！），k=0..n），n=0，1。。。；
例如：exp（2*exp（x）-2）*。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，m）选项记忆`如果`（n=0，
（2*m+1）/米^2，m*b（n-1，m）+b（n-1，m+1））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
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数学
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表[Sum[StirlingS2[n，k]*（2*k+2）/（2*k！*（k+1）！），{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年7月1日*）
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 7, 43, 249, 1395, 7653, 41381, 221399, 1175027, 6196725, 32512401, 169863147, 884318973, 4589954619, 23761814955, 122735222505, 632698778835, 3255832730565, 16728131746145, 85826852897675, 439793834236745, 2251006269442815, 11509340056410735, 58790764269668805
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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另外，a（n）=Sum_{i=0..n}二项式（n，n-i）（2*i+1）$，其中i$表示i的摆动阶乘(A056040型).
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：-平方（x-1）/（5*x-1）^（3/2）。
递归：n*a（n）=（6*n+1）*a（n-1）-5*（n-1。
a（n）~4*5^（n-1/2）*sqrt（n）/sqrt（Pi）。
（结束）
a（n）=超几何（[3/2，-n]，[1]，-4）=超地理（[3]，n+1，[1]，4/5）/（5*sqrt（5））-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月25日
例如：exp（3*x）*（（1+4*x）*BesselI（0.2*x）+4*x*Bessel（1,2*x））-伊利亚·古特科夫斯基2021年11月19日
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MAPLE公司
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a:=程序（n）局部i；加法（二项式（n，i）/Beta（i+1，i+1），i=0..n）结束：
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数学
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系数列表[序列[-Sqrt[x-1]/（5*x-1）^（3/2），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月21日*）
sf[n_]：=使用[{f=Floor[n/2]}，Pochhammer[f+1，n-f]/f！]；a[n_]：=和[二项式[n，n-i]*sf[2*i+1]，{i，0，n}]；表[a[n]，{n，0，19}](*Jean-François Alcover公司2013年7月26日*）
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非n
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经核准的
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1, 5, 19, 67, 227, 751, 2445, 7869, 25107, 79567, 250793, 786985, 2460397, 7667921, 23832931, 73902627, 228692115, 706407903, 2178511449, 6708684009, 20632428249, 63380014845, 194486530791, 596213956023, 1826103432573, 5588435470401, 17089296473655
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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此外，a（n）=和{i=0..n}（-1）^（n-i）二项式（n，n-i）（2*i+1）$，其中i$表示i的摆动阶乘(A056040型).
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链接
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配方奶粉
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外径：A（x）=1/（1-x*M（x））^3，M（xA001006号.a（n）=总和（k^3/n*总和（C（n，j）*C（j，2*j-n-k），j=0..n），k=1..n）-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年9月6日
递归：n*a（n）=（2*n+3）*a（n-1）+3*（n-1）*a（n-2）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月21日
a（n）~4*3^（n-1/2）*sqrt（n）/sqrt（Pi）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月21日
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，3/2]，[1]，4）-彼得·卢什尼2016年4月26日
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MAPLE公司
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a:=程序（n）局部i；加法（（-1）^（n-i）*二项式（n，i）/贝塔（i+1，i+1），i=0..n）结束：
seq（简化（（-1）^n*超几何（[-n，3/2]，[1]，4）），n=0..26）#彼得·卢什尼2016年4月26日
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数学
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系数列表[序列[Sqrt[x+1]/（1-3*x）^（3/2），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月21日*）
sf[n_]：=使用[{f=Floor[n/2]}，Pochhammer[f+1，n-f]/f！]；a[n]：=和[（-1）^（n-i）*二项式[n，n-i]*sf[2*i+1]，{i，0，n}]；表[a[n]，{n，0，26}](*Jean-François Alcover公司2013年7月26日*）
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非n
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经核准的
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1, 1, 3, 27, 756, 68040, 20207880, 20228087880, 69422797604160, 828491666608045440, 34788365080871828025600, 5191328567558179408948185600, 2776779354844059467693477099212800, 5363460395055494624228658756213491712000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=产品{k=0..（n-1）}3（k+1）*A000108号（k+1）/（k+3）。
a（n）=（a^（3/2）2^（n（n+1））*2^(A074962号)（Wolfram Alpha报道）。
a（n）~a^（3/2）*2^（n^2+n+5/24）*3^n*exp（3*n/2-1/8）/（n^（3*n/2+31/8）*Pi^（n/2+1）），其中a=1.2824271291……是Glaisher-Kinkelin常数（参见A074962号)-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月14日
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数学
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表[乘积[3*（2*k+2）！/（（k+3）！*k！），｛k，0，n-1｝]，｛n，0，10｝](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月14日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 6, 1, -12, 30, -1, 18, -90, 140, 1, -24, 180, -560, 630, -1, 30, -300, 1400, -3150, 2772, 1, -36, 450, -2800, 9450, -16632, 12012, -1, 42, -630, 4900, -22050, 58212, -84084, 51480, 1, -48, 840, -7840, 44100, -155232, 336336, -411840, 218790
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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按行读取三角形。
对于n>=0，k>=0设T（n，k）=（-1）^（n-k）二项式（n，k）（2*k+1）$，其中i$表示i的摆动阶乘(A056040型).
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链接
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配方奶粉
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推测g.f.：sqrt（1+t）/（1+（1-4*x）*t）^（3/2）=1+（-1+6*x）*t+（1-12*x+30*x^2）*t^2+-彼得·巴拉2013年11月10日
T（n，k）=（（-1）^（k模2）+n）*（（2*k+1）/（k！）^2）*二项式（n，n-k）-Detlef Meya酒店2023年10月7日
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例子
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1;
-1, 6;
1, -12, 30;
-1、18、-90、140；
1, -24, 180, -560, 630;
-1, 30, -300, 1400, -3150, 2772;
1, -36, 450, -2800, 9450, -16632, 12012;
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MAPLE公司
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swing:=proc（n）选项记住；如果n=0，则为1 elif
irem（n，2）=1，然后swing（n-1）*其他4*swing（n-1）/n结束：
a:=过程（n，k）（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*摆动（2*k+1）结束：
seq（打印（seq（a（n，k），k=0..n）），n=0..8）；
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数学
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T[n_，k_]：=（（-1）^（Mod[k，2]+n）*（（2*k+1）/（k！）^2）*二项式[n，n-k]）；
压扁[表[T[n，k]，｛n，0，8｝，｛k，0，n｝]]（*结束*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A000217号
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| 三角数：a（n）=二项式（n+1，2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
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+10
4552
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1，K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2.2）方法可以选择括号的位置，但其中n+1是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-泽维尔·阿克洛佩，2003年10月31日
由n+1个平面的交点形成的最大线数-罗恩·R·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用琐碎性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod））。
a（n）是（a1+a2+a3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被认为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是n集X的3个块，那么，对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）个子集的数量-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德（Georg Wrede），2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的A153641号2^（-n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5。。。
1。。。
。。。。。。。。。。。。。。。
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝戈，2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a（n+2））*（a（n+1）*a（n+4）-a（n+2）*a（n+3））/8=a（（n^2+5*n+4）/2）-J.M.贝戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广-查理·马里恩，2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递归a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a（n）=A028896号（n） /6，其中A028896号（n） =s（n）-s（n-1）是s（n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差值。s（n）可以被解释为12个边长的总和加上6个面面积的总和加上nX（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，…，的置换数，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见A060351型)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参阅A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
设O（n）为长方形数n（n+1）=A002378号和S（n）平方数n^2=A000290型（n） ●●●●。然后a（4n）=O（3n）-O（n），a（4n+1）=S（3n+1）-S（n），a（4n+2）=S（3n+2）-S（n+1），a（4n+3）=O（3n+2）-O（n）-查理·马里恩2015年2月21日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）中分割成若干部分。所得序列的签名的长度（阶数）由三角数给出。例如，对于n=10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。这些是（aaaa）、（bbbb）、)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌（请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书），如果n>0，则从一堆a（n）卡开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n因子分解的数量，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau_3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6，a（3）=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））=2n/（n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1，a（n-1）是直线之间的最大可能相交数。等价地，[n]的置换中的最大逆数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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A.J.F.Leatherland，乌拉姆螺旋上的三角数，URL=yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes/triangleUlam.htm。截至2019年12月，此链接不起作用，但恢复它将很有意思。在埃里克·魏斯坦的《数学世界》（World of Mathematics）的纸质版和在线版中，在Prime Spiral to Leatherland的条目中有一个参考，a.J.F.“神秘的Prime Spilon现象”，同样有一个不再起作用的URL-N.J.A.斯隆2019年12月13日
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配方奶粉
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通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2/2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n+1）=（（n+2）/n）*a（n），Sum_{n>=1}1/a（n）=2-乔恩·佩里，2003年7月13日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-Xavier Acloque，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1.n}（i*j）^3））=（和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}（i*j））^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=楼层（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里，2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（n+1^2）[R B Nelsen，《数学杂志》70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j）），那么对于n>=1，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰Janjic2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochharmer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
（n）+（a（n））+1=a（a（n）+1）-J.M.贝戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
G.f.：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品_｛j>=0｝（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A（x^4）*。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式：x+3*x^2/（Q（0）-3*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时，3*a（n）+a（n-1）=a（2*n）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）=a（k）*a（n）+a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2/2）=n-地板（n/2+）+地板（n^1/2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/（和{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格，2014年8月12日
设O（n）为长方形数n（n+1）=A002378号（n） 和S（n）平方数n^2=A000290型（n） ●●●●。那么a（n）+a（n+2k）=O（n+k）+S（k）和a（n，n+2k+1）=S（n+k+1）+O（k）-查理·马里恩2015年7月16日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什，2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什，2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
a（n）==0（mod n）iff n为奇数（参见De Koninck参考文献）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k）-1）*n+a（k））^2=（（a（k）+1）*n+a（k））^2。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式，8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩，2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/3。（结束）
a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 通常，如果P（k，n）=第n个k次方数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接，或是肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：冬青树叶落在德川幕府，a（4）：毕达哥拉斯四联中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-布拉德利·克莱2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2（Beeler，McGrath，上文）如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
（结束）
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MAPLE公司
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istriangular：=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[级数[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{0，1，3}，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[{}，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}]；
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0位[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=my（v=list（），n，t）；而（（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_列表！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（弧垂）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Scala）（1至53）.左图（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（Python）对于范围（0，60）中的n：打印（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，行“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后得到图形数，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
产量x
x、 y=x+y+1，y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998美元,A055999号,A056000型,A056115号,A056119美元,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000984号
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| 中心二项式系数：二项式（2*n，n）=（2*n）/（n！）^2。
（原名M1645 N0643）
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+10
1029
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1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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等于二项式系数和和{k=0..n}二项式（n，k）^2。
当由两个进程执行时，一个程序与n个原子指令的可能交错次数Manuel Carro（麦卡罗（AT）fi.upm.es），2001年9月22日
还有具有半周长n+2的有向凸多面体的数目。
此外，求和{k=0..n}二项式（n+k-1，k）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日
该序列的第二个二项式逆变换是具有插值零点的序列。其g.f.为（1-4*x^2）^（-1/2），第n项为C（n，n/2）（1+（-1）^n）/2-保罗·巴里2003年7月1日
2n位二进制数的可能值的数量，其中一半位为开，一半位为关。-加文·斯科特（Gavin（AT）allegro.com），2003年8月9日
n的零到n+1的有序分区，例如，对于n=4，我们考虑了11110（5）、11200（30）、13000（20）、40000（5）和22000（10）的有序分区、总计70和a（4）=70。请参见A001700号（特别是Mambetov Bektur的评论）-乔恩·佩里2003年8月10日
从0到n的n个整数的非递减序列数：a（n）=和{i_1=0..n}和{i_2=i_1..n}。。。求和{i_n=i{n-1}。。n} （1）.-J.N.Bearden（jnb（AT）eller.arizona.edu），2003年9月16日
在半长度n+1的所有Dyck路径中处于奇数电平的峰值的数目。例如：a（2）=6，因为我们有U*DU*DU*D，U*DUUDD，UUDDU*D、UUDUDD、UUU*DDD，其中U=（1,1），D=（1，-1）和*表示奇数水平的峰值。半长n+1的所有Dyck路径中长度为1的上升次数（Dyck道路中的上升是最大的上升步长串）。例如：a（2）=6，因为我们有uDuDuD、uDUUDD、UUDDuD、UUDuDD、UUUDDD，其中长度1的上升由小写字母表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
a（n-1）=一次取n个包含给定元素的2n-1个不同元素的子集的数目。例如，n=4->a（3）=20，如果我们考虑一次取7的子集4和1，我们得到（1234、1235、1236、1237、1245、1246、1247、1256、1257、1267、1345、1346、1347、1356、1357、1367、1456、1457、1467、1567），其中有20个-乔恩·佩里2004年1月20日
酉双极空间DSU（2n，q^2）的特定（必然存在）绝对通用嵌入的维数，其中q>2J.Taylor（jt_cpp（AT）yahoo.com），2004年4月2日。
Erdős，Graham等人推测，对于足够大的n，a（n）从来都不是平方自由的（参见Graham，Knuth，Patashnik，混凝土数学，第二版，练习112）。Sárközy证明，如果S（n）是a（n）的平方部分，那么S（n）是渐近的（sqrt（2）-2）*（sqert（n））*（Riemann-Zeta函数（1/2））。Granville和Ramare证明了只有a（1）=2，a（2）=6和a（4）=70的方折射率值-乔纳森·沃斯邮报，2004年12月4日[有关此推测的更多信息，请参阅A261009型. -N.J.A.斯隆2015年10月25日]
MathOverflow链接包含以下评论（略加编辑）：1980年，sárközy，a.（关于二项式系数的除数，I.J.Number Theory 20（1985），no.1，70-80.）证明了Erdős square-free猜想（a（n）对于n>4永远不会是squarefree的），他表明该猜想适用于所有足够大的n值，以及A.Granville和O.Ramaré（指数和的显式界和无平方二项系数的稀缺性。Mathematika 43（1996），第1期，73-107），他们证明了它适用于所有n>4Fedor Petrov，2010年11月13日。[来自N.J.A.斯隆2015年10月29日]
奶奶住在网格城我家以南n个街区和以东n个街区时，从我家到奶奶家的直达路线数。要获得直接路线，请从2n个街区中选择n个街区，然后向南行驶。例如，a（2）=6，因为有6条直接路线：SSEE、SESE、SEES、EESS、ESES和ESSE-丹尼斯·沃尔什2006年10月27日
反向：q=-log（log（16）/（pi a（n）^2）），上限（（q+log（q））/log（16
具有费雷尔图的分区数量，适合n X n框（包括0的空分区）。例如：a（2）=6，因为我们有：empty、1、2、11、21和22-Emeric Deutsch公司2007年10月2日
从原点开始到终点的无限线性晶格上长度为2n的游动次数Stefan Hollos（Stefan（AT）exstrom.com），2007年12月10日
使用步骤（1,0）和（0,1）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
积分表示法：C（2n，n）=1/Pi积分[（2x）^（2n）/sqrt（1-x^2），{x，-1，1}]，即C（2n，n）/4^n是区间（-1,1）上反正弦分布的2n阶矩-N-E.法西2008年1月2日
Straub、Amdeberhan和Moll：“……人们推测，只有有限多个指数n，因此C_n不能被3、5、7和11中的任何一个整除。”-乔纳森·沃斯邮报2008年11月14日
等于的INVERT变换A081696号: (1, 1, 3, 9, 29, 97, 333, ...). -加里·亚当森2009年5月15日
此外，在体育运动中，“2n-1系列最佳”的有序进展方式数量。例如，a（2）=6意味着“三选一”系列有六种有序的方式进行。如果我们写A表示“A队”获胜，写B表示“B队”获胜。如果我们从左到右按时间顺序列出所玩的游戏，那么这六种方式是AA、ABA、BAA、BB、BAB和ABB。（证明：为了生成a（n）有序的方式：写下所有a（n-李·纽伯格2009年6月2日
n X n个二进制数组的数目，其中行被视为二进制数，按非递减顺序排列，列被视为二元数，按不递增顺序排列-R.H.哈丁2009年6月27日
似乎a（n）也是n>=2时扭曲型BC_n突变类中的颤动数。
长度为2n的{a，b}上的单词数，因此单词的前缀中不包含比a更多的b-乔纳森·尼尔森2012年4月18日
从帕斯卡三角形中取第（n）行，其中的项按a1、a2、……的顺序排列，。。a（n）和行（n+1），带有术语b1、b2、，。。然后2*（a1*b1+a2*b2+…+a（n）*b（n））得到这个序列中的项-J.M.贝戈2012年10月7日。例如，使用第4行和第5行：2*（1*（1）+4*（5）+6*（10）+4*（10）+1*（5））=252，这是该序列中的第六项。
从Pascal的三角形行（n）中取b1，b2。。。，b（n+1）和行（n+2），带有c1、c2、…、。。。，c（n+3），求和b1*c2+b2*c3+…+b（n+1）*c（n+2）得到A000984号（n+1）。使用行（3）和行（5）的示例得出总和1*（5）+3*（10）+3*=A000984号（4） -J.M.贝戈2012年10月31日
a（n）==2modn^3当n是素数>3时。（见Mestrovic链接，第4页。）-加里·德特利夫斯2013年2月16日
猜想：对于任意正整数n，多项式和{k=0}^na（k）x^k在有理数域上是不可约的。一般来说，对于任何整数m>1和n>0，多项式f_{m，n}（x）=Sum_{k=0..n}（m*k）/（k！）^m*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月23日
本评论概括了2012年10月31日的评论和序列原始评论的第二条。对于j=1到n，a（n）=和{k=0..j}C（j，k）*C（2n-j，n-k）=2*和{k=0..j-1}C-查理·马里恩2013年6月7日
商序列中连续项之间的差异构成了一个包含三角形数倒数的序列。换言之，a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1）=2/（n*（n+1））-克里斯蒂安·舒尔茨2013年6月8日
使用n个字母A和n个字母B的长度为2n的不同字符串数-汉斯·哈弗曼2014年5月7日
a（n）*（2^n）^（j-2）等于S（n），其中S（n。例如，当n=5和j=4时，a（5）=252；252*(2^5)^(4-2) = 252*1024 = 258048. 产生16次幂的自卷积序列是{1，8，96，1280，17920，258048，…}；即S（5）=258048。注意，当j<2时，卷积序列将由从1递减到0的数字组成（j=1除外，其中序列中的前两个数字为1，其他所有数字均递减）-鲍勃·塞尔科，2014年7月16日
具有n条边的有序树的数量，其中级别1的顶点可以是2种颜色。事实上，有序树的标准分解导致方程C=1+zC^2（C是加泰罗尼亚函数），此时得到G=1+2zCG，其中G=1/sqrt（1-4z）-Emeric Deutsch公司2015年6月17日
n个变量中最多n个度的单项式数-冉·潘，2015年9月26日
设V（n，r）表示半径为r的n维球体的体积，则V（n、2^n）/Pi=V（n-1、2^n）*a（n/2）表示所有偶数n-彼得·卢什尼2015年10月12日
a（n）是长度n的集合{i1，…，in}的数目，使得n>=i1>=i2>=…>=英寸>=0。例如，a（2）=6，因为只有6个这样的集合：（2,2）（2,1）（2,0）（1,1）（1,0）（0,0）-安东·扎哈罗夫2016年7月4日
通过对整个复平面的解析延拓，发散和存在正则值，例如：
Sum_｛k>=0｝a（k）/（-2）^k=1/sqrt（3）。
和{k>=0}a（k）/（-1）^k=1/sqrt（5）。
和{k>=0}a（k）/（-1/2）^k=1/3。
求和{k>=0}a（k）/（1/2）^k=-1/sqrt（7）i。
求和{k>=0}a（k）/（1）^k=-1/sqrt（3）i。
和{k>=0}a（k）/2^k=-i（结束）
序列数（e（1）。。。，e（n+1）），0<=e（i）<i，这样就没有e（i）>e（j）的三元组i<j<k。[马丁内兹和萨维奇，2.18]-埃里克·施密特2017年7月17日
序列的o.g.f.等于以下任意有理函数的对角线：1/（1-（x+y）），1/-彼得·巴拉2018年1月30日
让我们表示West的堆栈排序映射。a（n）是使s（pi）避免模式132、231和321的[n+1]的置换pi的数目。a（n）也是[n+1]的置换pi的数目，使得s（pi）避免了模式132、312和321。
a（n）是避免模式1342、3142、3412和3421的[n+1]的排列数。（结束）
对于n>0，所有长度为4n的二进制自对偶码必须包含至少一个（n）重量为2n的码字。更重要的是，总是会有至少一个，也许是唯一的，长度为4n的二进制自对偶码，它正好包含一个（n）码字，其汉明权重等于代码长度（2n）的一半。该代码可以通过将长度为2的唯一二进制自对偶代码（直到置换等价）直接相加到自身偶数次来构造。通过将两个长度为2n的单位矩阵相加，可以构造置换等价码-内森·罗素2018年11月25日
设[b/p]表示勒让德符号，1/b表示b mod p的逆。然后，对于m和n，其中n不可被p整除，
[（m+n）/p]==[n/p]*和{k=0..（p-1）/2}（-m/（4*n））^k*a（k）（mod p）。
评估m=-1和n=1的这个恒等式表明，对于所有奇素数p，Sum_{k=0..（p-1）/2}（1/4）^k*a（k）可以被p整除。（End）
（2n-1）维超立方体的子图的顶点数，由n-1或n个多1s的所有位串诱导。中间层猜想断言该图具有哈密尔顿循环-托尔斯滕·穆泽2019年2月11日
a（n）是距离原点2n长的行走次数，步数（1,1）和（1，-1）位于x轴上或上方。等价地，a（n）是距离原点2n长的行走次数，步长（1,0）和（0,1）停留在第一个八分位-亚历山大·伯斯坦2019年12月24日
长度n>0的排列数避免了长度4的部分有序模式（POP）{3>1，1>2}。也就是说，没有长度为4的子序列的长度n排列的数量，其中第一个元素大于第二个元素，但小于第三个元素-谢尔盖·基塔耶夫2020年12月8日
还有2n+1与交替和1的整数合成数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（0）=1到a（2）=6的合成数是：
(1) (2,1) (3,2)
(1,1,1) (1,2,2)
(2,2,1)
(1,1,2,1)
（2,1,1,1）
(1,1,1,1,1)
以下与这些组合物相关：
等价地，a（n）计算2n+1位的二进制数，以及比0多一个1的二进制数。例如，a（2）=6个二进制数是：10011、10101、10110、11001、11010、11100。
（结束）
a（n）是在第一列和第二列之间具有单个水平壁的nx2 Young表的数量。如果两个单元格之间有一堵墙，条目可能会减少；参见[Banderier，Wallner 2021]。
a（2）=6的示例：
3 4 2 4 3 4 3|4 4|3 2|4
1|2, 1|3, 2|1, 1 2, 1 2, 1 3
a（n）也是nx2 Young tableaux的数量，第一列和第二列之间有n道“墙”。
a（2）=6的示例：
3|4 2|4 4|3 3|4 4|3 4|2
1|2、1|3、1|2，2|1、2|1，3|1（结束）
a（n）/4^n是一枚投掷2n次的公平硬币正面正好n次，反面正好n次的概率，或者一次步数为+-1的随机行走在2n步后返回起点的概率（不一定是第一次）。当n变大时，使用Stirling对n！的近似值，这个数字逐渐接近1/sqrt（n*Pi）！。
a（n）/（4^n*（2n-1））是步数为+-1的随机行走在2n步后首次返回起点的概率。第n项的绝对值A144704号是这个分数的分母。
考虑到所有可能的2n步随机游动，步长为+-1，a（n）/（2n-1）是2n步后第一次返回起点的游动次数。请参见的绝对值A002420型或A284016型对于这些数字。为了进行比较，如所述斯特凡·霍洛斯，2007年12月10日，a（n）是在2n步后返回起点的步行次数，但不一定是第一次。（结束）
另外，长度为n的两个单词的洗牌乘积的大小，使得两个单词之间的并集由2n个不同的元素组成-罗伯特·C·莱昂斯2023年3月15日
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参考文献
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配方奶粉
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通用公式：A（x）=（1-4*x）^（-1/2）=1F0（1/2；；4x）。
递归D-有限：n*a（n）+2*（1-2*n）*a（n-1）=0。
a（n）=2^n/n！*产品{k=0..n-1}（2*k+1）。
在中使用斯特林公式A000142号很容易得到渐近表达式a（n）~4^n/sqrt（Pi*n）丹福（Dan.Fux（AT）OpenGaia.com或danfux（AT）OpenGaia.com），2001年4月7日
区间[0，4]上正函数n阶矩的积分表示：a（n）=Integral_{x=0..4}（x^n*（（x*（4-x））^（-1/2））/Pi），n=0，1。。。这种表示是独特的-卡罗尔·彭森2001年9月17日
例如：exp（2*x）*I_0（2x），其中I_0是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯2002年9月8日
例如：I_0（2*x）=和a（n）*x^（2xn）/（2*n）！，其中，I_0是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯2002年9月9日
给定m=C（2*n，n），设f为反函数，使f（m）=n。让q表示-log（log（16）/（m^2*Pi）），我们得到f（m大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2003年10月30日
a（n）=2*Sum_{k=0..（n-1）}a（k）*a（n-k+1）/（k+1）-菲利普·德尔汉姆2004年1月1日
a（n+1）=和{j=n.n*2+1}二项式（j，n）。例如，a（4）=C（7,3）+C（6,3）+C（5,3）+4（4,3）/C（3,3）=35+20+10+4+1=70-乔恩·佩里2004年1月20日
a（n）=（-1）^（n）*Sum_{j=0..（2*n）}（-1）*j*二项式（2*n，j）^2.-海伦娜·维里尔（Verrill（AT）math.lsu.edu），2004年7月12日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2n+1，k）*sin（（2n-2k+1）*Pi/2）-保罗·巴里2004年11月2日
a（n-1）=（1/2）*（-1）^n*和{0<=i，j<=n}（-1）*（i+j）*二项式（2n，i+j-Benoit Cloitre公司2005年6月18日
G.f.：1/（1-2x-2x^2/（1-2-x-x^2/-（1-2x x ^2/）（1-…（连分数））；
G.f.：1/（1-2x/（1-x/（2-x/（1-……（连分数））。（结束）
a（n）=（-4）^n*平方（Pi）/（伽马（（1/2-n））*伽马（1+n））-格里·马滕斯2011年5月3日
a（n）=M^n中的左上项，M=无限平方生产矩阵：
2, 2, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 1, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, ....
a（n）=超几何（[-n，-n]，[1]，1）-彼得·卢什尼2011年11月1日
例如：超几何（[1/2]，[1]，4*x）-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
通用系数：1+2*x/（U（0）-2*x），其中U（k）=2*（2*k+1）*x+（k+1）-2*（k+1；（连分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2012年6月28日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*H（k）/（2*H-加里·德特利夫斯2013年3月19日
G.f.：Q（0）*（1-4*x），其中Q（k）=1+4*（2*k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*xx（2*k+1）+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-2*x/（2*x+（k+1）^2/（2*k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
雅可比多项式的特殊值，Maple表示法：a（n）=4^n*JacobiP（n，0，-1/2-n，-1）-卡罗尔·彭森2013年7月27日
a（n）=2^（4*n）/（（2*n+1）*Sum_{k=0..n}（-1）^k*C（2*n+1，n-k）/（2*k+1））-米尔恰·梅卡2013年11月12日
a（n）=C（2*n-1，n-1）*C（4*n^2,2）/（3*n*C（2*1,3）），n>0-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（16*a（n+1）-6*a-迈克尔·索莫斯2014年9月17日
a（n+1）=4*a（n）-2*A000108号（n） ●●●●。同时a（n）=4^n*Product_{k=1..n}（1-1/（2*k））-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月9日
通用公式：求和{n>=0}x^n/（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*x^k-保罗·D·汉娜2014年11月8日
a（n）=4^n*超深层（[-n，1/2]，[1]，1）-彼得·卢什尼2015年5月19日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（n-k，k）*2^（n-2*k）-罗伯特·费雷奥2015年8月29日
a（n）~4^n*（2-2/（8*n+2）^2+21/（8*n+2）^4-671/（8*n+2）^6+45081/（8*n+2）^8）/sqrt（（4*n+1）*Pi）-彼得·卢什尼2015年10月14日
A（-x）=1/x*系列反转（x*（2*x+sqrt（1+4*x^2）））。与的o.g.f.B（x）进行比较A098616号，满足B（-x）=1/x*级数反转（x*（2*x+sqrt（1-4*x^2）））。另请参阅A214377号. -彼得·巴拉2015年10月19日
a（n）=GegenbauerC（n，-n，-1）-彼得·卢什尼2016年5月7日
a（n）=γ（1+2*n）/γ（1+n）^2-安德烈斯·西卡廷2016年5月30日
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（5-平方（5）*log（phi））/25=0.62783642361439838442267…，其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日
这个序列作为几个二项式和的闭合形式表达式出现：
a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+1，k）。
当n>=1时，a（n）=2*Sum_{k=0..2*n-1}（-1）^（n+k）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2*n，k）。
当n>=1时，a（n）=2*Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*binominal（n，k）。
a（n）=Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2*n，k）*二项法（x+k，n）*二项式（y+k，n）=Sum _{k=0..2*nneneneep（-1）。
对于m=3,4,5，。。。和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项法（x+k，n）*二项式（y+k，n）和和{k=0..m*n{（-1。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2*n，k）*二项式（x+k，n）*任意x和y的二项式。
对于m=3,4,5，。。。求和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项式（x+k，n）*二项式（y-k，n。
a（n）=和{k=0..2n}（-1）^k*二项式。（古尔德，第7卷，5.23）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，n+k。（结束）
N中q的和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q）），Z中p的和/{-4q<（some p）<-2}。
...
和{k>=0}a（k）/（-4）^k=1/sqrt（2）。
求和{k>=0}a（k）/（17/4）^k=sqrt（17）。
和{k>=0}a（k）/（18/4）^k=3。
求和{k>=0}a（k）/5^k=sqrt（5）。
求和{k>=0}a（k）/6^k=sqrt（3）。
求和{k>=0}a（k）/8^k=sqrt（2）。
...
p>4q的和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q））。（结束）
Boas-Buck递推：a（n）=（2/n）*Sum_{k=0..n-1}4^（n-k-1）*a（k），n>=1，a（0）=1。a（n）的证明=A046521号（n，0）。请参阅此处的评论-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
a（n）=n中n的和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2*n+1，k）-雷内·阿达德2017年9月30日
{1/a（n）}的G.f:4*（sqrt（4-x）+sqrt。
例如，对于{1/a（n）}：1+exp（x/4）*sqrt（Pi*x）*erf（sqrt（x）/2）/2。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（1/5-弧（1/2）/（5*sqrt（5）））。（结束）
a（n）=2^（2*n）*产品{k=1..2*n}k^（（-1）^（k+1））=A056040型（2*n）。
a（n）=4^n*二项式（n-1/2，-1/2）=4*GegenbauerC（n，1/4，1）-格里·马滕斯2022年10月19日
发生在二项式和恒等式sum_｛k=-n.n.n}（-1）^k*（n+x-k）*二项式（2*n，n+k）^2=（x+n）*a（n）和sum_｛k=-n.n.n}（-1）^k*（n+x-k）^2*二项式（2*n，n+k）^3=x*（x+2*n）*a（n）（x任意）的右侧。与恒等式比较：和{k=-n..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）^2=a（n）-彼得·巴拉2023年7月31日
4^n*a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^k*a（k）*a（2*n-k）。
16^n=和{k=0..2*n}a（k）*a（2*n-k）。（结束）
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例子
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总尺寸：1+2*x+6*x^2+20*x^3+70*x^4+252*x^5+924*x^6+。。。
对于n=2，a（2）=4/（2！）^2=24/4=6，这是二项式展开式（a+b）^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4的中间系数-迈克尔·波特2016年7月6日
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MAPLE公司
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带（combstruct）；[seq（count（[S，{S=Prod（Set（Z，card=i），Set（Z），card=1））}，带标签]，size=（2*i）），i=0..20）]；
带（combstruct）；[seq（count（[S，{S=序列（Union（Arch，Arch））），Arch=Prod（Epsilon，Sequence（Arch），Z）}，未标记]，大小=i），i=0..25）]；
with（combstruct）：bin：=｛B=并集（Z，Prod（B，B））｝：seq（count（[B，bin，unlabeled]，size=n）*n，n=1..25）#零入侵拉霍斯2007年12月5日
A000984列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1,2]；P:=[1]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（P），2*P[-1]]）；
A:=[op（A），2*P[-1]]od；A端：A000984列表（28）#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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表[二项式[2n，n]，{n，0，24}](*阿隆索·德尔·阿特2005年11月10日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-4x]，{x，0，25}]，x](*哈维·P·戴尔2011年3月14日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）a:=func<n|二项式（2*n，n）>；[0..10]]中的[a（n）:n；
（PARI）fv（n，p）=本人；而（n＝p，s＋＝n）；秒
a（n）=prodeuler（p=2,2*n，p^（fv（2*n、p）-2*fv（n，p））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月21日
（PARI）fv（n，p）=本人；而（n＝p，s＋＝n）；秒
a（n）=我的（s=1）；对于素数（p=2,2*n，s*=p^（fv（2*n、p）-2*fv（n，p）））；秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月21日
（哈斯克尔）
a000984 n=a007318_低（2*n）！！n个--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（10**3）内的n：
b=b*（4*n+2）//（n+1）
（GAP）列表（[1..1000]，n->二项式（2*n，n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月30日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,143583英镑,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454个,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,264542元,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,A182446号,A182447号,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,步行,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A001563号
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| a（n）=n*n！=（n+1）！-不！。
（原名M3545 N1436）
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+10
158
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0, 1, 4, 18, 96, 600, 4320, 35280, 322560, 3265920, 36288000, 439084800, 5748019200, 80951270400, 1220496076800, 19615115520000, 334764638208000, 6046686277632000, 115242726703104000, 2311256907767808000, 48658040163532800000, 1072909785605898240000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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类似的序列，初始0被1替换，即A094258号，由递归a（2）=1，a（n）=a（n-1）*（n-1）^2/（n-2）定义Andrey Ryshevich（Ryshevich（AT）notes.idlab.net），2002年5月21日
E_1（x）+gamma+log（x）幂级数展开中的分母，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
如果任意长度k的所有排列都是按字典顺序排列的，那么这个序列中的第n项（n≤k）给出了排列的索引，该排列将最后n个元素向右旋转一个位置。例如，有4个项目的24个排列。按字典顺序，它们是（0,1,2,3），（0,1,1,2），（0，2,1，3）。。。(3,2,0,1), (3,2,1,0). 置换0是（0,1,2,3），它旋转最后一个元素1，即不做任何更改。置换1是（0,1,3,2），它旋转最后2个元素。置换4是（0,3,1,2），它旋转最后3个元素。置换18是（3,0,1,2），它旋转最后4个元素。相同的数字适用于任何长度的排列Henry H.Rich（glasss（AT）bellsouth.net），2003年9月27日
a（n）=[1,4,18,96，…]的斯特林变换是A069321号（n） =[1,5,31233，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的部分和为A033312号（n+1）=[0,1,5,23，…]。
的二项式变换A000166号（n+1）=[0,1,2,9，…]是a（n）=[0,1,4,18，…]。
的二项式变换A000255号（n+1）=[1,3,11,53，…]是a（n+1，=[1,4,18,96，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的二项式变换为A093964号（n） =[0,1,6,33…]。
的部分总和A001564号（n） =[1,3,4,14，…]是a（n+1）=[1,4,18,96，…]。
（结束）
[n+1]的所有排列中的小下降数。置换（x_1，x_2，…，x_n）中的一个小下降是一个位置i，使得x_i-x_（i+1）=1。例如：a（2）=4，因为在{1,2,3}的置换123、13\2、2\13、231、312、3\2\1中有4个小下降（用\表示）。a（n）=Sum_{k=0..n-1}k*A123513型（n，k）-Emeric Deutsch公司2006年10月2日
a（n）也是[n]的所有排列中从左到右最大值的位置之和。例如：a（3）=18，因为[3]的置换123132213231312和321中的左至右最大值的位置分别为123、12、13、12、1和1，并且1+2+3+1+2+1+3+1+2+1=18-Emeric Deutsch公司2008年9月21日
用另一个1:（1，1，4，18，…）作为系列的前言；则下一项=后者与“n出现n次”的点积。例如：96=（1，1，4，8）点（4，4，4）=（4+4+16+72）-加里·亚当森2009年4月17日
a（n）也是n+1节点上星图S_{n+1}的最小（n-）可区别标记数-埃里克·韦斯特因2014年10月14日
a（n-1）是n个元素上没有长度n的圈的置换数-丹尼斯·沃尔什2017年10月2日
以n+1为基数的泛数字的数目，因此每个数字只出现一次。例如，有一个（9）=9*9！=3265920以10为基数的泛数字(A050278号)-阿米拉姆·埃尔达尔2020年4月13日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第218页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第336页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第263页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
I.Kortchemski，置换记录的渐近行为，arXiv:0804.0446v2[math.CO]，2008年5月18日。
雷泽·洛瓦斯（RezsöL.Lovas），伊斯坦·梅泽尔（István Mezö），关于整数的奇异拓扑，arXiv:1008.0713[math.GN]，2010年。见第4页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
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配方奶粉
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例如：x/（1-x）^2。
在（y+n！）^n，n>=1的展开中，y^（n-1）的系数给出了序列1，4，18，96，600，4320，35280-阿图尔·贾辛斯基2007年10月22日
函数在正半轴上的第n个矩的积分表示，用Maple表示法：a（n）=Integral_{x=0..oo}（x^n*（x*（x-1）*exp（-x））dx，对于n>=0。此表示形式可能不唯一-卡罗尔·彭森2001年9月27日
i>0时，a（0）=0，a（n）=（n-1）*（1+Sum_{i=1..n-1}a（i））-杰拉尔德·麦卡维2004年6月11日
出现在下列恒等式的分母中：和{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2））=1/4，和{n>=1}1/k-1）.-Dick Boland，2005年6月6日[一般表达式意味着Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*…*（n+k-1））=（Sum_}n>=k}1/C（n，k））/k！=1/（（k-1）*（k-1-宋嘉宁2023年5月7日]
a（n）=总和{m=2..n+1}|Stirling1（n+1，m）|，n>=1和a（0）：=0，其中Stirling 1（n，m）=A048994号（n，m），n>=m=0。
a（n）=1/（和{k>=0}k！/（n+k+1）！），n>0-弗拉德塔·乔沃维奇，2006年9月13日
a（n）的倒数是多项式因子形式的超前系数，通过将二项式系数与一个固定的下限项相加，直到n作为上限项，再除以项指数，得到n>=1:Sum_{k=i.n.n}C（k，i）/k=（1/a（n，n））*n*（n-1）**（n-i+1）。前几个这样的多项式是和{k=1..n}C（k，1）/k=（1/1）*n，和{k=2..n}C（k、2）/k=（1/4）*n*（n-1布雷兹奈（breznayp（AT）uwgb.edu），2008年9月28日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^（n-1）*f（n、1、-2），（n>=1）-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.79659999…[焦利方程289]
G.f.：2*x*Q（0），其中Q（k）=1-1/（k+2-x*（k+2）^2*（k+3）/（x*（k+2）*（k+3）-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年4月19日
G.f.:W（0）*（1-sqrt（x））-1，其中W（k）=1+sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月18日
G.f.：T（0）/x-1/x，其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月17日
通用公式：Q（0）*（1-x）/x-1/x，其中Q（k）=1-x*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月22日
带递归的D-有限：a（n）+（-n-2）*a（n-1）+（n-1-R.J.马塔尔，2020年1月14日
a（n）=（-1）^（n+1）*（n+1094485加元（n，k）*伯努利（k）。伯努利数的Worpitzky表示的倒数-彼得·卢什尼2020年5月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=γ-Ei（-1）=A239069型.（结束）
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例子
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E_1（x）+γ+对数（x）=x/1-x^2/4+x^3/18-x^4/96+。。。，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
G.f.=x+4*x^2+18*x^3+96*x^4+600*x^5+4320*x^6+35280*x^7+322560*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[n！n，{n，0，25}](*哈维·P·戴尔2011年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*n！）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月11日*/
（哈斯克尔）
a001563 n=a001563_列表！！n个
a001563_list=zipWith（-）（尾部a000142_list）a000142_列表
（岩浆）[阶乘（n+1）-阶乘（n）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2014年8月8日
（Sage）[n*（0..20）中n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
（GAP）列表（[0..20]，n->n*阶乘（n））//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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经核准的
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A056040型
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| 摆动阶乘，a（n）=2^（n-（n mod 2））*Product_{k=1..n}k^（（-1）^（k+1））。 |
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+10
147
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1, 1, 2, 6, 6, 30, 20, 140, 70, 630, 252, 2772, 924, 12012, 3432, 51480, 12870, 218790, 48620, 923780, 184756, 3879876, 705432, 16224936, 2704156, 67603900, 10400600, 280816200, 40116600, 1163381400, 155117520, 4808643120, 601080390, 19835652870, 2333606220
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是由[地板（n/2），n模块2，地板（n/2]）上的三项式n枚举的“摆动轨道”的数量。
a（n）是由n-超立方体与垂直于其一条长对角线并将其一分为二的超平面相交而产生的多边形的顶点数-迪迪埃·吉利特，2018年6月11日[编辑：彼得·穆恩，2022年12月6日]
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n/地板（n/2）^2.[基本上是原始名称。]
当n>=1时，a（0）=1，a（n）=n^（n模2）*（4/n）^（n+1模2）*a（n-1）。
O.g.f.：a（n）=系列系数{n}（（1+z/（1-4*z^2））/sqrt。
P.g.f.：a（n）=PolyCoeff_{n}（（1+z^2）^n+n*z*（1+z ^2）（n-1））。
a（2*n）=二项式（2*n，n）；a（2*n+1）=（2*n+1）*二项式（2*n，n）。三角形中心项A211226型. -彼得·巴拉2012年4月10日
递归D-有限：n*a（n）+（n-2）*a（n-1）+4*（-2*n+3）*a-亚历山大·波沃洛茨基2012年8月17日
求和{n>=0}1/a（n）=4/3+8*Pi/（9*sqrt（3））-亚历山大·波沃洛茨基2012年8月18日
例如：U（0），其中U（k）=1+x/（1-x/（x+（k+1）*（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月19日
a（n）=超几何（[-n，-n-1,1/2]，[-n-2,1]，2）*2^（n-1）*（n+2）-彼得·卢什尼2014年9月22日
a（n）=4^层（n/2）*超几何（[-层（n/3），（-1）^n/2]，[1]，1）-彼得·卢什尼2015年5月19日
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4/3-4*Pi/（9*sqrt（3））-阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月10日
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例子
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a（10）=10/5!^2=三项式（10，[5,0,5]）；
a（11）=11/5^2=三项式（11，[5,1,5]）。
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MAPLE公司
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系列系数：=进程（s，n）系列（s（w，n），w，n+2）；
转换（%，多项式）；结束时的系数（%，w，n）；
a1:=进程（n）局部k；
2^（n-（n模2））*mul（k^（（-1）^（k+1）），k=1..n）结束：
a2:=proc（n）选项记忆；
`如果`（n=0，1，n^irem（n，2）*（4/n）^irem[n+1，2）*a2（n-1）]结束；
a3:=n->n/伊科（n，2）^2；
g4:=z->BesselI（0，2*z）*（1+z）；
a4:=n->n*序列系数（g4，n）；
g5:=z->（1+z/（1-4*z^2））/sqrt（1-4*z^2；
a5:=n->SeriesCoeff（g5，n）；
g6:=（z，n）->（1+z^2）^n+n*z*（1+z ^2）（n-1）；
a6:=n->SeriesCoeff（g6，n）；
a7:=n->组合[多项式]（n，floor（n/2），n mod 2，floor，n/2）；
a8:=n->ilcm（h（n-1），h（n））；
F:=[a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8]；
对于F中的a do seq（a（i），i=0..32）od；
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数学
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f[n]：=2^（n-Mod[n，2]）*乘积[k^（（-1）^（k+1）），{k，n}]；数组[f，33，0](*罗伯特·威尔逊v，2010年8月2日*）
f[n_]：=如果[奇数Q@n，n*二项式[n-1，（n-1）/2]，二项式[n，n/2]]；数组[f，33，0](*罗伯特·威尔逊v2010年8月10日*）
sf[n_]：=使用[{f=Floor[n/2]}，Pochhammer[f+1，n-f]/f！]；（*或快一倍：*）sf[n]：=n/商[n，2]^2; 表[sf[n]，{n，0，32}](*Jean-François Alcover公司，2013年7月26日，2015年2月11日更新*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（因子（n）/（因子（楼层（n/2）））^2）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年9月11日
（鼠尾草）
r、 n=1，0
为True时：
收益率r
n+=1
如果is_even（n）else为n，则r*=4/n
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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