搜索： a000034-编号：a00003四
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1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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推测（根据Benoit Cloitre在A111090型)：如果L（n）是K的第n行中的项数（假设有限），则L（n）*（2/3）^n接近常数。（升=A143590号.)
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链接
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配方奶粉
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这里引入了一个数组K，称为“Kolakoski fan based a sequence s with initial row”：假设s=（s（1），s（2），…）是1和2的序列，并且w=（w（1），w（2），…）是1和2的有限或无限序列。假设s（1）=w（1），如果w（1。数组K的第1行是w。后续行是归纳定义的：第n行的第一项是s（n），其余项由Kolakoski替换定义；即，第n-1行中的每个数字告诉第n行中下一个字符串的字符串长度（1或2），每个项为1或2。
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例子
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s=（1,2,1,2,1,2,1,2，…）且w=1，因此前7行为
1
2
1 1
2 1
1 1 2
2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 1, 6, 12, 120, 360, 5040, 20160, 362880, 1814400, 39916800, 239500800, 6227020800, 43589145600, 1307674368000, 10461394944000, 355687428096000, 3201186852864000, 121645100408832000, 1216451004088320000, 51090942171709440000, 562000363888803840000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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a（n）是k维平方金字塔数公式中的分母：
A000330号=n*（n+1）*（2*n+1）/6=1、5、14、30、55。。。（k=3）
A002415号=（n^2）*（n^2-1）/12=1、6、20、50、105。。。（k=4）
A040977号=（n^2）*（n^2-1）*（n ^2-4）/360=1，8，35，112，294。。。（k=6）
k维平方金字塔数的一般公式是（2*n+k）*二项式（n+k-1，k-1）/k，k>=1，n>=0，参见A097207号. -约翰内斯·梅耶尔2011年6月22日
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链接
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配方奶粉
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a（2*n-1）=（2*n-1）！，a（2*n）=（2*n）/2
和{n>=1}1/a（n）=sinh（1）+2*cosh（1）-2。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=sinh（1）-2*cosh（1）+2。（结束）
递归D-有限：a（n）-（n-1）*n*a（n-2）=0，对于n>=3，a（1）=a（2）=1-乔治·菲舍尔2022年11月25日
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MAPLE公司
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数学
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数组[If[EvenQ[#]，#/2, #!]&, 20] (*哈维·P·戴尔2014年3月14日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000330号,A002415号,A005408号,A005585号,A029651号,A040977号,A050486号,A053347号,A054333号,A054334号,A057788号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 6, 6, 11, 9, 16, 12, 21, 15, 26, 18, 31, 21, 36, 24, 41, 27, 46, 30, 51, 33, 56, 36, 61, 39, 66, 42, 71, 45, 76, 48, 81, 51, 86, 54, 91, 57, 96, 60, 101, 63, 106, 66, 111, 69, 116, 72, 121, 75, 126, 78, 131, 81, 136, 84, 141, 87, 146, 90, 151, 93, 156, 96, 161, 99, 166, 102, 171
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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A000034号= 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ... = （sqrt（3）+1）/2的连分式（参见。A040001级)=n+1的基数3数字根。一般来说，任何简单周期序列的升降基指数变换都可以写成交错序列的周期集。
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链接
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配方奶粉
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a（2*n）=3*n；a（2*n+1）=5*n+1。
a（n）=（-3+3*（-1）^n+8*n-2*（-1，^n*n）/4。
a（n）=2*a（n-2）-a（n-4）。
通用格式：x*（1+3*x+4*x^2）/（（1-x）^2*（1+x）^2）。（结束）
例如：（1/2）*（3*（x-1）*sinh（x）+5*x*cosh（x））-G.C.格鲁贝尔2017年3月12日
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例子
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a（1）=1^1=1。
a（2）=1^2+2^1=3。
a（3）=1^1+2^2+1^1=6。
a（4）=1^2+2^1+1^2+2 ^1=6。
a（5）=1^1+2^2+1^1+2 ^2+1 ^1=11。
a（6）=1 ^2+2 ^1+1 ^2+2 ^1+1^2+2^1=9。
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数学
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表[（-3+3*（-1）^n+8*n-2*（-1，^n*n）/4，{n，1，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年3月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（x*（1+3*x+4*x^2）/（（1-x）^2*（1+x）^2）\\G.C.格鲁贝尔2017年3月12日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000034号,A113320号,A005408号,A113122年,A113153号,A113154号,A113336号,A113271号,113258英镑,A113257号,A113231号,A087316型,A113208号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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行总和=A069735号: (1, 3, 2, 5, 2, 6, 2, 7,...).
如果k是偶数并除以n，T（n，k）=2；如果k是奇数且除以n，则为1；否则为0。
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行是：
1;
1, 2;
1, 0, 1;
1, 2, 0, 2;
1, 0, 0, 0, 1;
1, 2, 1, 0, 0, 2;
1, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
...
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A203150型
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| （1,2,1,2,1,1,2,2,1,2,2,2,1,2，…）的前n项的（n-1）-st元对称函数=A000034号. |
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+20
1
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1, 3, 5, 12, 16, 36, 44, 96, 112, 240, 272, 576, 640, 1344, 1472, 3072, 3328, 6912, 7424, 15360, 16384, 33792, 35840, 73728, 77824, 159744, 167936, 344064, 360448, 737280, 770048, 1572864, 1638400, 3342336, 3473408, 7077888, 7340032
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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经验G.f:x*（1+3*x+x^2）/（1-4*x^2+4*x^4）-科林·巴克2012年1月3日
猜想：a（n）=（6*r*n+（1+3*（1-r）*n）*（1-（-1）^n））*r^（n-1）/8，其中r=sqrt（2）-布鲁诺·贝塞利2011年1月3日
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例子
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让esf缩写为“初等对称函数”。然后
{1}的第0个esf：1
{1,2}的第一个esf:1+2=3
{1,2,1}的第二esf是1*2+1*1+2*1=5
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数学
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f[k_]：=1+模态[k+1，2]；
t[n_]：=表格[f[k]，{k，1，n}]
a[n_]：=对称多项式[n-1，t[n]]
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 6, 1, 2, 3, 12, 15, 2, 1, 6, 6, 30, 33, 1, 2, 3, 12, 15, 66, 78, 2, 1, 6, 6, 30, 33, 156, 177, 1, 2, 3, 12, 15, 66, 78, 354, 411, 2, 1, 6, 6, 30, 33, 156, 177, 822, 942
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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行总和=A105476号: (1, 3, 6, 15, 33, 78,...).
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行=
1;
2, 1;
1, 2, 3
2, 1, 6, 6
1, 2, 3, 12, 15
2, 1, 6, 6, 30, 33;
1, 2, 3, 12, 15, 66, 78
2, 1, 6, 6, 30, 33, 156, 177;
1, 2, 3, 12, 15, 66, 78, 354, 411;
...
第4行=（2,1,6,6）=（2,1,2,1）和（1,1,3,6）的逐项乘积=（2*1，1*1，2*3，1*6）。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：1；2,1 ; 1,0,1 ; 2,0,2,1 ; 1,0,1,0,1 ; 2,0,2,0,2,1 ; ...
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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虽然这是一个列表，并且列表通常具有偏移量1，但在这种情况下，似乎最好进行例外-N.J.A.斯隆2010年3月13日
2n的分区数正好分为2个部分-科林·巴克2015年3月22日
当轨道基数等于8960或168时，Aut（Z^7）的轨道数是轨道的代表格点的无穷范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
这是唯一的序列（a（n）），它满足n中所有n的不等式a（n+1）>a（a（n））。这个简单而令人惊讶的结果来自保加利亚在贝尔格莱德第19届国际海事组织（1977年）第二天提出的第六个问题（见链接和参考）-伯纳德·肖特2023年1月25日
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参考文献
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莫里斯·普罗塔特（Maurice Protat），《奥林匹克运动会》，组曲vérifaint f（n+1）>f（f（n）），Problème 7，第31-32页，Ellipses，巴黎，1997年。
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链接
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国际海事组织简编，问题61977年国际海事组织第19号。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
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配方奶粉
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a（n）=n。
a（0）=0，a（n）=a（n-1）+1。
通用：x/（1-x）^2。
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
a（n+1）=det（C（i+1，j），1<=i，j<=n），其中C（n，k）是二项式系数-米尔恰·梅卡，2013年4月6日
a（n-1）=n>0时的楼层（n/e^（1/n））-理查德·福伯格2013年6月22日
a（n）=地板（婴儿床（1/（n+1）））-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（0）=0，a（n>0）=2*z（-1）^[（|z|/z+3）/2]+（|z|/z-1）/2对于z=A130472号（n>0）；整数和自然数之间的1对1对应关系-阿德里亚诺·卡罗利2015年3月29日
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例子
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三角视图：
0
1 2
3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
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MAPLE公司
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[序列（n，n=0..100）]；
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数学
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线性递归[{2，-1}，{0，1}，77](*罗伯特·威尔逊v2013年5月23日*）
系数列表[级数[x/（x-1）^2，{x，0，76}]，x](*罗伯特·威尔逊v2013年5月23日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中的n：n；
（哈斯克尔）
a001477=id
（Python）
定义a（n）：返回n
打印（[a（n）代表范围（78）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年11月13日
（朱莉娅）打印（0:280中n代表n）#保罗·穆贾迪2024年4月15日
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交叉参考
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当作为数组写入时，行/列为A000217号,A000124号,A152948号,A152950型,145018年,A167499号,A166136号,A167487号…和A000096号,A034856号,A055998号,A046691号,A052905号,A055999号……（具有适当的偏移）；参见类似列表A000027号在里面A185787号.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A002487号
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| 斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。
（原M0141 N0056）
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+10
373
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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也称为fusc（n）[Dijkstra]。
a（n）/a（n+1）只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern；Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组：
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行：0
第1行：1
第2行：1,2
第3行：1,3,2,3
第4行：1,4,3,5,2,5,3,4
第5行：1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5
第6行：1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,9,7,12,5,13,8,11,10，。。。
...
然后（忽略第0行）第k行的和是3^（k-1），每列是一个算术级数，步骤只不过是原始序列Takashi Tokita（butaneko（AT）fa2.so-net.ne.jp），2003年3月8日
上述观察可以更加精确。设A（n，k），n>=0，0<=k<=2^（n-1）-1表示k>0，表示上面左对齐数组第n行和第k列中的条目。
列0、1、2、3、4…的方程式，。。。依次为（忽略第0行）：
1（n>=1），
n（n>=2），
n-1（n>=3），
2n-3（n>=3），
n-2（n>=4），
3n-7（n>=4），
...
通常，列k>0由下式给出
A（n，k）=A（k）*n-A156140型（k） 对于n>=上限（log2（k+1））+1，否则为0。
（结束）
a（n）是奇数斯特林数S_2（n+1，2r+1）[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a（n+1）/a（n+2）可以由前面的分数a（n）/a（n+1）=x乘以1/（2*floor（x）+1-x）生成。也可以使用后继函数f（x）=1/（floor（x）+1-frac（x））。
a（n+1）=n[Finch]中的交替位集数。
如果f（x）=1/（1+楼层（x）-压裂（x）），则f（a（n-1）/a（n））=a（n）/a（n+1），对于n>=1。如果T（x）=-1/x和f（x）=y，则f（T（y））=T（x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a（n+1）是将n写成2的幂和的方式的数量，每个幂最多使用两次（n的超二元表示的数量）[Callitz；Lind]。
a（n+1）是可表示为不同的偶数订阅斐波那契数之和的第n个整数的分区数(=A054204号（n） ），转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson，定理2.1]。
a（n+1）是奇数二项式（n-k，k）的个数，0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a（2^k）=1。a（3*2^k）=a（2^（k+1）+2^k）=2。a（2^k）=1和a（2qu（k+1））=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文，中间是a（2q+2^（k-1））=2。a（2^（k-1）+1）=a（2q-1）=k+1，对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克，2006年10月10日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年8月6日
设M是一个无限下三角矩阵，每列中有（1，1，1、0、0、…）向下移位两次：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0, 1, 0, 0;
0, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
a（2*n）=r*a（n），a（2xn+1）=a（n，n）+a（n+1）；r=1-加里·亚当森2010年5月29日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型。这意味着正好有一个（n+1）数字可以表示为nim-product 2^x*2^y，其中x+y=n-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f（m，n）是整数n在区间[a（2^（m-1）），a（2*m-1）]中的频率。设phi（n）为Euler的totiten函数(A000010美元). 猜想：对于所有整数m，n n<=m f（m，n）=phi（n）-尤拉门迪2014年9月8日
在字母表{-，+}:chf（1）='-'上定义Christoffel单词的序列chf（n）；chf（2*n+0）=否定（chf（n））；chf（2*n+1）=否定（串联（chf（n），chf（n+1）））。那么chf（n）单词的长度为fusc（n）=a（n）；chf（n）单词中“-”符号的数量是c-fusc（n）=A287729号（n） ；chf（n）单词中“+”符号的数量是s-fusc（n）=208730元（n） 。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
对于Z中的所有n，序列可以扩展为a（n）=a（-n），a（2*n）=a（n），a-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807-1894）命名，有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科（Achille Broco，1817-1878）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
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参考文献
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链接
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理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼，未发布。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼[缓存副本，具有权限]
Jörn Steuding、Stefanie Hofmann和Gertraud Schuster，欧几里德、卡尔金和威尔夫-玩弄理性《数学要素》，第63卷，第3期（2008年），第109-117页。
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配方奶粉
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a（n+1）=（2*k+1）*a（n）-a（n-1），其中k=楼层（a（n-1）/a（n））-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e（n）=A007814号（n） =2除以n的最高幂的指数。然后a（n+1）=（2k+1）*a（n）-a（n-1），n>0，其中k=e（n）。此外，地板（a（n-1）/a（n））=e（n），符合D.Newman的公式Dragutin Svertan（dsvrtan（AT）math.hr）和Igor Urbiha（Urbiha（AT）数学.hr），2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a（n）/n^（log（phi）/log（2））<=1.1709，其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-贝诺伊特·克洛伊特2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示，限制是A246765型= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（二项式（n-k-1，k）mod 2）-保罗·巴里2004年9月13日
a（n）=和{k=0..n-1}（二项式（k，n-k-1）mod 2）-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.：x*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））[卡利茨]。
a（n）=a（n-2）+a（n-1）-2*-迈克留下来2006年11月6日
a（n）=和{k=1..n}k（k，n-k）*a（n-k），其中k（n，k）=1，如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k（n、k）=0 else。（当使用这样的K系数时，K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，如果我们在上述定义中去掉条件K<=n，则我们得出A002083号=Narayana-Zidek-Capell数字。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a；a（2^n-k）+a（k）=a（2~（n+1）+k）。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式：G（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。定义f（z）=（1+z+z^2），然后G（z）=lim f（z*f（z^（2^n））*…=（1+z+z^2）*G（z^2Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月11日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
a（2^n+k）=a（2*n-k）+a（k）（0<=k<=2^n）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
设g（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。，f（z）=1+z+z^2。那么g（z）=lim_{n->infinity}f（z）*f（z^2）*f*f（z^（2^n）），g（z）=f（z）*g（z^2）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1，写k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1，其中b（0）、b（1）等为0或1。用条目X（1,1）=X（2,2）=1，X（1,2）=1-b（m），X（2,1）=b（m。设P（n）=X（0）*X（1）**X（n-1）。矩阵P的项是序列的成员：P（1,1）=a（k+1），P（1,2）=aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月20日
设f（x）=A030101型（x） ；如果2^n+1<=x<=2^（n+1）且y=2^（n+1）-f（x-1），则a（x）=a（y）Arie Werksma，2008年7月11日
等于充气[1,1,0,0,0,0,0]的无穷卷积乘积A000079号-1倍，即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0，0,00,0]*[1,0,0，0，0,1]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年10月2日；已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a（2^（p+2）*n+2^（p+1）-1）-a（2^（p+1）*n=2^p-1）=A007306号（n+1），p>=0和n>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月7日
a（n*2^m）=a（n），m>0，n>0-尤拉门迪，2014年7月3日
a（k+1）*a（2^m+k）-a（k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
（2^（m+1）+（k+1））*a（2^m+k）-a（2^m+1）+k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
a（5*2^k）=3。a（7*2^k）=3。a（9*2^k）=4。a（11*2^k）=5。a（13*2^k）=5。a（15*2^k）=4。一般情况下：a（（2j-1）*2^k）=A007306号（j） ，j>0，k>=0（参见Adamchuk的评论）-尤拉门迪2016年3月5日
a（2^m+2^m'+k'）=a（2*m'+k'）*（m-m'+1）-a（k'），m>=0，m'<=m-1，0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
设n是一个自然数，[b_mb_（m-1）…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1（L>=1）的二进制位数。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1，则c_1=1，否则设{c_j:j=1..（L-1）}为系数集，使得c_（j）=m_（j+1）-m_j+1，1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数，使得f（1）=0，f（2）=1，f（j）=c_（j-2）*f（j-1）-f（j-2，3<=j<=L+1。
那么a（n）=f（L+1）（参见示例）。（结束）
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+2^m+k）=2*a（k），m>=0，0<=k<2^m。
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+k）=a（2*m+k），m>=0，0<=k<2*m。
a（2^m+k）=a（k）*（m-楼层（log_2（k））-1）+a（2#楼层（log_2[k））+1）+k），m>=0，0<k<2^m，a（2*m）=1，a（0）=0。
（结束）
a（2^m）=1，m>=0。
a（2^r*（2*k+1））=a。
（结束）
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例子
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Stern的双原子数组开始：
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a（91）=19，因为91_10=1011011_2；b6=b4=b3=b1=b0=1，b5=b2=0；L=5；m1=0，m2=1，m3=3，m4=4，m5=6；c1=2，c2=3，c3=2，c 4=3；f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，f（4）=8，f（5）=19-尤拉门迪2016年7月13日
a（n）是Christoffel单词chf（n）的长度：
1 '-' 1 1
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4 '-' 3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…（完）
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
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MAPLE公司
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A002487号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n elif n mod 2=0，则procname（n/2）；其他进程名（n-1）/2）+进程名（n+1）/2）；fi；结束：连续(A002487号（n） ，n=0..91）；
A002487号：=proc（m）局部a，b，n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时，如果类型（n，奇数）为do，则b:=a+b，否则a:=a+b结束if；n:=地板（n/2）；结束do；b；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；#程序改编自E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页Igor Urbiha（Urbiha（AT）math.hr），2002年10月28日。自A007306号（n） =a（2*n+1），此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号：=proc（n:：integer）局部k；选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1再加上（K（K，n-1-K）*进程名（n-K），K=1。。n） end-if-end进程：
K:=进程（n:：integer，K:：integer）局部KC；如果0<=k，k<=n，n-k<=2，则KC:=1；否则KC:=0；结束条件：；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple计划：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，n，
（q->a（q）+（n-2*q）*a（n-q））（iquo（n，2））
结束时间：
fusc:=proc（n）局部a，b，c；a:=1；b:=0；
对于convert（n，base，2）do中的c
如果c=0，则a:=a+b，否则b:=a+bfiod；
b端：
seq（fusc（n），n=0..91）#彼得·卢什尼2022年11月9日
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数学
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a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，a[n/2]，a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；表[a[n]，{n，0，100}]（*程序结束*）
一个[l]：=转置[{l，l+RotateLeft[l]}]//展平；
NestList[Onemore，{1}，5]//Flatten（*给出[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月9日*）
ToBi[l_]：=表[2^（n-1），{n，长度[l]}]。反向[l]；地图[长度，
拆分[Sort[Map[ToBi，Table[IntegerDigits[n-1，3]，{n，500}]]]（*give[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月10日*）
a[0]=0；a[1]=1；
压扁[表[{a[2*n]=a[n]，a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]}，{n，0，50}]](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*）
nmax=100；系数列表[系列[x*乘积[（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1））），{k，0，Floor[Log[2，nmax]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<2，n>0，a（n\2）+if（n%2，a（n\2+1））}；
（PARI）fusc（n）=局部（a=1，b=0）；当（n>0时，如果（位和（n，1），b+=a，a+=b）；n> >=1）；b条\\查尔斯·R·Greathouse IV2008年10月5日
（PARI）A002487号（n，a=1，b=0）=对于（i=0，logint（n，2），如果（位测试（n，i），b+=a，a+=b））；b条\\M.F.哈斯勒，2017年2月12日，2019年2月14日更新
（哈斯克尔）
a002487 n=a002487_列表！！n个
a002487_list=0:1:船尾[1]，其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”，其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith（+）fuscs$（尾部fuscs）++[1]
交错[]ys=ys
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
（右）
N<-50#任意
a<-1
for（n in 1:n）
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
一
}
一
（方案）
;; 例如，可以在以下内容中找到memoization-macro definec的实现：http://oeis.org/wiki/Memoization网站
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
定义a（n）：如果n<2，则返回n；如果n%2==0，则返回a（（n-1）//2）+a（（n+1）//2#印地瑞尼Ghosh，2017年6月8日；已由更正雷扎·K·加齐2021年12月27日
（Python）
定义a（n）：
a、 b=1,0
当n>0时：
如果n&1：
b+=a
其他：
a+=b
n>>=1
返回b
（鼠尾草）
M=[1,0]
对于n位中的b（）：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（朱莉娅）
使用Nemo
函数A002487List（len）
a、 a=QQ（0），[0，1]
对于n in 1:len
a=next_calkin_wilf（a）
推！（A，分母（A））
结束
A结束
A002487列表（91）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月13日
（R） #给定n，通过考虑n的二进制表示来计算a（n）
a<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c（0，1）
如果（3中的j：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]的（l>1）
返回（f[l+1]）
（R） #将序列计算为向量a，而不是如上所述的函数a（）。
A<-c（1，1）
maxlevel<-5#（可选）
for（m in 1:maxlevel）{
A[2^（m+1）]<-1
for（k in 1:（2^m-1））{
r<-m-楼层（log2（k））-1
A[2^r*（2*k+1）]<-A[2^r*2*k）]+A[2^r（2*k+2）]
}}
（岩浆）[&+[（二项式（k，n-k-1）mod 2）：k in[0..n]]：n in[0..100]]//文森佐·利班迪2019年6月18日
（Python）
定义A002487号（n） ：对于范围（n）中的k，返回和（int（not（n-k-1）&~k））#柴华武2022年6月19日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000123号,A000360型,A001045美元,A002083号,A011655号,A020950型,A026741号,A037227美元,A046815号,A070871号,A070872号,A071883号,A073459号,A084091号,A101624号,A126606号,A174980型,A174981号,A178239号,A178568号,A212288型,A213369型,A260443型,A277020型,A277325号,A287729号,208730元,A293160型.
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A204892型
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| 最小k，使得n对[1，k）中的某个j除以s（k）-s（j），其中s（k）=素数（k）。 |
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+10
249
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2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 5, 5, 6, 6, 7, 10, 7, 7, 8, 8, 9, 13, 9, 9, 10, 16, 10, 16, 10, 10, 11, 11, 12, 19, 12, 20, 12, 12, 13, 22, 13, 13, 14, 14, 15, 24, 15, 15, 16, 25, 16, 26, 16, 16, 17, 29, 17, 30, 17, 17, 18, 18, 19, 31, 19, 32, 19, 19, 20, 33, 20, 20, 21
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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假设（s（i））是正整数集合N中的严格递增序列。对于N中的i，设r（h）是s（i+h）-s（i）mod N的残差，其中h=1,2，。。。，n+1。至多有n个不同的残基r（h），因此必须存在数字h和h’，使得r（h。设k（n）是存在该j的最小k，并设j（n）=j。该对（k，j）将被称为“n除以s（k）-s（j）的最小对”。（然而，从“有k的最小j”开始，产生与已经描述的对不同的对（k、j）。）
推论：对于每一个n，都有无穷多对（j，k），使得n除以s（k）-s（j），如果s是无界的，而不是严格递增的，这个结果成立。
相关序列指南：
...
s（n）=素数（n），素数
s（n）=素数（n+1），奇数素数
s（n）=素数（n+2），素数>=5
s（n）=素数（n）*连续素数的素数（n+1）乘积
s（n）=（素数（n+1）+素数（n+2）/2：奇数素数的平均值
s（n）=2^（n-1），2的幂
s（n）=2^n，2的幂
s（n）=C（n+1，2），三角形数
s（n）=n^2，正方形
s（n）=（2n-1）^2，奇数平方
s（n）=n（3n-1），五边形数
s（n）=n（2n-1），六边形数
s（n）=C（2n-2，n-1），中心二项式系数
s（n）=（1/2）C（2n，n），（1/2）*（中心二项式系数）
s（n）=n（n+1），长方形数
s（n）=n！，阶乘
s（n）=n！！，双重阶乘
s（n）=3^n-2^n
s（n）=斐波那契（n+1）
s（n）=斐波那契（2n-1）
s（n）=斐波那契（2n）
s（n）=卢卡斯（n）
s（n）=n*（2^（n-1））
s（n）=上限[n^2/2]
s（n）=楼层[（n+1）^2/2]
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链接
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例子
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设s（k）=素数（k）。如中所示A204890型，差值s（k）-s（j）的顺序如下所示：
k…………..1..2..3..4..5……6……7……8…9
s（k）。。。。。。。。2..3..5..7..11..13..17..19..23
...
s（k）-s（1）。。。。。。1..3..5..9..11..15..17..21..27
s（k）-s（2）。。。。。。。。。2..4..8..10..14..16..20..26
s（k）-s（3）。。。。。。。。。。。。2..6..8...12..14..18..24
s（k）-s（4）。。。。。。。。。。。。。。。4..6...10..12..16..22
...
使1除以s（k）-s（j）的最小值（k，j）是（2,1），因此a（1）=2。
最小（k，j）s.t.2除以s（k）-s（j）：（3,2），则a（2）=3。
最小（k，j）s.t.3除以s（k）-s（j）：（3,1），则a（3）=3。
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数学
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s[n]：=s[n]=素数[n]；z1=400；z2=50；
u[m_]：=u[m]=扁平[表[s[k]-s[j]，
{k，2，z1}，{j，1，k-1}][[m]]
v[n_，h]：=v[n，h]=如果[IntegerQ[u[h]/n]，h，0]
w[n]：=w[n]=表[v[n，h]，{h，1，z1}]
d[n_]：=d[n]=第一个[删除[w[n]，
位置[w[n]，0]]]
k[n_]：=k[n]=楼层[（3+平方[8 d[n]-1]）/2]
m[n_]：=m[n]=楼层[（-1+平方[8 n-7]）/2]
j[n]：=j[n]=d[n]-m[d[n]]（m[d[n]+1）/2
表[（s[k[n]]-s[j[n]]）/n，{n，1，z2}](*A204897型*)
s=数组[Prime[#]&，120]；
lk=表[NestWhile[#+1&，1，Min[Table[Mod[s[[#]]-s[[j]]，z]，{j，1，#-1}]]=！=0&]，{z，1，长度[s]}]
表[NestWhile[#+1&，1，Mod[s[[lk[[j]]]-s[[#]]，j]=！=0&]，{j，1，长度[lk]}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=素数（p=n+2，对于步骤（k=p%n，p-1，n，if（isprime（k），return（primepi（p））））\\查尔斯·R·Greathouse IV2013年3月20日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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