搜索： 编号：a002487
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A002487号
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| 斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。
（原名M0141 N0056）
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+0个
373
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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也称为fusc（n）[Dijkstra]。
a（n）/a（n+1）只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern；Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组：
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行：0
第1行：1
第2行：1,2
第3行：1,3,2,3
第4行：1,4,3,5,2,5,3,4
第5行：1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5
第6行：1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,9,7,12,5,13,8,11,10，。。。
...
那么（忽略第0行）第k行的和是3^（k-1），每列是一个算术级数，步骤只是原始序列Takashi Tokita（butaneko（AT）fa2.so-net.ne.jp），2003年3月8日
上述观察可以更加精确。设A（n，k），n>=0，0<=k<=2^（n-1）-1表示k>0，表示上面左对齐数组第n行和第k列中的条目。
列0,1,2,3,4，…的方程，。。。依次为（忽略第0行）：
1（n>=1），
n（n>=2），
n-1（n>=3），
2n-3（n>=3），
n-2（n>=4），
3n-7（n>=4），
...
通常，列k>0由下式给出
A（n，k）=A（k）*n-A156140型（k） 对于n>=上限（log2（k+1））+1，否则为0。
（结束）
a（n）是奇数斯特林数S_2（n+1，2r+1）[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a（n+1）/a（n+2）可以由前面的分数a（n）/a（n+1）=x乘以1/（2*floor（x）+1-x）生成。也可以使用后继函数f（x）=1/（floor（x）+1-frac（x））。
a（n+1）=n[Finch]中的交替位集数。
如果f（x）=1/（1+楼层（x）-压裂（x）），则f（a（n-1）/a（n））=a（n）/a（n+1），对于n>=1。如果T（x）=-1/x和f（x）=y，则f（T（y））=T（x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a（n+1）是将n写成2的幂和的方法数，每个幂最多使用两次（n的双曲表示数）[Carlitz；Lind]。
a（n+1）是可表示为不同的偶数订阅斐波那契数之和的第n个整数的分区数(=A054204号（n） ），转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson，定理2.1]。
a（n+1）是奇数二项式（n-k，k）的个数，0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a（2^k）=1。a（3*2^k）=a（2^（k+1）+2^k）=2。a（2^k）=1和a（2qu（k+1））=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文，中间是a（2q+2^（k-1））=2。a（2^（k-1）+1）=a（2q-1）=k+1，对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克2006年10月10日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年8月6日
设M是一个无限下三角矩阵，每列中有（1，1，1、0、0、…）向下移位两次：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0，1，0，0；
0, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
a（2*n）=r*a（n），a（2xn+1）=a（n，n）+a（n+1）；r=1-加里·亚当森2010年5月29日
a（2^k）=1和a（2#（k+1））=1之间的最大项是斐波那契数F（k+2）-列奥尼德·贝德拉图克2012年7月4日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型。这意味着正好有一个（n+1）数字可以表示为nim-product 2^x*2^y，其中x+y=n-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f（m，n）是整数n在区间[a（2^（m-1）），a（2*m-1）]中的频率。设phi（n）为Euler的totiten函数(A000010美元). 猜想：对于所有整数m，n n<=m f（m，n）=phi（n）-尤拉门迪2014年9月8日
在字母表{-，+}:chf（1）='-'上定义Christoffel单词的序列chf（n）；chf（2*n+0）=否定（chf（n））；chf（2*n+1）=否定（串联（chf（n），chf（n+1）））。则chf（n）字的长度为fusc（n）＝a（n）；chf（n）单词中“-”符号的数量是c-fusc（n）=A287729号（n） ；chf（n）单词中“+”符号的数量是s-fusc（n）=A287730型（n） 。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
对于Z中的所有n，序列可以扩展为a（n）=a（-n），a（2*n）=a（n），a-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807-1894）命名，有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科（Achille Broco，1817-1878）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
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参考文献
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链接
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理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼，未发布。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼[缓存副本，具有权限]
Jörn Steuding、Stefanie Hofmann和Gertraud Schuster，欧几里德、卡尔金和威尔夫-玩弄理性《数学要素》，第63卷，第3期（2008年），第109-117页。
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配方奶粉
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a（n+1）=（2*k+1）*a（n）-a（n-1），其中k=楼层（a（n-1）/a（n））-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e（n）=A007814号（n） =2除以n的最高幂的指数。然后a（n+1）=（2k+1）*a（n）-a（n-1），n>0，其中k=e（n）。此外，地板（a（n-1）/a（n））=e（n），符合D.Newman的公式Dragutin Svertan（dsvrtan（AT）math.hr）和Igor Urbiha（Urbiha（AT）数学.hr），2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a（n）/n^（log（phi）/log（2））<=1.1709，其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-Benoit Cloitre公司2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示，限制是A246765型= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（二项式（n-k-1，k）mod 2）-保罗·巴里2004年9月13日
a（n）=和{k=0..n-1}（二项式（k，n-k-1）mod 2）-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2），A（x^4）），其中f（u，v，w）=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.：x*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））[卡利茨]。
a（n）=a（n-2）+a（n-1）-2*-迈克留下来，2006年11月6日
a（n）=和{k=1..n}k（k，n-k）*a（n-k），其中k（n，k）=1，如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k（n、k）=0 else。（当使用这样的K系数时，K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，如果我们在上述定义中去掉条件K<=n，则我们得出A002083号=纳拉亚纳·齐德克·卡佩尔数。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a；a（2^n-k）+a（k）=a（2~（n+1）+k）。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式：G（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。定义f（z）=（1+z+z^2），然后G（z）=lim f（z*f（z^（2^n））*…=（1+z+z^2）*G（z^2Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月11日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
a（2^n+k）=a（2*n-k）+a（k）（0<=k<=2^n）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
设g（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。，f（z）=1+z+z^2。那么g（z）=lim_{n->infinity}f（z）*f（z^2）*f*f（z^（2^n）），g（z）=f（z）*g（z^2）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1，写k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1，其中b（0）、b（1）等为0或1。用条目X（1,1）=X（2,2）=1，X（1,2）=1-b（m），X（2,1）=b（m。设P（n）=X（0）*X（1）**X（n-1）。矩阵P的项是序列的成员：P（1,1）=a（k+1），P（1,2）=aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月20日
设f（x）=A030101型（x） ；如果2^n+1<=x<=2^（n+1）且y=2^（n+1）-f（x-1），则a（x）=a（y）Arie Werksma，2008年7月11日
等于充气[1,1,0,0,0,0,0]的无穷卷积乘积A000079号-1倍，即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0，0,00,0]*[1,0,0，0，0,1]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年10月2日；已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a（2^（p+2）*n+2^（p+1）-1）-a（2^（p+1）*n=2^p-1）=A007306号（n+1）、p>=0和n>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月7日
a（n*2^m）=a（n），m>0，n>0-尤拉门迪2014年7月3日
a（k+1）*a（2^m+k）-a（k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
（2^（m+1）+（k+1））*a（2^m+k）-a（2^m+1）+k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
a（5*2^k）=3。a（7*2^k）=3。a（9*2^k）=4。a（11*2^k）=5。a（13*2^k）=5。a（15*2^k）=4。一般情况下：a（（2j-1）*2^k）=A007306号（j） ，j>0，k>=0（参见Adamchuk的评论）-尤拉门迪2016年3月5日
a（2^m+2^m'+k'）=a（2*m'+k'）*（m-m'+1）-a（k'），m>=0，m'<=m-1，0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
设n是一个自然数，[b_mb_（m-1）…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1（L>=1）的二进制位数。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1，则c_1=1，否则设{c_j:j=1..（L-1）}为系数集，使得c_（j）=m_（j+1）-m_j+1，1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数，使得f（1）=0，f（2）=1，f（j）=c_（j-2）*f（j-1）-f（j-2，3<=j<=L+1。
那么a（n）＝f（L+1）（参见示例）。（结束）
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+2^m+k）=2*a（k），m>=0，0<=k<2^m。
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+k）=a（2*m+k），m>=0，0<=k<2*m。
a（2^m+k）=a（k）*（m-楼层（log_2（k））-1）+a（2#楼层（log_2[k））+1）+k），m>=0，0<k<2^m，a（2*m）=1，a（0）=0。
（结束）
a（2^m）=1，m>=0。
a（2^r*（2*k+1））=a。
（结束）
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例子
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Stern的双原子数组开始：
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a（91）=19，因为91_10=1011011_2；b_6=b_4=b_3=b_1=b_0=1，b_5=b_2=0；L=5；m1=0，m2=1，m3=3，m4=4，m5=6；c1=2，c2=3，c3=2，c 4=3；f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，f（4）=8，f（5）=19-尤素·尤拉曼迪2016年7月13日
a（n）是Christoffel单词chf（n）的长度：
1'-'1 1英寸
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4 '-' 3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…（结束）
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
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MAPLE公司
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A002487号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n elif n mod 2=0，则procname（n/2）；其他进程名（n-1）/2）+进程名（n+1）/2）；fi；结束：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；
A002487号：=proc（m）局部a，b，n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时，如果类型（n，奇数）为do，则b:=a+b，否则a:=a+b结束if；n:=地板（n/2）；结束do；b；结束过程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；#程序改编自E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页Igor Urbiha（Urbiha（AT）math.hr），2002年10月28日。自A007306号（n） =a（2*n+1），此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号：=proc（n:：integer）局部k；选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1再加上（K（K，n-1-K）*进程名（n-K），K=1。。n） end-if-end进程：
K:=进程（n:：integer，K:：integer）局部KC；如果0<=k，k<=n，n-k<=2，则KC:=1；否则KC:=0；结束条件：；结束过程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n＜2，
（q->a（q）+（n-2*q）*a（n-q））（iquo（n，2））
结束时间：
fusc:=proc（n）局部a，b，c；a:=1；b:=0；
对于转换（n，base，2）do中的c
如果c=0，则a:=a+b，否则b:=a+bfiod；
b端：
seq（fusc（n），n=0..91）#彼得·卢什尼2022年11月9日
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数学
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a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，a[n/2]，a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；表[a[n]，{n，0，100}]（*程序结束*）
一个[l]：=转置[{l，l+RotateLeft[l]}]//展平；
NestList[Onemore，{1}，5]//Flatten（*给出[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月9日*）
ToBi[l_]：=表[2^（n-1），{n，长度[l]}]。反向[l]；地图[长度，
拆分[Sort[Map[ToBi，Table[IntegerDigits[n-1，3]，{n，500}]]]（*give[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月10日*）
a[0]=0；a[1]=1；
压扁[表[{a[2*n]=a[n]，a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]}，{n，0，50}]](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*）
nmax=100；系数列表[系列[x*乘积[（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1））），{k，0，Floor[Log[2，nmax]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<2，n>0，a（n\2）+if（n%2，a（n\2+1））}；
（PARI）fusc（n）=局部（a=1，b=0）；当（n>0时，如果（位和（n，1），b+=a，a+=b）；n> >=1）；b条\\查尔斯·格里特豪斯四世2008年10月5日
（平价）A002487号（n，a=1，b=0）=对于（i=0，logint（n，2），如果（位测试（n，i），b+=a，a+=b））；b条\\M.F.哈斯勒，2017年2月12日，2019年2月14日更新
（哈斯克尔）
a002487 n=a002487_列表！！n个
a002487_list=0:1:船尾[1]，其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”，其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith（+）fuscs$（尾部fuscs）++[1]
交错[]ys=ys
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
（右）
N<-50#任意
a<-1
for（n in 1:n）
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
一
}
一
（方案）
;; 例如，可以在以下位置找到内存化宏定义的实现：http://oeis.org/wiki/Memoization网站
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
定义a（n）：如果n<2，则返回n；如果n%2==0，则返回a（（n-1）//2）+a（（n+1）//2#因德拉尼尔·戈什，2017年6月8日；已由更正礼萨·K·加齐2021年12月27日
（Python）
定义a（n）：
a、 b=1,0
当n>0时：
如果n&1：
b+=a
其他：
a+=b
n>>=1
返回b
（鼠尾草）
M=[1,0]
对于n位中的b（）：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（朱莉娅）
使用尼莫
函数A002487List（len）
a、 a=QQ（0），[0，1]
对于1:len中的n
a=next_calkin_wilf（a）
推！（A，分母（A））
结束
A结束
A002487列表（91）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月13日
（R） #给定n，通过考虑n的二进制表示来计算a（n）
a<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c（0，1）
如果（l>1）对于（jin3：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]
返回（f[l+1）
（R） #将序列计算为向量a，而不是如上所述的函数a（）。
A<-c（1，1）
maxlevel<-5#（可选）
for（m in 1：最大水平）{
A[2^（m+1）]<-1
for（k in 1:（2^m-1））{
r<-m-楼层（log2（k））-1
A[2^r*（2*k+1）]<-A[2^r*2*k）]+A[2^r（2*k+2）]
}}
（岩浆）[&+[（二项式（k，n-k-1）mod 2）：k in[0..n]]：n in[0..100]]//文森佐·利班迪2019年6月18日
（Python）
定义A002487号（n） ：对于范围（n）中的k，返回和（int（not（n-k-1）&~k））#柴华武2022年6月19日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000123号,A000360型,A001045号,A002083号,A011655号,A020950型,A026741号,A037227号,A046815号,A070871号,A070872美元,A071883号,A073459号,A084091号,2016年12月24日,A126606号,A174980型,A174981号,A178239号,A178568号,212288英镑,A213369型,A260443型,A277020型,A277325号,A287729号,A287730型,A293160型.
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关键词
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作者
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