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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000002号 Kolakoski序列:a(n)为n次游程的长度;a(1)=1;序列只由1和2组成。
(原M0190 N0070)
266
1、2、2、2、1、1、1、2、1、2、2、1、2、1、2、2、1、1、2、1、1、2、2、2、1、2、1、2、1、1、1、2、1、1、1、2、2、2、2、1、1、1、2、2、2、1、1、1、2、1、2、1、2、1、2、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、2、1、2、2、2、1、1、2、2、1、1、2、2、1、2、1、2、1、2、1、2、1、2、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、2 1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,1,2,2 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

历史记录:由于Rufus Oldenburger在1939年讨论过该序列,因此该序列最好称为Oldenburger-Kolakoski序列;请参阅链接-克拉克·金伯利然而,为了避免混淆,该序列在OEIS中被称为Kolakoski序列。有些条目引用Oldenburger-Kolakoski序列而其他条目引用Kolakoski序列是不可取的-N、 斯隆2017年11月22日

证明1的密度等于1/2是一个尚未解决的问题。

一个较弱的问题是在1的位置集和2的位置集之间构造一个组合双射-格斯·怀斯曼2016年3月1日

序列是cubefree,所有平方子词的长度是2、4、6、18和54中的一个(参见A294447号)[Carpi,1994年]。

这是一个分形序列:用它的长度替换每个运行,并恢复原始序列-克里·米切尔2005年12月8日

Kupin和Rowland写道:我们使用Goulden和Jackson的方法对Kolakoski词K中的极限频率freq_1(K)进行了束缚,证明了| freq_1(K)-1/2 |<=17/762,并建立了半严格界| freq_1(K)-1/2 |<=1/46-乔纳森·沃斯·波斯特2008年9月16日

频率1(K)被推测为1/2+O(log(K))(参见PlanetMath link)-乔恩·佩里2014年10月29日

猜想:以字长为10的序列为例,如批次1-10、11-20等,则每个批次只能有4、5或6个1-乔恩·佩里2012年9月26日

让·克里斯托夫·赫维2014年10月4日:(开始)

序列中没有ababa形式的单词,因为这意味着前面某处不可能的111(1b,1a,1b)。这证明了乔恩·佩里:在10个单词中超过6个1或6个2将需要类似aabababa的东西,这意味着12121年之前不可能(单词aababababa也因为ababa而不可能)。下面关于六元组的评论甚至表明,在任何9元组中,1的数目总是4或5。

序列中只有6个三元组(112、121、122、211、212和221);根据前面的论证,只有18个六元组:6个双三元组(112112,等等);112122、112212、121122、121221、211212和211221;以及通过颠倒三元组的顺序得到的(122112等)。关于序列中1的密度,这12个六元组的密度都是1/2,6个双三元组经过Kolakoski规则变换后,都会得到一个具有这个密度的词,例如:112112->12122(4 1's/8);这是因为第二个三元组与第一个三元组生成的1和2的数字相反。因此,序列可以在一侧分成两个三元组,其变换(在序列中)的密度为1/2;和其他六元组的一部分,它的密度和1相同。(结束)

如果我们将1映射到+1和2映射到-1,那么映射序列的平均值将为0,因为Kolakoski序列的密度(1/2)为1s和2s。有关此映射序列的部分和,请参见A088568号. -丹尼尔放弃了2015年7月8日

看情节A088568号,虽然1s和2s的渐近密度似乎是1/2,但可能有一个偏向2s。一、 e,D(1)=1/2-O(对数(n)/n),D(2)=1/2+O(对数(n)/n)-丹尼尔放弃了2015年7月11日

米歇尔·德金2018年1月31日:(开始)

(a(n))是2块代换β的唯一不动点

11->12

12->122

21->112

22->1122。

2块替换beta将单词w(1)…w(2n)映射到该单词

β(w(1)w(2))…β(w(2n-1)w(2n))。

如果单词的长度为奇数,则忽略最后一个字母。

我在1979年波尔多数论研讨会上指出(a(n+1))是2块代换的不动点11->21,12->211,21->221,22->221。(完)

以美国艺术家和娱乐数学家威廉·乔治·科拉科斯基(1944-1997)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月17日

参考文献

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链接

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埃里克·韦斯坦的数学世界,科拉科斯基序列

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埃德·韦恩,用莎士比亚编程语言生成A000002的程序.

“核心”序列的索引项

公式

这两个公式完全定义了顺序:a(1)=1,a(2)=2,a(a(1)+a(2)+…+a(k))=(3+(-1)^k)/2和a(1)+a(2)+…+a(k)+1=(3-(-1)^k)/2-贝诺伊特·克罗伊特2003年10月6日

a(n+2)*a(n+1)*a(n)/2=a(n+2)+a(n+1)+a(n)-3(这个公式没有定义序列,只是定义的结果)-贝诺伊特·克罗伊特2003年11月17日

a(n+1)=3-a(n)+(a(n)-a(n-1))*(a(b(n))-1,其中b(n)是序列邮编:A156253-让-马克·费杜和加布里埃尔·菲奇2010年3月18日

a(n)=(3+(-1)^邮编:A156253(n) )/2-贝诺伊特·克罗伊特2013年9月17日

例子

从a(1)=1开始。根据序列的定义,这意味着第一次运行的长度为1,因此它必须是单个的1,而a(2)=2。因此,第二次运行(从这个2开始)必须具有长度2,所以第三个项也必须是a(3)=2,第四个项不能是2,所以必须是a(4)=1。因为a(3)=2,第三次运行的长度必须是2,所以我们推导出a(5)=1,a(6)=2,依此类推,我所做的修正是将a(4)改为a(5),a(5)改为a(6)-拉博斯埃勒默,更正人格雷姆·麦克雷

枫木

M:=100;s:=[1,2,2];对于n从3到M do对于i从1到s[n]do s:=[操作(s),1+((n-1)mod 2)];外径:外径:秒;A000002号:=n->s[n];

#基于Cloitre公式的替代实现:

A000002号:=过程(n)

当地ksu,k;

选项记忆;

如果n=1,则

1个;

elif n<=3则

二;

其他的

k从1开始

ksu:=add(procname(i),i=1..k);

如果n=ksu,则

返回值(3+(-1)^k)/2;

elif n=ksu+1则

返回(3-(-1)^k)/2;

结束if;

结束do:

结束if;

结束过程:#R、 J.马萨2014年11月15日

数学

a[steps}:模块[{a={1,2,2}},Do[a=Append[a,1+Mod[(n-1),2]],{n,3,步骤},{i,a[[n]]}];甲]

a[n_u]:=如果[n<3,Max[0,n],模块[{an={1,2,2},m=3},而[Length[an]<n,an=Join[an,Table[Mod[m,2,1],{an[[m]]}]];m++];一个[[n]]]](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

n=8;Prepend[Nest[Flatten[Partition[#,2]/。{2,2}->{2,2,1,1},{2,1}->{2,2,1},{1,2}->{2,1,1},{1,1}->{2,1}]&,{2,2},n],1](*比尔卡斯·格尔基2012年7月10日*)

黄体脂酮素

(同等)我的(a=[1,2,2]);对于(n=3,80,对于(i=1,a[n],a=concat(a,2-n%2)));

(PARI){a(n)=局部(an=[1,2,2],m=3);if(n<1,0,while(#an<n,an=concat(an,vector(an[m],i,2-m%2));m++;an[n])};

(Haskell)a=1:2:drop 2(concat.zipWith replicate a.cycle$[1,2])--约翰·特隆普2011年4月9日

(蟒蛇)

#有关说明,请参阅链接。

def Kolakoski():

x=y=-1

如果是真的:

产量[2,1][x&1]

f=y&~(y+1)

x^=f

y=(y+1)|(f&(x>>1))

K=科拉科斯基()

打印([范围(100)内的[下一个(K)])#大卫·艾普斯坦2016年10月15日

交叉引用

囊性纤维变性。A001083型,A006928号,A042942号,A069864号,A010060型,A078929号,A171899号,A054353型(部分金额),A074286号,甲16345,A294447号.

囊性纤维变性。A054354号,二等分:A100428,A100429号.

囊性纤维变性。A013947号,A156077号,A234322(位置、运行总数和1的百分比)。

囊性纤维变性。A118270年.

囊性纤维变性。A049705号,A088569号(是A000002号? -乔恩·佩里2014年10月30日)

使用除(1,2)以外的其他种子的Kolakoski型序列:

A078880型(2,1),A064353型(1,3),A071820型(2,3),A074804号(3,2),A071907型(1,4),A071928号(2,4),A071942号(3,4),A074803号(4,2),A079729号(1,2,3),A079730号(1,2,3,4)。

其他自我描述:A001462号(Golomb序列,另见参考文献),A005041号,A100144.

囊性纤维变性。A088568号[3-2*a(n)]的部分和。

上下文顺序:A013949号 A331349型 A078880型*A074295号 A331348飞机 A236479号

相邻序列:A000001号*A000003号 A000004号 A000005号 A000006号 A000007号

关键字

,核心,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

示例和PARI代码中的次要编辑M、 哈斯勒2014年5月7日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2022年12月5日09:12。包含358585个序列。(运行在oeis4上。)