搜索： a264772-编号：a264752
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A085478号
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| 行读取的三角形：T（n，k）=二项式（n+k，2*k）。 |
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 5, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1, 1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1, 1, 55, 495, 1716, 3003, 3003, 1820, 680, 153, 19, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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T（n，k）是具有k+1峰值的半长n+1的非递减Dyck路径数。T（n，k）是半长n+1的非递减Dyck路径数，在高度>=2处有k个峰值。T（n，k）是区域n+1，具有k+1列的定向列-凸多项式的数目-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
Riordan阵列（1/（1-x），x/（1-x）^2）-保罗·巴里2005年5月9日
第n行给出了n波序列底线g.f.倒数系数的绝对值Floor van Lamoen（fvlamoen（AT）planet.nl），2006年9月24日
T（n，k）也是高度k>=1（高度（α）=|Im（α）|）和腰部n（腰部（α）=max（Im（α）））的（n链的）保幂等阶全变换的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
A085478号与联合生成A078812号作为多项式u（n，x）系数的三角形数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；对于n>1，u（n，x）=u（n-1，x）+x*v（n-1）x和v（n，x）=u（n-1，x）+（x+1）*v（n-1，x）。请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2012年2月25日
T（n，k）也是2*n+1到2*k+1部分的组成数（有序分区），这些部分都是奇数。证明：k列的o.g.f.，x^k/（1-x）^（2*k+1）对于k>=0，是具有o.g.f（x/（1-x^2））^。因此，T（n，k）是由多项式的和得到的A048996号对于2*n+1到2*k+1部分的划分，它们都是奇数。例如，分区[1,1,5]和[1,3,3]的数字T（3,1）=3+3，即3/（2！*1！）和3/（1！*2！）。将这些分区的数量作为条目的数字三角形为A152157号. -沃尔夫迪特·朗2012年7月9日
x的降次幂的第n行多项式是代数函数F（x）*G（x）^n关于0的第n个泰勒多项式，其中F（x。例如，对于n=4，（1+平方（1+4*x））/（2*sqrt（1+4*x））*（（1+立方（1+4**））/2）^8=（x^4+10*x^3+15*x^2+7*x+1）+O（x^5）-彼得·巴拉2018年2月23日
第n行还给出了中给出的三对角n X n矩阵M_n的特征多项式的系数A332602型：Phi（n，x）：=Det（M_n-x*1_n）=和{k=0..n}T（n，k）*（-x）^k，对于n>=0，Phi（0，x）:=1-沃尔夫迪特·朗2020年3月25日
看起来，n次多项式的最大根等于包含边1的（2n+1）-gon的不同对角线之和。x^3-6x^2+5x-1的最大根为5.048917…=（1+1.80193…+2.24697…）之和。或者，n次多项式的最大根等于σ（2n+1）的平方。检查：5.048917…是σ（7）的平方，2.24697….给定N=2n+1，σ（N）（N奇数）可以定义为1/（2*sin（Pi/（2*N））。关于9-gon，x^4-10x^3+15x^2-7x+1的最大根是8.290859…，=（1+1.879385…+2.532088…+2.879386…）之和，是sigma（9）的平方，2.8793852011年进一步阐明sigma（7）-加里·亚当森2022年6月28日
对于n>=1，第n行由-4*sin（Pi/（4*n+2））^2的最小多项式的系数给出-埃里克·韦斯特因，2023年7月12日
用L表示这个下三角数组，则L*diag（二项式（2*k，k）^2）*transpose（L）是A143007号，A_n X A_n晶格的水晶球序列的方形阵列-彼得·巴拉2024年2月6日
T（n，k）是周期字符串（01）^n中周期子串（01）*k的出现次数（参见Fang第7页的命题4.7）-斯特凡诺·斯佩齐亚，2024年6月9日
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链接
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詹姆斯·伊斯特和尼古拉斯·哈姆，Z^2的格路和子幺半群，arXiv:1811.05735[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n+k）/（n-k）*（2*k）！）。
如果n<k，T（n，0）=1，T（n，k）=0；T（n，k）=和{j>=0}T（n-1-j，k-1）*（j+1）。如果k>0，T（0,0）=1，T（0，k）=0；T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）+Sum_{j>=0}（-1）^j*T（n-l，k+j）*A000108号（j） ●●●●。对于k列，g.f.：求和{n>=0}T（n，k）*x^n=（x^k）/（1-x）^（2*k+1）-菲利普·德尔汉姆2004年2月15日
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-菲利普·德尔汉姆2012年2月6日
k列的O.g.f.：x^k/（1-x）^（2*k+1），k>=0。[见上面三角形的o.g.f.和对构图的注释-沃尔夫迪特·朗2012年7月9日]
例如：（2/sqrt（x+4））*sinh（（1/2）*t*sqrt（1+3*x+x^2）*t^5/5！+（1+6*x+5*x^2+x^3）*t^7/7！+。。。。囊性纤维变性。A091042号. -彼得·巴拉2013年7月29日
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例子
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三角形开头为：
1;
1 1;
1 3 1;
1 6 5 1;
1 10 15 7 1;
1 15 35 28 9 1;
1 21 70 84 45 11 1;
1 28 126 210 165 66 13 1;
1 36 210 462 495 286 91 15 1;
1 45 330 924 1287 1001 455 120 17 1;
1 55 495 1716 3003 3003 1820 680 153 19 1;
...
（0,1,0,1,0，0,0，…）DELTA（1,0,1，-1，0,0,0…）开始：
1
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 3, 1
0, 1, 6, 5, 1
0, 1, 10, 15, 7, 1
0, 1, 15, 35, 28, 9, 1
0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1
0, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1. （结束）
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MAPLE公司
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T：=（n，k）->二项式（n+k，2*k）：seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..11）；
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数学
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（*第一个程序*）
u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=13；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]；
v[n，x]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z/2}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
（*第二个节目*）
表[二项式[n+k，2k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2019年8月1日*）
系数列表[表[Fibonacci[2 n+1，Sqrt[x]]，{n，0，10}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2023年7月3日*）
连接[{{1}}，系数列表[Table[MinimalPolynomial[-4Sin[Pi/（4n+2）]^2，x]，{n，20}]，x]](*埃里克·韦斯特因2023年7月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=二项式（n+k，n-k）
（哈斯克尔）
a085478 n k=a085478_tabl！！n！！k个
a085478_row n=a085478 _ tabl！！n个
a085478_tabl=zipWith（zipWitha007318）a051162_tabl a025581_tabl
（岩浆）[二项式（n+k，2*k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（Sage）[[二项式（n+k，2*k）用于k in（0..n）]用于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔，2019年8月1日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n+k，2*k）））#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A046521号
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| 数组T（i，j）=二项式（-1/2-i，j）*（-4）^j，i，j>=0，由向下的反对偶读取。 |
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+10
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1, 2, 1, 6, 6, 1, 20, 30, 10, 1, 70, 140, 70, 14, 1, 252, 630, 420, 126, 18, 1, 924, 2772, 2310, 924, 198, 22, 1, 3432, 12012, 12012, 6006, 1716, 286, 26, 1, 12870, 51480, 60060, 36036, 12870, 2860, 390, 30, 1, 48620, 218790, 291720, 204204, 87516, 24310
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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作为数字三角形，这是Riordan数组（1/sqrt（1-4x），x/（1-4x））-保罗·巴里2005年5月30日
这个Riordan矩阵的A序列和Z序列是（参见沃尔夫迪特·朗链接位于A006232号对于D.G.Rogers、D.Merlini等人和R.Sprugnoli关于Riordan A-和Z序列的参考文献，以及摘要）：A序列[1,4,0,0,0，…]和Z序列4+2*A000108号（n） *（-1）^（n+1）=[2，2，-4，10，-28，84，-264，858，-2860，9724，-33592，117572，-416024，1485800，-5348800，19389690，-70715340，259289580，-955277400，3534526380]，n>=0。Z序列的o.g.f.为4-2*c（-x），加泰罗尼亚数字o.g.f c（x）-沃尔夫迪特·朗2007年6月1日
Riordan三角形R=（G（x），F（x））的行多项式R（n，x），其中F（x）=x*Fhat（x）属于Boas-Buck多项式类（参见参考文献）。因此，它们满足Boas-Buck恒等式（我们使用Rainville的符号，定理50，p.141）：
（E_x-n*1）*R（n，x）=-和{k=0..n-1}（α（k）*1+β（k）*E_x）*R。Boas-Buck序列由alpha（k）：=[x^k]（（d/dx）log（G（x）））和beta（k）:=[x*k]（d/dx）log。
这需要对Riordan三角形T的列m序列进行递归，n>m>=0:T（n，m）=（1/（n-m））*Sum_{k=m.n.n-1}（α（n-1-k）+m*beta（n-1-k））*T（k，m），输入T（m，m）。
在本例中，行多项式的Boas-Buck恒等式为（E_x-n*1）*R（n，x）=-Sum_{k=0..n-1}2^（2*k+1）*（1+2*E_x）*R。关于三角形T的m列的后续重现性，请参见公式和示例部分。（结束）
以下两条注释是形式为（f（x），x/（1-k*x））的Riordan数组的更一般结果的特殊情况。
1） 设R（n，x）表示该三角形的第n行多项式。多项式R（n，4*x）具有例如f Sum_{k=0..n}T（n，k）*（4*x）/k！。三角形第n对角线的e.g.f.（主对角线从n=0开始）等于exp（x）*多项式R（n，4*x）的e.g.f。例如，当n=3时，我们有exp（x）*（20+30*（4*x）+10*（4]x）^2/2！+（4*x）^3/3！）=20+140*x+420*x^2/2！+924*x^3/3！+1716*x^4/4！+。。。。
2） 设P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）表示x的降次幂的第n行多项式。例如，对于n=4，我们有（1+4*x）^（7/2）=70*x^4+140*x^3+70*x*^2+14*x+1+O（x^5）。
设C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）表示加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号C（x）的导数由恒等式（-1）^n*x^n/n！*决定（d/dx）^n（C（x））=1/（2*x）*（1-P（n，-x）/（1-4*x）^（n-1/2）），n=0,1,2，。。。。参见Lang 2002。囊性纤维变性。A283150型和A283151型.（结束）
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参考文献
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Ralph P.Boas，jr.和R.Creighton Buck，《分析函数的多项式展开》，Springer，1958年，第17-21页（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。
Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。76, 140 - 146.
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链接
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J.W.Bober，阶乘比、超几何级数和阶跃函数族，arXiv:0709.1977[math.NT]，2007；J.伦敦数学。Soc.（2）79 2009，422-444。
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配方奶粉
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T（n，m）=二项式（2*n，n）*二项式。
柱m的总长度：（x/（1-4*x））^m）/sqrt（1-4**）。
上述A序列的递归：A（n，m）=A（n-1，m-1）+4*A（n-l，m），对于n>=m>=1。
上面给出的Z序列的递归：a（n，0）=Sum_{j=0..n-1}Z（j）*a（n-1，j），n>=1；a（0,0）=1。
作为数字三角形，T（n，k）=C（2*n，n）*C（n，k）/C（2*k，k）=C（n-1/2，n-k）*4^（n-k）-保罗·巴里2010年4月14日
三角形数组等于exp（S），其中无穷小生成器S在主次对角上有[2,6,10,14,18，…]，在其他地方有零。
方阵的递推方程：T（n+1，k）=（k+1）/（4*n+2）*T（n，k+1）。（结束）
列m，m>n>=0的Boas-Buck递推：T（n，m）=（2*（2*m+1）/（n-m））*Sum_{k=m.n.n-1}4^（n-1-k）*T（k，m），输入T（n、n）=1。请参阅上面的评论-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
类似于二项式变换，我们有以下序列变换公式：g（n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*b^（n-k）*f（k）iff f（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*T（n，k）*b^（n-k）*g（k）。见普罗丁格，第413页底部，将b替换为4*b，c=1和d=1/2。
等价地，如果F（x）=和{n>=0}F（n）*x^n和G（x）=和{n>=0}G（n）*x^n是一对形式幂级数，那么
当F（x）=1/sqrt（1+4*b*x）*G（x/（1-4*b*x））。
此数组的m次幂包含条目m^（n-k）*T（n，k）。（结束）
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例子
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数组开始：
1, 2, 6, 20, 70, ...
1, 6, 30, 140, 630, ...
1, 10, 70, 420, 2310, ...
1, 14, 126, 924, 6006, ...
A序列的复发率：140=A（4,1）=20+4*30。
Z序列的递归：252=a（5,0）=2*70+2*140-4*70+10*14-28*1。
作为数字三角形，T（n，m）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 2 1
2: 6 6 1
3: 20 30 10 1
4: 70 140 70 14 1
5: 252 630 420 126 18 1
6: 924 2772 2310 924 198 22 1
7: 3432 12012 12012 6006 1716 286 26 1
8: 12870 51480 60060 36036 12870 2860 390 30 1
9: 48620 218790 291720 204204 87516 24310 4420 510 34 1
10: 184756 923780 1385670 1108536 554268 184756 41990 6460 646 38 1
生产矩阵开始
2, 1,
2, 4, 1,
-4, 0, 4, 1,
10, 0, 0, 4, 1,
-28, 0, 0, 0, 4, 1,
84, 0, 0, 0, 0, 4, 1,
-264, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1,
858, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1,
-2860,0,0,0，0,0,1（结束）
列m=2和n=4:T（4，2）=（2*（2*2+1）/2）*Sum_{k=2..3}4^（3-k）*T（k，2）=5*（4*1+1*10）=70的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
在C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）的情况下，
-x^3/3！*（d/dx）^3（C（x））=1/（2*x）*（1-（1-10*x+30*x^2-20*x^3）/（1-4*x）^（5/2））。
x^4/4！*（d/dx）^4（C（x））=1/（2*x）*（1-（1-14*x+70*x^2-140*x^3+70*x*^4）/（1-4*x）^（7/2））。（结束）
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数学
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t[i_，j_]：=如果[i<0||j<0，0，（2*i+2*j）！*i！/（2*i）！/（i+j）！/j！]；压扁[反面/@表格[t[n，k-n]，{k，0，9}，{n，k，0-1}][[1；；51]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，PARI项目后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（i，j）=如果（i<0||j<0，0，（2*i+2*j）*我/（2*i）/（i+j）/j！）
（GAP）平面（列表（[0..9]，n->列表（[0..n]，m->二项式（2*n，n）*二项式（n，m）/二项式（2*m，m）））#穆尼鲁A阿西鲁2018年7月19日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A126075号
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，定义为：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+T（n-1.1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-l，k+1），如果k>=1。 |
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+10
29
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1, 2, 1, 5, 2, 1, 12, 6, 2, 1, 30, 14, 7, 2, 1, 74, 37, 16, 8, 2, 1, 185, 90, 45, 18, 9, 2, 1, 460, 230, 108, 54, 20, 10, 2, 1, 1150, 568, 284, 128, 64, 22, 11, 2, 1, 2868, 1434, 696, 348, 150, 75, 24, 12, 2, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Riordan数组（c（x^2）/（1-2xc（x*2）），xc（x ^2））其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月18日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形通过为（x，y）选择不同的值而产生：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; （1,0）->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599美元; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; （3.0）->A126953号; （3,1）->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; （4,4）->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
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链接
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配方奶粉
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和{k=0..n}T（n，k）*（-k+1）=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月25日
T（n，k）=和{j=0..floor（（n-k）/2）}2^（n-k-2*j）*二项式（n，j）-彼得·巴拉2018年2月20日
x的降次幂的第n行多项式是有理函数（1-x^2）/（1-2*x）*（1+x^2。例如，对于n=4，（1-x^2）/（1-2*x）*（1+x^2，^4=（30*x^4+14*x*3+7*x^2+2*x+1）+O（x^5）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
2, 1;
5, 2, 1;
12, 6, 2, 1;
30, 14, 7, 2, 1;
74, 37, 16, 8, 2, 1;
185, 90, 45, 18, 9, 2, 1;
460, 230, 108, 54, 20, 10, 2, 1;
1150, 568, 284, 128, 64, 22, 11, 2, 1;
2868, 1434, 696, 348, 150, 75, 24, 12, 2, 1;
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MAPLE公司
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加法（2^（n-k-2*j）*二项式（n，j），j=0..层（（n-k）/2））
结束进程：
#三角形显示序列
对于从0到10的n，执行seq(A126075号（n，k），k=0..n）结束do；
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数学
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T[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，2，0]，{n，0，49}，{k，0，n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*）
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作者
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经核准的
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A112857号
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| 行读取的三角形T（n，k）：由高度k（高度（α）=|Im（α）|）的元素组成的保序部分变换（n元素链的）半群中的格林R类数。 |
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+10
10
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 15, 17, 7, 1, 1, 31, 49, 31, 9, 1, 1, 63, 129, 111, 49, 11, 1, 1, 127, 321, 351, 209, 71, 13, 1, 1, 255, 769, 1023, 769, 351, 97, 15, 1, 1, 511, 1793, 2815, 2561, 1471, 545, 127, 17, 1, 1, 1023, 4097, 7423, 7937, 5503, 2561, 799, 161, 19, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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Riordan阵列（1/（1-x），x/（1-2*x））-菲利普·德尔汉姆2014年1月17日
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配方奶粉
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T（n，k）=和{j=k.n}C（n，j）*C（j-1，k-1）。
对于n>=2，T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）；对于n>=0，T（n，0）=1=T（n，n）时，T（n，k）=1<=k<=n-1。
第n行=M^n的顶行，删除零，其中M是一个无限平方生产矩阵，（1,1,1，…）为超对角线，（1,2,2,2，…）为主对角线-加里·亚当森2012年2月6日
以下注释是形式为（f（x），x/（1-k*x））的Riordan数组的更一般结果的特殊情况。
设R（n，x）表示该三角形的第n行多项式。多项式R（n，2*x）具有例如f.和{k=0..n}T（n，k）*（2*x）^k/k！。三角形第n对角线的e.g.f.（主对角线从n=0开始）等于exp（x）*多项式R（n，2*x）的e.g.f。例如，当n=3时，我们有exp（x）*（1+7*（2*x）+5*（2**）^2/2！+（2*x）^3/3！）=1+15*x+49*x^2/2！+111*x^3/3！+209*x^4/4！+。。。。
设P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）表示x的降次幂的第n行多项式，则P（n、x）是函数（1+2*x）^n/（1+x）关于0的n次泰勒多项式。例如，对于n=4，我们有（1+2*x）^4/（1+x）=x^4+15*x^3+17*x^2+7*x+1+O（x^5）。
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例子
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T（3,2）=5，因为在正则变换半群中，Green的R类与{1,2,3}子集的凸划分一致，这些子集具有凸类（模子集）：{1}，{2}/{1}，{3}/{2}
三角形T（n，k）（行n>=0，列k=0..n）开始于：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 7, 5, 1;
1, 15, 17, 7, 1;
1, 31, 49, 31, 9, 1;
1, 63, 129, 111, 49, 11, 1;
1, 127, 321, 351, 209, 71, 13, 1;
1, 255, 769, 1023, 769, 351, 97, 15, 1;
1, 511, 1793, 2815, 2561, 1471, 545, 127, 17, 1;
1, 1023, 4097, 7423, 7937, 5503, 2561, 799, 161, 19, 1;
...
对于矩阵M，M^3的顶行=（1，7，5，1，0，0，…）
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MAPLE公司
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A112857号：=proc（n，k），如果k=0或k=n，则为1；elif k＜0或k＞n则为0；否则2*procname（n-1，k）+procname（n-1，k-1）；结束条件：；结束进程：#R.J.马塔尔，2011年6月20日
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数学
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表[Abs[1+（-1）^k*2^（n-k+1）*Sum[二项式[n-2j-2，k-2j-1]，{j，0，Floor[k/2]}]-4Boole[And[n==1，k==0]]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年11月24日*）
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经核准的
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1, 3, 1, 13, 5, 1, 63, 25, 7, 1, 321, 129, 41, 9, 1, 1683, 681, 231, 61, 11, 1, 8989, 3653, 1289, 377, 85, 13, 1, 48639, 19825, 7183, 2241, 575, 113, 15, 1, 265729, 108545, 40081, 13073, 3649, 833, 145, 17, 1, 1462563, 598417, 224143, 75517, 22363, 5641
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=和{j=0..n}C（n-k，j）*C（n+j，k+j）。
T（n，k）=Sum_{j=0..n}C（n，j）*C（n-k，j-k）*2^（n-j）。
O.g.f.：2/（平方（x^2-6*x+1）*（t*sqrt（x^2-1）+t*x-t+2））=1+（3+t）*x+（13+5*t+t^2）*x^2+。。。。
Riordan数组（f（x），x*g（x）），其中f（x）=1/sqrt（1-6*x+x^2）是中心Delannoy数的o.g.f，A001850号，且g（x）=1/x*反转（x*（1-x）/（1+x））=1+2*x+6*x^2+22*x^3+90*x^4+394*x^5+。。。是大Schroder数的o.g.f，A006318号.
作为方形数组读取，这是Bala链接意义上的广义Riordan数组（f（x），g（x）），它将因子分解为（1+x*g'（x）/g（x）、x*g（x=A110171号*A008288号。请参见下面的示例。（结束）
T（n，k）=（-1）^（n-k）*超几何（[n+1，-n+k]，[1]，2）-彼得·卢什尼2017年3月2日
T（n，k）=P（n-k，k，0，3），其中P（n，alpha，beta，x）是第n个Jacobi多项式，参数为alpha和beta。
T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[n+1，k-n]，[k+1]，-1）。
x的降次幂的第n行多项式是关于0的有理函数（1+x）^n/（1-x）^（n+1）的第n泰勒多项式。例如，对于n=4，（1+x）^4/（1-x）^5=1+9*x+41*x^2+129*x^3+321*x^4+O（x^5）。囊性纤维变性。A110171号.（结束）
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例子
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三角形开始
1;
3, 1;
13, 5, 1;
63, 25, 7, 1;
321, 129, 41, 9, 1;
1683, 681, 231, 61, 11, 1;
8989, 3653, 1289, 377, 85, 13, 1;
...
/ 1 1 1 1 ... \ / 1 \ / 1 1 1 1 ...\
| 3 5 7 9 ... | | 2 1 || 1 3 5 7 ...|
|13 25 41 61 ... | = | 8 4 1 || 1 5 13 25 ...|
|63 129 231 377 ... | |38 18 6 1 || 1 7 25 63 .. |
|... | |... || 1... |
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->（-1）^（n-k）*超几何（[n+1，-n+k]，[1]，2）：
seq（seq（简化（T（n，k）），k=0..n），n=0..8）#彼得·卢什尼2017年3月2日
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数学
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表[Sum[二项式[n-k，j]二项式[n+j，k+j]，{j，0，n}]，{n，0，9}，{k，0，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2015年12月9日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 5, 0, 4, 0, 1, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0, 1, 429, 0, 572, 0, 429, 0, 208, 0, 65, 0, 12, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第n行多项式（x的降幂）等于多项式函数（1-x^4）*（1+x^2）^n约为0的第n次泰勒多项式。例如，当n=6时，（1-x^4）*（1+x^2）^6=1+6*x^2+14*x^4+14*x^6+O（x^8）-彼得·巴拉2018年2月19日
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链接
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配方奶粉
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和{k=0..n}T（n，k）=二项式（n+1，floor（n/2））=A037952号（n+1）。
T（n，k）=（（1+（-1）^（n-k））/2）*二项式（n，floor（n-k-彼得·巴拉2018年2月19日
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例子
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三角形开始
1;
0, 1;
2, 0, 1;
0, 3, 0, 1;
5, 0, 4, 0, 1;
0, 9, 0, 5, 0, 1;
14, 0, 14, 0, 6, 0, 1;
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MAPLE公司
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seq（seq（（1+（-1）^（n-k））/2*（二项式（n，floor（n-k#彼得·巴拉2018年2月19日
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数学
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T[n_，k_]：=（1+（-1）^（n-k））/2（二项式[n，Floor[（n-k）/2]]-二项式[n，Floor[（n-k-4）/2]]）；
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的签名版本的前n行。
D=[0]*（n+4）；D[1]=1
b=错误；h=2
对于范围（2*n+2）内的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]-=D[k+1]
b=非b
如果b和i>0：打印（[D[z]代表（2..h-1）中的z）
（岩浆）
A112554号：=函数<n，k|（（1+（-1）^（n-k））/2）*（二项式（n，Floor（（n-k；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 3, 2, 1, 5, 6, 3, 1, 11, 15, 10, 4, 1, 21, 41, 30, 15, 5, 1, 43, 113, 92, 51, 21, 6, 1, 85, 327, 284, 171, 79, 28, 7, 1, 171, 982, 897, 570, 286, 115, 36, 8, 1, 341, 3066, 2895, 1913, 1016, 446, 160, 45, 9, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对角线总和为A135582号Riordan数组的逆矩阵（1-x-x^2+4x^3-2x^4，x（1-x））。
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链接
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配方奶粉
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Riordan数组（1/（1-x-2x^2），xc（x）），其中c（x）是A000108号
定义a（n）=楼层（2^（n+2）/3）-楼层（2#（n+1）/3）=A001045号（n+1）。那么T（n，0）=a（n）和T（n、k）=Sum_{j=0..n-k}a（j）*k/（2*n-k-2*j）*二项式（2*n-k-2*j，n-k-j）对于1<=k<=n。
定义b（n）=（2/3）*（1+i）^（n-1）+（2/3。那么T（n，k）=和{j=0..n-k}b（j）*二项式（2*n-k-j，n）对于0≤k≤n。
x的降次幂的第n行多项式是有理函数（1-2*x）/（（1-x）*（1+x-x^2）*（1-2x+2*x^2。例如，对于n=4，（1-2*x）/（（1-x）*（1+x-x^2）*（1-2*x+2*x^2，）*1/（1-x）^4=（11*x^4+15*x^3+10*x^2+4*x+1）+O（x^5）。（结束）
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例子
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三角形开始
1;
1, 1;
3, 2, 1;
5, 6, 3, 1;
11, 15, 10, 4, 1;
21, 41, 30, 15, 5, 1;
43, 113, 92, 51, 21, 6, 1;
85, 327, 284, 171, 79, 28, 7, 1;
171, 982, 897, 570, 286, 115, 36, 8, 1;
此阵列的生产矩阵为
1, 1,
2, 1, 1,
-2, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
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MAPLE公司
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#定义辅助序列
使用（组合）：
b:=程序（n）
（2/3）*（1+I）^（n-1）+（2/3；
结束进程：
加上（b（j）*二项式（2*n-k-j，n），j=0..n-k）；
结束进程：
#将序列显示为三角形
对于从0到10 do的n
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A264773号
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| 三角形T（n，k）=二项式（4*n-3*k，3*n-2*k），0<=k<=n。 |
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+10
三
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1, 4, 1, 28, 5, 1, 220, 36, 6, 1, 1820, 286, 45, 7, 1, 15504, 2380, 364, 55, 8, 1, 134596, 20349, 3060, 455, 66, 9, 1, 1184040, 177100, 26334, 3876, 560, 78, 10, 1, 10518300, 1560780, 230230, 33649, 4845, 680, 91, 11, 1, 94143280, 13884156, 2035800, 296010, 42504, 5985, 816, 105, 12, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Riordan数组（f（x），x*g（x）），其中g（x”）=1+x+4*x^2+22*x^3+140*x^4+。。。是o.g.fA002293号而f（x）=g（x）/（4-3*g（x））=1+4*x+28*x^2+220*x^3+1820*x^4+。。。是o.g.fA005810号.
更一般地说，如果（R（n，k））n，k>=0是一个Riordan数组，m是一个非负整数，a>b是整数，那么具有第（n，k）个元素R（（m+1）*n-a*k，m*n-b*k）的数组也是一个Rirdan数组（不一定是正确的）。这里我们取R作为帕斯卡三角形，m=a=3和b=2。请参见A092392号,A264772号,264774元和A113139号更多示例。
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链接
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E.Lebensztayn，关于可达自动机的渐近枚举《离散数学与理论计算机科学》，第12卷，第3期，2010年，75-80，第2节。
R.Sprugnoli，组合数学中的数学方法简介CreateSpace Independent Publishing Platform 2006，第5.6节，ISBN-13:978-1502925244。
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（4*n-3*k，n-k）。
O.g.f.：f（x）/（1-t*x*g（x）），其中f（x。
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例子
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三角形开始
否|0 1 2 3 4 5 6 7
------+-----------------------------------------------
0 | 1
1 | 4 1
2 | 28 5 1
3 | 220 36 6 1
4 | 1820 286 45 7 1
5 | 15504 2380 364 55 8 1
6 | 134596 20349 3060 455 66 9 1
7 | 1184040 177100 26334 3876 560 78 10 1
...
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MAPLE公司
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邮编：264473：=proc（n，k）二项式（4*n-3*k，3*n-2*k）；结束进程：
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（4*n-3*k，3*n-2*k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年12月2日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A264774号
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| 三角形T（n，k）=二项式（5*n-4*k，4*n-3*k），0<=k<=n。 |
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+10
三
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1, 5, 1, 45, 6, 1, 455, 55, 7, 1, 4845, 560, 66, 8, 1, 53130, 5985, 680, 78, 9, 1, 593775, 65780, 7315, 816, 91, 10, 1, 6724520, 736281, 80730, 8855, 969, 105, 11, 1, 76904685, 8347680, 906192, 98280, 10626, 1140, 120, 12, 1, 886163135, 95548245, 10295472, 1107568, 118755, 12650, 1330, 136, 13, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Riordan数组（f（x），x*g（x）），其中g（x）=1+x+5*x^2+35*x^3+285*x^4+。。。是o.g.fA002294号而f（x）=g（x）/（5-4*g（x））=1+5*x+45*x^2+455*x^3+4845*x^4+。。。是o.g.fA001449号.
更一般地，如果（R（n，k））n，k>=0是一个正确的Riordan数组，m是非负整数，a>b是整数，那么具有第（n，k）个元素R（（（m+1）*n-a*k，m*n-b*k）的数组也是Riordan数组（不一定是正确的）。这里我们取R作为帕斯卡三角形，m=a=4，b=3。请参见A092392号,A264772号,A264773号和A113139号更多示例。
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链接
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R.Sprugnoli，组合数学方法导论，CreateSpace Independent Publishing Platform 2006，第5.6节，ISBN-13:978-1502925244。
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（5*n-4*k，n-k）。
O.g.f.：f（x）/（1-t*x*g（x）），其中f（x。
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例子
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三角形开始
否|0 1 2 3 4 5 6 7
------+---------------------------------------------
0 | 1
1 | 5 1
2 | 45 6 1
3 | 455 55 7 1
4 | 4845 560 66 8 1
5 | 53130 5985 680 78 9 1
6 | 593775 65780 7315 816 91 10 1
7 | 6724520 736281 80730 8855 969 105 11 1
...
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MAPLE公司
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A264774号：=proc（n，k）二项式（5*n-4*k，4*n-3*k）；结束进程：
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数学
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表[二项式[5n-4k，4n-3k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格，2015年12月1日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）/*作为三角形*/[[二项式（5*n-4*k，4*n-3*k）：在[0.n]]中的k：在[0.10]]中的n//文森佐·利班迪2015年12月2日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A283150型
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| Riordan阵列（1/（1-9x）^（1/3），x/（9x-1））。 |
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+10
三
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1, 3, -1, 18, -12, 1, 126, -126, 21, -1, 945, -1260, 315, -30, 1, 7371, -12285, 4095, -585, 39, -1, 58968, -117936, 49140, -9360, 936, -48, 1, 480168, -1120392, 560196, -133380, 17784, -1368, 57, -1, 3961386, -10563696, 6162156, -1760616, 293436, -30096, 1881, -66, 1, 33011550, -99034650, 66023100
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（m，n）的矩阵逆是a（m，n）-沃纳·舒尔特2017年8月5日
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链接
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配方奶粉
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a（m，n）=二项式（-n-1/3，m-n）*（-1）^m*9^（m-n）。
通用：（1-9x）^（2/3）/（xy-9x+1）。
递归：对于0<n<=m，a（m，n）=a（m、n-1）*（n-1-m）/（9*n-6）-沃纳·舒尔特2017年8月5日
设P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）表示x的降次幂的第n行多项式，则（-1）^n*P（n、x）是（1-9*x）^（n2/3）关于0的第n次泰勒多项式。例如，对于n=4，我们有（1-9*x）^（10/3）=945*x^4-1260*x^3+315*x*^2-30*x+1+O（x^5）。
设R（n，x）表示该三角形的第n行多项式。多项式R（n，9*x）具有例如f Sum_{k=0..n}T（n，k）*（9*x）^k/k！。三角形第n对角线的e.g.f.（主对角线从n=0开始）等于exp（-x）*多项式R（n，9*x）的e.g.f。例如，当n=3时，我们有exp（-x）*（126-126*（9*x）+21*（9**）^2/2！-（9*x）^3/3！）=126-1260*x+4095*x^2/2！-9360*x^3/3！+17784*x^4/4！-。。。。
设F（x）=（1-（1-9*x）^（2/3））/（3*x）表示A155579号F（x）的导数通过恒等式x^n/n！*与行多项式P（n，x）相关（d/dx）^n（F（x））=1/（3*x）*（（-1）^n-P（n，x）/（1-9*x）^（n-2/3）），n=0,1,2，。。。。囊性纤维变性。A283151型和A046521号.（结束）
T（n，k）=（-1）^k*二项式（n-2/3，n-k）*9^（n-k）。
与二项式变换类似，我们有以下序列变换公式：g（n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*b^（n-k）*f（k）iff（n）=Sum__{k=0..n}T。见普罗丁格，第413页底部，将b替换为9*b，c=-1和d=1/3。
等价地，如果F（x）=和{n>=0}F（n）*x^n和G（x）=和{n>=0}G（n）*x^n是一对形式幂级数，那么
当F（x）=（1/（1+9*b*x）^（1/3））*G（x/（1-9*b**x））。
无符号数组的无穷小生成器在主子对角上有序列（9*n+3）n>=0，其他地方有零。无符号数组的m次方具有条目m^（n-k）*|T（n，k）|。（结束）
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例子
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三角形开始
1;
3, -1;
18, -12, 1;
126, -126, 21, -1;
945, -1260, 315, -30, 1;
7371, -12285, 4095, -585, 39, -1;
58968, -117936, 49140, -9360, 936, -48, 1;
480168, -1120392, 560196, -133380, 17784, -1368, 57, -1;
3961386, -10563696, 6162156, -1760616, 293436, -30096, 1881, -66, 1;
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->（-1）^k*二项式（n-2/3，n-k）*9^（n-k）：
对于从0到6的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼2021年9月3日
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黄体脂酮素
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（PARI）a（m，n）=二项式（-n-1/3，m-n）*（-1）^m*9^（m-n）；
tabl（nn）=用于（n=0，nn，用于（k=0，n，print1（a（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯2017年8月7日
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经核准的
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