%I#94 2021年9月5日05:35:43

%S 1,2,1,6,6,1,20,30,10,1,70140,70,14,1252630420126,18,19242772，

%电话：2310924198,22,1343220121201260061716286,26,11287051480，

%电话：60060360361287028602860286390,30,148620218702917202042048751624310

%N数组T（i，j）=二项（-1/2-i，j）*（-4）^j，i，j>=0，由向下的反对偶读取。

%C或，与A000984（中心二项式）和A000302（4的幂）相关的三角形。

%C这是Riordan矩阵的一个示例。参见Shapiro等人在A053121项下引用的参考文献以及Wolfdieter Lang参考文献第306页的注释1和2。

%C作为数字三角形，这是Riordan数组（1/sqrt（1-4x），x/（1-4x））_保罗·巴里，2005年5月30日

%C此Riordan矩阵的A-和Z-序列为（参见A006232下的Wolfdieter Lang链接，了解D.G.Rogers、D.Merlini等人和R.Sprugnoli对Riordan A-和Z序列的引用及其摘要）：A序列[1,4,0,0,0，…]和Z序列4+2*A000108（n）*（-1）^（n+1）=[2，2，-4，10，-28，84，-264，858，-2860，9724，-33592，117572，-416024，1485800，-5348800，19389690，-70715340，259289580，-955277400，3534526380]，n>=0。Z序列的o.g.f.为4-2*c（-x），加泰罗尼亚数字o.g.f c（x）.-_Wolfdieter Lang，2007年6月1日

%C作为一个三角形，T（2n，n）是A001448。行和为A046748。对角线总和为A176280_保罗·巴里（Paul Barry），2010年4月14日

%C From_Wolfdieter Lang_，2017年8月10日：（开始）

%C Riordan三角形R=（G（x），F（x））的行多项式R（n，x），其中F（x）=x*Fhat（x）属于Boas-Buck多项式类（见参考文献）。因此，它们满足Boas-Buck恒等式（我们使用Rainville的符号，定理50，p.141）：

%C（E_x-n*1）*R（n，x）=-Sum_{k=0..n-1}（α（k）*1+β（k）*E_x）*R。Boas-Buck序列由alpha（k）：=[x^k]（（d/dx）log（G（x）））和beta（k）:=[x*k]（d/dx）log。

%C这需要对Riordan三角形T的m列序列进行递归，n>m>=0：T（n，m）=（1/（n-m））*求和{k=m.n.n-1}（α（n-1-k）+m*β（n-1-k））*T（k，m），输入T（m，m）。

%C在本例中，行多项式的Boas-Buck恒等式为（E_x-n*1）*R（n，x）=-Sum_{k=0..n-1}2^（2*k+1）*（1+2*E_x）*R。关于三角形T的m列的后续重现性，请参见公式和示例部分。（结束）

%C From _Peter Bala，2018年3月4日：（开始）

%C以下两条注释是形式为（f（x），x/（1-k*x））的Riordan数组的更一般结果的特殊情况。

%C 1）设R（n，x）表示该三角形的第n行多项式。多项式R（n，4*x）具有例如f.和{k=0..n}T（n，k）*（4*x）/k！。三角形第n对角线的e.g.f.（主对角线从n=0开始）等于exp（x）*多项式R（n，4*x）的e.g.f。例如，当n=3时，我们有exp（x）*（20+30*（4*x）+10*（4]x）^2/2！+（4*x）^3/3！）=20+140*x+420*x^2/2！+924*x^3/3！+1716*x^4/4！+。。。。

%C2）设P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）表示x的降次幂的第n行多项式。例如，对于n=4，我们有（1+4*x）^（7/2）=70*x^4+140*x^3+70*x*^2+14*x+1+O（x^5）。

%C设C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）表示加泰罗尼亚数字A000108的o.g.f。C（x）的导数由恒等式（-1）^n*x^n/n！*决定（d/dx）^n（C（x））=1/（2*x）*（1-P（n，-x）/（1-4*x）^（n-1/2）），n=0,1,2，。。。。参见Lang 2002。参见A283150和A283151。（结束）

%D Ralph P.Boas，jr.和R.Creighton Buck，《解析函数的多项式展开》，Springer，1958年，第17-21页，（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。

%D Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。76, 140 - 146.

%H Muniru A Asiru，反对角线n=0..50，扁平</a>

%H Peter Bala，嵌入式Riordan阵列的四参数系列</a>

%H Peter Bala，正确Riordan数组对角线上的注释</a>

%H Paul Barry，<a href=“http://arxiv.org/abs/1312.0583“>与Riordan阵列和矩矩阵相关的嵌入结构</a>，arXiv预印本arXiv:1312.0583[math.CO]，2013。

%H J.W.Bober，<a href=“http://arxiv.org/abs/0709.1977“>因子比、超几何级数和一系列阶跃函数</a>，arXiv:0709.1977[math.NT]，2007；伦敦数学学会杂志（2）79 2009，422-444。

%H Wolfdieter Lang，前10行</a>

%H Wolfdieter Lang，<a href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/40-4/lang.pdf“>关于与加泰罗尼亚数生成函数导数有关的多项式，Fib.Quart.40,4（2002）299-313；T（n，m）在那里称为B（n，m）。

%H H.Prodinger，<a href=“https://www.fq.math.ca/Scanned/32-5/prodinger.pdf“>关于二项式变换的一些信息，《斐波那契季刊》，第32期，1994年，第412-415页。

%F T（n，m）=二项式（2*n，n）*二项式。

%柱m的F G.F:（（x/（1-4*x））^m）/sqrt（1-4**）。

%F上述A-序列的递归：A（n，m）=A（n-1，m-1）+4*A（n-l，m），对于n>=m>=1。

%F上述Z序列的递归：a（n，0）=Sum_{j=0..n-1}Z（j）*a（n-1，j），n>=1；a（0,0）=1。

%F作为数字三角形，T（n，k）=C（2*n，n）*C（n，k）/C（2*k，k）=C（n-1/2，n-k）*4^（n-k）_保罗·巴里（Paul Barry），2010年4月14日

%F From _Peter Bala，2012年4月11日：（开始）：

%F高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一（参见Bober定理1.2）。其他两个是A007318和A068555。

%F三角形数组等于exp（S），其中无穷小生成元S在主副对角上有[2,6,10,14,18，…]，其他地方有零。

%F方阵的递推方程：T（n+1，k）=（k+1）/（4*n+2）*T（n，k+1）。（结束）

%F T（n，k）=4^（n-k）*A006882（2*n-1）//（2*n-2*k）*（2*k-1）！！）.-_Peter Bala，2016年11月7日

%F列m的Boas-Buck递推，m>n>=0:T（n，m）=（2*（2*m+1）/（n-m））*Sum_{k=m.n.n-1}4^（n-1-k）*T（k，m），输入T（n、n）=1。请参阅上面的评论_Wolfdieter Lang，2017年8月10日

%F From _Peter Bala，2021年8月13日：（开始）

%F与二项式变换类似，我们有以下序列变换公式：g（n）=和{k=0..n}T（n，k）*b^（n-k）*F（k）iff（n）=和{k=0..n}（-1）^。见普罗丁格，第413页底部，将b替换为4*b，c=1和d=1/2。

%等价地，如果F（x）=和{n>=0}F（n）*x^n和G（x）=和{n>=0}G（n）*x^n是一对形式幂级数，那么

%当F（x）=1/sqrt（1+4*b*x）*G（x/（1-4*b*x））。

%F这个数组的m次幂有条目m^（n-k）*T（n，k）。（结束）

%e阵列开始：

%e 1、2、6、20、70。。。

%e 1、6、30、140、630。。。

%e 1、10、70、420、2310。。。

%e 1、14、126、924、6006。。。

%e A序列的复发率：140=A（4,1）=20+4*30。

%e Z序列的递归：252=a（5,0）=2*70+2*140-4*70+10*14-28*1。

%e来自Paul Barry，2010年4月14日：（开始）

%e作为数字三角形，T（n，m）开始于：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

%e 0:1

%e 1：2 1

%电子2：6 6 1

%电子3:20 30 10 1

%电子4:70 140 70 14 1

%电子邮箱5:252 630 420 126 18 1

%电子邮箱6:924 2772 2310 924 198 22 1

%电子邮箱：3432 12012 12012 6006 1716 286 26 1

%电子邮箱：12870 51480 60060 36036 12870 2860 390 30 1

%电子邮箱：48620 218790 291720 204204 87516 24310 4420 510 34 1

%电子邮箱：184756 923780 1385670 1108536 554268 184756 41990 6460 646 38 1

%e。。。【2017年8月10日，沃尔夫迪特·朗重新格式化并扩展】

%e生产矩阵开始

%e 2、1、，

%e 2、4、1、，

%e-4、0、4、1、，

%e 10、0、0、4、1、，

%e-28，0，0，0，4，1，

%e 84、0、0、O、0、4、1、，

%e-264、0、0、0,0、0，4、1、，

%e 858，0，0，0,0，0,1，

%e-2860，0，0，0-0，0-0，0-4，1（结束）

%e列m=2和n=4:T（4，2）=（2*（2*2+1）/2）*Sum_{k=2..3}4^（3-k）*T（k，2）=5*（4*1+1*10）=70.-的Boas-Buck递推_Wolfdieter Lang，2017年8月10日

%e From _Peter Bala，2018年2月15日：（开始）

%e C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x），

%电子-x^3/3！*（d/dx）^3（C（x））=1/（2*x）*（1-（1-10*x+30*x^2-20*x^3）/（1-4*x）^（5/2））。

%e x ^4/4！*（d/dx）^4（C（x））=1/（2*x）*（1-（1-14*x+70*x^2-140*x^3+70*x*^4）/（1-4*x）^（7/2））。（结束）

%t t[i_，j_]：=如果[i<0||j<0，0，（2*i+2*j）！*i！/（2*i）！/（i+j）！/j！]；压扁[Reverse/@表[t[n，k-n]，{k，0，9}，{n，k，0-1}][[1；；51]]（*Jean-François Alcover_，2011年6月1日，在PARI项目之后*）

%o（PARI）T（i，j）=如果（i<0|j<0,0，（2*i+2*j）*我/（2*i）/（i+j）/j！）

%o（GAP）平面（列表（[0..9]，n->列表（[0..n]，m->二项式（2*n，n）*二项式（n，m）/二项式（2*m，m）））；#_Muniru A Asiru，2018年7月19日

%m=0..10的Y列为A000984、A002457、A002802、A020918-A020932（仅偶数）。行总和：A046748。参见A007318、A068555。

%Y参见A001147、A006882、A283150、A283151、A111959。

%K non，tabl，简单

%0、2

%A _狼人郎_