搜索： a004760-编号：a004760
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1, 2, 4, 3, 6, 5, 6, 4, 8, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 10, 9, 10, 8, 11, 9, 10, 7, 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 6, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 12, 9, 14, 12, 13, 10, 14, 11, 12, 8, 15, 13, 14, 11, 15, 12, 13, 9, 16, 13, 14, 10, 15, 11, 12, 7, 14, 13, 14, 12, 15, 13, 14, 11, 16, 14, 15, 12, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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顺序A016116号可以通过计算交替提取和跳过的项数来识别提取的子序列。[此评论来自原始提交者。我不理解。-Antti Karttunen，2009年10月12日]
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链接
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黄体脂酮素
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（Python）
a、 b=1+（m:=n-1）.位长度（），1
对于枚举中的i，j（bin（m）[：1:-1]，1）：
如果为int（j）：
a+=i-b
b+=1
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 6, 6, 4, 4, 3, 2, 0, 0, 15, 14, 12, 12, 11, 10, 8, 8, 6, 6, 4, 4, 3, 2, 0, 0, 30, 30, 28, 28, 27, 26, 24, 24, 22, 22, 20, 20, 19, 18, 16, 16, 15, 14, 12, 12, 11, 10, 8, 8, 6, 6, 4, 4, 3, 2, 0, 0, 63, 62, 60, 60, 59, 58, 56, 56, 54, 54, 52, 52, 51, 50
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（2）=2a（1）=0；a（3）=2a（1）=0；a（4）=2a（2）+3=3；a（5）=2a（2）+2=2。
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黄体脂酮素
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列表0（nn）=选择（x->is0（x），向量（nn，k，k））；
列表7（nn）={my（va=向量（nn，））；va[1]=3；对于（n=2，nn，va[n]=nexta（va[n-1]，n）；）；va；}\\A160217型
列表d（nn）={my（v7=list7（nn\\米歇尔·马库斯2018年12月15日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A007814号
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| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
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874
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0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项串联起来，得到0,1,0,2,0,1,2,2。将+1加到上学期等-Benoit Cloitre公司2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-Ralf Hinze（Ralf（AT）informatik.uni-bonn.de），2003年8月26日
态射的不动点0->01，1->02，2->03，3->04。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0开始-菲利普·德尔汉姆2004年3月15日
同态0->010，1->2，2->3，…，的不动点。。。，n->（n+1）-约尔格·阿恩特2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））将F（n）+2^k除以r=k mod 2^n和r！=1. -T.D.诺伊2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目-M.F.哈斯勒2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）注释展开者N.J.A.斯隆2019年1月28日
引理：对于具有r=a（n）=a（m）的n<m，存在具有a（k）>r的n<k<m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在是a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2进制值-杰森·金伯利2011年9月9日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，海因氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。例如：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型. -Emeric Deutsch公司2017年8月24日
除了如上所述的平方自由外，序列还具有这样的特性，即每个连续的子序列至少包含一个奇数次的数字-乔恩·里奇菲尔德2018年12月20日
a（n+1）是4k+1形式的任意u的和{e=0..n}u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的2元估值(A016813号). -安蒂·卡图恩2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接-弗雷德里克·鲁格2021年6月14日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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Alain Connes、Caterina Consani和Henri Moscovici，齐塔零点和长波算子，arXiv:2310.18423[math.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309 (2009), 6245-6254.
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
劳拉·普德威尔和埃里克·罗兰，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月11日
通用公式：A（x）=和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月10日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）.-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^-A.内维斯，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（n）＝log_2（n-（n与n-1））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（（2xy-1）*2 ^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年8月4日
a（n）*（n模块4）=2*楼层（（n+1）模块4）/3）-加里·德特利夫斯2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月11日
a（n）=2*总和{j=1..层（log_2（n））}压裂（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）-达里奥·德卡斯特罗2022年7月8日
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例子
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2^3除以24，因此a（24）=3。
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0;
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
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MAPLE公司
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ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而jmod2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
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数学
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表[IntegerExponent[n，2]，{n，64}](*埃里克·韦斯特因*)
p＝2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：因式分解（x）==2））#克里斯蒂安·安德森2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#因德拉尼尔·戈什2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#_柴华武2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））；；安蒂·卡图恩，2017年10月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A010060型
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| Thue-Morse序列：让A_k表示前2^k项；然后A_0=0，对于k>=0，A_{k+1}=A_kB_k，其中B_k是通过交换0和1从A_k获得的。 |
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+10
566
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0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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以Axel Thue命名，其名字的发音好像是拼写为“Tü”，其中u的发音与德语单词u ben大致相同。（说“Too-ee”或“Too-eh”是不正确的。）-N.J.A.斯隆，2018年6月12日
也称为Thue-Morse无限字，或Morse-Hedlund序列，或奇偶序列。
同态0-->01、1-->10的不动点，请参见示例-约尔格·阿恩特2013年3月12日
序列是立方的（不包含三个连续的相同块）[参见Offner以获得直接证明]，并且是无重叠的（不包括XYXYX，其中X是0或1，Y是0和1的任何字符串）。
a（n）=“奇偶序列”=n的二进制表示中1个数的奇偶性。
a（n）=S2（n）mod 2，其中S2（n）=以2为基数的n，n的位数之和。有一类广义Thue-Morse序列：设Sk（n）=n的位数之和；n采用base-k表示法。设F（t）是某个算术函数。则a（n）=F（Sk（n））mod m是广义Thue-Morse序列。经典的Thue-Morse序列是k=2，m=2，F（t）=1*t的情况-Ctibor O.Zizka公司，2008年2月12日（修正自丹尼尔·汉格2017年5月19日）
更一般地，广义Thue-Morse序列a（n）=F（Sk（n））modm的部分和是分形的，其中Sk（n）是以k为基数的n，n的位数之和；F（t）是一个算术函数；m整数-Ctibor O.Zizka公司2008年2月25日
从偏移量1开始，=捏合序列的运行总和mod 2(A035263号, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...); 也等于A005187号: (1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, ...). -加里·亚当森2008年6月15日
广义Thue-Morse序列mod n（n>1）=A141803号当n->无穷大时，序列->（1，2，3，…）-加里·亚当森2008年7月10日
对于所有正整数k，子序列a（0）到a（2^k-1）与子序列a，（2^k+2^（k-1））到a，2^（k+1）+2^。也就是说，A_k的上半部分与B_k的下半部分相同，A_k的下半段与B_{k+1}的第一个四分之一相同，后者由紧跟在B_k之后的k/2项组成。
证明：子序列a（2^k+2^（k-1））到a（2qu（k+1）-1）是B_k的后半部分，根据定义，它是由a_k的后半部分a（2~（k-1，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，a_k的前半部分，根据定义也是a_{k-1}，通过交换其0和1。交换子序列的0和1两次使其保持不变，因此子序列a，必须与子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）相同，即a_k的前半部分。
此外，子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，根据定义，是通过互换其0和1，从子序列a的（0）到a_{k+1}的第二个四分之一，即a_k的后半部分，形成的，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，根据定义a{k-1}，也是通过交换其0和1而形成的。如果通过交换其0和1，从同一子序列形成两个子序列，那么它们必须相同，因此子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，必须与子序列a。
因此，子序列a（0）。。。，a（2^（k-1）-1），a。。。，a（2^k-1）与子序列a（2q+2^（k-1））相同。。。，a（2^（k+1）-1），a（2qu（k+1））。。。，a（2^（k+1）+2^（k-1）-1），量子电动力学。
根据1929年德国国际象棋规则，如果相同的动作顺序连续重复三次，就可以下棋。尤韦（Euwe），见参考文献，证明了这个规则可以导致无限游戏。为了证明这一点，他重新设计了Thue-Morse序列-约翰内斯·W·梅耶尔，2010年2月4日
“Thue-Morse 0->01&1->10，在每个阶段用补码附加前一个。从0、1、2、3开始，用二进制写。然后计算数字之和（mod 2），即除以2，然后使用余数。”数学书Pickover。
设s_2（n）是n和epsilon（n）=（-1）^s_2（n）的基2位数的和，即Thue-Morse序列，则prod（n>=0，（（2*n+1）/（2*n+2））^epsilon（n））=1/sqrt（2）-乔纳森·沃斯邮报，2012年6月6日
Dekking表明，通过将此序列解释为二进制展开而获得的常数是超越的；另请参阅“无处不在的彩色莫尔斯序列”-查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月23日
虽然0或1的概率相等，但根据看到的最新位进行猜测会产生3次正确匹配中的2次-比尔·麦克阿欣2015年3月13日
从a（0）到a（2n+1），n+1项等于0，n+1项等于1（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）-伯纳德·肖特2022年1月21日
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参考文献
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配方奶粉
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a（2n）=a（n），a（2n+1）=1-a（n）、a（0）=0。此外，如果0<=k<2 ^m，a（k+2^m）=1-a（k）。
如果n=总和b_i*2 ^i是n的二进制展开式，则a（n）=总和b_i（mod 2）。
设S（0）=0，对于k>=1，通过映射0->01和1->10从S（k-1）构造S（k）；序列是S（无穷大）。
a（0）=0，a（n）=（n+a（楼层（n/2）））模块2；同时a（0）=0，a（n）=（n-a（楼层（n/2）））mod 2-Benoit Cloitre公司2003年12月10日
设b（1）=1，b（n）=b（天花板（n/2））-b（地板（n/2）），则a（n-1）=（1/2）*（1-b（2n-1））-Benoit Cloitre公司2005年4月26日
G.f.A（x）满足：A（x）=x/（1-x^2）+（1-x）*A（x^2）-伊利亚·古特科夫斯基，2021年7月29日
对于k>=0，a（n）=a（n*2^k）。
a（（2^m-1）^2）=（1-（-1）^m）/2（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）。（结束）
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例子
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从0开始的演变是：
0
0, 1
0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
.......
A_2=0 1 1 0，所以B_2=1 0 0 1和A_3=A_2 B_2=0 11 0 1 0 1。
迭代替换的第一步是
开始时间：0
规则：
0 --> 01
1 --> 10
-------------
0: (#=1)
0
1: (#=2)
01
2: (#=4)
0110
3: (#=8)
01101001
4: (#=16)
0110100110010110
5: (#=32)
01101001100101101001011001101001
6: (#=64)
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
（结束）
0;
1;
1,0;
1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0;
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0;
（结束）
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MAPLE公司
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s：=proc（k）局部i，ans；ans:=[0,1]；对于从0到k的i，执行ans:=[op（ans），op（map（n->（n+1）mod 2，ans））]od；返回ans；结束；t1:=s（6）；A010060型：=n->t1[n]；#s（k）给出了前2^（k+2）项。
a:=proc（k）b:=[0]：对于n从1到k做b:=subs（{0=[0，1]，1=[1，0]}，b）od:b；结束；#去掉括号后，a（k）给出了前2^k项示例：a（3）；给出[[[0，1]，[1，0]]，[[1，0]，[0，1]]]
添加（i，i=转换（n，base，2））mod 2；
结束进程：
map（`-`，convert（StringTools[ThueMorse]（1000），字节），48）#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月22日
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数学
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表[If[OddQ[Count[IntegerDigits[n，2]，1]]，1，0]，{n，0，100}]；
mt=0；Do[mt=ToString[mt]<>ToString[（10^（2^n）-1）/9-ToExpression[mt]]，{n，0，6}]；前缀[RealDigits[N[ToExpression[mt]，2^7]][[1]，0]
Mod[Count[#，1]&/@表格[Integer Digits[i，2]，{i，0，2^7-1}]，2](*哈兰·J·兄弟，2005年2月5日*）
a[n]：=如果[n==0，0，如果[Mod[n，2]==0，a[n/2]，1-a[（n-1）/2]]](*本·布兰曼2010年10月22日*）
a[n_]：=Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#，#-1]&，n]]，2](*简·曼加尔丹2015年7月23日*）
表[2/3（1-Cos[Pi/3（n-求和[（-1）^二项式[n，k]，{k，1，n}]），{n，0，100}]（*或，对于10.2或更高版本*）(*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年5月6日*）
ThueMorse[Range[0100]]（*程序使用Mathematica版本11*中的ThueMosse函数）(*哈维·P·戴尔2016年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010060 n=a010060_列表！！n个
a010060_列表=
0：交错（补码a010060_list）
其中补码=映射（1-）
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
--道格·麦克罗伊（Doug（AT）cs.dartmouth.edu），2003年6月29日
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，subst（Pol（binary（n）），x，1）%2）
（PARI）默认值（realprecision，6100）；x=0.0；m=20080；对于（n=1，m-1，x=x+x；x=x+和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）；x=2*x/2^m；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*2；写入（“b010060.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月28日
（Python）
对于范围（14）内的_：
（Python）
（右）
maxrow<-8#（可选）
b01<-1
for（m in 0:maxrow）for（k in 0:（2^m-1））{
b01[2^（m+1）+k]<-b01[2^ m+k]
b01[2^（m+1）+2^m+k]<-1b01[2^m+k]
}
（b01<-c（0，b01））
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987美元, 5:A191818号, 6:A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985美元和A020987美元, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型, 30:A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:A316829型, 37:A010060型.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A053645号
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| 距离2的最大幂小于或等于n；用二进制写n，将第一个数字改为零，然后再转换回十进制。 |
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+10
86
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0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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也没有初始零：基数为3的无零数(A032924号: 1, 2, 11, 12, 21, ...), 三进制数字减少1，读取为二进制-M.F.哈斯勒2020年6月22日
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，预印本，理论计算机科学。，98 (1992), 163-197.
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98（1992）、163-197（见例24）。
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配方奶粉
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通用公式：1/（1-x）*（（2x-1）/（1-x”）+和{k>=1}2^（k-1）*x^2^k）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月18日
a（1）=0，a（2n）=2a（n），a（2 n+1）=2a-（n）+1-N.J.A.斯隆2003年9月13日
a（n）=f（n-1,1），其中f（n，m）=如果n<m，则n为f（n-m，2*m）-莱因哈德·祖姆凯勒2009年5月20日
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例子
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序列以不规则三角形开头：
0;
0,1;
0,1,2,3;
0,1,2,3,4,5,6,7;
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;
...
（结束）
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MAPLE公司
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seq（n-2^ilog2（n），n=1..1000）#罗伯特·伊斯雷尔2015年12月23日
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数学
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表[FromDigits[Rest[IntegerDigits[n，2]]，2]，{n，100}](*岩部裕一（u）ki，2017年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a053645 1=0
a053645 n=2*a053645n’+b，其中（n’，b）=divMod n 2
a053645_list=concatMap（0`enumFromTo`）a000225_list
（岩浆）[1..70]]中的[n-2^Ilog2（n）：n//文森佐·利班迪2019年7月18日
（Python）
定义a（n）：返回n-2**（n.bit_length（）-1）
打印（[a（n）代表范围（1，85）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年7月3日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000225号,A000523号,A002262号,A004760型,A006257号,A006516号,A030308号,A036987号,A053644号,A062050型,A083741号,A160588号.
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 128, 129, 130, 131
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（2n）=2a（n），a（2n+1）=2a-（n）+1+[n==0]。
a（n）=n+2^楼层（log_2（n））=n+A053644号（n） ●●●●。
a（2^m+k）=2^（m+1）+k，m>=0，0<=k<2^m-尤拉门迪，2016年8月8日
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例子
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二进制中的10是1010，所以10是按顺序排列的。
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数学
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w={1，0}；选择[Range[2，131]，如果[#<2^（Length@w-1），为True，取[IntegerDigits[#，2]，Length@w]=w]&](*迈克尔·德弗利格2016年8月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n+2^楼层（log（n）/log（2））
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a004754 n=a004754_列表！！（n-1）
a004754_list=2:concat（转置[zs，映射（+1）zs]）
其中zs=映射（*2）a004754_list
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,基础
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作者
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经核准的
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3, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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配方奶粉
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a（2n）=2*a（n），a（2n+1）=2*1（n）+1+2*[n==0]。
通用公式：（1/（1+x））*（1+Sum_{k>=0，t=x^2^k}2^k*（2t+t^2）/（1+t））。
a（2^m+k）=2^（m+1）+2^m+k，m>=0，0<=k<2^m-尤拉门迪2016年8月8日
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例子
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二进制中的12是1100，所以12在序列中。
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MAPLE公司
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a： =程序（n）n+2*2^楼层（log（n）/log（2））结束：seq（a（n），n=1..60）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日
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数学
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压扁[表[FromDigits[#，2]和/@（连接[{1，1}，#]和/@元组[{0，1}，n]），{n，0，5}]](*哈维·P·戴尔2015年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n+2*2^楼层（log（n）/log（2））
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a004755 n=a004755_list！！（n-1）
a004755_list=3:concat（转置[zs，映射（+1）zs]）
其中zs=映射（*2）a004755_list
（Python）
f=打开（'b004755.txt'，'w'）
lo=3
高=4
i=1
当i<16384时：
对于范围内的x（lo，hi）：
f.write（str（i）+“”+str（x）+“\n”）
i+=1
lo<<=1
高<<=1
（Python）
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非n,基础,容易的
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 6, 11, 15, 16, 17, 10, 19, 13, 23, 31, 32, 33, 18, 35, 12, 21, 14, 39, 27, 47, 63, 64, 65, 34, 67, 20, 37, 22, 71, 25, 43, 29, 79, 55, 95, 127, 128, 129, 66, 131, 36, 69, 38, 135, 24, 41, 26, 75, 45, 30, 143, 51, 87, 59, 159, 111, 191, 255, 256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这个序列的图形看起来非常优雅。
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例子
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表格开始：
1.2.4..8.16.32.64.128.256.512.1024
..3.5..9.17.33.65.129.257.513.1025
.......6.10.18.34..66.130.258..514
....7.11.19.35.67.131.259.515.1027
............12.20..36..68.132..260
.........13.21.37..69.133.261..517
............14.22..38..70.134..262
......15.23.39.71.135.263.519.1031
...................24..40..72..136
...............25..41..73.137..265
...................26..42..74..138
............27.43..75.139.267..523
.......................28..44...76
...............29..45..77.141..269
...................30..46..78..142
.........31.47.79.143.271.527.1039
...........................48...80
.......................49..81..145
...........................50...82
...................51..83.147..275
这可以看作是一个不规则的表，其中r行（>=1）具有A000041号（r） 元素，即作为1；2,3; 4,5,7; 8,9,6,11,15; 16,17,10,19,13,23,31; 等。A125106号说明了如何将每个数字映射到分区。
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数学
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列=9；行[n_]：=n-2^楼层[Log2[n]]；列[0]=0；col[n_]：=如果[EvenQ[n]，col[n/2]+数字计数[n/2，2，1]，col[（n-1）/2]+1]；清除[T]；T[_，_]=0；Do[T[row[k]，col[k]]=k，{k，1,2^columns}]；表[DeleteCase[表[T[n-1，k]，{n，1，2^（k-1）}]，0]，{k，1，columns}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年9月9日*）
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 6, 11, 0, 0, 0, 15, 16, 17, 10, 19, 0, 13, 0, 23, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 31, 32, 33, 18, 35, 12, 21, 14, 39, 0, 0, 0, 27, 0, 0, 0, 47, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 63, 64, 65, 34, 67, 20, 37, 22, 71, 0, 25, 0, 43, 0, 29, 0, 79, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 55, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这可以视为分区的排列，按中的位置进行索引2015年1月.当删除最大部分时，给定行中的分区都有相同的剩余分区；具体地说，由中的行号索引的分区A125106号（第0行剩余空分区）。
A055941号（r） 告诉行r（>=0）从其“自然位置”向右移动了多少个项，即该行前面加了多少个零。
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例子
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2<=6的最大幂是4，6-4=2，所以6在第2行。由A125106号，6对应于分区[2^2]，总共4，所以6位于第4列。因此T（2,4）=6。
表格开始：
1.2.4..8.16.32.64.128.256.512.1024
..3.5..9.17.33.65.129.257.513.1025
.......6.10.18.34..66.130.258..514
....7.11.19.35.67.131.259.515.1027
............12.20..36..68.132..260
.........13.21.37..69.133.261..517
............14.22..38..70.134..262
......15.23.39.71.135.263.519.1031
...................24..40..72..136
...............25..41..73.137..265
...................26..42..74..138
............27.43..75.139.267..523
.......................28..44...76
...............29..45..77.141..269
...................30..46..78..142
.........31.47.79.143.271.527.1039
...........................48...80
.......................49..81..145
...........................50...82
...................51..83.147..275
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数学
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列=7；行[n_]：=n-2^楼层[Log2[n]]；列[0]=0；col[n_]：=如果[EvenQ[n]，col[n/2]+数字计数[n/2，2，1]，col[（n-1）/2]+1]；清除[T]；T[_，_]=0；Do[T[row[k]，col[k]]=k，{k，1,2^columns}]；表[T[n-1，k]，{k，1，列}，{n，1，2^（k-1）}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年9月9日*）
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黄体脂酮素
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（MIT/GNU方案）
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交叉参考
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关键词
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经核准的
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5, 10, 11, 20, 21, 22, 23, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（2n）=2a（n），a（2n+1）=2a-（n）+1+4*[n==0]。
a（2^m+k）=5*2^m+k，m>=0，0<=k<2^m-尤拉门迪2016年8月8日
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例子
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二进制中的22是10110，所以22是按顺序排列的。
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数学
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表[n+4*2^地板@Log2@n，{n，57}]（*或*）
w={1，0，1}；选择[Range[5，185]，If[#<2^（Length@w-1），True，Take[Integer Digits[#，2]，Length@w]==w]&](*迈克尔·德弗利格2016年8月10日*）
选择[Range[5200]，取[IntegerDigits[#，2]，3]={1，0，1}&](*哈维·P·戴尔2016年8月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n+4*2^楼层（log（n）/log（2））
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a004757 n=a004757_列表！！（n-1）
a004757_list=5:concat（转置[zs，映射（+1）zs]）
其中zs=映射（*2）a004757_list
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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