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Thue-Morse常数

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Thue-Morse常数，也称为奇偶常数，由连接的的数字Thue-Morse序列

P=0.01100110010110100101100…_2
(1)

（组织环境信息系统A010060美元)解释为二进制数。以十进制表示，可以写为

P（P）=1/2sum_（n=0）^（infty）P（n）2^（-n）
(2)
=0.4124540336401075977...
(3)

（组织环境信息系统A014571号)，其中P（n）是奇偶校验属于n个（即二元的代表n个,计算模2）。

Dekking（1977）证明了Thue-Morse常数是超越的,Allouche和Shallit给出了一个完整的证据，纠正了Dekking的一个小错误。

Thue-Morse常数可以通过前一次迭代分阶段写入基2a_n（名词）,取补语一个^__n通过颠倒以下数字获得a_n（名词）、附加、生成

a_0（零）=0.0_2
(4)
a_1=0.01_2
(5)
a_2型=0.0110_2
(6)
a_3型=0.01101001_2
(7)
a4型=0.0110100110010110_2.
(8)

这可以用符号表示为

a_（n+1）=a_n+a^_n·2^（-2^n）
(9)

具有a_0=0.这里，补码是数字一个^__n这样的话a_n+a^__n=0.11…1_（）_（2^n）_2，可以从中找到

a_n+a^__n=sum_（k=1）^（2^n）（1/2）^k
(10)
=（1-（1/2）^（2^n））/（1-1/2）-1
(11)
=1-2^（-2^n）。
(12)

因此，

a^__n=1-2^（-2^n）-a_n，
(13)

和

a_（n+1）=a_n+（1-2 ^（-2^n）-a_n）2 ^（-2 ^n）
(14)
=（-2^（n+1））（2^（2^n）-1）（1+2^（2 ^n）a_n）。
(15)

前几次迭代给出0、1/4、3/8、105/256、13515/32768。。。（组织环境信息系统A074072号和A074073号).

普通人连续分数Thue-Morse常数为[0 2 2 2 1 4 3 5 2 1 4 2 1 5 44 1 4 1 2 4 1 1 1 5 14 1 50 5 1 1 1 14 2 1 4 1 43 1 4 1 2 1 3 16 1 2 1 2 1 50 1 2 424 1 2 5 2 1 1 1 5 5 2 22 5 1 1 1 12743 5 2 1 1 1 4 1 1 15 154 7 2 1 2 2 1 2 1 1 50 1 4 1 2 867374 1 1 1 5 5 1 1 6 1 27 2 1650 23 3 1 1 1 2 5 3 84 1 1 1 1284 ...] （组织环境信息系统A014572美元),并且似乎继续以怀疑的模式出现零星的大型术语。A类不规则的连续分数是

P=1/（3-1/（2-1/（4-3/（16-（15）/（256-（255）/（65536-…））））。
(16)

相关的无穷乘积是

P（P）=1/4[2-产品_（n=0）^（infty）（2^（2^n）-1）/
(17)
=1/4[2-产品_（n=0）^（infty）2^（-2^n）（2^
(18)
=1/4(2-(1·3·15·255·65535...)/(2·4·16·256·65536...))
(19)

（Finch 2003年，第437页）。

另请参见

数字计数,Komornik-Loreti常数,奇偶校验,兔子常量,Thue常数

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Allouche，J.P。；阿诺德，A。；伯斯特尔，J。；Brlek，S。；Jockusch，W。；普劳夫，S。；和Sagan，B.“Thue-Morse序列的亲属”离散。数学。 139, 455-461, 1995.Allouche，J.P。和Shallit，J.“普适的普劳特-图伊-莫尔斯序列”http://www.math.uwaterloo.ca网站/~shallit/Papers/ubiq.ps.德金，F.M.公司。“Thue-Morse的超越。”康普特斯·伦杜斯巴黎科学学院 285, 157-160, 1977.芬奇，S.R.公司。《Prouhet-Thue-Morse常数》§6.8数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第436-441页，2003Goldstein，S。；Kelly，K.A。；和E.R.Speer。“Thue-Morse序列稀疏和的分形结构。”J.编号第。 42, 1-19, 1992.Schroeppel，R.和Gosper，R.W。Beeler，M.中的第122项。；Gosper，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。剑桥，麻省理工学院人工智能实验室，备忘录AIM-239，第56-57页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item122.斯隆，新泽西州。答：。序列A010060美元,A014571美元,A014572号,A074072号,和A074073号在线百科全书整数序列。”

参考Wolfram | Alpha

Thue-Morse常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Thue-Morse常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Thue-MorseConstant.html

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