显示找到的13个结果中的1-10个。
F（2n）=斐波那契数列的二分：a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）。
（原名M2741 N1101）
+10
426
0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, 2178309, 5702887, 14930352, 39088169, 102334155, 267914296, 701408733, 1836311903, 4807526976, 12586269025, 32951280099, 86267571272, 225851433717, 591286729879, 1548008755920
评论
除了初始项之外，还有Pisot序列E（3,8）、P（3,8,T（3,8-）。请参见A008776美元有关活塞序列的定义。
路径图P_4中长度为2n+1的从一端到另一端的行走次数。示例：a（2）=3，因为在路径ABABCD、ABCBCD和ABCDCD中-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
第六项为平方的二阶递推的最简单示例。
数量（0），s（1）。。。，s（2n）），使得0<s（i）<5和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n，s（0）=1，s（2n）=3-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日
a（n）（对于n>0）是不能通过对前面的项中选择的最多n个值求和来创建的最小正整数（允许重复）-安德鲁·魏姆霍特2004年7月20日
a（n+1）是3^n的切比雪夫变换(A000244号)，其中带有g.f.g（x）的序列被发送到带有g.f.（1/（1+x^2））g（x/（1+x2））的序列-保罗·巴里2004年10月25日
反向：φ=（sqrt（5）+1）/2，log_phi（（sqert（5）a（n）+sqrt
a（n+1）=AB^（n）（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，1=`1`，3=`10`，8=`100`，21=`1000`。。。，Wythoff代码。
a（n）也是宽度n（宽度（α）=最大（Im（α）））的幂等序保留部分变换（n元素链的）的数目。等价地，它是（n元素链的）保全变换的幂等序数-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月8日
a（n）是大小为（n-1）的0、1和2的字符串可以在没有12对的情况下排列的方式数-乌迪塔·卡图加姆波拉2008年9月24日
分数：1/71=0.01408450…或1/9701=0.000103021-马克·多尔斯2010年5月18日
n的成分中元素的乘积之和（例如n=3：成分为1+1+1、1+2、2+1和3；a（3）=1*1*1+1+1*2+2*1+3=8）迪伦·汉密尔顿，2010年6月20日，杰弗里·克雷策,乔格·阿恩特2010年12月6日
a（n）涉及边数为偶数的正多边形，使得Product_{k=1..（n-2）/2}（1+4*cos^2k*Pi/n）=偶数诱导斐波那契数，a（n。作为乘积的常数=三角形均匀诱导行的根A152063号例如：a（5）=55满足与10-gon相关的乘积公式-加里·亚当森2010年8月15日
或者，根的乘积为x^4-12x^3+51x^2-90x+55，（三角形的第10行A152063号) = (4.618...)*(3.618...)*(2.381...)*(1.381...) = 55. -加里·亚当森2010年8月15日
a（n）是当存在i个不同类型的i时，n的广义组成的个数，（i=1,2，…）-米兰Janjic2010年8月26日
a（2）=3是唯一的素数。
秩为n>0且每个秩级正好有2个元素大于0的非同构分级偏序集和一致哈斯图的个数。（Uniform用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。Graded用于Stanley的意义，即每个最大链具有相同的长度n。）-大卫·纳辛2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
满足x^2+y^2=3xy+1的解（x，y）=（a（n），a（n+1））-米歇尔·拉格诺2014年2月1日
当n>=1时，a（n）等于字母{0,1,2}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic2015年1月25日
当a（0）=0时，对于n>1，a（n）是序列中尚未出现的最小数，因此a（n）^2-a（n-1）^2是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月8日
设T是由这些规则生成的树：0位于T中，如果p位于T中则p+1位于T中且x*p位于T且y*p位于T中。第n代T由A001906号（n） 多项式，对于n>=0-克拉克·金伯利2015年11月24日
对于n>0，a（n）=四边形的最大面积，其边的长度顺序为F（n）、F（n=A000032号（n） ●●●●-J.M.贝戈，2016年1月20日
a（n+1）是图T_n的生成树数，其中T_n是n个三角形的序列，其中相邻三角形共享一条边-凯文·朗2018年5月7日
a（n）是划分[n]的方法的数目，使得每个块都是一系列连续的数字，并且每个块都有一个固定点，例如，对于n=3，12 |3用1和3作为固定点是有效的，但13 |2是无效的，因为1和3不形成一个序列。因此，a（n）还计算给定图的生成树，方法是选择一条具有n个顶点的路径，并在所有顶点附近添加另一个顶点-凯文·朗2018年5月11日
{a（n）}还给出了k*|k*phi|<1/sqrt（5）的非负数k的无限序列，其中无理数phi=A001622号（黄金分割），并且||x||是x和最接近的整数之间的差的绝对值。例如，见哈维尔参考文献，第171-172页。（结束）
这个切比雪夫序列a（n）=S（n-1，3）（见下面的公式）与输入F（a，b；0）=a和F（a、b；1）=b的斐波那契序列{F（a；b；n）}_{n>=0}的二分有关，通过F（a），b；2*k）=（a+b）*S（k-1，3，对于k>=0，并且S（-2，3）=-1。通过o.g.f.s GF偶（a，b，t）=（a-t*（2*a-b））/（1-3*t+t^2）和GFodd（a，b，t）=（b+t*（a-b）的）/（1-3*t+t ^2）进行证明。特殊情况a=0，b=1返回F（2*k）=S（k-1，3）=a（k）-沃尔夫迪特·朗2019年6月7日
a（n）是两个n X 1矩形在一个公共端点正方形处正交连接的平铺数（从而使2n-1正方形呈直角V形），只有1 X 1和2 X 1平铺。这是F（2n）=F（n+1）*F（n）+F（n”*F（n-1）的结果-纳撒尼尔·格雷格2021年10月10日
这些是黄金比率tau的上收敛的分母；它们也是下收敛的分子（即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1）-克拉克·金伯利2022年1月2日
参考文献
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配方奶粉
G.f.：x/（1-3*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-a（-n）。
a（n）=（ap^n-am^n）/（ap-am），其中ap:=（3+sqrt（5））/2，am:=（3-sqrt））/2。
自然数的逆变换：a（n）=Sum_{k=1..n}k*a（n-k），a（0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇，2001年4月27日
a（n）=S（n-1，3），其中S（n，x）=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式，参见A049310美元.
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*F（k）-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月3日
a（0）=0，a（1）=1，a（2）=3，a（n）*a（n-2）+1=a（n-1）^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月6日
a（n）=和{k=1..n}二项式（n+k-1，n-k）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年3月23日
例如：（2/sqrt（5））*exp（3*x/2）*sinh（sqrt-保罗·巴里2003年4月11日
由T（i，1）=T（1，j）=1，T（i，j）=Max（T（i-1，j）+T（i-1，j-1）定义的阵列的第二对角线；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月5日
F（2n+2）=1、3、8。。。是F（n+2）的二项式变换-保罗·巴里2004年4月24日
a（n）=和{i=0..n-1}二项式（2*n-1-i，i）*5^（n-i-1）*（-1）^i.马里奥·加泰拉尼（马里奥·卡塔拉尼（AT）unito.it），2004年7月23日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n+k，n-k-1）=Sum _{k=0..n}二项式（n=k，2k+1）。
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*（-1）^k*3^（n-2*k）-保罗·巴里2004年10月25日
a（n）=（n*L（n）-F（n））/5=和{k=0..n-1}（-1）^n*L。
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，2））的第i次幂中的项（1,2）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
a（n+1）=求和{i=0..n}求和{j=0..n{二项式（n-i，j）*二项式（n-j，i）-N.J.A.斯隆2005年2月20日
a（n）^2=和{k=1..n}a（2*k-1）。这是任意序列S（n）的一个性质，使得S（n）=B*S（n-1）-S（n-2），其中S（0）=0，S（1）=1包括{0,1,2,3，…}，其中B=2-肯尼思·J·拉姆齐2008年3月23日
a（n）=1/sqrt（5）*（φ^（2*n+2）-phi^（-2*n-2）），其中φ=（1+sqrt（五））/2，黄金比率-乌迪塔·卡图加姆波拉（SIU），2008年9月24日
如果p[i]=i，并且A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年5月2日
如果p[i]=Stirling2（i，2），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det（a）-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）＝F（2*n+10）mod F（2*n+5）。
a（n）=1+a（n-1）+和{i=1..n-1}a（i），a（0）=0-加里·亚当森2011年2月19日
a（n）等于（n-1）X（n-1”Hessenberg矩阵的永久值，3沿着主对角线，i沿着上对角线和次对角线（i是虚单位），0在其他地方-约翰·坎贝尔，2011年6月9日
a（n），n>1等于（n-x）x（n-1）三对角矩阵的行列式，主对角线为3，上对角线和次对角线均为1，其余为0-加里·亚当森2011年6月27日
a（n）=b，使得积分{x=0..Pi/2}sin（n*x）/（3/2-cos（x））dx=c+b*log（3）-弗朗切斯科·达迪2011年8月1日
G.f.:A（x）=x/（1-3*x+x^2）=G（0）/sqrt（5）；其中G（k）=1-（a^k）/（1-b*x/（b*x-2*（a^k）/G（k+1）），a=（7-3*sqrt（5））/2，b=3+sqrt。。。；（连分式3种，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月25日
a（n）=2^n*b（n；1/2）=-b（n；-1），其中b（n），n=0,1，。。。，d、 表示注释中定义的delta-Fibonacci数字A000045号（另见Witula等人的论文）-罗曼·维图拉，2012年7月12日
乘积_｛n＞＝1｝（1+1/a（n））＝1+sqrt（5）-彼得·巴拉2012年12月23日
产品{n>=2}（1-1/a（n））=（1/6）*（1+sqrt（5））-彼得·巴拉2012年12月23日
G.f.:x/（1-2*x）+x^2/（1-2**）/（Q（0）-x）其中Q（k）=1-x/（x*k+1）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月23日
G.f.:G（0）/2-1，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+（1-x）^2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:x*G（0）/（2-3*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（5*k-9）/（x*（5*k-4）-6/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日
a（n）＝U（n-1,3/2），其中U（n-1，x）是第二类切比雪夫多项式-米兰Janjic2015年1月25日
o.g.f.A（x）满足A。o.g.f.适用于A004187号等于-A（sqrt（x））*A（-sqrt（x））-彼得·巴拉2015年4月2日
对于n>1，a（n）=（3*F（n+1）^2+2*F（n-2）*F（n+1）-F（n-2”^2）/4-J.M.贝戈2016年2月16日
对于n>3，a（n）=floor（MA）-4表示n偶数，floor（MA）+5表示n奇数。MA是四边形的最大面积，其边长顺序为L（n）、L（n=A000032号（n） ●●●●。较长对角线与较短对角线的比率接近5/3-J.M.贝戈2016年2月16日
a（n+1）=和{j=0..n}和{k=0..j}二项式（n-j，k）*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月18日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k+i，k-i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n）=H（2*n，1，1/2），对于n>0，其中H（n，a，b）->超深层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，-4）-彼得·卢什尼2019年9月3日
a（n）=-2/（sqrt（5）*tan（2*arctan（φ^（2*n））），其中φ=A001622号是黄金比例-迭戈·拉塔吉2021年11月21日
a（n）=sinh（2*n*arcsinh（1/2））/sqrt（5/4）-彼得·卢什尼2022年5月21日
例子
G.f.=x+3*x^2+8*x^3+21*x^4+55*x^5+144*x^6+377*x^7+987*x^8+。。。
a（3）=8，因为在一个三元链上正好有8个幂等序表示全变换，即：（1,2,3）->（1,1,1），（1,2,3,3）->（2,2,2），（1,2,3）->（1,1,3），（2,2,3）->（2,2-3），（1.2,3）->-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月8日
MAPLE公司
with（combstruct）：SeqSeqSeqL:=[T，{T=序列（S，卡>0），S=序列（U，卡>1），U=序列（Z，卡>0}，未标记]：seq（计数（SeqSeq SeqL，大小=n+1），n=0..28）#零入侵拉霍斯2009年4月4日
H:=（n，a，b）->超深层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，-4）：
a:=n->`如果`（n=0，0，H（2*n，1，1/2））：
seq（简化（a（n）），n=0..30）#彼得·卢什尼2019年9月3日
组合[斐波那契]（2*n）；
结束进程：
数学
f[n_]：=斐波那契[2n]；数组[f，28，0]（*或*）
线性递归[{3，-1}，{0，1}，28](*罗伯特·威尔逊v2011年7月13日*）
取[Fibonacci[Range[0,60]]，{1，-1，2}](*哈维·P·戴尔2012年5月23日*）
系数列表[级数[（x）/（1-3x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年9月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=fibonacci（2*n）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（n+1）*4-poltcheby（n）*6，x，3/2）/5}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，3/2）}/*迈克尔·索莫斯2011年6月18日*/
（PARI）Vec（x/（1-3*x+x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月24日
（鼠尾草）[范围（27）内n的lucas_number1（n，3，1）]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（鼠尾草）[fibonacci（2*n）代表范围（0，28）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
（MuPAD）numlib:：fibonacci（2*n）$n=0..35//零入侵拉霍斯2008年5月9日
（哈斯克尔）
a001906 n=a001906列表！！n个
a001906_列表=
0:1:zipWith（-）（map（*3）$tail a001906_list）a001906列表
（Python）
定义a（n，adict={0:0，1:1}）：
如果根中有n：
返回根[n]
根[n]=3*a（n-1）-a（n-2）
（Maxima）标记列表（fib（2*n），n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
（岩浆）[斐波那契（2*n）：n in[0..30]]//文森佐·利班迪2014年9月10日
a（n）=斐波那契（n）-1。
（原M1056 N0397）
+10
280
0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, 1346268, 2178308, 3524577, 5702886, 9227464, 14930351, 24157816, 39088168
评论
a（n）是英国钟声艺术中从一个变化到下一个变化（n-1个钟声）的允许转换规则数。这也是对称群S_{n-1}中的对合数，它可以表示为来自{1，2，…，n-1}的连续数转置的乘积。例如，对于n=6，我们从（12）、（12）（34）、。看我1983年的数学。程序。外倾角。Phil Soc.论文亚瑟·T·怀特，写信给N.J.A.斯隆1986年12月18日
{1，2，…，n-1}的置换数p，使得max|p（i）-i|=1。例：a（4）=2，因为只有{1，2，3}的排列132和213满足给定条件-Emeric Deutsch公司，2003年6月4日[对于a（5）=4，我们有2143、1324、2134和1243-乔恩·佩里2013年9月14日]
001-长度为n-3的无效二进制字的数量。a（n）是{1，…，n-1}分成两个块的分区数，其中一个块中只能出现1或2个连续整数字符串，并且至少有一个2字符串。例如，a（6）=7，因为{1，2，3，4，5}的枚举分区是124/35，134/25，14/235，13/245，1245/3，145/23，125/34-奥古斯汀·穆纳吉2005年4月11日
a（n+2）是高度为n的AVL树中的最小元素数。-Lennert Buytenhek（buytenh（AT）wantstofly.org），2010年5月31日
a（n）是n-1阶斐波那契树中的分支节点数。n阶斐波那契树（n>=2）是一个完整的二叉树，其左子树是n-1阶斐波纳契树，右子树是n-2阶斐波那契树；顺序为0和1的每个斐波那契树都定义为一个节点（参见Knuth参考，第417页）-Emeric Deutsch公司2010年6月14日
a（n+3）是长度为n的不同三股正编织线的数量（参见Burckel）-马克西姆·波里根2011年4月4日
a（n+1）是n的最大部分为2的组成数-乔格·阿恩特2013年5月21日
a（n+2）是高度n的大粒级DAG（有向无环图）的叶数。高度n的大粒级DAG是n=1的单个节点；对于n>1，ggpDAG（n-1）的每个叶都有两个子节点，其中相邻的两个新节点对合并为单个节点当且仅当它们具有不相交的祖父母和相同的greatgrandparent时。结果：a（n）=2*a（n-1）-a（n-3）-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2014年7月6日
我们可以建立杰拉尔德·麦卡维的猜想在公式部分中提到，但我们需要n>4。我们需要以下4个先决条件。
（1） a（n）=F（n）-1，其中{F（nA000045号（2）（Binet形式）F（n）=（d^n-e^n）/sqrt（5），其中d=phi和e=1-phi，de=-1和d+e=1。因此，a（n）=（d（n）-e（n））/sqrt（5）-1。（3） 证明floor（x）=y等价于证明x-y位于半开区间[0，1）)包含子序列{s（t）}{t>=n+2}。利用这些先决条件，我们可以分析这个猜想。
使用先决条件（2）和（3），我们看到我们必须证明，对于所有n>4，d（（d^（n-1）-e^（n_1））/sqrt（5）-1）-（d^n-e^n）/sqert（5）+1+c位于区间[0，1）。但de=-1，意味着de^=e^（n-2）（e^2+1）/sqrt（5）+e+c位于[0，1）中。显然，对于任何特定的n，当c=2*（1-d）和c=（1+d）*（1-d）时，e（n，c）都有极值（最大值，最小值）。因此，通过使用先决条件（4）来完成证明。它足以验证e（5，2*（1-德））=0，e（6，2*在[0，1）中。
（结束）
a（n）可以表示为具有n个顶点的路径上不同非空匹配的数目。（匹配是不相交边的集合。）-安德鲁·彭兰2017年2月14日
此外，对于n>3，字典上最早的正整数序列，使得{phi*a（n）}严格位于{phi*a（n-1）}和{phi*a（n-2）}之间-伊凡·内雷廷2017年3月23日
序列数（e（1）。。。，e（n-2）），0<=e（i）<i，这样就没有e（i！=的三元组i<j<ke（j）<=e（k）。[Martinez和Savage，2.5]
序列数（e（1）。。。，e（n-2）），0<=e（i）<i，使得不存在e（i）>=e（j）<=e（k）和e（i）的三元组i<j<k！=e（k）。[Martinez和Savage，2.5]
（结束）
a（n+2）是最长数组的长度，其局部最大元素最多可以在n个显示中找到。请参阅亚历山大·库利科夫（Alexander S.Kulikov）的拼图链接-德米特里·卡梅内茨基2020年8月8日
a（n+2）是不包含连续元素的{1,2，…，n}的非空子集的数目。例如，{1,2,3,4}的a（6）=7个子集是{1}、{2}、}3}、[4]、{1,3}，{1,4}和{2,4}-穆格·奥卢科格鲁2021年3月21日
a（n+3）是偶数移位中长度n的允许模式数（也就是说，a（n=3）是长度n的二进制字的数目，其中任何两次出现1之间有偶数个0）。例如，a（7）=12，偶数移位中长度4的12个允许模式为0000、0001、0010、0011、0100、0110、0111、1000、1001、1100、1110、1111-佐兰·苏尼克2022年4月6日
猜想：对于k是正奇整数，序列{a（k^n）：n>=1}是强可除序列；也就是说，对于n，m>=1，gcd（a（k^n），a（k^m））=a（k^gcd（n，m））-彼得·巴拉2022年12月5日
通常，具有签名（c，d）的二阶线性递归的和将是具有签名（c+1，d-c，-d）的三阶递归-加里·德特利夫斯2023年1月5日
参考文献
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链接
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克里斯蒂安·埃尼斯（Christian Ennis）、威廉·霍兰德（William Holland）、奥马尔·穆贾瓦尔（Omer Mujawar）、阿迪特·纳拉亚南（Aadit Narayanan）、弗兰克·诺伊布兰德（Frank Neubrander）、玛丽·诺伊布兰德（Marie Neubranter）和克里斯蒂娜·西米诺（Christina Simino），随机二进制序列中的单词I，arXiv:2107.01029[math.GM]，2021。
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Lara Pudwell，树中的模式回避，（演讲中的幻灯片，提到了许多序列），2012年。
亚瑟·T·怀特，响铃更改，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.94（1983），第2期，203-215。
配方奶粉
a（0）=-1，a（1）=0；此后a（n）=a（n-1）+a（n-2）+1。
通用格式：x^3/（（1-x-x^2）*（1-x））-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了开头的0
a（n）＝2*a（n-1）-a（n-3）-R.H.哈丁2011年4月2日
a（n）=-1+（a*B^n+C*D^n）/10，其中a，C=5+-3*sqrt（5），B，D=（1+-sqrt（五））/2-拉尔夫·斯蒂芬2003年3月2日
a（1）=0，a（2）=0、a（3）=1，然后a（n）=上限（phi*a（n-1）），其中phi是黄金比率（1+sqrt（5））/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月6日
猜想：对于所有c，使得2*（2-Phi）<=c<（2+Phi）*（2-Phi），对于n>4，我们有a（n）=floor（Phi*a（n-1）+c）-杰拉尔德·麦卡维2004年7月22日。如果n>3更改为n>4，则情况属实，请参阅“评论”部分中的证明-罗素·杰·亨德尔2015年3月15日
a（n）=和{k=0..floor（（n-2）/2）}二项式（n-k-2，k+1）-保罗·巴里2004年9月23日
a（n+3）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n-2*k，k）*（-1）^k*2^（n-3*k）-保罗·巴里2004年10月20日
a（n+1）=总和（二项式（n-r，r）），r=1，2。。。这是t字符串和k块的一般情况下t=2和k=2的情况：a（n+1，k，t）=总和（二项式（n-r*（t-1），r）*S2（n-rx（t-1，k-1）），r=1，2-奥古斯汀·穆纳吉2005年4月11日
a（n）=和{k=0..n-2}k*Fibonacci（n-k-3）-罗斯·拉海耶2006年5月31日
a（n）=3X3矩阵[1,1,0；1,0,0；1,0，1]^（n-1）中的项（3,2）-阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
对于n>=4，a（n）=上限（φ*a（n-1）），其中φ是黄金比率-弗拉基米尔·舍维列夫2010年7月4日
无两个前导零的闭合形式g.f.：1/（1-2*x-x^3）；（（5+2*sqrt（5）））*（（1+sqrt；带有两个前导0的g.f.的闭合形式：x^2/（1-2*x-x^3）；（（5+平方码（5））*（1+平方码-蒂姆·莫纳汉2011年7月10日
G.f.：Q（0）*x^2/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2-x^2）/（x*（4*k+4-x^ 2）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月30日
例如：1-exp（x）+2*exp（x/2）*sinh（sqrt（5）*x/2）/sqrt（6）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月15日
a（n）=和{i=0..n-2}斐波那契（i）.-乔治·达拉基什维利（mcnamara_gio（AT）yahoo.com），2005年4月2日道格·贝尔，2017年6月1日]
a（n+2）=Sum_{j=0..floor（n/2）}Sum_{k=0..j}二项式（n-2*j，k+1）*二项式（j，k）-托尼·福斯特三世2017年9月8日
a（4*n）=斐波那契（2*n+1）*Lucas（2*n-1）=A081006号（n） ；
a（4*n+1）=斐波那契（2*n）*Lucas（2*n+1=A081007美元（n） ；
a（4*n+2）=斐波那契（2*n）*Lucas（2*n+2）=A081008号（n） ；
a（4*n+3）=斐波那契（2*n+2）*Lucas（2*n+1）=A081009美元（n） ●●●●。（结束）
G.f.：x^3/（（1-x-x^2）*（1-x））=Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n+3）*（Product_{k=1..n}（k-x）/Product_{k=1..n+2}（1-k*x））（伸缩级数）-彼得·巴拉2024年5月8日
MAPLE公司
a： =n->（矩阵（[1，1，0]，[1，0，0]）^（n-1））[3，2]；seq（a（n），n=1..50）#阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
数学
斐波那契[Range[40]]-1（*或*）线性递归[{2，0，-1}，{0，0，1}，40](*哈维·P·戴尔2013年8月23日*）
连接[{0}，累加[Fibonacci[Range[0，39]]](*阿隆索·德尔·阿特2017年10月22日，基于乔治·达拉基什维利的公式*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，fibonacci（n）-1）}；
（岩浆）[斐波那契（n）-1:n in[1..150]]//文森佐·利班迪2011年4月4日
（哈斯克尔）
a000071 n=a000071_list！！n个
a000071_list=映射（减去1）$tail a000045_list
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A054761号,A119282号,A001654号,A005968号,A005969号,A098531号,A098532号,A098533号,A128697号,A001611号,A157725号,A001911号,A157726号,A006327号,A157727号,157728英镑,A157729号,A167616号,158950英镑,A105488号,A105489号,A014417号,A104326号.
0, 1, 4, 12, 33, 88, 232, 609, 1596, 4180, 10945, 28656, 75024, 196417, 514228, 1346268, 3524577, 9227464, 24157816, 63245985, 165580140, 433494436, 1134903169, 2971215072, 7778742048, 20365011073, 53316291172, 139583862444, 365435296161, 956722026040
评论
T（2n+1，n+1），T由A027935号也是逆Stolarsky数组的第一行。
数组的第三对角线由T（i，1）=T（1，j）=1，T（i、j）=Max（T（i-1，j；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月5日
长度为2（n+1）的Schroeder路径的数量，正好有一个向上台阶，从偶数高度开始（Schroederpath是一个从（0,0）开始，在x轴上的一个点结束的晶格路径，仅由台阶U=（1,1）（向上台阶）、D=（1，-1）（向下台阶）和H=（2,0）（水平台阶）组成，永远不会低于x轴）。Schroeder路径由较大的Schroede数计算(A006318号). 例如：a（1）=4，因为在长度为4的六条Schroeder路径中，只有路径（U）HD、（U）UDD、H（U）D、（U-Emeric Deutsch公司2004年12月19日
另外：不可写的最小数，是小于n个正斐波那契数的和。例如，a（5）=88，因为它是需要至少5个斐波那契数的最小数：88=55+21+8+3+1-约翰·克莱斯，2005年4月19日[经修正以抵消和澄清迈克·斯佩纳，2023年9月19日]通常，a（n）是n个正斐波那契数列的和，作为a（n）=sum_{i=1..n}A000045号（2*i）。请参见A001076号当负斐波那契数可以包括在和中时-迈克·斯佩纳2023年9月24日
连续极值花瓣弯曲β（n）=a（n-2）。参见K.Stephenson的Rodin和Sullivan的环引理，《圆填充导论》（剑桥大学出版社，2005年），第73-74和318-321页David W.Cantrell（DWCantrell（AT）sigmaxi.net）
a（n+1）=AAB^（n）（1），n>=1，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，4=`110`，12=`1100`，33=`11000`，88=`110000`。。。，Wythoff代码。AA（1）=1=a（1），但由于唯一性原因，在Wythoff代码中1=a（1）-N.J.A.斯隆2008年6月29日
以n开头。每个n生成一个子列表{n-1，n-1，n-2，..，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。在所有术语中添加数字。例如，3->{2,2,1}和2->{1,1}，因此a（3）=3+2+2+1+1+1=1=12-乔恩·佩里2012年9月1日
此外，数字m使得5*m*（m+2）+1是一个正方形-布鲁诺·贝塞利，2014年5月19日
此外，跨越整数初始区间的权重为n的多集的非空子多集的数量（参见第二个示例）-古斯·怀斯曼2015年2月10日
包括a（-1）：=0，连续项（a（n-1），a（n））=（u，v）或（v，u）给出双曲线u^2-u+v^2-v-4*u*v=0上的所有点，两个坐标均为非负整数。注意，这源于用马尔可夫三元组（1，斐波那契（2n-1），斐波纳契（2n+1））来标识（1，u+1，v+1）。请参见A001519号（Robert G.Wilson于2005年10月5日发表评论，Wolfdieter Lang于2015年1月30日发表评论）。
设T（n）表示第n个三角形数。如果i，j是上述序列的任意两个连续元素，则（T（i-1）+T（j-1））/T（i+j-1）=3/5。（结束）
参考文献
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LászlóNémeth，双曲Pascal金字塔，arXiv:1511.02067[math.CO]，2015（表1的第二行是3*a（n-2））。
配方奶粉
a（n）=和{i=1..n}二项式（n+i，n-i）-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月15日
通用公式：和{k>=1}x^k/（1-x）^（2*k+1）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月21日
a（n）=Sum_{k=0..n-1}U（k，3/2）=Sum _{k=0..n-1}S（k，3）=A001906号（k+1）-保罗·巴里2003年11月14日
G.f.:x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））=x/（1-4*x+4*x^2-x^3）。
a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+a（n-3），其中n>=2，a（-1）=0，a（0）=0、a（1）=1。
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）+1，其中n>=1，a（-1）=0，a（0）=0。
a（n）=2*a（n-1）+（和{k=1..n-2}a（k））+n-乔恩·佩里2012年9月1日
总和{n>=1}1/a（n）=3-φ，其中φ=1/2*（1+sqrt（5））是黄金比率。相邻项r（n）：=a（n）/a（n-1）的比值满足n>=2的递推关系r（n+1）=（4*r（n-彼得·巴拉2013年12月5日
a（n）=S（n，3）-S（n-1，3）-1，n>=0，使用切比雪夫S多项式（参见A049310美元)，其中S（-1，x）=0-沃尔夫迪特·朗2014年8月28日
a（n）=-1+（2^（-1-n-科林·巴克2016年6月3日
例如：（sqrt（5）*sinh（sqert（5）*x/2）+5*cosh（sqrt（5）*1x/2））*exp（3*x/2）/5-exp（x）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月3日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*Fibonacci（k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k+i+1，k-i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
当n>1时，a（n）*a（n-2）=a（n-1）*（a（n-1）-1）-罗伯特·K·莫尼奥2020年8月23日
a（n）=和{k=1..n}C（2*n-k，k）-韦斯利·伊万·赫特2020年12月22日
a（n）=和{k=1..2*n+2}（-1）^k*Fibonacci（k）-彼得·巴拉2021年11月14日
a（n）=（2*cosh（（1+2*n）*arccsch（2）））/sqrt（5）-1-彼得·卢什尼2021年11月21日
例子
a（5）=88=2*33+12+4+1+5。a（6）=232=2*88+33+12+4+1+6-乔恩·佩里2012年9月1日
a（4）=33统计最后一行的所有非空子多重集：[1][2][3][4]、[11][12][13][14][22][23][24][24][23][24][33][34]、[111][112][113][122][123][123][124][133][134][222][223][234]、[1111][11122][11223][1234][1234]-古斯·怀斯曼2015年2月10日
MAPLE公司
a： =n->和（二项式（n+k+1，2*k），k=0..n）：序列（a（n），n=-1..26）#零入侵拉霍斯2007年10月2日
数学
线性递归[{4，-4，1}，{0，1，4}，40](*哈维·P·戴尔2021年8月17日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[斐波那契（2*n+1）-1:n in[0.30]]//文森佐·利班迪2011年4月18日
（PARI）concat（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））+O（x^40））\\科林·巴克2016年6月3日
（哈斯克尔）
a027941=（减去1）。a000045。(+ 1) . (* 2)
（最大值）
a（n）：=总和（二项式（n+1，k+1）*fib（k），k，0，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁，2016年10月14日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A212336号对于更多具有1/（1-k*x+k*x^2-x^3）类型g.f.的序列。
扩展
保罗·巴里2003年11月14日的公式，针对偏移量0和切比雪夫多项式的索引链接修正的递归和g.f沃尔夫迪特·朗2014年8月28日
a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
+10
20
1, 8, 56, 385, 2640, 18096, 124033, 850136, 5826920, 39938305, 273741216, 1876250208, 12860010241, 88143821480, 604146740120, 4140883359361, 28382036775408, 194533374068496, 1333351581704065, 9138927697859960
评论
a（n）使得9*（T（a（n”-1）+T（a”+1）-1））=7*（T”（a”n”+a”（n+1）-1”），其中T（i）表示第i个三角形数。
配方奶粉
通用公式：x/（1-8*x+8*x^2-x^3）=x/（（1-x）*（1-7*x+x^2））。
a（n）=7*a（n-1）-a（n-2）+1，n>=2，a（0）：=0，a（1）=1。
a（n）=（S（n，7）-S（n-1，7）-1）/5，n>=1，其中S（n、7）=U（n，7/2）=A004187号（n+1）。
a（n）=（1/3）*Sum_{k=0..n}斐波那契（4*k）-加里·德特利夫斯2010年12月7日
数学
a[1]=1；a[2]=8；a[3]=56；a[n]：=a[n]=8a[n-1]-8a[n-2]+a[n-3]；表[a[n]，{n，20}](*罗伯特·威尔逊v2004年4月8日*）
线性递归[{8，-8，1}，{1，8，56}，30](*哈维·P·戴尔，2015年12月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）Vec（x/（（1-x）*（1-7*x+x^2））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月29日
交叉参考
囊性纤维变性。A212336号对于更多具有1/（1-k*x+k*x^2-x^3）类型g.f.的序列。
作者
K.S.Bhanu（Bhanu_105（AT）yahoo.com）和M.N.Deshpande，2004年4月6日
0, 8, 152, 2736, 49104, 881144, 15811496, 283725792, 5091252768, 91358824040, 1639367579960, 29417257615248, 527871269494512, 9472265593285976, 169972909409653064, 3050040103780469184, 54730748958638792256, 982103441151717791432
评论
定义a（1）=0，a（2）=8，其中有5*（a（1。那么a（n）=a（n-2）+8*sqrt（5*（a（n-1）^2）+5*a（n-1）+1）。另一个定义是：a（n），即5*（a（n”^2）+5*a（n“）+1=j（n）^2-皮埃尔·卡米2005年3月30日
似乎这个序列给出了所有非负m，使得5*m^2+5*m+1是一个正方形-杰拉尔德·麦卡维2005年4月3日
我们证明了评论部分开头提到的两个McGarvey-CAMI猜想。像往常一样，设F（n）=A000045号（n） 斐波那契数列。在后继部分中，为了便于参考，我们用大写字母（（A）、（B）、（C）、（D））表示方程。
然后，我们必须证明（A），5*（（F（6n+3）-2）/4）^2+5*（（F（6n+2）-2。设m＝3n+1，使得6n+1、6n+3和6n+5分别为2m-1、2m+1和2m+3。定义G（m）=F（6n+3）=F=A001519号（m+1），二等分斐波那契数。我们现在可以通过i）将LHS和RHS乘以16，ii）展开平方，以及iii）聚集相似项来简化方程（A）。这证明了（A）等价于证明（B），5G（m）^2-4=（G（m+1）-G（m-1））^2。
根据Jarden定理（D.Jarden，递归序列，第二版，耶路撒冷，Rivon Lematematika，（1966）），如果{H。如公式部分所述A001519号，{G（m）}_{m>=1}满足（C）。
（B）的证明现在很简单。由于{G（m）}{m>=1}满足（C），因此{G（m^2}{m>=1}也满足（D）。
类似地，由于{G（m）}_{m>=1}满足（C），因此{G（m+1）}_}_m>=1}、{G（m-1）}_{m>=1}及其差{G（m/1）-G（m-1。
但是，当m=1,2,3时，（B）的LHS和RHS相等，并且满足相同的递归，（D）。因此，（B）的LHS和RHS对于所有m都是相等的。这就完成了证明。（结束）
配方奶粉
a（n+1）=9*a（n）+2*sqrt（5*（2*a（n）+1）^2-1）+4-理查德·乔利特2007年8月30日
通用：8*x/（（1-x）*（1-18*x+x^2））-理查德·乔利特2007年10月9日
a（n）=18*a（n-1）-a（n-2）+8，n>1-加里·德特利夫斯2010年12月7日
a（n）=（斐波那契（6*n+6）-斐波那奇（6*n）-8）/16-加里·德特利夫斯2010年12月8日
MAPLE公司
A053606号：=过程（n）加（组合[fibonacci]（6*k），k=0..n）；结束进程：
黄体脂酮素
（岩浆）[（斐波那契（6*n+3）-2）/4:n in[0.30]]//文森佐·利班迪2011年4月20日
（鼠尾草）[（fibonacci（6*n+3）-2）/4代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月16日
（GAP）列表（[0..30]，n->（斐波那契（6*n+3）-2）/4）#G.C.格鲁贝尔2019年5月16日
a（n）=F（3）+F（6）+FF（3n），F（n）=斐波那契数A000045号.
+10
15
0, 2, 10, 44, 188, 798, 3382, 14328, 60696, 257114, 1089154, 4613732, 19544084, 82790070, 350704366, 1485607536, 6293134512, 26658145586, 112925716858, 478361013020, 2026369768940, 8583840088782, 36361730124070, 154030760585064, 652484772464328, 2763969850442378
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。25。
配方奶粉
a（n）=（斐波那契（3*n+2）-1）/2=(A015448号（n+1）-1）/2。
总尺寸：2*x/（（1-x）*（1-4*x-x^2））。
a（n）=和{0<=j<=i<=n}二项式（i，j）*F（i+j）-贝诺伊特·克洛伊特2005年5月21日
a（n）=4*a（n-1）+a（n-2）+2，n>1。
a（n）=5*a（n-1）-3*a（n-2）-a（n-3），n>2。
a（n）=（斐波那契（3*n+3）+斐波那契（3*n）-2）/4。（结束）
a（n）=（-10+（5-3*sqrt（5）））*（2-sqrt-科林·巴克，2016年11月26日
例如：exp（x）*（exp（x）*（5*cosh（sqrt（5）*x）+3*sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚，2024年6月3日
数学
系数列表[级数[2x/（（1-x）（1-4x-x^2）），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年3月15日*）
线性递归[{5，-3，-1}，{0，2，10}，30](*G.C.格鲁贝尔2018年1月17日*）
累加[Fibonacci[3Range[0，19]]](*阿隆索·德尔·阿特，2018年12月23日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（i=1，n，fibonacci（3*i））\\米歇尔·马库斯2014年3月15日
（岩浆）[（斐波那契（3*n+2）-1）/2:n in[0.30]]//G.C.格鲁贝尔，2018年1月17日
a（n）=（卢卡斯（4*n+2）+2）/5或斐波那契（2*n+1）^2，或A081067号（n） /5。
+10
13
1, 4, 25, 169, 1156, 7921, 54289, 372100, 2550409, 17480761, 119814916, 821223649, 5628750625, 38580030724, 264431464441, 1812440220361, 12422650078084, 85146110326225, 583600122205489, 4000054745112196, 27416783093579881
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。19。
休·C·威廉姆斯（Hugh C.Williams），爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）和Primality Testing，约翰·威利父子公司（John Wiley and Sons），1998年，第75页。
链接
穆罕默德·阿扎里安，斐波那契恒等式为二项式和《国际当代数学科学杂志》，第7卷，第38期，2012年，第1871-1876页（见结论1（vii））。
Pridon Davlianidze，问题B-1264《基本问题与解决方案》，《斐波纳契季刊》，第58卷，第1期（2020年），第82页；一切都是关于加泰罗尼亚人的《B-1264问题的解决方案》，同上，第59卷，第1期（2021年），第87-88页。
配方奶粉
a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。
a（n）=斐波那契（2*n）*Fibonacci（2*n+2）+1-加里·德特利夫斯2012年4月1日
通用格式：（1-4*x+x^2）/（（1-x）*（x^2-7*x+1））-科林·巴克2012年6月26日
和{n>=0}1/（a（n）+1）=1/3*sqrt（5）-彼得·巴拉，2013年11月30日
求和{n>=0}1/a（n）=sqrt（5）*求和{n>=1}（-1）^（n+1）*n/Fibonacci（2*n）（Jennings，1994）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月30日
MAPLE公司
luc:=proc（n）选项请记住：如果n=0，则返回（2）fi：如果n=1，那么返回（1）fi:luc（n-1）+luc（n-2）：结束：对于从0到40的n，执行打印f（`%d，`，（luc（4*n+2）+2）/5）od：#詹姆斯·塞勒斯2003年3月5日
数学
系数列表[级数[-（1-4*x+x^2）/（（x-1）*（x^2-7*x+1）），{x，0，40}]，x]（*或*）线性递归[{8，-8，1}，{1，4，25}，50](*文森佐·利班迪2012年6月26日*）
表[（LucasL[4*n+2]+2）/5，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2017年12月17日*）
黄体脂酮素
（岩浆）I:=[1,4,25]；[n le 3选择I[n]else 8*自我（n-1）-8*自我（n-2）+自我（n-3）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2012年6月26日
（PARI）main（size）={return（concat（[1]），vector（size，n，fibonacci（2*n+1）^2））}/*安德斯·赫尔斯特罗姆2015年7月11日*/
（岩浆）[（卢卡斯（4*n+2）+2）/5:n in[0.30]]//G.C.格鲁贝尔2017年12月17日
（PARI）用于（n=0，30，print1（fibonacci（2*n+1）^2，“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年12月17日
13*k+1=A^2和17*k+1=B^2的常见解决方案中的A值列表。
+10
13
1, 14, 209, 3121, 46606, 695969, 10392929, 155197966, 2317576561, 34608450449, 516809180174, 7717529252161, 115246129602241, 1720974414781454, 25699370092119569, 383769576967012081, 5730844284413061646, 85578894689228912609, 1277952576054020627489
评论
这总结了C*k+1=A^2，（C+4）*k+1=B^2的常见解的情况C=13。
这两个方程等价于Pell方程x^2-C*（C+4）*y^2=1，
x=（C*（C+4）*k+C+2）/2；y=A*B/2，最小值x（1）=（C+2）/2，y（1）=1/2。
一般复发包括：
A（j+2）=（C+2）*A（j+1）-A（j），其中A（1）=1；A（2）=C+1。
B（j+2）=（C+2）*B（j+1）-B（j），其中B（1）=1；B（2）=C+3。
k（j+3）=（C+1）*（C+3）*（k（j+2）-k（j+1））+k（j），其中k（1）=0；k（2）=C+2；k（3）=（C+1）*（C+2）*（C++）。
x（j+2）=（C^2+4*C+2）*x（j+1）-x（j），其中x（1）=（C+2）/2；x（2）=（C^2+4*C+1）*（C+2）/2；
这些二阶递归的Binet型解是：
R=C^2+4*C；S=C*sqrt（R）；T=（C+2）；U=平方英尺（R）；V=（C+4）*sqrt（R）；
A（j）=（R+S）*（T+U）^（j-1）+（R-S）*；
B（j）=（R+V）*（T+U）^（j-1）+（R-V）*；
x（j）+平方根（R）*y（j）=（T+U）*（C^2*4*C+2+（C+2）*sqrt（R））^（j-1））/2^j；
k（j）=（（（T+U）*（R+2+T*U）^（j-1）+（T-U）*[保罗·魏森霍恩2009年5月24日]
.C-A------B------k-----
对于n>=2，a（n）等于（2n-2）X（2n-2）三对角矩阵沿主对角线具有sqrt（13），沿上对角线和次对角线带有1的永久性。[约翰·坎贝尔，2011年7月8日]
满足x^2-15xy+y^2+13=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月11日
配方奶粉
a（n）=15*a（n-1）-a（n-2）。
通用名称：（1-x）*x/（1-15*x+x^2）。
a（n）=（2^（-1-n）*（（15-sqrt（221））^n*（13+sqert（221-科林·巴克2016年7月25日
数学
线性递归[{15，-1}，{1，14}，20](*哈维·P·戴尔2012年10月8日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-15x+x^2），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年2月12日*）
黄体脂酮素
（岩浆）I:=[1,14]；[n le 2选择I[n]else 15*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2014年2月12日
（PARI）a（n）=圆形（2^（-1-n）*（15-sqrt（221））\\科林·巴克2016年7月25日
a（1）=1；a（n+1）=和{k=1..n}1/a（k）中分子和分母的乘积。
+10
12
1, 1, 2, 10, 65, 442, 3026, 20737, 142130, 974170, 6677057, 45765226, 313679522, 2149991425, 14736260450, 101003831722, 692290561601, 4745030099482, 32522920134770, 222915410843905, 1527884955772562, 10472279279564026, 71778070001175617, 491974210728665290
评论
定义中的分子和分母没有大于1的公约数。
埃及分数系统中连续斐波那契数比率的分母：1/2=1/2，3/5=1/2+1/10，8/13=1/2+1/10+1/65，21/34=1/2+1/10+1/65+1/442等（Rossi和Tout）-巴里·西普拉2002年6月6日
倒数的部分和：和{k=1..n}1/a（k）等于1（n=1），F（2*n-1）/F（2*n-3）（n>=2），其中F=A000045号.归纳证明。因此，当n=1时，a（n）=1，当n>=2时，F（2*n-3）*F（2xn-5），其中F（-1）=1（gcd（F（n），F（n+1）=1）。查看评论巴里·西普拉.
因此，对于n=1，a（n）=1，以及对于n>=2，a。请参阅斯图尔·舍斯特特评论。
参考文献
S.Vajda、Fibonacci&Lucas Numbers和黄金分割，Ellis Horwood Ltd.，奇切斯特，1989年。
链接
克里斯蒂安·埃比和格兰特·凯恩斯，格等价平行四边形，arXiv:2006.07566[数学.NT]，2020。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链和相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
配方奶粉
a（n）=斐波那契（2*n-5）*Fibonacci（2*n-3），对于n>=3-巴里·西普拉2002年6月6日
猜想：a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3），n>4。G.f.：-x*（2*x^2+x^3-7*x+1）/（（x-1）*（x^2-7*x/1））-R.J.马塔尔2009年7月3日[有关证据，请参阅上述W.Lang评论。]
和{n>=1}1/a（n）=φ^2=1+φ。（结束）[有关证据，请参阅上面的注释]
a（n）=F（2*n-3）*F（2*n-5）=1+F（2*（n-2））^2，对于n>=2，F（-1）=1。请参阅上面的W.Lang评论-沃尔夫迪特·朗2020年5月26日
例子
1/a（1）+1/a（2）+1/1（3）+1/a（4）=1+1+1/2+1/10=13/5。所以a（5）=13*5=65。
1, 1, 2, 3, 6, 9, 15, 24, 40, 64, 104, 168, 273, 441, 714, 1155, 1870, 3025, 4895, 7920, 12816, 20736, 33552, 54288, 87841, 142129, 229970, 372099, 602070, 974169, 1576239, 2550408, 4126648, 6677056, 10803704, 17480760, 28284465, 45765225, 74049690
评论
Fibonacci序列与序列（1,0,0,0,1,0,0，0，1，…）的卷积。
在a（n）和斐波那契数列f（n）之间有一个有趣的关系。平方（a（4n-2））=f（2n）。利用这个事实，我们可以通过以下（1）、（2）、（3）、（4）和（5）计算a（n）的值。（1） a（1）=1。（2） 如果n=2（mod 4），则a（n）=f（（n+2）/2）^2。（3） 如果n=3（mod 4），则a（n）=（f（（n+5）/2）^2-2f（（n+1）/2）*2-1）/3。（4） 如果n=0（mod 4），则a（n）=（f（（n+4）/2）^2+f（n/2）^2-1）/3。（5） 如果n=1（mod 4），则a（n）=（2f（（n+3）/2）^2-f（（n-1）/2）*2+1）/3.-松井浩史和宫德良2006年8月8日
如果n mod m=p，则形式为s（0）=a，s（1）=b，s（n）=s（n-1）+s（n-2）+k的序列将具有形式为fib（n-1-加里·德特利夫斯2010年12月5日
可以推测出A（n）作为斐波那契数f（n）的函数的不同公式。如果n mod 4=3，则模式的形式为a（n）=f（p）*f（p-q）-1，否则f（p*A002265号（n+4）=2*（楼层（（n+3）/2）-楼层（（n+3）/4））（见评论乔纳森·沃斯邮报在A002265号). 周期为4的序列的A、b、c、d项的一般公式如下所示A121262号（离散傅里叶变换，对于所有周期序列），是t（n）=1/4*（2*cos（n*Pi/2）+1+（-1）^n）的函数。r4（a，b，c，d，n）=a*t（n+3）+b*t（n+2）+c*t（n+1）+d*t（n）。在n mod 4=3时，可以使用相同的公式减去1。a（n）=f（p（n））*f（p〔n〕-r4（1,0,3,2，n））-r4（0,0,1,0，n）-加里·德特利夫斯2010年12月9日
该序列是参考文献第34页“类帕斯卡三角形和类斐波那契序列”中的序列B4,1。在本文中，作者以具有此序列的更一般的序列为例松井宏和宫德良2014年4月11日
很容易看出，a（n）=a（n-4）+f（n），其中f（n）是斐波那契数列。通过反复使用，我们得到了自然数m
a（4m）=a（4）+f（4mf（8）中，
a（4m+1）=a（1）+f（4m）+ff（5），
a（4m+2）=a（2）+f（4m）+f（4m-4）+…+f（6）和
a（4m+3）=a（3）+f（4m）+f（4m-4）+…+f（7）。
-Wataru Takeshita和宫德良2014年4月11日
a（n-1）将（n-1）的部分有序分区计数为（1,2,3,4），其中2的位置（顺序）不重要。例如，a（5）=6（n-1）=4这些是（4）、（31）、（13）、（22）、（211121112=一）、（1111）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月12日
链接
H.Matsui等人。，问题B-1019《斐波纳契季刊》第45卷第2期；2007; 第182页。
配方奶粉
通用公式：x/（（1-x^4）（1-x-x^2））=x/（1-x-x-x^2-x^4+x^5+x^6）。
a（n）=a（n-1）+a（n-2）+a。
a（n）=求和{j=0..floor（n/2）}求和{k=0..loor（（n-j）/2）}-二项式（n-j-2k，j-2k），对于n>=0。
Maple代码中给出了另一个循环。
如果n mod 4=1，则a（n）=a（n-1）+a（n-2）+1，否则a（n-加里·德特利夫斯2010年12月5日
a（4n+1）=A081016号（n） =斐波那契（2n+2）*斐波那奇（2n+1）。
a（4n+3）=A081018号（n+1）=斐波那契（2n+2）*斐波那奇（2n+3）。
a（n）=8*a（n-4）-8*a（n-8）+a（n-12），n>12-加里·德特利夫斯2010年12月10日
a（n）=Sum_{k=0.floor（（n-1）/4）}斐波那契（n-4*k）-约翰内斯·梅耶尔2012年4月19日
MAPLE公司
f： =proc（n）选项记忆；局部t1；如果n<=2，则返回（1）；fi：如果n mod 4=1，则t1:=1，否则t1:=0；fi:f（n-1）+f（n-2）+t1；结束；[序列（f（n），n=1..100）]#N.J.A.斯隆2008年5月25日
与（组合）：f:=n->fibonacci（n）：p:=n->2*（地板（（n+3）/2）-地板（（n+3）/4））：t:=n->1/4*（2*cos（n*Pi/2）+1+（-1）^n）：r4:=（a，b，c，d，n）->a*t（n+3）+b*t（n+2）+c*t（n+1）+d*t（n）：seq（f（p（n））））*f（p（n）-r4（1，0，3，2，n））-r4#加里·德特利夫斯2010年12月9日
with（组合）：a:=进程（n）；加法（fibonacci（n-4*k），k=0..floor（（n-1）/4））end:seq（a（n），n=1..33）#约翰内斯·梅耶尔2012年4月19日
数学
（*f[n]是斐波那契数列，a[n]则是A080239号*)f[n]：=f[n]=f[n-1]+f[n-2]；f[1]=1；f[2]=1；a[n]：=其中[n==1，1，Mod[n，4]==2，f[（n+2）/2]^2，Mod[n，4]==3，（f[（n+5）/2]^2-2f[（n+1）/2]f[（n-1）/2]^2+1）/3]（*松井浩和宫德良，2006年8月8日*）
a=0；b=0；lst={a，b}；做[z=a+b+1；附加到[lst，z]；a=b；b=z；z=a+b；附录[lst，z]；a=b；b=z；z=a+b；附录[lst，z]；a=b；b=z；z=a+b；附录[lst，z]；a=b；b=z，{n，4！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年2月16日*）
（*设f[n]是斐波那契数列，a2[n]为数列A080239号由Wataru Takeshita和Ryohei Miyadera发现的另一个公式表示*）
f=斐波那契；a2[n_]：=块[{m，s}，s=Mod[n，4]；m=（n-s）/4；
其中[n==1,1，n==2，1，n==3，2，s==0，3+求和[f[4i]，{i，2，m}]，s==1，1+求和[f[4i+1]，{i，1，m}]，s==2，1+和[f[4i+2]，{i，1，m}]，s=3，2+和[f[4i+3]，{i,1，m}]]；表[a2[n]，{n，1，40}](*宫德良，2014年4月11日，小更新Jean-François Alcover公司2014年4月29日*）
线性递归[{1，1，0，1，-1，-1}，{1，1,2，3，6，9}，41](*文森佐·利班迪2015年6月7日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a080239 n=a080239_列表！！（n-1）
a080239_list=1:1:zipWith（+）
（尾部a011765_list）（zipWith（+）a080239_list$tail a080223_list
（岩浆）I:=[1、1、2、3、6、9]；[n le 6选择I[n]其他自我（n-1）+自我（n-2）+自身（n-4）-自我（n-5）-自身（n-6）：[1..50]]中的n//文森佐·利班迪2015年6月7日
（PARI）向量（40，n，f=fibonacci；和（k=0，（n-1）\4），f（n-4*k））\\G.C.格鲁贝尔2019年7月13日
（Sage）[sum（fibonacci（n-4*k）for k in（0..floor（n-1）/4））for n in（1..40）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月13日
（GAP）列表（[1..40]，n->总和（[0..Int（（n-1）/4）]，k->斐波那契（n-4*k））#G.C.格鲁贝尔，2019年7月13日
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