|
Wythoff阵列A035513号如下所示，位于破损的右侧行。它有许多奇妙的特性它们列在表后。这也是相关的在线百科全书中的大量序列。
0 1 | 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1441 3 | 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 5212 4 | 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 7543 6 | 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 11314 8 | 12 20 32 52 84 136 220 356 576 932 15085 9 | 14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076 1741 6 11 | 17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309 21187 12 | 19 31 50 81 131 212 343 555 898 1453 23518 14 | 22 36 58 94 152 246 398 644 1042 1686 27289 16 | 25 41 66 107 173 280 453 733 1186 1919 310510 17 | 27 44 71 115 186 301 487 788 1275 2063 333811 19 | 30 49 7912 21 | 33 54 8713 22 | 35 57 92
Wythoff阵列的一些特性。（有关资料来源，请参阅下面的“参考资料”。）
- 结构（1）：左边的两列虚线分别由非负整数n组成，并且这个下威瑟夫层序
A000201号,其第n项是[（n+1）tau]，其中tau＝（1+sqrt（5））/2。然后用斐波那契规则填充行每一项都是前两项的总和。第一列中的条目n是指数在那一排。
- 两个定义：这个Zeckendorf膨胀通过反复减去最大的斐波那契数，直到什么都没有了；例如100=89+8+3（请参见A035514号,A035515号,A035516号,A035517号).
这个斐波纳契继承人至（或左移位第页，共页）n，例如，通过替换每个F类我在Zeckendorf按F展开i+1（输入+1）；例如，100的后继是S100＝144＋13＋5＝162。请参见A022342号.
- 结构（2）：左边的两列虚线为n，1+Sn；然后在破碎之后行的顺序是
m Sm SSm SSSm SSSSm。。。 ,
其中m=n+1+Sn。
- 施工（3）:设{S1，S2，S3，S4，…}={2,3,5,7,8,10,11，…}是斐波那契后继数列A022342号.数组的第一列由不在其中的数字组成顺序：1,4,6,9,12，。。。(A007067号).通过重复应用S来填充每行的其余部分。
- 施工（4）:第n行和第k列中的条目为
[（n+1）τ]F钾+2+n个Fk+1,
其中｛F0，F1，F2，F3, ...} = {0,1,1,2,3,5,...}是斐波那契数列A000045号.
- 1.Wythoff数组的第一行由斐波那契数列1,2,3,5,8，。。。A000045号
2.每行满足斐波那契递推；
3.每行中的前导项是未找到的最小数字在任何较早的行中；
4.每个正整数在数组中只出现一次；
5.任何行或列中的术语都是单调递增的；
6.每个正Fibonacci型序列（即满足a（n）=a（n-1）+a（n-2），最终为正）出现作为数组的某一行；
7.任意两行中的术语交替出现。
有无穷多个属性为1-7的数组，请参见[Kim95a]。
- 另一个特别有趣的具有属性1-7的数组是斯托拉尔斯基阵列:A035506号,
1 2 3 5 8 13 21 34 55 894 6 10 16 26 42 68 110 178 2887 11 18 29 47 76 123 199 322 5219 15 24 39 63 102 165 267 432 69912 19 31 50 81 131 212 343 555 89814 23 37 60 97 157 254 411 665 107617 28 45 73 118 191 309 500 809 130920 32 52 84 136 220 356 576 932 150822 36 58 94 152 246 398 644 1042 168625 40 65 105 170 275 445 720 1165 1885
- Wythoff数组的第k列包括Zeckendorf展开结束的数字带Fk个.
- 垂直方向的第n项副Fibonacci序列
0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 5, 3, 2, 6, 1, 7, 4, 0, 8, 5, ...
(A019586号或者，对于原始形式，A003603型)给出Wythoff数组中包含n的行的索引（或参数）。 这个序列也有一些很好的属性。
A.如果删除每个数字的第一次出现顺序不变。因此，如果我们删除红色数字来自
0, 0, 0,1, 0,2, 1,0,3，2，1，4, 0,5,3, 2,6, 1,7，4，0，8, 5, ...我们得到
0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 5, 3, 2, 6, 1, 7, 4, 0, 8, 5, ...
再一次！ B.在任意两个连续的0之间我们看到前几个正整数的排列，这些嵌套，因此可以将序列重写为：
000 10 2 10 3 2 1 40 5 3 2 6 1 7 40 8 5 3 9 2 10 6 1 11 7 4 12
- 水平的第n项副Fibonacci序列
1, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 7, 1, 2, ...
(A035612号)给出了Wythoff列的索引（或参数）包含n的数组。这个序列还有一个非常好的属性（参见条目）。
工具书类[Con96]J.H.Conway，未出版注释，1996年。
[FrKi94]A.Fraenkel和C.Kimberling，广义Wythoff阵列，洗牌和散布，《离散数学》126（1994）137-149。
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[Kim93a]C.Kimberling，《间隙和分散》，Proc。阿默尔。数学。Soc.117（1993）313-321。
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[Kim95]C.Kimberling，《数值系统和分形序列》，《算术学报》73（1995）103-117。
[Kim95a]C.Kimberling，Stolarsky interspersions，Ars Combinatoria 39（1995）129-138。
[Kim95b]C.Kimberling，Zeckendorf阵列等于Wythoff阵列，Fibonacci Quarterly 33（1995）3-8。
[Kim97]C.Kimberling，分形序列和区间，Ars Combinatoria，第45卷，第157页，1997年。
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[Sto77]K.B.Stolarsky，一组广义Fibonacci序列每个自然数正好属于一个，即Fib。夸脱。，15 (1977), 224.
其他链接克拉克·金伯利，分形序列
克拉克·金伯利，Interspessions公司
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，2004年第7卷。
关联序列Wythoff阵列的连续列A035513号给定序列A000201号（就在虚线之前）；
A007065号,A035336号,A035337号,A035338号,A035339号,A035340号.
连续行给出斐波那契数列A000045号,卢卡斯数字A000204号,翻倍的斐波那契数列A013588型,三倍斐波那契数列A022086级,A022087号,A000285号,A022095型,等等。
主对角线为A020941美元.
类似于帕斯卡三角形这应该得到更多的了解。
| | | | | | | | | | 1 | | | | | | | | |
| | | | | | | | | 1 | | 1 | | | | | | | |
| | | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | | | | | |
| | | | | | | 1 | | 2 | | 2 | | 1 | | | | | |
| | | | | | 1 | | 2 | | 4 | | 2 | | 1 | | | | |
| | | | | 1 | | 3 | | 6 | | 6 | | 3 | | 1 | | | |
| | | | 1 | | 3 | | 9 | | 10 | | 9 | | 3 | | 1 | | |
| | | 1 | | 4 | | 12 | | 19 | | 19 | | 12 | | 4 | | 1 | |
| | 1 | | 4 | | 16 | | 28 | | 38 | | 28 | | 16 | | 4 | | 1 |
| 1 | | | 5 | | 20 | | 44 | | 66 | | 66 | | 44 | | 20 | | 5 | q个 |
生成这些数字的规则与帕斯卡三角形:每一项是其上两个数字的总和，除了（按n=0,1,2…和每行中的条目按k=0,1,2，…）如果n是偶数，k是奇数-的红色条目-我们减去C（n/2-1，（k-1）/2）。 正式地，
a（n，k）=a（n-1，k-1）+a（n-1，k）-C（n/2-1，（k-1）/2），其中只有当n为偶数，k为奇数时，最后一项才存在。
参考：S.M.Losanitsch，Die Isomerie Arten。。。石蜡Reihe，化学。Ber.公司。 30(1897), 1917-1926. 按行读取三角形形成的序列为A034851美元，且连续对角线为A000012号,A004526号,A002620型,A005993号,A005994号,A005995号,A018210号,A018211号,A018212号,A018213号,A018214号.中央立柱屈服A034872号,A032123号,A005654号.行总和形式A005418号.Pascal三角形和Losanitsch三角形的区别在于中显示的三角形A034852号. 偶数对角线是前面对角线的部分和。第（2m）对角线的生成函数为 总和C（m+1，2i）x2个，i=0,1,2，。。。
-------------------------------------------
{（1-x）（1-x2)}米+1
将（2m+1）st对角线的对角线除以1-x得到。 例如，第五条对角线1,3,12,28,66,126,...具有生成功能
（1+3 x2)
---------------------------
{（1-x）（1-x2)}3.
含有n个元素的部分有序集有多少？（顺序A001035号.)
如果点是可区分的，即标记的，则n=1、2、3。。。点数为： 1, 3, 19, 219, 4231, 130023, 6129859, ... 目前，这些数字是通过18个点知道的。点击查看完整条目. 一些相关序列为：
参考文献选择：
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Hadamard的最大行列式问题：
任何n x n矩阵的最大行列式是什么条目是0和1？（顺序A003432号.)
以下是序列（对于n=1，2，…）： 1, 1, 2, 3, 5, 9, 32, 56, 144, 320, 1458, 3645, 9477, 25515, 131072, 327680, 1114112 下一届任期被认为是3411968年，尽管这一点尚未得到正式证明。
点击查看完整条目.关于上述问题，我们已经知道了很多。参见示例J.Brenner在美国发表的调查文章。数学。每月，1972年6月/7月，第626页，以及其他评论在1973年12月、1975年12月和1977年12月的版本中。
如果n+1可被4整除，且哈达玛矩阵为存在n阶，则f（n）=（n+1）^{（n+1”）/2}/2^n。
该问题有4个等效版本：求矩阵的最大行列式，其条目如下：
o 0或1，或
0≤x≤1范围内的o，或
o-1或1，或
o在-1<=x<=1范围内。 有关最新信息，请参阅网站Hadamard极大行列式问题由W.P.Orrick和B.Solomon维护。（请注意，它们的索引与OEIS中使用的索引不同。）
铃声号码：
展开exp（ex个-1）x的幂，总和Bn个x个n个/不！。这个系数Bn个是贝尔号码吗(A000110号): 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, ...
点击查看完整条目.
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, ...(A001006号).
像加泰罗尼亚数字一样，莫茨金数字也有很多解释。例如：
- 通过不相交弦连接圆上n个点的方法数
- 从（0,0）到（n，0）的不低于水平轴的路径数，由步骤（1,1）（即NE）、（1，-1）（即SE）和（1,0）（即e）组成。
- 序列数（s（0），s（1）。。。，s（n）），使得s（i）是非负整数，并且对于i=1,2，。。。，n、 s（0）=0=s（n）。
参考文献选择：
- T.Motzkin，超曲面交比之间的关系。。。牛市。阿默尔。数学。Soc.，54，352-360，1948年。
- R.Donaghey，四个Motzkin Catalan方程的限制平面树表示，J.Combin.Theory Ser。B、 1977年11月22日至121日。
- R.Donaghey和L.W.Shapiro，Motzkin numbers，J.Combin.理论Ser。A、 23291-301977年。
- E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族，PU。硕士学位。A、 2，编号3-4249-2791991。
- A.Kuznetsov、I.Pak和A.Postnikov，与Motzkin数相关的树，J.Combin。A、 1996年，第76页，第145-147页。
- F.Bergeron等人，《组合物种和树状结构》，剑桥。1998年，第267页。
- 理查德·斯坦利（Richard Stanley）的主页在第二卷《枚举组合数学》（Enumerative Combinatorics）（即将出版）下，列出了莫茨金数的表现形式。
公式：
- 通用格式：（1-x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2））/（2*x^ 2）。
- G.f.满足A（x）=1+xA（x）+x^2A（x）^2。
- 递归：a（n）=（-1/2）SUM（-3）^a C（1/2，a）C（1/2、b）；a+b=n+2，a>=0，b>=0。
- 在Maple中：seriestolist（系列（（1-x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2））/（2*x^ 2），x，40））；
- 在Mathematica中：a[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，0，n-2}]；数组[a[#]&，30]
完美数字：
等于以下每个（较小）数字之和的数字把他们分开(A000396号).
例如6是完美的，因为它可以被1、2和3整除，并且1+2+3=6。
完美数字的序列开始于：
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328,
2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, ...
只有大约三十个左右的完美数字已知。这些是一些最大的数字已经计算过了。点击查看完整条目.
阿伦森序列：
1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39, 45, 47, 51, 56, 58, 62, 64, ...(A005224号):其定义为： t是第一、第四、第十一。。。这句话的字母
点击查看完整条目.
续集，请看那篇论文Benoit Cloitre、Matthew Vandermast和我写道：Aronson序列的数值模拟，J.整数序列。，第6卷（2003年），编号03.2.2。
国际象棋游戏：
20世纪90年代初，我的同事肯·汤普森计算可能的棋局数有n个动作，从n个向上到7个，特别是OEIS-请参阅A006494号. 这个序列现在有几个版本，具体取决于确切地说是在计算什么。首选版本（现在已知n≤10）为A048987号: 1, 20, 400, 8902, 197281, 4865609, 119060324, ...
有关其他版本，请参见以下条目国际象棋比赛在中索引向OEIS提交。
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