搜索： a038291-编号：a038292
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A007318号
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| 按行读取的帕斯卡三角形：C（n，k）=二项式（n，k）=n/（k！*（n-k）！），0<=k<=n。
（原名M0082）
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+10
2060
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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A.W.F.Edwards写道：“它（三角形）早在1654年，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，这本书就被首次记录下来了，但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）
爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）
在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）
在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（爱德华兹，第52页）
在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，古印度二项式定理，第72页）
同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）
在意大利，塔塔格里亚（Tartaglia）在他的《将军特拉塔托》（General trattato，1556年）中发表了三角图，而卡达诺（Cardano）则在他的《新作品》（Opus novum，1570年）中出版了三角图。（Edwards，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C（n，k）=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。
二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。
二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。
二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日
二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：
+1
-1 +1
+1-2+1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日
此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次，LL（m，k）的整数列表分区数等于二项式（m+k，k）。对于这个例子，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日
来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）
二项式（n+k-1，k）是长度为k的序列可以划分为n个子序列的方式的数量（参见Naish链接）。
二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（结束）
用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：
二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。
二项式（2n，2k）=sigma_{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n+1,2k）=（2n+1）σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（结束）
给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp。行多项式本质上是Appell多项式。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467美元n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和，参见A180662号有关它们的定义，请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来，请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
二项式（n，k）也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数，以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式（n，k）是从{1，…，k}到{1，…，n}的递增函数的数量，因为有二项式（n，k）方法可以从共域{1，…，n}中选择范围内的k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要了解这一点，请注意总和{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一（参见Bober定理1.2）。其他两个是A046521号和A068555号.对于实际r>=0，C_r（n，k）：=楼层（r*n）/（地板（r*k）*地板（r*（n-k））！）是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日
定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈2012年10月1日
集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处下降，如果p_i>p_（i+1）。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1。然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中k下降的置换数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262（k） /k！，并且对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格，2014年1月1日
下面公式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n X n子矩阵（前n行和n列）在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有一个）时，将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uudududd_）；二项式（3,1）=3[（Uududd_Ud_），（Ud_Uudd_）；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日
二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群，每个个体的克隆都会使其世代指数增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请将从0到2^（n-1）-1的图案的下移（一行）副本附加到从0到2^（n-1）-1的图案右侧。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）
生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展：
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
（结束）
T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，它们以rb（w）=k避免了1/2/3。对于ls（w）=k也适用，其中避免是在Klazar和ls的意义上，rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A（n）}是一个有n个完全相同元素的集，{A（0）}为空集E。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，k）是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·A·罗素2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。从中形成一个新的序列，留下第0项，然后考虑n的所有组成，取b（i）对每个组成中的相应数字i的乘积，将对应于具有偶数部分的组成的项相加，减去对应于具有奇数部分的组成的项。然后得到三角形的第n行，每第二项乘以-1，后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
C（n，k）是n维单位超立方体中距给定顶点L1距离k（或：具有k 1d条最短路径）处的顶点数-艾坦·Y·莱文2023年5月1日
C（n+k-1，k-1）是无限维框中距给定顶点L1距离处的顶点数，对于每m>=0，该框具有长度为2^m的k条边。等价地，给定一组包含k个可区分令牌的令牌，每个m>=0的值为2^m，C（n+k-1，k-1）是总值为n的令牌子集的数量-艾坦·莱文，2023年6月11日
第k列中的数字，即n>=k的C（n，k）形式的数字，称为k单纯形数-蓬图斯·冯·布罗姆森2023年6月26日
设r（k）是第k行，c（k）为第k列。用*表示卷积，用^表示重复卷积。然后r（k）*r（m）=r（k+m）和c（k）*c（m）=c（k+m+1）。这是因为r（k）=r（1）^k和c（k）=c（0）^k+1-艾坦·莱文2023年7月23日
长度n的排列数同时避免了图案231和312（分别为213和231；213和312）和k个下降（相当于k个上升）。置换a（1）a（2）中的上升（分别是下降）。。。a（n）是位置i，使得a（i）＜a（i+1）（分别为a（i）＞a（i+1））-田汉2023年11月25日
C（n，k）是m=0阶的广义二项式系数。通过公式C（n，k）=和{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*斯特林2（i+m+1，i+1）*（-1）^i计算，其中m=0表示n>=0，0<=k<=n-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科2023年2月26日
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参考文献
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。[缓存副本，经许可（仅pdf格式）]
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
杰克·拉姆齐，关于算术三角形《长岛的脉搏》，1965年6月[提及天线阵列设计的应用。注释扫描。]
托马斯·理查森，互易帕斯卡矩阵，arXiv预印本arXiv:1405.6315[math.CO]，2014。
Louis W.Shapiro、Seyoum Getu、Wen-Jin Woan和Leon C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，第34卷（1991年），第229-239页。
Christopher Stover和Eric W.Weistein，组成。来自MathWorld-Wolfram Web资源。
赫伯特·S·威尔夫，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第12页及其后。
Chris Zheng和Jeffrey Zheng，三角数及其固有性质《从理论基础到应用的变体构造》，新加坡施普林格，51-65。
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国家Ufa出版社，埃特纳出版社，2024年，第15-19页。俄语。
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配方奶粉
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a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。
三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。
a（n+1，m）=a（n，m）+a（n，m-1），a（n，-1）：=0，a（n，m）：=0，n<m；a（0，0）=1。
C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。
G.f.：1/（1-y-x*y）=和_（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）
G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。
第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。
柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[由更正沃纳·舒尔特，2022年6月15日]。
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。
例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。
一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。
设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; （222）：3/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5,3）-托马斯·维德2005年6月3日
通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日
C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和，等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日
设A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n是平面三角形的g.f:
A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。
则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；
此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。
这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）
三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
…（结束）
三角形的第n行也由由递归P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日
（1+x）^n=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{i=0..k}k^（i-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
通用系数：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1++x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*xqu（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
和{n>=0}C（n，k）/n！=e/k！，其中e＝exp（1），同时允许n＜k，其中C（n，k）＝0。同时求和{n>=0}C（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后利用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),
A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）
C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。
D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）
E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*
递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.
行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系，即exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2/2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，请参见，A055248号和A106516号.
让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0p/具有k×k单位矩阵I_ k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）
C（a+b，C）=和{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日
Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵图（1，-1,1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日
1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日
Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归（参见2017年8月10日的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-Wolfdieter Lang公司，2018年11月12日
C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日
和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。
和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
...
有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。
从{1,2}到{1,2,3,4}有C（4,2）=6个递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1.11）-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集具有中值元素3，即{3}、{1,3,4}、{1,3,5}、{2,3,4}、{2,3,5}和{1,2,3,4,5}-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}={A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E与E；。。。；相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
列k=4:T（8,4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70的Boas-Buck型递推。请参阅上面的Boas-Buck评论-Wolfdieter Lang公司2018年11月12日
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MAPLE公司
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数学
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扁平[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）
压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（公理）--（开始）
)设置expose添加构造函数OutputForm
帕斯卡（0，n）==1
帕斯卡（n，n）==1
帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡
pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]
displayRow（n）==输出中心空白分隔行（n）
对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）
（Python）#请参阅Hobson链接。进一步的计划：
从数学导入prod，阶乘
定义C（n，k）：返回prod（范围（n，n-k，-1））//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新，2023年2月17日更新
（哈斯克尔）
a007318 n k=a007318_tabl！！不！！k个
a007318_当前n=a007318_启用！！n个
a007318_list=连接a007318-tabl
a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]
--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences
（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
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交叉参考
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等于邮编：102363——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日
参见。A008277号,2013年12月11日,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.
斐波那契-泛三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,105809英镑,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.
m=2..12时广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形）：A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.
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关键词
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作者
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扩展
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检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日
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状态
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已批准
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0、486、17496、393660、7085880、111602610、1607077584、21695547384、278942752080、3451916556990、41422998683880、484649084601396、5551434969070536、62453643402043530、691794203838020640、750322370515511280、816514816601567521824、872650209616752889494
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：486x^2/（1-9x）^4。
a（n）=36*a（n-1）-486*a（n-2）+2916*a（n3）-6561*a（-n4）-文森佐·利班迪2013年2月11日
和{n>=2}1/a（n）=（32/9）*log（9/8）-5/12。
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=（50/9）*log（10/9）-7/12。（结束）
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数学
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系数列表[系列[486 x/（1-9 x）^4，{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪，2013年2月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（n^3-n）*9^n:n in[0..25]]；（*或*）I：=[0，486，17496，393660]；[n le 4选择I[n]else 36*自我（n-1）-486*自我（n-2）+2916*自我（n-3）-6561*自我（-n4）：[1..25]]中的n//文森佐·利班迪2013年2月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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已批准
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A027467号
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| 第（n，k）项为15^（n-k）*二项式（n，k）的三角形。 |
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+10
7
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1, 15, 1, 225, 30, 1, 3375, 675, 45, 1, 50625, 13500, 1350, 60, 1, 759375, 253125, 33750, 2250, 75, 1, 11390625, 4556250, 759375, 67500, 3375, 90, 1, 170859375, 79734375, 15946875, 1771875, 118125, 4725, 105, 1, 2562890625, 1366875000, 318937500, 42525000, 3543750, 189000, 6300, 120, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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（a[i，j]）^4下三角的分子，其中a[i、j]=二项式（i-1，j-1）/2^（i-1），如果j<=i，则为0，如果j>i。
求和{k=0..n}T（n，k）*x^k=（15+x）^n。
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例子
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三角形开始：
1；
15, 1;
225, 30, 1;
3375、675、45、1；
50625, 13500, 1350, 60, 1;
759375, 253125, 33750, 2250, 75, 1;
11390625, 4556250, 759375, 67500, 3375, 90, 1;
170859375, 79734375, 15946875, 1771875, 118125, 4725, 105, 1;
2562890625、1366875000、318937500、42525000、3543750、189000、6300、120、1；
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数学
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表[二项式[n，k]15^（n-k），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*哈维·P·戴尔2017年12月31日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（15）^（n-k）*二项式（n，k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2021年5月12日
（Sage）压扁（[[（15）^（n-k）*二项式（n，k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年5月12日
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交叉参考
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已批准
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A038243号
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| 第（i，j）项为5^（i-j）*二项式（i，j）的三角形。 |
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+10
7
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1、5、1、25、10、1、125、75、15、1、625、500、150、20、1、3125、3125、1250、250、25、1、15625、18750、9375、2500、375、30、1、78125、109375、65625、21875、4375、525、35、1、390625、625000、437500、175000、43750、7000、700、40、1、1953125、3515625、2812500、1312500、393750、78750、10500、900、45、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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T（i，j）是6个对象a，b，c，d，e，f的i置换数，允许重复，包含j a-零入侵拉霍斯2007年12月21日
（5+x）^n展开式中的系数三角形-N-E.法西2008年4月13日
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开头为：
1;
5, 1;
25, 10, 1;
125, 75, 15, 1;
625, 500, 150, 20, 1;
3125, 3125, 1250, 250, 25, 1;
15625, 18750, 9375, 2500, 375, 30, 1;
78125, 109375, 65625, 21875, 4375, 525, 35, 1;
390625, 625000, 437500, 175000, 43750, 7000, 700, 40, 1;
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MAPLE公司
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对于从0到8的i，做seq（二项式（i，j）*5^（i-j），j=0。。i） od#零入侵拉霍斯2007年12月21日
矩阵（10，n->5^（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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对于[｛q＝5｝，表[q^（n-k）*二项式[n，k]，｛n，0，12｝，｛k，0，n｝]//压扁](*G.C.格鲁贝尔2021年5月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[5^（n-k）*二项式（n，k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2021年5月12日
（Sage）压扁（[[5^（n-k）*二项式（n，k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年5月12日
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1, 14, 1, 196, 28, 1, 2744, 588, 42, 1, 38416, 10976, 1176, 56, 1, 537824, 192080, 27440, 1960, 70, 1, 7529536, 3226944, 576240, 54880, 2940, 84, 1, 105413504, 52706752, 11294304, 1344560, 96040, 4116, 98, 1, 1475789056, 843308032, 210827008, 30118144, 2689120, 153664, 5488, 112, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形T（n，k），按行读取，由[14,0,0,0，0,0,1，]DELTA[1,0,0/0,0…]给出，其中DELTA是在A084938号.
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（n，k）*14^（n-k）。
G.f.：1/（1-14*x-x*y）-R.J.马塔尔2015年8月12日
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例子
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三角形开始：
1;
14, 1;
196, 28, 1;
2744, 588, 42, 1;
38416, 10976, 1176, 56, 1;
537824, 192080, 27440, 1960, 70, 1;
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数学
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带有[{m=8}，CoefficientList[Cefficient List[Series[1/（1-14*x-x*y），{x，0，m}，{y，0，m}]，x]，y]//平坦(*乔治·菲舍尔2020年2月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[14^（n-k）*二项式（n，k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2021年5月15日
（Sage）压扁（[[14^（n-k）*二项式（n，k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年5月15日
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A317051型
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| 行读取的三角形：T（0,0）=1；T（n，k）=T（n-1，k）+9*T（n-2，k-1），k=0..层（n/2）；对于n或k<0，T（n，k）=0。 |
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1, 1, 1, 9, 1, 18, 1, 27, 81, 1, 36, 243, 1, 45, 486, 729, 1, 54, 810, 2916, 1, 63, 1215, 7290, 6561, 1, 72, 1701, 14580, 32805, 1, 81, 2268, 25515, 98415, 59049, 1, 90, 2916, 40824, 229635, 354294, 1, 99, 3645, 61236, 459270, 1240029, 531441, 1, 108, 4455, 87480, 826686, 3306744, 3720087
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形行中的数字沿着斜对角线，在中对齐三角形中指向右上角A013616号（（1+9*x）^n）并沿斜对角线指向中对齐三角形的左上角A038291号（（9+x）^n）。
1/（1-x-9x^2）展开式中的系数由行和生成的序列给出。
如果s（n）是n处的行和，那么当n接近无穷大时，比值s（n）/s（n-1）约为3.5413812651491…（（1+sqrt（37））/2）。
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参考文献
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Shara Lalo和Zagros Lalo，多项式展开定理和数字三角形，Zana出版社，2018年，ISBN:978-1-9995914-0-3，第70、100页
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=9^k*二项式（n-k，k），n>=0，0<=k<=楼层（n/2）。
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例子
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三角形开始：
1;
1;
1, 9;
1, 18;
1, 27, 81;
1, 36, 243;
1, 45, 486, 729;
1，548102916；
1、63、1215、7290、6561；
1, 72, 1701, 14580, 32805;
1, 81, 2268, 25515, 98415, 59049;
1, 90, 2916, 40824, 229635, 354294;
1, 99, 3645, 61236, 459270, 1240029, 531441;
1, 108, 4455, 87480, 826686, 3306744, 3720087;
1, 117, 5346, 120285, 1377810, 7440174, 14880348, 4782969;
1, 126, 6318, 160380, 2165130, 14880348, 44641044, 38263752;
1, 135, 7371, 208494, 3247695, 27280638, 111602610, 172186884, 43046721;
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数学
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t[0,0]=1；t[n_，k_]：=如果[n<0||k<0，0，t[n-1，k]+9 t[n-2，k-1]]；表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平。
表[9^k二项式[n-k，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/2]}]。
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黄体脂酮素
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（GAP）平面（列表（[0..13]，n->列表（[0.Int（n/2）]，k->9^k*二项式（n-k，k）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月20日
（PARI）T（n，k）=9^k*二项式（n-k，k）；
tabf（nn）=对于（n=0，nn，对于（k=0，n\2，打印1（T（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯，2018年7月20日
（岩浆）/*作为三角形*/[[9^k*二项式（n-k，k）：k in[0..Floor（n/2）]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2018年9月5日
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标签,非n,容易的
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A317052型
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| 行读取的三角形：T（0,0）=1；T（n，k）=9 T（n-1，k）+T（n-2，k-1），对于k=0..层（n/2）；对于n或k<0，T（n，k）=0。 |
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1, 9, 81, 1, 729, 18, 6561, 243, 1, 59049, 2916, 27, 531441, 32805, 486, 1, 4782969, 354294, 7290, 36, 43046721, 3720087, 98415, 810, 1, 387420489, 38263752, 1240029, 14580, 45, 3486784401, 387420489, 14880348, 229635, 1215, 1, 31381059609, 3874204890, 172186884, 3306744, 25515, 54
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形行中的数字沿着斜对角线，在中对齐三角形中指向左上角A013616号（（1+9*x）^n）并沿斜对角线指向中心对齐三角形的右上角A038291号（（9+x）^n）。
1/（1-9x-x^2）展开式中的系数由行和生成的序列给出（参见A099371号)。
如果s（n）是n处的行和，那么当n接近无穷大时，比值s（n/s（n-1）约为9.109772228646443655……（金属平均值）；（请参见A176522号：（（9+平方米（85））/2））。
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参考文献
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Shara Lalo和Zagros Lalo，《多项式展开定理和数字三角形》，Zana出版社，2018年，ISBN:978-1-9995914-0-3，第70、100页。
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链接
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例子
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三角形开始：
1;
9;
81, 1;
729中，18个；
6561, 243, 1;
59049, 2916, 27;
531441, 32805, 486, 1;
4782969, 354294, 7290, 36;
43046721、3720087、98415、810、1；
387420489, 38263752, 1240029, 14580, 45;
3486784401, 387420489, 14880348, 229635, 1215, 1;
31381059609, 3874204890, 172186884, 3306744, 25515, 54;
282429536481, 38354628411, 1937102445, 44641044, 459270, 1701, 1;
2541865828329, 376572715308, 21308126895, 573956280, 7440174, 40824, 63;
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数学
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t[0,0]=1；t[n_，k_]：=如果[n<0||k<0，0，9t[n-1，k]+t[n-2，k-1]]；表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平。
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（n<0）| |（k<0），0，如果（n=0）&&（k=0），1，9*T（n-1，k）+T（n-2，k-1））；
tabf（nn）=对于（n=0，nn，对于（k=0，n\2，打印1（T（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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