搜索： a094415-编号：a0944150
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A000292号
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| 四面体（或三角锥）数：a（n）=C（n+2,3）=n*（n+1）*（n+2）/6。
（原名M3382 N1363）
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+10
842
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0、1、4、10、20、35、56、84、120、165、220、286、364、455、560、680、816、969、1140、1330、1540、1771、2024、2300、2600、2925、3276、3654、4060、4495、4960、5456、5984、6545、7140、7770、8436、9139、9880、10660、11480、12341、13244、14190、15180
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是三角形金字塔中每个边包含n个球的球数。
五个柏拉图多面体（四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）数之一（参见。A053012号).
此外，（1/6）*（n^3+3*n^2+2*n）是使用<=n种颜色为三角形顶点着色的方法的数量，允许旋转和反射。群是具有循环指数（x1^3+2*x3+3*x1*x2）/6的二面体群D_6。
自然数与其自身的卷积Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年2月1日
通过1*a（n-2）+4*a（n-1）+1*a（n）=n^3与欧拉数（1，4，1）相连-戈特弗里德·赫尔姆斯2002年4月15日
a（n）是所有可能乘积p*q的和，其中（p，q）是有序对，p+q=n+1。例如，a（5）=5+8+9+8+5=35-阿玛纳斯·穆尔西2003年5月29日
n+3个三角形节点上的标记图的数量-乔恩·佩里2003年6月14日
n+3的排列数正好有1个下降并避免了模式1324-迈克·扎布罗基2004年11月5日
此多面体的Schlaefli符号：{3,3}。
Riordan数组下n^2的变换（1/（1-x^2），x）-保罗·巴里2005年4月16日
a（n）只是n={1,2,48}的完美平方。例如，a（48）=19600=140 ^2-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月24日
a（n+1）是3个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
这也是平均“置换熵”，和（（pi（n）-n）^2）/n！，覆盖所有可能的n！排列pi.-杰夫·博斯科尔（jazzerciser（AT）hotmail.com），2007年3月20日
a（n）=（d/dx）（S（n，x），x）|_{x=2}。在x=2处评估的切比雪夫S-多项式的一阶导数。请参见A049310型. -沃尔夫迪特·朗2007年4月4日
如果X是一个n集，Y是X的固定（n-1）子集，那么a（n-2）等于X与Y相交的3个子集的数目-米兰Janjic2007年8月15日
a（n）是歌词作者的真爱在歌曲“圣诞节的十二天”中截至并包括第n天收到的礼物数量。a（12）=364，几乎是一年中的天数伯纳德·希尔（Bernard（AT）braeburn.co.uk），2008年12月5日
这是一个alpha=0的“Matryoshka doll”序列，乘法对应项是A000178号：seq（添加（i，i=alpha..k），k=alpha。。n） ，n=α。。50). -彼得·卢什尼2009年7月14日
a（n）是一组大小为n的数的非递减三元组的数目，是一组尺寸为n+2的数的严格递增三元组数目-塞缪尔·萨维茨，2009年9月12日[由修订和增强马库斯·西格2023年9月24日]
a（n）是求和为n的4个非负整数的有序序列的数目。例如，a（2）=10，因为2=2+0+0+0=1+1+0+0=0+2+0+0=1+0+1+0=0+0+2+0+1+0=1+0+0+0+0+1+0+1+0+0+0+1=0+0+0+1+1+0+0+1=0+0+1+0+1-阿图尔·贾辛斯基2009年11月30日
a（n）对应于使用中描述的技术记忆n节诗句的总步骤数A173964号-易卜拉希马·法伊（ifaye2001（AT）yahoo.fr），2010年2月22日
a（n）也是从第二项开始，通过将对角线与三个对角线端点相交，在n个角中形成的三角形的数量（参见Sommars链接中表格的第一列）-亚历山大·瓦恩伯格2010年8月21日
列总和：
1 4 9 16 25...
1 4 9...
1...
..............
--------------
1 4 10 20 35。。。
Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角形和（参见A180662号Connell-Pol三角形的定义A159797号是复制四面体数的移位版本的线性和，例如，Gi3（n）=17*a（n）+19*a（n-1）和Gi4（n）=5*a（m）+a（n-1）。
此外，Connell序列的Kn3、Kn4、Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角和A001614号作为三角形，也是上述序列移位版本的线性和。（结束）
a（n-2）=n_0（n），n>=1，其中a（-1）：=0，是三维空间中一般位置的n个平面的顶点数。请参阅下面的注释A000125号用于总布置。对阿诺德问题的评论，1990-11年，见阿诺德参考，第506页-沃尔夫迪特·朗2011年5月27日
我们考虑图G的最佳真顶点着色。假设标记，即着色从1开始。通过优化，我们的意思是使用的最大标号是G的所有可能标号使用的最大整数标号的最小值。设S=差值之和|l（v）-l（u）|，G的所有边uv和l（w）的和是与G的顶点w相关联的标号。如果G的所有可能标号都是S-不变的，并且产生S的相同整数分区，那么我们说G允许唯一标号。通过偏移，这个序列给出了n个顶点上完整图的S-值，n=2，3-K.V.Iyer公司2011年7月8日
相对论量子开弦四维情况下横向Virasoro算符换向器的中心项（参考Zwiebach）-汤姆·科普兰，2011年9月13日
在第43页的Ovsienko参考中，显示为Sturm-Liouville运算符的系数-汤姆·科普兰2011年9月13日
由3形式v[ijk]所跨越的空间的尺寸，该形式耦合到覆盖圆环内3个循环的M2-平面世界表（参考Green、Miller、Vanhove等式3.9）-斯蒂芬·克劳利2012年1月5日
a（n+1）是所有项都在{0，1，…，n}和（项之和）=n中的2X2矩阵的数目。此外，a（n+1）是所有项都在{0,1，…，n}和-克拉克·金伯利2012年3月19日
使用n+4个连续三角数t（1），t（2）。。。，t（n+4），其中n是该序列的第n项，通过连接点（t（1），t（2。。。，（t（1），t（2））到（t（n+3），t。这个多边形的面积将是这个序列中每个项的一半-J.M.贝戈2012年5月5日
皮萨诺周期长度：1、4、9、8、5、36、7、16、27、20、11、72、13、28、45、32、17108、19、40。（Pisano序列模m是辅助序列p（n）=a（n）mod m，n>=1，对于某些m.p（n。此处引用了m>=1时p（n）周期的长度。）-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是与任何精确包含n+2叶的系统发育树（0级系统发育网络）相一致的有根三元组的最大可能数目-杰斯珀·詹森2012年9月10日
对于n>0，此序列的数字根A010888型（a（n））形成纯周期27周期{1，4，1，2，8，2，3，3，4，7，4，5，2，5，6，6，7，1，7，8，5，8，9，9，9}，它只是重新表述了上面的皮萨诺周期长度-蚂蚁王2012年10月18日
a（n）是函数f从{1,2,3}到{1,2，…，n+4}的个数，使得f（1）+1<f（2）和f（2-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是具有n+1个顶点的路径图的Szeged索引；参见Diudea等人的参考文献，第155页，等式（5.8）-Emeric Deutsch公司2013年8月1日
也可以通过单个块转置排序的长度为n的排列数-文森特·瓦特2013年8月21日
a（n）是3 X 3矩阵行列式
|（n，1）C（n，2）C（n3）|
|C（n+1,1）C（n+1,2）C（n+1,3）|
|C（n+2,1）C（n+2,2）C（n+2,3）|
（结束）
在物理学中，a（n）/2是自旋为S=n/2的粒子的自旋算符S_z^2的迹。例如，当S=3/2时，S_z特征值为-3/2、-1/2、+1/2、+3/2，它们的平方和为10/2=a（3）/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月6日
a（n+1）=（n+1*（n+2）*（n+3）/6也是n次齐次多项式的Hilbert空间的维数-L.埃德森·杰弗里2013年12月12日
对于n>=4，a（n-3）是1,2…，n的排列数，上（1）-下（0）个元素的分布为0…0111（n-4个零），或者等价地，a（n-3）是上下系数{n，7}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月15日
a（n）是通过绘制点（n^2，（n+1）^2）创建的区域面积的一半。一条线连接点（n^2，（n+1）^2）和（（n+1，（n+2）^2，），从（0,1）到每个递增点画一条线。从（0,1）到（4,9），面积为2；从（0,1）到（9,16），面积为8；其他区域为20,40,70，。。。，2*a（n）-J.M.贝戈2014年5月29日
a（n+1）表示n>=1时，字母表[4]={1、2、3、4}（或任何其他四个不同的数字）上非递减n字母单词的数量。a（2+1）=10来自单词11、22、33、44、12、13、14、23、24、34；这也是对称4X4矩阵中不同元素的最大数量。受2014年7月20日评论的启发R.J.卡诺在A000582号. -Wolfdieter Lang公司2014年7月29日
在对称群S3作用下计算平面分割轨道的q多项式次数。轨道计数生成函数为product_{i<=j<=k<=n}（（1-q^（i+j+k-1））/（1-qqu（i+j+k-2）））。参见q-TSPP参考-奥利维尔·热拉德2015年2月25日
如果n是偶数，则a（n）=和{k=1..n/2}（2k）^2。如果n是奇数，则a（n）=和{k=0..（n-1）/2}（1+2k）^2。这可以用分别位于2k或2k+1边长平台上的方形金字塔内的堆叠盒来说明。最大的k是2k X 2k或（2k+1）X（2k+1）基数-R.K.盖伊2015年2月26日
在平面的一般位置画n条线。任何三个定义一个三角形，所以在所有我们看到的C（n，3）=a（n-2）三角形中（6条线产生4个三角形，依此类推）Terry Stickels，2015年7月21日
a（n-2）=fallfac（n，3）/3！，n>=3，也是秩3和维数n的反对称张量的独立分量的个数。这里falfac是下降阶乘-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
n+3的组合数（有序分区）精确到4个部分-于尔根遗嘱2016年1月2日
n-1的弱组分（有序弱分区）的数量精确到4个部分-尤根·威尔2016年1月2日
对于n>=2，给出了计算两个上n×n三角形矩阵乘积时两个非零矩阵元素的乘法数-约翰·M·科菲2016年6月23日
C（n+2,3）是在n+2个对象中选择1个三元组的方法数，因此a（n）是指数Bell多项式B_{n+2}（x1，x2，…）中x1^（n-1）*x3的系数，因此它与A050534号和A001296号（见公式）-西里尔·达玛姆，2018年2月26日
a（n）也是（n+4）-路径补码图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2018年4月11日
a（n）+4*a（n-1）+a（n-2）=n^3=A000578号（n） ，对于n>=0（扩展名称中给出的a（n）公式）。这是立方体的Worpitzky恒等式。（维度n>=1的秩3张量分解为对称、混合和反对称部分的分量数）。关于（n-2），请参阅我2015年12月10日的评论-沃尔夫迪特·朗2019年7月16日
a（n）还给出了长度为k（以某种长度单位）的正则三角形的总数，其中k来自{1,2，…，n}，在长度为n的封闭三角形的火柴棒排列中，但只计算了具有封闭三角形方向的三角形。无符号行和A122432号（n-1，k-1），对于n>=1。请参阅安德鲁·霍罗伊德中的注释A085691号. -沃尔夫迪特·朗2020年4月6日
a（n）是n+1元素上的bigrassmannian置换数，即具有唯一左世系和唯一右世系的置换-拉斐尔·马尔登2020年8月21日
a（n-2）是使用n种或更少颜色的三角形边或顶点的手性成对着色数-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
a（n-2）是{1,2，…，n}的子集的数量，这些子集的直径是它们的大小。例如，对于n=4，a（2）=4，集合是{1,3}，{2,4}，}1,2,4}，{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年12月26日
对于n>1，a（n-2）是{1,2，…，n}的子集数，其中第二大元素是子集的大小。例如，对于n=4，a（2）=4，集合是{2,3}、{2,4}、}1,3,4}和{2,3,4{-恩里克·纳瓦雷特2021年1月2日
a（n）是长度为n+2且正好为3个0的二进制字符串的数目-恩里克·纳瓦雷特，2021年1月15日
除了零，这个序列是Pascal矩阵的第四个对角线A007318号和矩阵表示的唯一非对角（第四）IM=(A132440号)^3/3! 微分算子D^3/3！，作用于o.g.f.系数的行向量或幂级数时。
M=e^{IM}是Appell多项式序列p_n（x）=e^}D^3/3A025035型M的第一列用双零填充。
a（n）是整数长度半径>=1且中心位于n X n网格中网格点的圆数-阿尔伯特·斯瓦福德2021年6月11日
具有n+1个顶点的所有连通图的最大维纳指数-艾伦·比克2022年7月9日
除了上述n^3恒等式外，第三个欧拉行（1,4,1）与四面体数还有一个额外的联系：a^2（n）+4*a^2。例如，a^2（2）+4*a^2。虽然欧拉三角形和三角数C（n+1,2）的（1,1）行也发生了类似的情况=A000217号（n） =T（n），即T（n-1）+T（nA000332号也就是说，（1,11,11,1）与4个连续项的平方的点积A000332号通常不是A000332号. -理查德·彼德森2022年8月21日
对于n>1，a（n-2）是Diophantine方程x1+x2+x3+x4+x4+x5=n的解的数目，受约束条件0<=x1，1<=x2，2<=x3，0<=x4<=1，0<=x5，x5是偶数-丹尼尔·切卡2022年11月3日
a（n+1）也是参数为2，n和向量（1,1，…，1）的广义Pitman-Stanley多面体的顶点数，它在积分上等价于具有2行和n列的网格图上的流多面体-威廉·T·杜根2023年9月18日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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a（n）=C（n+2.3）=n*（n+1）*（n+2）/6（见名称）。
通用格式：x/（1-x）^4。
a（n）=-a（-4-n）表示Z中的所有。
a（n）=和{k=0..n}A000217号（k） =和{k=1..n}和{j=0..k}j，三角数的部分和。
a（n）=和{1<=i<=j<=n}|i-j|-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月5日
a（n）=（n+3）*a（n-1）/n-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月26日
n×n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=C（i+j+2，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
由指数与级数长度（n）的乘积减去指数（i）构成的级数的和：a（n）=和[i（n-i）]马丁·史蒂文·麦考密克（mathseq（AT）wazer.net），2005年4月6日
a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}（n-2k）^2[偏移量0]；a（n+1）=和{k=0..n}k^2*（1-（-1）^（n+k-1））/2[偏移量0]-保罗·巴里2005年4月16日
SL_2的Verlinde公式值，g=2:a（n）=Sum_{j=1..n-1}n/（2*sin^2（j*Pi/n））-西蒙·塞韦里尼2006年9月25日
从[1，3，3，1，…]的1=二项式变换开始；例如，a（4）=20=（1，3，3，1）点（1，三，3，一）=（1+9+1）-加里·亚当森2007年11月4日
对于n>=4，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
Gradstein-Ryshik 1.513.7中的总和{n>=1}1/a（n）=3/2，情况x=1-R.J.马塔尔2009年1月27日
例如：（x^3）/6+x^2+x）*exp（x）-杰弗里·克雷策2009年2月21日
偏移量为1时，a（n）=（1/6）*楼层（n^5/（n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=（3*n^2+6*n+2）/（6*（h（n+2）-h（n-1））），n>0，其中h（n）是第n次谐波数-加里·德特利夫斯2011年7月1日
a（n）=1+1/（x+1）+1/（x+1）^2+1/（x+1）^3+…+麦克劳林展开式中的x^2系数1/（x+1）^n-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a（n）=sin（x）*exp（（n+1）*x）的Maclaurin展开式中的x^4系数-弗朗西斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+1-蚂蚁王2012年10月18日
通用公式：x*U（0），其中U（k）=1+2*x*（k+2）/（2*k+1-x*（2*k+1）*（2*k+5）/；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（n^2-1）=（1/2）*（a（n*2-n-2）+a（n|2+n-2））和
G.f.:x+4*x^2/（Q（0）-4*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+4*x-x*（k+1）*（k+5）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n+1）=det（C（i+3，j+2），1<=i，j<=n），其中C（n，k）是二项式系数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
当n>1时，a（n）=a（n-2）+n^2-伊凡·伊纳基耶夫2013年4月16日
当n>0时，a（2n）=4*（a（n-1）+a（n））-伊凡·伊纳基耶夫2013年4月26日
G.f.:x*G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+（k+1）/（k+4）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月2日
a（n）=n+2*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=a（-1）=0-理查德·福伯格2013年7月11日
对于任何非负整数m和n，a（n）*（m+1）^3+a（m）*（n+1）=a（n*m+n+m）。这是关于三角数的欧拉定理的三维模拟，即t（n）x（2m+1）^2+t（m）=t（2nm+n+m），其中t（n）是第n个三角数-伊凡·伊纳基耶夫2013年8月20日
和{n>=0}a（n）/（n+1）！=2*e/3=1.8121878856393。和{n>=1}a（n）/n！=13*e/6=5.88961062832-理查德·福伯格2013年12月25日
a（n）=Sum_{i=1..n}Sum_{j=i..n}min（i，j）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2014年12月3日
a（k*n）=a（k）*a（n）+4*a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-3）+3*zeta（s-2）+2*zeto（s-1））/6-伊利亚·古特科夫斯基，2016年7月1日
通用公式：x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^2）*r，其中r（x）=（1+x）^4=（1+4x+6x^2+4x^3+x^4）；和x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^3）*r其中r（x）=（1+x+x^2）^4-加里·亚当森2017年1月23日
a（n）=1*C（n，1）+2*C（n，2）+1*C。
a（n-2）=1*C（n，3），其中C（n、k）的系数是使用k种颜色的手性三角形着色对的数量。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（平方（2）*Pi）/（3*sqrt（2）*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sinh（sqert（2）*Pi）/（33*Pi）。（结束）
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例子
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a（2）=3*4*5/6=10，三层球组成的金字塔中的球数，底部三角形为6，中间层为3，顶部为1。
考虑正方形阵列
1 2 3 4 5 6 ...
2 4 6 8 10 12 ...
3 6 9 12 16 20 ...
4 8 12 16 20 24 ...
5 10 15 20 25 30 ...
...
G.f.=x+4*x^2+10*x^3+20*x^4+35*x^5+56*x^6+84*x^7+120*x^8+165*x^9+。。。
例如，a（3+1）=20个不减3个字母的单词覆盖{1,2,3,4}:111,222,333；444, 112, 113, 114, 223, 224, 122, 224, 133, 233, 144, 244, 344; 123, 124, 134, 234. 4 + 4*3 + 4 = 20. -Wolfdieter Lang公司2014年7月29日
例如，对于维数为4的秩3反对称张量a的a（4-2）=4个独立分量：a（1,2,3）、a（1,2,4）、a“1,3,4”和a（2,3,4）-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
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MAPLE公司
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a： =n->n*（n+1）*（n+2）/6；seq（a（n），n=0..50）；
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数学
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表[二项式[n+2，3]，｛n，0，20｝](*零入侵拉霍斯2010年1月31日*）
累计[累计[范围[0，50]]](*哈维·P·戴尔2011年12月10日*）
表[n（n+1）（n+2）/6，{n，0，100}](*韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日*）
嵌套[累加，范围[0，50]，2](*哈维·P·戴尔2017年5月24日*）
线性递归[｛4，-6，4，-1｝，｛0，1，4，10｝，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
系数列表[级数[x/（-1+x）^4，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
表[范围[n]。范围[n，1，-1]，{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2024年3月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n）*（n+1）*（n+2）/6\\修正人哈里·史密斯2008年12月22日
（PARI）a=矢量（10000）；a[2]=1；对于（i=3，#a，a[i]=a[i-2]+i*i）\\斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月7日
（PARI）为（n）=my（k=sqrtnint（6*n，3））；k*（k+1）*（k+2）==6*n\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年12月13日
（哈斯克尔）
a000292 n=n*（n+1）*（n+2）`div`6
a000292_list=扫描1（+）a000217_list
（岩浆）[n*（n+1）*（n+2）/6:n在[0..50]]中//韦斯利·伊万·赫特2014年6月3日
x、 y，z=1，1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y，z=x+y+z+1，y+z+1z+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号（第一个差异），A001044号，（参见上述示例），A061552美元,A040977号,A133111号,A133112号,A152205号,A158823号,156925英镑,A157703型,A173964号,A058187号,A190717号,A190718号,A100440号,2018年11月,A222716号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000537号
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| 前n个立方体的总和；或第n个三角形数的平方。
（原名M4619 N1972）
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+10
183
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0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n X n菱形中平行四边形的数量。-马蒂·德克雷恩（Matti DeCraene（AT）rug.ac.be），2000年5月14日
第n个三角数T（n）=Sum_{r=1..n}r=n（n+1）/2满足以下关系：（i）T（n”）+T（n-1）=n^2和（ii）T（n-）-T（n-1*（n+1）/2）^2-Lekraj Beedassy公司2004年5月14日
{0,1，…，n}中的四元组整数的数量，不重复，其最后一个分量严格大于其他分量。{1，…，n}中的四元组整数的数目，重复，其最后一个分量大于或等于其他分量。
{0,1，…，n}不重复的二元子集的有序对数。
具有重复的{1，…，n}的2元多子集的有序对数。
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=（1+2+3+…+n）^2。
a（n）是通过知道n维黎曼流形（M，g）的所有二阶导数来知道其黎曼度量g所需的参数的数量；尽管要知道曲率张量R需要（由于对称性）（n^2）*（n^2-1）/12个参数，但需要一个较小的数（和一个4维金字塔数）-乔纳森·沃斯邮报2006年5月5日
n个不同字母（ABCD…）的排列数，每个字母出现两次，分别带有4个和n-4个固定点-零入侵拉霍斯2006年11月9日
偏移量1=[1，8，19，18，6，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年12月3日
该序列与A000330号通过a（n）=n*A000330号（n） -和{i=0..n-1}A000330号（i） ：这是恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-Sum_{i=0..n-1}i*（d*1i-d+2，/2=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中的情况d=1-布鲁诺·贝塞利2010年4月26日，2012年3月1日
对于正整数S（k，n）的幂和：=Sum_{j=1..n}j^k，一个有递推项S（k、n）=（n+1）*S（k-1，n）-Sum_{l=1..n{S（k-1,l），n>=1，k>=1。
Ibn al-Haytham将其用于k=4，以计算抛物面内部的体积。请参阅斯特里克的参考资料，其中显示了他使用的技巧，以及W·朗的链接。
这个技巧立即推广到任意幂k。对于k=3:a（n）=（n+1）*A000330号（n） -和{l=1..n}A000330号（l） 这与Berselli之前评论中给出的公式一致。（结束）
关于之前的贡献，另请参见Matem@ticamente公司在Links字段中，此注释以类似的顺序重复出现（n次方的部分和）-布鲁诺·贝塞利2013年6月24日
对于k=1到n，k^3的第r次连续求和的公式是（6*n^2+r*（6*n+r-1）*（n+r）！）/（（r+3）*（n-1）！），（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2014年1月2日
请注意，这个序列及其公式是尼科马库斯已知的（也可能是尼科马库斯发现的），比伊本·海瑟姆早800年-查尔斯·格里特豪斯四世2014年4月23日
此序列中除了0和1之外没有多维数据集-阿尔图·阿尔坎2016年7月2日
也是完全二分图K_{n+1，n+1}中无弦循环的个数-埃里克·韦斯特因2018年1月2日
a（n）是乘法表[0..n]X[0..n]中元素的总和-米歇尔·马库斯2021年5月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
Avner Ash和Robert Gross，《总结》，普林斯顿大学出版社，2016年，第62页，等式（6.3），k=3。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第110页及其后。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第155页。
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第36、58页。
Clifford Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.K.Strick，Geschichten aus der Mathematik II，Spektrum Spezial 3/11，第13页。
D.Wells，《你是数学家》，“计算矩形中的矩形数”，第8H题，第240页；254，企鹅图书1995。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
马塞尔·伯杰，与几何仪相遇，第二部分《美国数学学会通告》，第47卷，第3期，（2000年3月），第326-340页。[关于米哈埃尔·格罗莫夫的工作。]
比卡什·查克拉博蒂，无词证明：自然数幂和，arXiv:2012.11539【math.HO】，2020年。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷第2期，第265-282页。
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配方奶粉
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a（n）=（n*（n+1）/2）^2=A000217号（n） ^2=总和｛k=1..n｝A000578号（k） ，即1^3+2^3+3^3+…+n^3=（1+2+3+…+n）^2。
总尺寸：（x+4*x^2+x^3）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=总和（总和（1+总和（6*n））），重新表述中的公式A000578号.-Xavier Acloque，2003年1月21日
这个序列可以从通式n*（n+1）*（n+2）*（n+3）**（n+k）*（n*（n+k）+（k-1）*k/6）/（（k+3）/6） k=1时-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月17日
G.f.:x*f（3,3；1；x）-保罗·巴里2008年9月18日
和{k>0}1/a（k）=（4/3）*（Pi^2-9）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月20日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep求和{k=1.n}最大值（i，j，k）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年2月26日
a（n）=-总和{j=1..3}j*斯特林1（n+1，n+1-j）*斯特林2（n+3-j，n）-米尔恰·梅卡2014年1月25日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*（3-4*log（2））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年2月13日
例如：x*（4+14*x+8*x^2+x^3）*exp（x）/4。
Dirichlet g.f.：（zeta（s-4）+2*zeta（s3）+zeta（s2））/4。（结束）
a（n）=（伯努利（4，n+1）-Bernoulli（4，1））/4，n>=0，其中第n=4行的伯努利多项式B（4，x）A053382/A053383号例如，参见Ash-交叉参考，第62页，等式（6.3）中的k=3-沃尔夫迪特·朗2017年3月12日
a（n）=n*二项（n+2,3）+二项（n+2,4）+二项式（n+1，4）-托尼·福斯特三世2017年11月14日
另一个身份：。。。，a（3）=（1/2）*（1*（2+4+6）+3*（4+6）+5*6）=36，a）=225-J.M.贝戈2022年8月27日
前面的注释将a（n）表示为所有n个X n个乘法表数组项的总和。
例如，对于n=4：
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
此数组和可以拆分为以下内容：
+---+---------------+
| 0 | 1 2 3 4 | (0+1)*(1+2+3+4)
|+---+-----------+
| 0 | 2 | 4 6 8 | (1+2)*(2+3+4)
| | +---+-------+
| 0 | 3 | 6 | 9 12 | (2+3)*(3+4)
|| |+---+---+
| 0 | 4 | 8 |12 |16 | (3+4)*(4)
+---+---+---+---+---+
这种行+列总和被Ramanujan和其他人用来对Lambert级数求和。（结束）
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例子
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G.f.=x+9*x^2+36*x^3+100*x^4+225*x^5+441*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年8月29日
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MAPLE公司
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a： =n->（n*（n+1）/2）^2：
seq（a（n），n=0..40）；
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数学
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f[n]：=n^2（n+1）^2/4；数组[f，39，0](*罗伯特·威尔逊v2012年11月16日*）
表[CycleIndex[{1，2，3，4}，{3，2，1，4}，{1，4，3，2}，}，3,4，1，2}}，s]/。表[s[i]->n，{i，1，2}]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2014年6月18日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，1，9，36，100}，20](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
系数列表[级数[-（（x（1+4x+x^2））/（-1+x）^5），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因，2018年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n*（n+1）/2）^2
（岩浆）[（n*（n+1）/2）^2:n in[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月6日
（哈斯克尔）a000537=a000290。a000217号--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月26日
（GAP）列表（[0..40]，n->（n*（n+1）/2）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月5日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000332号,A000566号,A035287号,A039623号,A053382号,A053383号,A059376号,A059827号,A059860号,A085582美元,A127777号,A176271号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A008778号
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| a（n）=（n+1）*（n^2+8*n+6）/6。n维分区数为4。由自身n次组成的函数的四阶导数中的项数。 |
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+10
30
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1, 5, 13, 26, 45, 71, 105, 148, 201, 265, 341, 430, 533, 651, 785, 936, 1105, 1293, 1501, 1730, 1981, 2255, 2553, 2876, 3225, 3601, 4005, 4438, 4901, 5395, 5921, 6480, 7073, 7701, 8365, 9066, 9805, 10583, 11401, 12260, 13161, 14105, 15093, 16126, 17205, 18331
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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设m（i，1）=i；m（1，j）=j；m（i，j）=m（i-1，j）-m（i-1、j-1）；则a（n）=m（n+3.3）-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月8日
a（n）=精确到61的（n+6）位二进制序列的数目，其中没有一个是孤立的-大卫·卡伦2004年7月15日
如果具有一个共同元素的2组Y和2组Z是n组X的子集，则a（n-4）是与Y和Z相交的X的4个子集的数目-米兰Janjic2007年10月3日
对于n>0，a（n-1）是n+6到n个部分的组成数，避免了部分2-米兰Janjic2016年1月7日
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参考文献
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G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年，第190页，等式（11.4.7）。
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链接
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弗朗西斯科·哈维尔·德·维加，整数乘法的一些变体《公理》（2023）第12卷，第905页。见第15页。
LászlóNémeth，四面体三项系数变换，arXiv:1905.13475[math.CO]，2019年。
W.C.Yang，导数本质上是整数分区《离散数学》，222（1-3），2000年7月，235-245。
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配方奶粉
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a（n）=dot_product（n，n-1，…2，1）*（2，3，…，n，1）对于n=2，3，4。。。[即a（2）=（2，1）*（2，l），a（3）=（3，2，1-克拉克·金伯利
a（n）=Sum_{0<=k，l<=n；k+l|n}k*l-拉尔夫·斯蒂芬2005年5月6日
总尺寸：（1+x-x^2）/（1-x）^4-科林·巴克2012年1月6日
例如：（6+24*x+12*x^2+x^3）*exp（x）/6-G.C.格鲁贝尔2019年9月11日
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例子
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G.f.=1+5*x+13*x^2+26*x^3+45*x^4+71*x^5+105*x^6+148*x^7+201*x^8+。。。
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MAPLE公司
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seq（1+4*k+4*二项（k，2）+二项（k,3），k=0..45）；
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数学
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线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，5，13，26}，51](*G.C.格鲁贝尔2019年9月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（n+1）*（n^2+8*n+6）/6:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年5月21日
（PARI）Vec（（1+x-x^2）/（1-x）^4+O（x^50））\\阿尔图·阿尔坎2016年1月7日
（鼠尾草）[（n+1）*（n^2+8*n+6）/6代表n in（0..50）]#G.C.格鲁贝尔2019年9月11日
（GAP）列表（[0..50]，n->（n+1）*（n^2+8*n+6）/6）#G.C.格鲁贝尔2019年9月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A094414号
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| 按行读取三角形T：点积<1,2，。。。，r> *<s+1，s+2，。。。，r、 1,2，。。。，s> ●●●●。 |
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1, 5, 4, 14, 11, 11, 30, 24, 22, 24, 55, 45, 40, 40, 45, 91, 76, 67, 64, 67, 76, 140, 119, 105, 98, 98, 105, 119, 204, 176, 156, 144, 140, 144, 156, 176, 285, 249, 222, 204, 195, 195, 204, 222, 249, 385, 340, 305, 280, 265, 260, 265, 280, 305, 340, 506, 451, 407, 374, 352, 341, 341, 352, 374, 407, 451
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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r（行）的偏移为1，s（列）的偏移量为0。
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链接
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配方奶粉
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T（r，s）=r*（2*r^2+3*r-3*r*s+1+3*s^2）/6，r>=1，0<=s<=r-1。
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例子
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三角形开头为：
1;
5, 4;
14, 11, 11;
30, 24, 22, 24;
55、45、40、40、45；
91, 76, 67, 64, 67, 76;
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MAPLE公司
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T： =proc（r，s），如果s>=r，则为0，否则为r*（2*r^2+3*r+1-3*r*s+3*s^2）/6结束：对于从1到11的r，执行序列（T（r，s），s=0..r-1）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年11月27日
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数学
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表[n*（（n+1）*（2*n+1）-3*k*（n-k））/6，{n，0，12}，{k，0，n-1}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年10月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=n*（（n+1）*（2*n+1）-3*k*（n-k））/6；
对于（n=0，12，对于（k=0，n-1，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（岩浆）[n*（（n+1）*（2*n+1）-3*k*（n-k））/6:k in[0..n-1]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（弧垂）[[n*（（n+1）*（2*n+1）-3*k*（n-k））/6代表k in（0..n-1）]代表n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（GAP）平面（列表（[0.12]，n->列表（[0..n-1]，k->n*（（n+1）*（2*n+1）-3*k*（n-k））/6））#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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作者
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经核准的
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A026054号
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| 点积（n，n-1，…2,1）。（3，4，…，n，1，2）。 |
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+10
5
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13, 28, 50, 80, 119, 168, 228, 300, 385, 484, 598, 728, 875, 1040, 1224, 1428, 1653, 1900, 2170, 2464, 2783, 3128, 3500, 3900, 4329, 4788, 5278, 5800, 6355, 6944, 7568, 8228, 8925, 9660, 10434, 11248, 12103, 13000, 13940, 14924, 15953, 17028, 18150, 19320, 20539, 21808, 23128, 24500, 25925
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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3,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n^2+9*n-10）/6。
总尺寸：x^3*（13-24*x+16*x^2-4*x^3）/（1-x）^4。（结束）
例如：x^2*（-12+（12+x）*exp（x））/6-G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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MAPLE公司
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seq（n*（n^2+9*n-10）/6，n=3..60）#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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数学
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表[范围[n，1，-1]。RotateLeft[Range[n]，2]，{n，3，60}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{13，28，50，80}，60](*哈维·P·戴尔2012年10月14日*）
Drop[系数列表[系列[x（13-24x+16x^2-4x^3）/（1-x）^4，{x，0，60｝]，x]，1](*文森佐·利班迪2013年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n^2+9*n-10）/6:n in[3..60]]//文森佐·利班迪2013年10月17日
（PARI）向量（60，n，（n+2）*\\G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（岩浆）[n*（n^2+9*n-10）/6:n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（鼠尾草）[n*（n^2+9*n-10）/6代表n in（0..60）]#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（GAP）列表（[0..60]，n->n*（n^2+9*n-10）/6）#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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交叉参考
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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0, -2, 1, 10, 26, 50, 83, 126, 180, 246, 325, 418, 526, 650, 791, 950, 1128, 1326, 1545, 1786, 2050, 2338, 2651, 2990, 3356, 3750, 4173, 4626, 5110, 5626, 6175, 6758, 7376, 8030, 8721, 9450, 10218, 11026, 11875, 12766, 13700, 14678, 15701, 16770, 17886, 19050
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于n>=4，这是点_产品（n，n-1，…2,1）*（4,5，…，n，1,2,3）。
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x*（-2+9*x-6*x^2）/（1-x）^4-科林·巴克2012年9月17日
例如：x*（-12+15*x+x^2）*exp（x）/6-G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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MAPLE公司
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seq（n*（n^2+12*n-25）/6，n=0..60）#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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数学
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系数列表[系列[x（-2+9x-6x^2）/（1-x）^4，{x，0，60}]，x](*文森佐·利班迪2013年10月17日*）
表[n（n^2+12n-25）/6，{n，0，50}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，-2，1，10}，50](*哈维·P·戴尔2020年1月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n^2+12*n-25）/6:n in[0.60]]//文森佐·利班迪2013年10月17日
（鼠尾草）[n*（n^2+12*n-25）/6代表n in（0..60）]#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
（GAP）列表（[0..60]，n->n*（n^2+12*n-25）/6）#G.C.格鲁贝尔2019年10月30日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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经核准的
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A026060型
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| a（n）=点积（n，n-1，…2,1）*（5,6，…，n，1,2,3,4）。 |
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45, 80, 126, 184, 255, 340, 440, 556, 689, 840, 1010, 1200, 1411, 1644, 1900, 2180, 2485, 2816, 3174, 3560, 3975, 4420, 4896, 5404, 5945, 6520, 7130, 7776, 8459, 9180, 9940, 10740, 11581, 12464, 13390, 14360, 15375, 16436, 17544, 18700, 19905, 21160, 22466, 23824, 25235, 26700, 28220
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n^2+15*n-46）/6-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月30日
a（n）=4×a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）；a（5）=45，a（6）=80，a（7）=126，a（8）=184-哈维·P·戴尔2011年11月5日
总尺寸：x^5*（45-100*x+76*x^2-20*x^3）/（1-x）^4-科林·巴克2012年9月17日
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数学
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表[n（n^2+15n-46）/6，{n，5，60}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{45，80，126，184}，60](*哈维·P·戴尔2011年11月5日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n^2+15*n-46）/6:n in[5..60]]//文森佐·利班迪2011年11月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A026063号
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| 点积（n，n-1，…2,1）*（6,7，…，n，1,2,3,4,5）。 |
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4
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71, 119, 180, 255, 345, 451, 574, 715, 875, 1055, 1256, 1479, 1725, 1995, 2290, 2611, 2959, 3335, 3740, 4175, 4641, 5139, 5670, 6235, 6835, 7471, 8144, 8855, 9605, 10395, 11226, 12099, 13015, 13975, 14980, 16031, 17129, 18275, 19470, 20715, 22011, 23359, 24760, 26215, 27725, 29291
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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6,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n（n^2+18n-73）/6-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月30日
通用：x^6*（71-165*x+130*x^2-35*x^3）/（1-x）^4-科林·巴克2012年9月17日
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数学
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系数列表[级数[（71-165 x+130 x ^2-35 x ^3）/（1-x）^4，{x，0，60}]，x](*文森佐·利班迪2013年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n^2+18*n-73）/6:n英寸[6..60]]//文森佐·利班迪2017年10月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A026066号
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| dot_product（n，n-1，…2,1）*（7,8，…，n，1,2,3,4,5,6）。 |
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+10
4
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105, 168, 246, 340, 451, 580, 728, 896, 1085, 1296, 1530, 1788, 2071, 2380, 2716, 3080, 3473, 3896, 4350, 4836, 5355, 5908, 6496, 7120, 7781, 8480, 9218, 9996, 10815, 11676, 12580, 13528, 14521, 15560, 16646, 17780, 18963, 20196, 21480, 22816, 24205, 25648, 27146, 28700, 30311
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/6）*（n^2+21n-106）*n-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月5日
总尺寸：x^7*（105-252*x+204*x^2-56*x^3）/（1-x）^4-科林·巴克2012年9月17日
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数学
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系数列表[级数[（105-252 x+204 x ^2-56 x ^3）/（1-x）^4，{x，0，60}]，x](*文森佐·利班迪2013年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n^2+21*n-106）/6:n in[7..60]]//文森佐·利班迪2013年10月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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