由形成的三角形数正多边形的相交对角线
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摘要:
我们考虑由正多边形的相交对角线形成的三角形数。基本几何结构提供了轻微的超载,可通过以下方法进行纠正应用Poonen和Rubinstein的结果[1]。三角形的数量是1、8、35、110、287、632、1302、2400、4257、6956(对于带有3个贯穿的多边形)12面。
介绍
如果我们连接正则的所有顶点N个-边多边形我们得到了一个数字=N(N-1)/2行。对于N个=8,数字为:
仔细数数,这个八边形中有632个三角形。
衍生
所有三角形都是由三条对角线在三个不同点的交点形成的。需要考虑三条对角线的五种排列方式。我们将其分类基于不同对角端点的数量。我们将直接计算端点为3、4和5的三角形的数量(前三个数字)。我们将计算数量潜在的具有6个端点的三角形,然后纠正假三角形。在以下五幅图中,每个图都突出显示了一个示例三角形。
三个、四个和五个对角端点
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3个对角线端点。有56个这样的左图中的三角形。
由对角线形成的三角形数总共有三个端点.
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4个对角线端点。有280个这样的左图中的三角形。
有四对角线的组合端点。对于每组四个端点是四种三角形配置。因此有形成三角形。
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5个对角线端点有280个这样的左图中的三角形。
对于每个N个多边形的顶点,在那里是其他四个对角线端点,可以放置在N个-1个剩余位置。因此有形成三角形。这是等于.
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六个对角线端点
的数量潜在的由6条线段组成的三角形是,因为有6个段端点要从N个.通常为潜在三角形不是由三条重叠的线段创建的,因为线段在一个点相交。计算以下两种情况。
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6个对角端点,形成三角形. 左图中有16个这样的三角形。
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6个对角线端点,假三角形。那里图中的9个内部交点位于左边是可以形成假三角形的地方。
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我们使用[1]的结果来计算这些假三角形。正如那篇论文中所说N个-边多边形,让一米(N)表示除中心以外的内部点的数量哪里米对角线相交。令人惊讶的是,只有值米可能发生=2、3、4、5、6或7。此处重现了[1]中的必要公式:
哪里如果,否则为0。
如果有K(K)在一个公共点相交的线段,其中K(K)>2,有对应于该点的假三角形。因此假三角形是
其中最后一项表示偶数的中心点的贡献N个.奇数校正为0N个.由线段形成的三角形数多边形上的六个端点为:
结果
下表总结了 .这些值通过使用计算机程序进行彻底搜索进行检查。
N个 | 三角形有3个对角线的端点 | 三角形带4个对角线的端点 | 三角形带5对角线的端点 | 三角形带有6个对角线的端点 | 总计数量三角形 |
三 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
4 | 4 | 4 | 0 | 0 | 8 |
5 | 10 | 20 | 5 | 0 | 35 |
6 | 20 | 60 | 30 | 0 | 110 |
7 | 35 | 140 | 105 | 7 | 287 |
8 | 56 | 280 | 280 | 16 | 632 |
9 | 84 | 504 | 630 | 84 | 1302 |
10 | 120 | 840 | 1260 | 180 | 2400 |
11 | 165 | 1320 | 2310 | 462 | 4257 |
12 | 220 | 1980 | 3960 | 796 | 6956 |
13 | 286 | 2860 | 6435 | 1716 | 11297 |
14 | 364 | 4004 | 10010 | 2856 | 17234 |
15 | 455 | 5460 | 15015 | 5005 | 25935 |
16 | 560 | 7280 | 21840 | 7744 | 37424 |
17 | 680 | 9520 | 30940 | 12376 | 53516 |
18 | 816 | 12240 | 42840 | 17508 | 73404 |
19 | 969 | 15504 | 58140 | 27132 | 101745 |
20 | 1140 | 19380 | 77520 | 38160 | 136200 |
由总数构成的序列已故的维克多·米利在20世纪60年代研究了三角形他似乎没有找到我们的公式N个-第个学期。这是序列A006600型在中整数序列在线百科全书.
为了总结最终结果,三角形的数量由交叉对角线生成N个-正多边形为:
工具书类
[1] 比约恩·普南(Bjorn Poonen)、迈克尔·鲁宾斯坦(Michael Rubinstein)、,正多边形对角线交点的个数,SIAM J.光盘。数学。 11(1998), 133-156.注意,定理1有一个印刷错误:第二行:232应该替换为262。
1998年2月24日收到;发布于整数序列杂志,1998年4月26日。
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