整数序列杂志,第1卷(1998年),第98.1.5条

由形成的三角形数正多边形的相交对角线

史蒂文·索马尔斯
朗讯科技
伊利诺伊州印第安山
电子邮件地址:sommars@enteract.com公司

蒂姆·索马斯
惠顿北高中
伊利诺伊州惠顿
电子邮件地址:ozzy50@juno.com

(仅用于身份验证,该文件尚未正式发布由任一组织认可。)

摘要: 我们考虑由正多边形的相交对角线形成的三角形数。基本几何结构提供了轻微的超载,可通过以下方法进行纠正应用Poonen和Rubinstein的结果[1]。三角形的数量是1、8、35、110、287、632、1302、2400、4257、6956(对于带有3个贯穿的多边形)12面。

介绍

如果我们连接正则的所有顶点N个-边多边形我们得到了一个数字=N(N-1)/2行。对于N个=8,数字为:

仔细数数,这个八边形中有632个三角形。

衍生

所有三角形都是由三条对角线在三个不同点的交点形成的。需要考虑三条对角线的五种排列方式。我们将其分类基于不同对角端点的数量。我们将直接计算端点为3、4和5的三角形的数量(前三个数字)。我们将计算数量潜在的具有6个端点的三角形,然后纠正假三角形。在以下五幅图中,每个图都突出显示了一个示例三角形。

三个、四个和五个对角端点

 

 

3个对角线端点。有56个这样的左图中的三角形。

 

由对角线形成的三角形数总共有三个端点.

 

 

4个对角线端点。有280个这样的左图中的三角形。

 

四对角线的组合端点。对于每组四个端点是四种三角形配置。因此有形成三角形。

 

 

5个对角线端点有280个这样的左图中的三角形。

对于每个N个多边形的顶点,在那里是其他四个对角线端点,可以放置在N个-1个剩余位置。因此形成三角形。这是等于.

六个对角线端点

的数量潜在的由6条线段组成的三角形是,因为有6个段端点要从N个.通常为潜在三角形不是由三条重叠的线段创建的,因为线段在一个点相交。计算以下两种情况。

 

 

6个对角端点,形成三角形. 左图中有16个这样的三角形。

 

 

6个对角线端点,假三角形。那里图中的9个内部交点位于左边是可以形成假三角形的地方。

我们使用[1]的结果来计算这些假三角形。正如那篇论文中所说N个-边多边形,让(N)表示除中心以外的内部点的数量哪里对角线相交。令人惊讶的是,只有值可能发生=2、3、4、5、6或7。此处重现了[1]中的必要公式:

 

哪里如果,否则为0。

如果有K(K)在一个公共点相交的线段,其中K(K)>2,有对应于该点的假三角形。因此假三角形是

其中最后一项表示偶数的中心点的贡献N个.奇数校正为0N个.由线段形成的三角形数多边形上的六个端点为:

 

结果

下表总结了 .这些值通过使用计算机程序进行彻底搜索进行检查。

N个 三角形有3个对角线的端点三角形带4个对角线的端点三角形带5对角线的端点三角形带有6个对角线的端点总计数量三角形
10001
4 44008
5 10205035
6 2060300110
7 351401057287
8 5628028016632
9 84504630841302
10 12084012601802400
11 165132023104624257
12 220198039607966956
13 286 28606435171611297
14 364400410010285617234
15 455546015015500525935
16 560728021840774437424
17 6809520309401237653516
18 81612240428401750873404
19 969155045814027132101745
20 1140193807752038160136200

由总数构成的序列已故的维克多·米利在20世纪60年代研究了三角形他似乎没有找到我们的公式N个-第个学期。这是序列A006600型在中整数序列在线百科全书.

为了总结最终结果,三角形的数量由交叉对角线生成N个-正多边形为:

 

工具书类

[1] 比约恩·普南(Bjorn Poonen)、迈克尔·鲁宾斯坦(Michael Rubinstein)、,正多边形对角线交点的个数,SIAM J.光盘。数学。 11(1998), 133-156.注意,定理1有一个印刷错误:第二行:232应该替换为262。


1998年2月24日收到;发布于整数序列杂志,1998年4月26日。


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