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a(n)=2^n-1。(有时称为梅森数字,尽管该名称通常用于A001348号.)(原名M2655 N1059)
+10 1289
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
评论
这是q=2的高斯二项式系数[n,1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外,贝拿勒斯神庙问题的解决方案(移动次数最少),即三个菱形针,其中n个针盘按第一个针的大小递减,以相同的顺序放置在第三个针盘上,每次移动不超过一个针盘,也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque,2003年10月18日
a(0)=0,a(1)=1;a(n)=最小值,使得a(n,a(m)==0(mod(n-m+1)),对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1,1/2,1/3,…]=[1/1,3/2,7/3,…]的二项式变换;(2^n-1)/n,n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如,第7项为(2^7)-1=127=1111111(以2为基数)-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2,a(n)是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P(A)是n元集A的幂集,则A(n+1)=P(A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯(bsl04(AT)uark.edu),2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列,A001045号,(1,1,3,5,11,21,…)与(1,2,2,…)卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n甚至是一个(n)mod 3=0。这来自同余2^(2k)-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0(mod 3)。(请注意,2*2*…*2有偶数个术语。)-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[1,j]=1,A[i,i]:=2,(i>1),A[i,i-1]=-1,否则A[i、j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det(a)-米兰扬吉奇2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A,b:c,d:k]中的序列A(0,1;1,2;2)=A(0,1;3,-2;0),在下面给出的W.Lang链接中被视为A(A,b;c,d;k)-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a(n)=S(n+1,2),第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a(n)行的条目都是奇数,而a(n。。。,奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作,该操作翻转每个条目的符号。那么a(n+1)是长度为2n的有符号置换的数量,它等于它们的反向补足的条,并且避免了模式集{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}。(参见Hardt和Troyka参考。)-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a(n)是数字k,使得映射k->(3k+1)/2==1(mod 2)直到达到(3k+1/2==0(mod 2中)为止的迭代次数等于n(参见Collatz问题)-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a,b,用a<+>b表示最小c>=a,使得Hd(a,c)=b(注意,一般来说,a<+>b不同于b<+>a)。则a(n+1)=a(n)<+>1。因此,这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度:1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1,n-2,…,1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如,3->{2,1}和2->{1},因此a(3)=3+2+1+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U(P=3,Q=2)序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数,以二为基数。参见链接中的命题1和5.2:“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
a(n)是2的最高幂,因此2^a(n)除以(2^n)-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中,这些是唯一的无符号数字,例如k&(k+1)=0,其中&是按位AND运算符,数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数(例如,参见下面的NRICH1246链接或Britton链接)-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a(n)!==4(第5版);a(n)!==10(11年款);a(n)!==2、4、5、6(第7版)-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后,由整数(1,2,3,4,…)的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a(n+1)等于长度为n的三元字的数量,避免了01,02-米兰扬吉奇2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时,第n项为0,0,1,3,7,15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如,4:={0,1,2,3}:={{},{}},}}。此外,对于n>0,a(n)是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数,其中总是使用单个符号(通常)表示空集,空格被忽略。例如,a(5)=31,表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
对于由[n+1]_q=(q^(n+1)-q^(n-1))/(q-q^(-1))定义的量子整数,梅森数是a(n+1)=q^n[n+1]_q,其中q=sqrt(2),而有符号雅各布斯塔尔数A001045号对于i^2=-1,由q=i*sqrt(2)给出。囊性纤维变性。A239473型. -汤姆·科普兰2016年9月5日
除初始项外,由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义的二维元胞自动机生长的第n阶段的x轴的十进制表示,基于用单个单元初始化的5单元von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a(n),n>1,是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1,n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(i+j-1,j)*p+二项式的行列式(i+j-1,i),在这种情况下p=2(经验观察)-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r(n)=a(n+1)/2^(n+1)=a(n+1)/A000079号(n+1)也作为第n次迭代f^{[n]}(c;x)=2^(n+1 2)*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题(也涉及当前序列),请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a(n)是包含n的{1,2,..,n}的所有子集中最小元素的和。例如,a(3)=7;{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3},{2,3}、{1,2,3,最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a(n-1)是{1,2,..,n}的非空子集的数目,其中没有与集合大小相同的元素。例如,对于n=4,a(3)=7,并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}和{1,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外,当n>=3时,n-helm图中的最小支配集数。(结束)
猜想:除了a(2)=3之外,数字m使得2^(m+1)-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武,2021年9月8日
a(n)是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
当n==1(mod 4)时,a(n)==1(mod 30);
对于n==3(mod 4),a(n)==7(mod 120);
(a(n)-1)/30=(a(n+2)-7)/120,对于n奇数;
此外,高度为n-1的完美二叉树中的节点数,或:毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形(或三角形)数:从线段开始。在每个步骤中,构造以最近的线段为底的正方形,以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形(位于每个正方形的“顶部”)。在下一步中,这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒,2024年3月11日
a(n)是n-Hanoi图的直径。等价地,a(n)是河内塔问题(即上述贝拿勒斯神庙问题)中任意两个州之间的最大最小移动次数-艾伦·比克2024年8月9日
参考文献
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链接
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伯纳德·肖特,布列西利安裸鼠,转载自Quarture,编号76,avril-juin 2010,第30-38页,经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》(2019)第8卷,第4期,第87-92页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》(2019)第8卷第10期。
配方奶粉
G.f.:x/((1-2*x)*(1-x))。
例如:exp(2*x)-exp(x)。
例如,如果偏移量1:((exp(x)-1)^2)/2。
a(n)=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里,2003年5月26日
a(n)=a(n-1)+2*a(n-2)+2,a(0)=0,a(1)=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b(n)=(-1)^(n-1)*a(n)。那么b(n)=和{i=1..n}i*i*斯特林2(n,i)*(-1)^(i-1)。b(n)的示例:(exp(x)-1)/exp(2x).-马里奥·卡塔拉尼(Mario.Catalani(AT)unito.it),2003年12月19日
a(n+1)=2*a(n)+1,a(0)=0。
a(n)=和{k=1..n}二项式(n,k)。
a(n)=n+和{i=0..n-1}a(i);a(0)=0-里克·L·谢泼德,2004年8月4日
a(n+1)=(n+1”)*和{k=0..n}二项式(n,k)/(k+1)-保罗·巴里2004年8月6日
a(n+1)=和{k=0..n}二项式(n+1,k+1)-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2(n-k,2)从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基,2006年11月18日
a(n)=箍筋S2(n+1,2)-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a(n)=J_n(2),其中J_n是第n个Jordan Totient函数:(A007434号,是J_2)。
a(n)=和{d|2}d^n*mu(2/d)。(结束)
a(n)=det(|s(i+2,j+1)|,1<=i,j<=n-1),其中s(n,k)是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-1/(4^k-2*x*16^k/(2*x*4^k-1/(1-1/(2*4^k-8*x*16 ^k/)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年5月22日
例如:Q(0),其中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*xx2^k-(k+1)/Q(k+1;(续分数)。
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*xx2^k-1/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a(n)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式(t1+t2+…+t_n,t1,t2,…,t_n)/(t1+t1+…+tn)-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3,二项式系数C(n,a(k))与其自身的卷积是C(n、a(k+1))-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a(n)=n+和{j=1..n-1}(n-j)*2^(j-1)。参见2017年6月14日的公式A000918号(n+1)和解释-沃尔夫迪特·朗2017年6月14日
a(n)=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C(k,i)-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a(n+m)=a(n)*a(m)+a(n-宇春记2018年7月27日
a(n+m)=a(n+1)*a(m)-2*a(n)*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a(n+1)是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(i+j-1,j)*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
例子
对于n=3,a(3)=S(4,2)=7,第二类斯特林数,因为有7种方法可以将{a,b,c,d}划分为2个非空子集,即:,
{a} U型{b,c,d},{b} U型{a,c,d},{c} U型{a,b,d},{d} U型{a,b,c},{a,b}U{c,d},{a,c}U{b、d}和{a,d}U{b,c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a(3)=7,所以有7个4的有符号置换,它们等于它们的反向补足的条,并避免{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}。这些是:
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). (结束)
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
对于具有2个磁盘的河内塔问题,移动如下,因此a(2)=3。
12|_|_ -> 2|1|_ -> _|1|2 -> _|_|12 -艾伦·比克2024年8月7日
MAPLE公司
A000225号:=n->2^n-1;[seq(2^n-1,n=0..50)];
数学
a[n]:=2^n-1;表[a[n],{n,0,30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*)
阵列[2^#-1&,50,0](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)
线性递归[{3,-2},{1,3},20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
系数列表[级数[1/(1-3 x+2 x ^2),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a000225=(减去1)。(2 ^)
a000225_list=迭代((+1)。(* 2)) 0
(PARI)连接(0,Vec(x/((1-2*x)*(1-x))+O(x^100))\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
(SageMath)
定义isMersenne(n):返回n==总和([(1-b)<<s用于枚举((n+1).bits())中的(s,b)])#彼得·卢什尼2019年9月1日
(Python)
0, 3, 15, 63, 255, 1023, 4095, 16383, 65535, 262143, 1048575, 4194303, 16777215, 67108863, 268435455, 1073741823, 4294967295, 17179869183, 68719476735, 274877906943, 1099511627775, 4398046511103, 17592186044415, 70368744177663, 281474976710655
评论
该序列是填充空间的Peano-Hilbert曲线每次迭代的归一化长度。曲线保持为正方形,但其长度毫无限制地增加。在单位正方形中迭代n次后,曲线的长度为a(n)*2^(-n),其中a(n)=4*a(n-1)+3。这是a(n)值的序列。a(n)*(2^(-n)*2^。第n次迭代时曲线分段数之间的比率(A015521号)随着n的增加,a(n)趋于4/5-乔治·巴尔扎罗蒂,2006年3月16日
以4为底表示为333….3的数字-零入侵拉霍斯2007年2月3日
似乎对于给定的面积,一个正方形n^2可以划分为n^2+1个其他正方形。
这是一个笛卡尔平面的旋转和缩放,它创建了带有边的正方形
(结束)
也是H树中第n级之后的线段总数,如果在第n级将4^(n-1)个H添加到每个“H”由3个线段组成的结构中。A164346号(该序列的第一个差异)给出了在第n阶段添加的线段数-奥马尔·波尔2013年2月16日
a(n)是(n+1)次迭代后科赫雪花中片段删除的累计次数-伊万·伊纳基耶夫2013年11月22日
同时也给出了n-Sierpinski四面体图的圈数-埃里克·韦斯特因2017年9月18日
参考文献
Graham Everest、Alf van der Poorten、Igor Shparlinski和Thomas Ward,《复发序列》,美国。数学。Soc.,2003年;特别见第255页。
配方奶粉
G.f.:3*x/((-1+x)*(-1+4*x))=1/(-1+x)-1/(-1+4*x)-R.J.马塔尔2007年11月23日
a(n)=4*a(n-1)+3,a(0)=0-文森佐·利班迪,2010年8月1日
a(n)=n*E(2*n-1,1)/B(2*n,1),对于n>0,其中E(n,x)表示Euler多项式,B(n,x)表示Bernoulli多项式-彼得·卢什尼2014年4月4日
例子
G.f.=3*x+15*x^2+63*x^3+255*x^4+1023*x^5+4095*x*6+。。。
数学
表[4^n-1,{n,0,20}]
4^范围[0,20]-1
线性递归[{5,-4},{0,3},20]
系数列表[级数[3 x/(1-5 x+4 x^2),{x,0,20}],x]
(*结束*)
黄体脂酮素
(Sage)[gaussian_binomial(2*n,1,2)for n in range(21)]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
(鼠尾草)[stirling_number2(2*n+1,2)代表范围(21)内的n]#零入侵拉霍斯,2009年11月26日
(哈斯克尔)
a024036=(减去1)。a000302型
a024036_list=迭代((+3)。(* 4)) 0
交叉参考
囊性纤维变性。A000051号,A000120号,A000225号,A000302号,A002001号,A002063号,A002193号,A002450型,A005057号,A010503号,A010532号,A010541号,A010767号,A015521号,A020988号,A027637号(部分产品),A078904号(部分金额),A079978号,A080674号,A164346号(第一个差异),A178789号,A179857号,A248721型.
1, 3, 3, 7, 5, 7, 7, 15, 9, 11, 11, 15, 13, 15, 15, 31, 17, 19, 19, 23, 21, 23, 23, 31, 25, 27, 27, 31, 29, 31, 31, 63, 33, 35, 35, 39, 37, 39, 39, 47, 41, 43, 43, 47, 45, 47, 47, 63, 49, 51, 51, 55, 53, 55, 55, 63, 57, 59, 59, 63, 61, 63, 63, 127, 65, 67, 67, 71, 69, 71
评论
a(n)是使汉明距离D(n-1,m)=1的最小m>=n-1-弗拉基米尔·舍维列夫2012年4月18日
配方奶粉
a(n)为奇数;a(n)=n当n是奇数时。
a(n)=如果n是奇数,则n是a(n/2)*2+1。
a(n)=n OR n-1(连续数的位OR)-俄罗斯考克斯2007年5月15日
a((2*n-1)*2^p)=2^(p+1)*n-1,p>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月1日
例子
a(20)=a('10100')='10100'+'11'='10111'=23。
MAPLE公司
nmax:=70:对于从0到ceil的p(simplize(log[2](nmax))),do对于从1到ceil(nmax/(p+2))的n,do a((2*n-1)*2^p):=2^(p+1)*n-1 od:od:seq(a(n),n=1..nmmax)#约翰内斯·梅耶尔2013年2月1日
黄体脂酮素
(C) int a(int n){return n |(n-1);}//俄罗斯考克斯2007年5月15日
(哈斯克尔)
a086799 n |偶数n=(a086799$div n 2)*2+1
|否则=n
(Python)
定义a(n):返回n |(n-1)
打印([a(n)代表范围(1,71)中的n])#迈克尔·布拉尼基2022年7月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A000051号,A000079号,A000120号,A000265号,A001620号,A006519号,A007814号,A023416号,A038712美元,A063787号,A086784号.
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