搜索： a251683-编号：a251683
|
| |
| |
|
|
|
0，1，1，1，2，1，3，1，4，2，3，1，8，1，3，8，1，8，3，3，1，20，2，3，4，8，1，13，1，16，3，3，3，26，1，3，3，20，1，13，1，8，8，3，1，48，2，8，3，8，1，20，3，1，44，1，3，8，32，3，13，1，8，3，13，1，76，1，3，8，8，3，13，1，48，8，3，1，44，3，3，20，1，44，3，8，3，3，3，112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
|
评论
|
a（0）=0，a（1）=1；此后，a（n）是n作为大于1的整数乘积的有序因式分解数。
a（n）是n-1 X n-1矩阵a的永久值，如果j|i+1，则（i，j）项=1，否则=0。这是因为有序因式分解对应于永久变量中的非零初等积。例如，当n=6时，3*2->1,3,6[偏积]->6,3,1[逆列表]->（6,3）（3,1）[以偏移量1划分成对]->（5,3）（2,1）[递减第一项]->（5,3）（2,1）（1,2）（3,4）（4,5）[附加对（i，i+1）以获得置换]->初等积a（1,2）a（2,1）a（3,4）a（4,5）a（5,3）-大卫·卡伦2005年10月19日
根据谐波理论，这个序列在描述宇宙中所有波结构中的能量量时非常重要雷·托姆斯（Ray Tomes），2007年7月22日
可被n个不同素数整除的数似乎具有有序因子分解值，这些值可以在n维求和Pascal三角形中找到。例如，可被两个不同素数整除的数字的有序因式分解值可以在表中找到A059576号. -Mats Granvik公司2009年9月6日
a（n）是n个DNA片段被探测部分消化问题解的最坏情况数的下限；请参阅下面的Newberg&Naor参考-李·纽伯格2011年8月2日
还有从n到1的严格除数链的数目。例如，n=1、2、4、6、8、12、30的a（n）链为：
1 2/1 4/1 6/1 8/1 12/1 30/1
4/2/1 6/2/1 8/2/1 12/2/1 30/2/1
6/3/1 8/4/1 12/3/1 30/3/1
8/4/2/1 12/4/1 30/5/1
12/6/1 30/6/1
12/4/2/1 30/10/1
12/6/2/1 30/15/1
12/6/3/1 30/6/2/1
2011年6月30日
30/10/2/1
30/10/5/1
30/15/3/1
30/15/5/1
（完）
|
|
|
参考文献
|
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第126页，见#27。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第141页。
Kalmár，Laszlo，A“factorisatio numerorum”problemajarol[匈牙利]，Matemat。菲齐克。拉普克，38（1931），1-15。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第124页。
|
|
|
链接
|
Benny Chor、Paul Lemke和Ziv Mador，关于自然数的有序分解数，离散数学。214（2000），第1-3期，第123-133页。MR1743631（2000米：11093）。
克里斯汀·德弗莱明和尼基塔·辛格，低阶有理单尖平面曲线，arXiv:2311.15922[math.AG]，2023。见第14页。
E.Hille，莫比乌斯反演问题杜克大学数学系。J.，3（1937），549-568。
奥古斯汀·穆纳吉，整数的标记因子分解，INTEGERS:《组合学电子期刊》16:1（2009），#R50。
L.A.Newberg和D.Naor，被探测部分消化问题解数的下界《应用数学进展》，14（2），1993，172-183。doi:10.1006/aama.1993.1009。
|
|
|
配方奶粉
|
用不同的偏移量：a（n）=所有a（i）的和，因此i除以n和i<n-克拉克·金伯利
a（p^k）=2^（k-1），如果k>0且p是素数。
Dirichlet g.f.：1/（2-zeta（s））.-Herbert S.Wilf，2003年4月29日
如果p、q、r，。。。是不同的素数，那么a（p*q）=3，a（p^2*q）=8，a（p*q*r）=13，a（p ^3*q）=20，等等-弗拉基米尔·舍维列夫，2011年8月3日[由更正查尔斯·格里特豪斯四世，2012年6月2日]
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=[x^n]和{k=1..n-1}a（k）*x^k/（1-x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2017年12月11日
如果p，q是不同的素数，而n，m>0，那么我们有：
a（p^n*q^m）=和{k=0..min（n，m）}2^（n+m-k-1）*二项式（n，k）*二项式（m，k）；
更一般地说：让tau[k]（n）表示n的有序因式分解数，作为k项的乘积，也称为k-th Piltz函数（参见A007425号)，则对于n>1:
a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=1..j}（-1）^（j-k）*二项式（j，k）*τ[k]（n），或
a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=0..j-1}（-1）^k*二项式（j，k）*tau[j-k]（n）。（完）
|
|
|
例子
|
G.f.=x+x^2+x^3+2*x^4+x^5+3*x^6+x^7+4*x^8+2*x^9+3*x*10+。。。
8的有序因式分解数为4:8=2*4=4*2=2*2。
|
|
|
MAPLE公司
|
a:=数组（1..150）：对于从1到150的k，执行a[k]：=0 od:a[1]：=1：对于从2到150的j，执行从1到j-1的m，如果j mod m=0，则执行a[j]：=a[j]+a[m]fi:od:od:对于从1至150的k执行打印f（`%d，`，a[k]]）od:#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
|
|
|
数学
|
a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=a[n]=a/@Most[Divisors[n]]//总计；a/@范围[20000](*N.J.A.斯隆，2016年5月4日，基于中的程序A002033号*)
ccc[n_]：=开关[n，0，{}，1，{{1}}，_，联接@@表[Prepend[#，n]&/@ccc[d]，{d，最大[Divisors[n]]}]]；表[长度[ccc[n]]，{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2020年8月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a074206 n | n≤1=n
|否则=1+（总和$map（a074206.（div n））$
尾部$a027751_当前n）
（PARI）A=矢量（100）；A[1]=1；对于（n=2，#A，A[n]=1+总和（n，d，A[d]））；A/=2；A[1]=1；concat（0，A）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，my（a=除数（n））；和（k=1，#a-1，a（a[k]））}/*迈克尔·索莫斯2016年12月26日*/
（PARI）A74206=[1]；A074206号（n） ={if（#A74206<n，A74206=concat（A74206，向量（n*3\/2-#A74208）），n&&A74206[n]，返回（A74208[n]））；A74206[n]=sumdiv（n，i，if（i<4，i<n，i<n，A074206号（i） ）}\\使用记忆计算许多值-M.F.哈斯勒，2018年10月12日
（PARI）第一个（n）={my（res=向量（n，i，1））；对于（i=2，n，对于（j=2，n\i，res[i*j]+=res[i]）；concat（0，res）}\\大卫·A·科内斯2018年10月13日
（PARI）first（n）={my（res=vector（n，i，1））；for（i=2，n，d=divisors（i）；res[i]+=sum（j=1，#d-1，res[d[j]]））；concat（0，res）}\\比上面的progs要快一些，可以找到n的第一项\\大卫·A·科内斯2018年10月12日
（PARI）a（n）={如果（！n，0，my（sig=factor（n）[，2]，m=vecsum（sig））；和（k=0，m，prod（i=1，#sig，二项式（sig[i]+k-1，k-1））*和（r=k，m，二项式（r，k）*（-1）^（r-k））））}\\安德鲁·霍罗伊德2020年8月30日
（SageMath）
@缓存函数
定义减去mu（n）：
如果n<2：返回n
返回和（除数（n）[：-1]中d的minus_mu（d））
打印（[minus_mu（n）代表（0..96）中的n）]#彼得·卢什尼2016年12月26日
（Python）
从数学导入prod
从functools导入lru_cache
从辛导入除数、因子、素数
@lru_cache（最大大小=无）
定义A074206号（n） ：返回总和(A074206号（d） 对于除数中的d（prod（prime（i+1）**e表示i，e表示枚举中的e（sorted（factorint（n）.values（），reverse=True）），生成器=True，propert=True#柴华武2022年9月16日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000005号,A025487号,A046523号,A059576号,122408年,A124010型,A167865号,A174725号,A174726号,A175522号,A181819号,A320390型,A334997飞机,A337105型,A361665飞机。
|
|
|
关键词
|
非n,核心,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
最初，此序列与合并A002033号，完美分区的数量。赫伯特·S·威尔夫（Herbert S.Wilf）建议，它需要自己进入。
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 2, 2, 0, 6, 1, 2, 2, 4, 0, 6, 0, 4, 2, 2, 2, 7, 0, 2, 2, 6, 0, 6, 0, 4, 4, 2, 0, 8, 1, 4, 2, 4, 0, 6, 2, 6, 2, 2, 0, 10, 0, 2, 4, 5, 2, 6, 0, 4, 2, 6, 0, 10, 0, 2, 4, 4, 2, 6, 0, 8, 3, 2, 0, 10, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,6
|
|
|
评论
|
a（n）=将n分解为两个因子的有序因式分解数，n=2,3。。。如果n有素因式分解n=乘积p^e（j），j=1..r，向量（e（1）。。。，e（r））等于n。Andrews（1998，第59页）的有序因式分解数，给出了（e（1）。。。，e（r））等于n的有序m-因式分解的数量f（n，m），但当m=2时，公式简化为f（n、2）=d（n）-2=a（n）-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月31日
a（n）=0当且仅当n是1或素数-乔恩·佩里2008年11月8日
a（n）=n个分区的数量，其中最大部分和最小部分正好出现一次，并且它们的差值为2。例如：a（12）=4，因为我们有[7,5]、[5,4,3]、[4,3,3,2]和[3,2,2,2,1]。一般来说，如果d是n的非平凡除数，那么[d+1，{d}^（n/d-2），d-1]是n的指定类型的分区-Emeric Deutsch公司2015年11月3日
|
|
|
参考文献
|
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《分割理论》（The Theory of Partition），艾迪森·韦斯利（Addison-Wesley），1976年；再版，剑桥大学出版社，剑桥，1984年，1998年。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=d（n）-2，对于n>=2，其中d（n。例如，a（12）=4，因为12有4个有序因子分解成两个因子：2*6，6*2，3*4，4*3-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月31日
通用公式：和{k>=2}x^（2k）/（1-x^k）-乔恩·佩里2008年11月8日
|
|
|
例子
|
a（12）=4，非平凡除数为2,3,4,6。
a（24）=6=卡片（{{2,12}，{3,8}，}4,6}，2,4}，8,3}，12,2}}）-彼得·卢什尼2011年11月14日
|
|
|
MAPLE公司
|
0，seq（数量[tau]（n）-2，n=2..100）#奥古斯汀·穆纳吉2005年3月31日
|
|
|
数学
|
加入[｛0｝，休息[DivisorSigma[0]，范围[90]]-2]](*哈维·P·戴尔2012年6月23日*）
a[n]：=级数系数[和[x^（2k）/（1-x^k），{k，2，n/2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2019年6月24日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，my（v=向量（n，i，i>1））；dirmul（v，v）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2019年6月24日*/
（Python）
从sympy导入divisor_count
定义A070824号（n） ：如果n==1，则返回0，否则divisor_count（n）-2#柴华武2022年6月3日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A334996型
|
| 按行读取的不规则三角形：T（n，m）是将Omega（n）对象分配到精确的m个不同框中的方法的数量，其中没有空框（Omega（n）>=m）。 |
|
+10
25
|
|
|
|
0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 6, 9, 4, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 0, 1, 6, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,13
|
|
|
评论
|
n是一组Omega（n）对象的规范号（参见Beekman文章中的定理3）。
多集的规范号也称为海因茨数-古斯·怀斯曼2020年8月25日
对于n>1，T（n，k）也是n到k因子>1的有序因式分解数。例如，第n=24行统计以下有序因式分解（第一列为空）：
24 3*8 2*2*6 2*2*2*3
4*6 2*3*4 2*2*3*2
6*4 2*4*3 2*3*2*2
8*3 2*6*2 3*2*2*2
12*2 3*2*4
2*12 3*4*2
4*2*3
4*3*2
6*2*2
对于n>1，T（n，k）也是从n到1的除数的严格长度k链的数目。例如，第n=36行统计以下链（第一列为空）：
36/1 36/2/1 36/4/2/1 36/12/4/2/1
36/3/1 36/6/2/1 36/12/6/2/1
36/4/1 36/6/3/1 36/12/6/3/1
36/6/1 36/9/3/1 36/18/6/2/1
36/9/1 36/12/2/1 36/18/6/3/1
36/12/1 36/12/3/1 36/18/9/3/1
36/18/1 36/12/4/1
2011年12月36日
36/18/2/1
36/18/3/1
36/18/6/1
36/18/9/1
（完）
|
|
|
参考文献
|
理查德·比克曼（Richard Beekman），《数字理论组合学导论》，卢鲁出版社，2017年。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，m）=和{k=0..m-1}（-1）^k*二项式（m，k）*tau_{m-k-1}（n），其中tau_s（r）=A334997飞机（r，s）（参见Beekman文章中的定理3、引理1和引理2）。
猜想：和{m=0..Omega（n）}T（n，m）=A002033号（n-1）对于n>1。
|
|
|
例子
|
三角形T（n，m）开始
n\m|0 1 2 3 4
---+--------------------------
1 | 0
2 | 0 1
3 | 0 1
4 | 0 1 1
5 | 0 1
6 | 0 1 2
7 | 0 1
8 | 0 1 2 1
9 | 0 1 1
10 |0 1 2
11 | 0 1
12 | 0 1 4 3
13 | 0 1
14 | 0 1 2
15 | 0 1 2
16 | 0 1 3 3 1
...
第n=36行统计{1,1,2,2}的以下分布（第一列为空）：
{1122} {1}{122} {1}{1}{22} {1}{1}{2}{2}
{11}{22} {1}{12}{2} {1}{2}{1}{2}
{112}{2} {11}{2}{2} {1}{2}{2}{1}
{12}{12} {1}{2}{12} {2}{1}{1}{2}
{122}{1} {12}{1}{2} {2}{1}{2}{1}
{2}{112} {1}{22}{1} {2}{2}{1}{1}
{22}{11} {12}{2}{1}
{2}{1}{12}
{2}{11}{2}
{2}{12}{1}
{2}{2}{11}
｛22｝｛1｝｛1｝
（完）
|
|
|
数学
|
tau[n_，k_]：=如果[n==1，1，乘积[二项式[Extract[Extract[FactorInteger[n]，i]，2]+k，k]，{i，1，Length[FactorInteger[n]]}]；(*A334997飞机*)
T[n_，m_]：=和[（-1）^k*二项式[m，k]*tau[n，m-k-1]，{k，0，m-1}]；表[T[n，m]，{n，1，30}，{m，0，PrimeOmega[n]}]//扁平
（*第二个节目*）
chc[n_]：=如果[n==1，{{}}，前缀[Join@@Table[Prepend[#，n]&/@chc[d]，{d，DeleteCase[Divisors[n]，1|n]}]，{n}]]；（*如果a（1）=0*，则将{{}}更改为{}）
表[Length[Select[chc[n]，Length[#]=k&]]，｛n，30｝，｛k，0，PrimeOmega[n]｝](*古斯·怀斯曼2020年8月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）TT（n，k）=如果（k==0，1，sumdiv（n，d，TT（d，k-1）））\\A334997飞机
T（n，m）=总和（k=0，m-1，（-1）^k*二项式（m，k）*TT（n，m-k-1））；
tabf（nn）={对于（n=1，nn，打印（向量（bigomega（n）+1，k，T（n，k-1）））；）；}\\米歇尔·马库斯2020年5月20日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,标签
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A334997飞机
|
| 按升序反对偶读取数组T：T（n，k）=Sum_{d除以n}T（d，k-1），T（n、0）=1。 |
|
+10
25
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 6, 4, 5, 1, 1, 4, 3, 10, 5, 6, 1, 1, 2, 9, 4, 15, 6, 7, 1, 1, 4, 3, 16, 5, 21, 7, 8, 1, 1, 3, 10, 4, 25, 6, 28, 8, 9, 1, 1, 4, 6, 20, 5, 36, 7, 36, 9, 10, 1, 1, 2, 9, 10, 35, 6, 49, 8, 45, 10, 11, 1, 1, 6, 3, 16, 15, 56, 7, 64, 9, 55, 11, 12, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
T（n，k）被称为广义除数函数（参见Beekman）。
作为偏移量为n=1、k=0的数组，T（n，k）是n的除数的长度k链的数量。例如，T（4,3）=10链是：111、211、221、222、411、422、441、442、444-古斯·怀斯曼2022年8月4日
|
|
|
参考文献
|
理查德·比克曼（Richard Beekman），《数字理论组合学导论》，卢鲁出版社，2017年。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=Sum_{d除以n}T（d，k-1），T（n、0）=1（参见Beekman文章中的定理3）。
如果i和j是互质正整数，则T（i*j，k）=T（i，k）*T（j，k）（参见Beekman文章中的引理1）。
T（p^m，k）=每个素数p的二项式（m+k，k）（参见Beekman文章中的引理2）。
|
|
|
例子
|
数组开始：
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=1：1 1 1 1 11 1 1 1
n=2:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=3:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=4：1 3 6 10 15 21 28 36 45
n=5:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=6：1 4 9 16 25 36 49 64 81
n=7:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=8:1 4 10 20 35 56 84 120 165
T（4,5）=21条链条：
(1,1,1,1,1) (4,2,1,1,1) (4,4,2,2,2)
（2,1,1,1,1）（4,2,2,1,1,1）（4,4,4,1,1）
(2,2,1,1,1) (4,2,2,2,1) (4,4,4,2,1)
(2,2,2,1,1) (4,2,2,2,2) (4,4,4,2,2)
(2,2,2,2,1) (4,4,1,1,1) (4,4,4,4,1)
(2,2,2,2,2) (4,4,2,1,1) (4,4,4,4,2)
(4,1,1,1,1) (4,4,2,2,1) (4,4,4,4,4)
T（6,3）=16条链条：
(1,1,1) (3,1,1) (6,2,1) (6,6,1)
(2,1,1) (3,3,1) (6,2,2) (6,6,2)
(2,2,1) (3,3,3) (6,3,1) (6,6,3)
(2,2,2) (6,1,1) (6,3,3) (6,6,6)
三角形式T（n-k，k）给出了n-k的除数的长度k链的个数。它开始于：
1
1 1
1 2 1
1 2 3 1
1 3 3 4 1
1 2 6 4 5 1
1 4 3 10 5 6 1
1 2 9 4 15 6 7 1
1 4 3 16 5 21 7 8 1
1 3 10 4 25 6 28 8 9 1
1 4 6 20 5 36 7 36 9 10 1
1 2 9 10 35 6 49 8 45 10 11 1
（完）
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=如果[n==1，1，乘积[二项式[Extract[Extract[FactorInteger[n]，i]，2]+k，k]，{i，1，长度[FactorInteger[n]]}]；表[T[n-k，k]，{n，1，13}，{k，0，n-1}]//扁平
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，1，sumdiv（n，d，T（d，k-1）））；
矩阵（10，10，n，k，T（n，k-1））\\查看n>=1，k>=0的数组\\米歇尔·马库斯2020年5月20日
|
|
|
交叉参考
|
2015年（n，k）计算从n到1的严格长度k+1除数链。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A077592号
|
| tau_k（n），第k个Piltz函数的反对角线表（见A007425号)或对全一序列应用逆Möbius变换（k-1）次而得到的序列的第n项。 |
|
+10
23
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 3, 3, 1, 1, 5, 4, 6, 2, 1, 1, 6, 5, 10, 3, 4, 1, 1, 7, 6, 15, 4, 9, 2, 1, 1, 8, 7, 21, 5, 16, 3, 4, 1, 1, 9, 8, 28, 6, 25, 4, 10, 3, 1, 1, 10, 9, 36, 7, 36, 5, 20, 6, 4, 1, 1, 11, 10, 45, 8, 49, 6, 35, 10, 9, 2, 1, 1, 12, 11, 55, 9, 64, 7, 56, 15, 16, 3, 6, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
作为偏移量为n=0，k=1的数组，也表示k的除数的长度n链的个数-古斯·怀斯曼2022年8月4日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
如果n=产品_i p_i^e_i，则T（n，k）=产品_i C（k+e_i-1，e_i）。T（n，k）=sum_d{d|n}T（n-1，d）=A077593号（n，k）-A077593号（n-1，k）。
列是乘法的。
第k列的Dirichlet g.f.：Zeta（s）^k-杰弗里·克雷策2015年2月16日
|
|
|
例子
|
T（6,3）=9，因为我们有：1*1*6，1*2*3，1*3*2，1*6*1，2*1*3，2*3*1，3*1*2，3*2*1，6*1*1-杰弗里·克雷策2015年2月16日
数组开始：
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0：1 1 1 1 11 1 1
n=1:1 2 2 3 2 4 4
n=2:1 3 3 6 3 9 3 10
n=3:1 4 4 10 4 16 4 20
n=4:1 5 5 15 5 25 5 35
n=5:1 6 6 21 6 36 6 56
n=6:1 7 7 28 7 49 7 84
n=7:1 8 8 36 8 64 8 120
n=8:1 9 9 45 9 81 9 165
三角形式T（n，k）=A（n-k，k）给出k的除数的长度n-k链的个数。它开始于：
1
1 1
1 2 1
1 3 2 1
1 4 3 3 1
1 5 4 6 2 1
1 6 5 10 3 4 1
1 7 6 15 4 9 2 1
1 8 7 21 5 16 3 4 1
1 9 8 28 6 25 4 10 3 1
1 10 9 36 7 36 5 20 6 4 1
1 11 10 45 8 49 6 35 10 9 2 1
（完）
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=1，1，
加法（A（d，k-1），d=除数（n））
结束时间：
seq（seq（A（n，1+d-n），n=1..d），d=1..14）#阿洛伊斯·海因茨2015年2月25日
|
|
|
数学
|
τ[n，1]=1；τ[n_，k_]：=τ[n，k]=加号@@（τ[#，k-1]和/@除数[n]）；表[tau[n-k+1，k]，{n，14}，{k，n，1，-1}]//扁平(*Robert G.Wilson诉*)
τ[1，k]：=1；tau[n_，k_]：=倍@@（二项式[Last[#]+k-1，k-1]&/@FactorInteger[n]）；表[tau[k，n-k+1]，{n，1，13}，{k，1，n}]//扁平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月13日*）
表[Length[Select[Tuples[Divisors[k]，n-k]，And@@Divisible@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，12}，{k，1，n}]（*三角形，古斯·怀斯曼2021年5月3日*）
表[Length[Select[Tuples[Divisors[k]，n-1]，And@@Divisible@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，6}，{k，6}]（*ARRAY，古斯·怀斯曼2021年5月3日*）
|
|
|
交叉参考
|
列包括（具有多重性和一些偏移）A000012号,A000027号,A000027号,A000217号,A000027号,A000290型,A000027号,A000292号,A000217号,A000290型,A000027号,A002411号,A000027号,A000290型,A000290型,A000332号等。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 2, 4, 1, 7, 1, 8, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 10, 1, 7, 1, 4, 4, 1, 1, 24, 1, 4, 1, 4, 1, 10, 1, 10, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 4, 16, 1, 7, 1, 4, 1, 7, 1, 38, 1, 1, 4, 4, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,8
|
|
|
评论
|
此外，n的有序因子分解为奇数个因子>1的次数。无序案例是A339890型例如，n=8、12、24、30、32、36的a（n）因子分解为：
(8) (12) (24) (30) (32) (36)
(2*2*2) (2*2*3) (2*2*6) (2*3*5) (2*2*8) (2*2*9)
(2*3*2) (2*3*4) (2*5*3) (2*4*4) (2*3*6)
（3*2*2）（2*4*3）（3*2*5）（2*8*2）（2*6*3）
(2*6*2) (3*5*2) (4*2*4) (2*9*2)
(3*2*4) (5*2*3) (4*4*2) (3*2*6)
(3*4*2) (5*3*2) (8*2*2) (3*3*4)
(4*2*3) (2*2*2*2*2) (3*4*3)
(4*3*2) (3*6*2)
(6*2*2) (4*3*3)
（6*2*3）
(6*3*2)
(9*2*2)
（完）
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
数学
|
ordfacs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[（前缀[#1，d]&）/@ordfacs[n/d]，{d，剩余[Divisors[n]]}]]；
表[Length[Select[ordfacs[n]，OddQ@*Length]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼，2021年1月4日*）
|
|
|
交叉参考
|
其他奇数长度的情况：
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 2, 4, 0, 4, 0, 4, 2, 2, 0, 10, 1, 2, 2, 4, 0, 6, 0, 8, 2, 2, 2, 13, 0, 2, 2, 10, 0, 6, 0, 4, 4, 2, 0, 24, 1, 4, 2, 4, 0, 10, 2, 10, 2, 2, 0, 22, 0, 2, 4, 16, 2, 6, 0, 4, 2, 6, 0, 38, 0, 2, 4, 4, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,6
|
|
|
评论
|
设m=矩阵a的大小矩阵T，且T的定义如下：
T（n，k）=如果m=1，那么1 else如果mod（n，k）=0，那么如果and（n=k，n=m），那么0 else 1 else if and（n=1，k=m）然后1 else 0
a（n）是矩阵T的行列式中有正贡献的置换矩阵的数目。T的行列等于Möbius函数A008683号，有关如何计算行列式，请参阅下面的Mathematica程序。
（完）
此外，n的有序因子分解为偶数个因子>1的次数。无序案例是A339846飞机例如，n=12、24、30、32、36的a（n）因子分解为：
(2*6) (3*8) (5*6) (4*8) (4*9)
(3*4) (4*6) (6*5) (8*4) (6*6)
(4*3) (6*4) (10*3) (16*2) (9*4)
(6*2) (8*3) (15*2) (2*16) (12*3)
(12*2) (2*15) (2*2*2*4) (18*2)
(2*12) (3*10) (2*2*4*2) (2*18)
(2*2*2*3) (2*4*2*2) (3*12)
(2*2*3*2) (4*2*2*2) (2*2*3*3)
(2*3*2*2) (2*3*2*3)
(3*2*2*2) (2*3*3*2)
(3*2*2*3)
(3*2*3*2)
(3*3*2*2)
（完）
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
（完）
G.f.A（x）满足（x）=x+Sum_{i>=2}和{j>=2}A（x^（i*j））-伊利亚·古特科夫斯基，2019年5月11日
|
|
|
数学
|
清除[t，nn]；nn=77；t[1,1]=1；t[n_，k_]：=t[n，k]=如果[k==1，和[t[n、k+i]，{i，1，n-1}]，如果[Mod[n，k]==0，t[n/k，1]，0]，0'；监视器[Table[Sum[If[Mod[n，k]==0，MoebiusMu[k]*t[n/k，1]，0]，{k，1，77}]，{n，1，nn}]，n]
（*作为行列式的Möbius函数*）表[Det[表[If[M==1，1，If[Mod[n，k]==0，If[与[n==k，n==M]，0，1]，If[Cand[n==1、k==M]，1，0]]，{k，1，M}]，{n，1，M}]
（*（结束）*）
ordfacs[n_]：=If[n<=1，｛｛｝｝，Join@@Table[（Prepend[#1，d]&）/@ordfacs[n/d]，｛d，Rest[Divisors[n]]｝]]；
表[Length[Select[ordfacs[n]，EvenQ@*Length]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼2021年1月4日*）
|
|
|
交叉参考
|
其他偶数长度的情况：
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A343656型
|
| 反对偶读取的数组，其中A（n，k）是n^k的除数。 |
|
+10
19
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 3, 3, 1, 1, 5, 4, 5, 2, 1, 1, 6, 5, 7, 3, 4, 1, 1, 7, 6, 9, 4, 9, 2, 1, 1, 8, 7, 11, 5, 16, 3, 4, 1, 1, 9, 8, 13, 6, 25, 4, 7, 3, 1, 1, 10, 9, 15, 7, 36, 5, 10, 5, 4, 1, 1, 11, 10, 17, 8, 49, 6, 13, 7, 9, 2, 1, 1, 12, 11, 19, 9, 64, 7, 16, 9, 16, 3, 6, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
作为三角形，T（n，k）=k^（n-k）的除数。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
数组开始：
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7
n=1:1.11.11
n=2:1 2 3 4 5 6 7 8
n=3:1 2 3 4 5 6 7 8
n=4:1 3 5 7 9 11 13 15
n=5:1 2 3 4 5 6 7 8
n=6：1 4 9 16 25 36 49 64
n=7:1 2 3 4 5 6 7 8
n=8:1 4 7 10 13 16 19 22
n=9:1 3 5 7 9 11 13 15
三角形开始：
1
1 1
1 2 1
1 3 2 1
1 4 3 3 1
1 5 4 5 2 1
1 6 5 7 3 4 1
1 7 6 9 4 9 2 1
1 8 7 11 5 16 3 4 1
1 9 8 13 6 25 4 7 3 1
1 10 9 15 7 36 5 10 5 4 1
1 11 10 17 8 49 6 13 7 9 2 1
1 12 11 19 9 64 7 16 9 16 3 6 1
1 13 12 21 10 81 8 19 11 25 4 15 2 1
例如，第n=8行对以下除数进行计数：
1 64 243 256 125 36 7 1
32 81 128 25 18 1
16 27 64 5 12
8 9 32 1 9
4 3 16 6
2 1 8 4
1 4 3
2 2
1 1
|
|
|
数学
|
表[DivisorSigma[0，k^（n-k）]，{n，10}，{k，n}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000169号,A000272号,A002064号,A002109号,A066959号,A143773号,A146291号,A176029号,A251683型,A282935型,A326358型,A327527型,A334996型,A343652型。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A163767号
|
| a（n）=tau{n}（n）=n的有序n因子分解的个数。 |
|
+10
13
|
|
|
|
1, 2, 3, 10, 5, 36, 7, 120, 45, 100, 11, 936, 13, 196, 225, 3876, 17, 3078, 19, 4200, 441, 484, 23, 62400, 325, 676, 3654, 11368, 29, 27000, 31, 376992, 1089, 1156, 1225, 443556, 37, 1444, 1521, 459200, 41, 74088, 43, 43560, 46575, 2116, 47, 11995200, 1225
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
同时也给出了n的除数的长度n-1链的个数-古斯·怀斯曼2021年5月7日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（p）=质数p的p。
当n是k个不同素数的乘积时，a（n）=n^k（猜想）。
a（n）=所有1序列的第n个狄利克雷自卷积的第n项。
|
|
|
例子
|
所有1序列的连续Dirichlet自我进化开始：
(1),1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,... (A000012号)
1,(2),2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,... (A000005号)
1,3,(3),6,3,9,3,10,6,9,3,18,3,9,9,15,... (A007425号)
1,4,4,(10),4,16,4,20,10,16,4,40,4,16,16,35,... (A007426号)
1,5,5,15，（5），25,5,35,15,25,75,5,25,25,70，。。。(A061200型)
1,6,6,21,6,(36),6,56,21,36,6,126,6,36,36,126,... (A034695号)
1,7,7,28,7,49,(7),84,28,49,7,196,7,49,49,210,... (A111217号)
1,8,8,36,8,64,8,(120),36,64,8,288,8,64,64,330,... (A111218号)
1,9,9,45,9,81,9,165,(45),81,9,405,9,81,81,495,... (A111219号)
1,10,10,55,10,100,10,220,55,(100),10,550,10,100,... (A111220号)
1,11,11,66,11,121,11,286,66,121,(11),726,11,121,... (A111221号)
1,12,12,78,12,144,12,364,78,144,12,(936),12,144,... (A111306型)
...
其中主对角线构成了这个序列。
a（1）=1到a（5）=5个除数链：
() (1) (1/1) (1/1/1) (1/1/1/1)
(2) (3/1) (2/1/1) (5/1/1/1)
(3/3) (2/2/1) (5/5/1/1)
(2/2/2) (5/5/5/1)
(4/1/1) (5/5/5/5)
(4/2/1)
(4/2/2)
(4/4/1)
(4/4/2)
(4/4/4)
（完）
|
|
|
数学
|
表[Times@@（二项式[#+n-1，n-1]和/@FactorInteger[n][All，2]]），{n，1，50}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年12月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n，m=n）=if（n==1，1，if（m==1,1，sumdiv（n，d，a（d，1）*a（n/d，m-1））}
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A002033号,A007425号,A008480号,A018818号,A062319号,A066959号,A186972号,A327527型,A337105型,A337107型,A343658型。
|
|
|
关键词
|
非n,改变
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
2, 4, 4, 8, 4, 12, 4, 16, 8, 12, 4, 32, 4, 12, 12, 32, 4, 32, 4, 32, 12, 12, 4, 80, 8, 12, 16, 32, 4, 52, 4, 64, 12, 12, 12, 104, 4, 12, 12, 80, 4, 52, 4, 32, 32, 12, 4, 192, 8, 32, 12, 32, 4, 80, 12, 80, 12, 12, 4, 176, 4, 12, 32, 128, 12, 52, 4, 32, 12, 52
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
n=1、2、4、6、8的a（n）链（空链显示为0）：
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2
2/1 4 3 4
2/1 6 8年
4/1 2/1 2/1
4/2 3/1 4/1
4/2/1 6/1 4/2
6/2 8/1
6/3 8/2
6/2/1 8/4
6/3/1 4/2/1
8/2/1
8/4/1
8/4/2
8/4/2/1
|
|
|
数学
|
stableSets[u_，Q_]：=如果[Length[u]==0，{{}}，With[{w=First[u]}，Join[stableSets[DeleteCases[u，w]，Q]，Prepend[#，w]&/@stableSets-[DeleteCases[u、r_/；r==w||Q[r，w]|Q[w，r]]，Q]]]；
表[Length[stableSets[Divisors[n]！（可分割[#1，#2]||可分割[#2，#1]）&]]，{n，10}]
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.026秒内完成
|
