搜索： a174725-编号：a174725
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1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 9, 9, 13, 13, 15, 17, 21, 21, 25, 25, 29, 31, 33, 33, 43, 44, 46, 48, 52, 52, 58, 58, 66, 68, 70, 72, 85, 85, 87, 89, 99, 99, 105, 105, 109, 113, 115, 115, 139, 140, 144, 146, 150, 150, 160, 162, 172, 174, 176, 176, 198, 198, 200, 204, 220, 222
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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通过将Excel中的二阶多项式拟合到77个一阶项，我们得到了0039x^2+08859x-35396，R平方值为09974。
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链接
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A008683号
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| Möbius（或Moebius）函数mu（n）。μ（1）=1；mu（n）=（-1）^k，如果n是k个不同素数的乘积；否则mu（n）=0。 |
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+10
1425
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1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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莫比乌斯反演：f（n）=Sum_{d|n}g（d）对于所有n（n）=Sum_}d|nneneneep mu（d）*f（n/d）对于所有n。
a（n）只依赖于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
“假设您沿最下面一行展开det（B_n）。第一个位置只有一个1，因此答案是（-1）^n乘以det（C_{n-1}），例如，其中C_{n-1}是通过删除第一列和最后一行从B_n获得的（n-1）by（n-1对于1<=m<=n，沿着底行扩展det（A_n），我们看到det（A_n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）+m（n-1）。所以我们有det（B_n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）=det（A_n）-M（n-1）=M（n）-M。“（结束）
【Pickover，p.226】：“数字落入-1邮箱的概率是3/Pi^2，与落入+1邮箱的概率相同”-加里·亚当森2009年8月13日
涉及Möbius变换（a（n）和某些序列h（n）的Dirichlet卷积）的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式推导（n>=1）：
求和mu（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi=A000010号.
gcd（n，k）*lcm（n，k）=n*k的使用提供了进一步的变化。（结束）
与上述总和相对应的乘积公式也适用于序列f（n）>0：Product_{d|n}f（n/d）^mu（d）=Product_{k=1..n}f-理查德·奥尔勒顿2021年11月8日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第24页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第161页，#16。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第262和287页。
Clifford A.Pickover，“数学书，从毕达哥拉斯到57维，数学史上的250个里程碑”，斯特林出版社，2009年，第226页-加里·亚当森2009年8月13日
G.Pólya和G.Szegő，分析卷II中的问题和定理。Springer_Verlag 1976年。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第826页。
G.J.Chaitin，关于黎曼假设的思考arXiv:math/0306042[math.HO]，2003年。
Marc Deléglise和Joël Rivat，计算莫比乌斯函数的和，实验。数学。5:4（1996），第291-295页。
Anders Björner和Richard P.Stanley，组合杂集.
保罗·塔劳，用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，《计算机科学讲义》，2011年，第6916/2011卷，第218-238页。
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公式
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如果n=1，则求和mu（d）=1，否则为0。
Dirichlet生成函数：Sum_{n>=1}mu（n）/n^s=1/zeta（s）。同时求和{n>=1}μ（n）*x^n/（1-x^n）=x。
φ（n）=总和{d|n}μ（d）*n/d。
如果e=1，则与a（p^e）=-1相乘；如果e>1，则为0-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
mu（n）=-Sum{d<n，d|n}mu（d），如果n>1且mu（1）=1-阿洛伊斯·海因茨2008年8月13日
Product_{n>=1}（1-x^n）^（-a（n）/n）=exp（x）（指数函数的乘积形式）-乔格·阿恩特2011年5月13日
a（n）=Sum_{k=1..n，gcd（k，n）=1}exp（2*Pi*i*k/n），单位本原n次根上的和。参见使徒参考，第48页，练习14（b）-沃尔夫迪特·朗，2011年6月13日
当n>=1时，求和{k=1..n}a（k）*floor（n/k）=1-彼得·卢什尼2012年2月10日
G.f.A（x）满足：x^2/A（x”）=Sum_{n>=1}A（x^（2*n）/A（x）^n）-保罗·D·汉纳2016年4月19日
和{n>=1}mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*x^2。例如，见Pólya和Szegő，第11部分，第1章，第71号。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1-x^n）=x+2*（x^2+x^4+x^8+x^16+…）。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*（x^4+x^8+x^16+x^32+…）。
求和{n>=1}|mu（n）|*x^n/（1-x^n）=Sum_{n>=1}（2^w（n））*x^n，其中w（n。
Sum_{n奇数}|mu（n）|*x^n/（1+x^（2*n））=S_1}（2^w_1（n。
Sum_{n奇数}（-1）^（（n-1）/2）*mu（n）*x^n/（1-x^（2*n））=S_3}（2^w_3（n
G.f.A.（x）满足：A（x）=x-和{k>=2}A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月11日
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（k，n）*a（gcd（k，n））=Summ_{d除以n}a（d）*d*phi（n/d）-彼得·巴拉2024年1月16日
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例子
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G.f.=x-x^2-x^3-x^5+x^6-x^7+x^10-x^11-x^13+x^14+x^15+。。。
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MAPLE公司
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（数字理论）：[seq（mobius（n），n=1..100）]；
#请注意，旧版本的Maple将mobius（0）定义为-1。
#这是不明智的！Moebius（0）最好保持未定义状态。
带有（数字理论）：
mu:=proc（n:：posint）选项记住`如果`（n=1，1，
-加法（mu（d），d=除数（n）减去{n}）
结束：
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数学
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阵法[MoebiusMu，100]
（*第二个节目：*）
m=100；A[_]=0；
Do[A[x_]=x-和[A[x^k]，{k，2，m｝]+O[x]^m//正态，{m｝]；
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黄体脂酮素
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（公理）[moebiusMu（n）代表1..100]
（岩浆）[莫比乌斯Mu（n）：n in[1..100]]；
（PARI）a=n->如果（n<1，0，moebius（n））；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1-X）[n]）}；
（PARI）列表（n）=我的（v=向量（n，i，1））；对于素数（p=2，平方（n）），对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1）；对于步骤（i=p^2，n，p^2、v[i]=0））；对于素数（p=平方（n）+1，n，对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1））；v（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月27日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。底漆。分解（factorise）
a008683=亩。瑞士。解压缩。因式分解，其中
mu[]=1；mu（1:es）=-mues；mu（_：es）=0
（鼠尾草）
@缓存函数
定义mu（n）：
如果n<2：返回n
返回和（除数（n）[：-1]中d的mu（d））
打印（[mu（n）代表n in（1..96）]）#彼得·卢什尼2016年12月26日
（Python）
来自sympy import mobius
打印（[范围（1101）中i的mobius（i）]）#印地瑞尼Ghosh2017年3月18日
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交叉参考
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参见。A000010号,A001221号,A008966号,A007423号,A080847号,A002321号（部分金额），A069158号,A055615号,A129360型,A140579号,A140664号,邮编140254,A143104号,A152902号,A206706型,A063524号,A007427号,A007428型,A124010型,A073776号,A074206号,A132971号,A156552号.
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关键字
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核心,签名,容易的,多重,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 8, 1, 3, 3, 8, 1, 8, 1, 8, 3, 3, 1, 20, 2, 3, 4, 8, 1, 13, 1, 16, 3, 3, 3, 26, 1, 3, 3, 20, 1, 13, 1, 8, 8, 3, 1, 48, 2, 8, 3, 8, 1, 20, 3, 20, 3, 3, 1, 44, 1, 3, 8, 32, 3, 13, 1, 8, 3, 13, 1, 76, 1, 3, 8, 8, 3, 13, 1, 48, 8, 3, 1, 44, 3, 3, 3, 20, 1, 44, 3, 8, 3, 3, 3, 112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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a（0）=0，a（1）=1；此后，a（n）是n作为大于1的整数乘积的有序因式分解数。
a（n）是n-1 X n-1矩阵a的永久值，如果j|i+1，则（i，j）项=1，否则=0。这是因为有序因子分解对应于永久中的非零初等乘积。例如，当n=6，3*2->1,3,6[部分积]->6,3,1[反向列表]->（6,3）（3,1）[划分为偏移量为1]->5,3）-大卫·卡伦2005年10月19日
根据谐波理论，这个序列在描述宇宙中所有波结构中的能量量时非常重要雷·汤姆斯（Ray（AT）Tomes.biz），2007年7月22日
可被n个不同素数整除的数似乎具有有序因子分解值，这些值可以在n维求和Pascal三角形中找到。例如，可被两个不同素数整除的数字的有序因式分解值可以在表中找到A059576号. -Mats Granvik公司，2009年9月6日
a（n）是n个DNA片段被探测部分消化问题解的最坏情况数的下限；请参阅下面的Newberg&Naor参考-李·纽伯格2011年8月2日
还有从n到1的严格除数链的数目。例如，n=1、2、4、6、8、12、30的a（n）链为：
1 2/1 4/1 6/1 8/1 12/1 30/1
4/2/1 6/2/1 8/2/1 12/2/1 30/2/1
6/3/1 8/4/1 12/3/1 30/3/1
8/4/2/1 12/4/1 30/5/1
12/6/1 30/6/1
12/4/2/1 30/10/1
12/6/2/1 30/15/1
12/6/3/1 30/6/2/1
30/6/3/1
30/10/2/1
30/10/5/1
30/15/3/1
30/15/5/1
（结束）
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第126页，见#27。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第141页。
Kalmár，Laszlo，A“factorisatio numerorum”problemajarol[匈牙利]，Matemat。菲齐克。拉波克，38（1931），1-15。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第124页。
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链接
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Benny Chor、Paul Lemke和Ziv Mador，关于自然数的有序分解数，离散数学。214（2000），第1-3期，第123-133页。MR1743631（2000米：11093）。
克里斯汀·德弗莱明和尼基塔·辛格，低阶有理单尖平面曲线，arXiv:2311.15922[math.AG]，2023。见第14页。
E.Hille，莫比乌斯反演问题杜克大学数学系。J.，3（1937），549-568。
奥古斯汀·穆纳吉，整数的标记因子分解，INTEGERS:组合数学电子杂志16:1（2009），#R50。
L.A.Newberg和D.Naor，被探测部分消化问题解数的下界《应用数学进展》，14（2），1993，172-183。doi:10.1006/aama.1993.1009。
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公式
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用不同的偏移量：a（n）=所有a（i）的和，因此i除以n和i<n-克拉克·金伯利
a（p^k）=2^（k-1），如果k>0且p是素数。
Dirichlet g.f.：1/（2-zeta（s））.-Herbert S.Wilf，2003年4月29日
如果p、q、r，。。。是不同的素数，那么a（p*q）=3，a（p^2*q）=8，a（p*q*r）=13，a（p ^3*q）=20，等等-弗拉基米尔·舍维列夫，2011年8月3日[由更正查尔斯·格里特豪斯四世，2012年6月2日]
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=[x^n]和{k=1..n-1}a（k）*x^k/（1-x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2017年12月11日
如果p，q是不同的素数，而n，m>0，那么我们有：
a（p^n*q^m）=和{k=0..min（n，m）}2^（n+m-k-1）*二项式（n，k）*二项式（m，k）；
更一般地说：让tau[k]（n）表示n的有序因子分解的数量，作为k项的乘积，也称为第k个皮尔茨函数（见A007425号)，则对于n>1：
a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=1..j}（-1）^（j-k）*二项式（j，k）*τ[k]（n），或
a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=0..j-1}（-1）^k*二项式（j，k）*tau[j-k]（n）。（结束）
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例子
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G.f.=x+x^2+x^3+2*x^4+x^5+3*x^6+x^7+4*x^8+2*x^9+3*x^10+。。。
8的有序因式分解数为4:8=2*4=4*2=2*2。
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MAPLE公司
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a:=数组（1..150）：对于从1到150的k，执行a[k]：=0 od:a[1]：=1：对于从2到150的j，执行从1到j-1的m，如果j mod m=0，则执行a[j]：=a[j]+a[m]fi:od:od:对于从1至150的k执行打印f（`%d，`，a[k]]）od:#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
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数学
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a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=a[n]=a/@Most[Divisors[n]]//总计；a/@范围[20000](*N.J.A.斯隆2016年5月4日，基于A002033号*)
ccc[n_]：=开关[n，0，{}，1，{{1}}，_，联接@@表[Prepend[#，n]&/@ccc[d]，{d，最大[Divisors[n]]}]]；表[长度[ccc[n]]，{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2020年8月25日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a074206 n | n≤1=n
|否则=1+（总和$map（a074206.（div n））$
尾部$a027751_当前n）
（PARI）A=矢量（100）；A[1]=1；对于（n=2，#A，A[n]=1+总和（n，d，A[d]））；A/=2；A[1]=1；concat（0，A）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，my（a=除数（n））；和（k=1，#a-1，a（a[k]））}/*迈克尔·索莫斯2016年12月26日*/
（PARI）A74206=[1]；A074206号（n） ={if（#A74206<n，A74206=concat（A74206，向量（n*3\/2-#A74208）），n&&A74206[n]，返回（A74208[n]））；A74206[n]=sumdiv（n，i，if（i<4，i<n，i<n，A074206号（i） ）}\\使用记忆计算许多值-M.F.哈斯勒2018年10月12日
（PARI）第一个（n）={my（res=向量（n，i，1））；对于（i=2，n，对于（j=2，n\i，res[i*j]+=res[i]）；concat（0，res）}\\大卫·A·科内斯2018年10月13日
（PARI）first（n）={my（res=vector（n，i，1））；for（i=2，n，d=divisors（i）；res[i]+=sum（j=1，#d-1，res[d[j]]））；concat（0，res）}\\比上面的progs要快一些，可以找到n的第一项\\大卫·A·科内斯2018年10月12日
（PARI）a（n）={如果（！n，0，my（sig=factor（n）[，2]，m=vecsum（sig））；和（k=0，m，prod（i=1，#sig，二项式（sig[i]+k-1，k-1））*和（r=k，m，二项式（r，k）*（-1）^（r-k））））}\\安德鲁·霍罗伊德，2020年8月30日
（SageMath）
@缓存函数
定义减去mu（n）：
如果n<2：返回n
返回和（除数（n）[：-1]中d的minus_mu（d））
打印（[minus_mu（n）代表（0..96）中的n）]#彼得·卢什尼2016年12月26日
（Python）
从数学导入prod
从functools导入lru_cache
从辛导入除数、因子、素数
@lru_cache（最大大小=无）
定义A074206号（n） ：返回金额(A074206号（d） 对于除数中的d（prod（prime（i+1）**e表示i，e表示枚举中的e（sorted（factorint（n）.values（），reverse=True）），生成器=True，propert=True#柴华武2022年9月16日
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交叉参考
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参见。A000005号,A025487号,A046523号,A059576号,A122408号,A124010型,A167865号,A174725号,A174726号,A175522号,A181819号,A320390型,A334997飞机,A337105型,A361665飞机.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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最初，此序列与合并A002033号，完美分区的数量。赫伯特·S·威尔夫（Herbert S.Wilf）建议，它需要自己进入。
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 29, 37, 52, 66, 90, 113, 151, 190, 248, 310, 400, 497, 632, 782, 985, 1212, 1512, 1851, 2291, 2793, 3431, 4163, 5084, 6142, 7456, 8972, 10836, 12989, 15613, 18646, 22316, 26561, 31659, 37556, 44601, 52743, 62416, 73593, 86809, 102064, 120025, 140736
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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n中最大部分为奇数的分区数。
n+1的分区数为偶数个部分，最少为1。例如：a（5）=4，因为我们有[5,1]、[3,1,1]、[2,1,1]和[1,1,1,1]。
还有n+1的分区数，这样最大的部分是偶数并且只出现一次。示例：a（5）=4，因为我们有[6]、[4，2]、[4，1，1]和[2，1，1，1]-Emeric Deutsch公司2006年4月5日
也是n的分区数，使得奇数部分的数量和偶数部分的数目具有相反的奇偶性。例如：a（8）=10是这些分区的计数：8611、521、431、422、41111、332、32111、2221111、2111111-克拉克·金伯利，2014年2月1日，2021年1月6日更正
在Chaves 2011中，见第38页方程式（3.20）-迈克尔·索莫斯2014年12月28日
假设c（0）=1，c（1），c（2）。。。是不确定的，即d（0）=1，以及d（n）=-c（n）-c（n-1）*d（1）-…-c（0）*d（n-1）。当d（n）在c（1），c（2），..中展开为多项式时，。。，c（n），术语的形式为H*c（i_1）*c（i_2）**c（i_k）。设P（n）=[c（i_1），c（i_2），…，c。也就是说，d（n）有A027193号（n） 负系数，A027187号（n） 正系数，以及A000041号条款。d（n）中的最大系数（绝对值）为A102462号（n） ●●●●-克拉克·金伯利2016年12月15日
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第39页，例7。
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链接
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公式
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G.f.：-总和（k>=1，（-x）^（k^2））/乘积（k>=1，1-x^k）-乔格·阿恩特2014年2月2日
G.f.：总和（k>=1，x^（k*（2*k-1））/乘积（j=1..2*k，1-x^j））-迈克尔·索莫斯2014年12月28日
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例子
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G.f.=x+x^2+2*x^3+2*x^4+4*x^5+5*x^6+8*x^7+10*x^8+16*x^9+20*x^10+。。。
a（1）=1到a（8）=10划分成奇数个部分如下。这些分区的Heinz数由下式给出A026424号.
（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
(111) (211) (221) (222) (322) (332)
(311) (321) (331) (422)
(11111) (411) (421) (431)
（21111）（511）（521）
(22111) (611)
(31111) (22211)
(1111111) (32111)
(41111)
(2111111)
a（1）=1到a（8）=10分区的最大部分是奇数，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A244991号.
(1) (11) (3) (31) (5) (33) (7) (53)
(111) (1111) (32) (51) (52) (71)
(311) (321) (322) (332)
(11111) (3111) (331) (521)
(111111) (511) (3221)
(3211) (3311)
(31111) (5111)
(1111111) (32111)
(311111)
(11111111)
（结束）
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MAPLE公司
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g： =总和（x^（2*k）/乘积（1-x^j，j=1..2*k-1），k=1..40）：gser：=级数（g，x=0，50）：seq（系数（gser，x，n），n=1.45）#Emeric Deutsch公司2006年4月5日
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数学
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nn=40；系数列表[级数[和[x^（2j+1）乘积[1/（1-x^i），{i，1，2j+1}]，{j，0，nn}]，}x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2012年12月1日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，长度@选择[Integer Partitions[n]，OddQ[Length@#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月28日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，长度@选择[Integer Partitions[n]，OddQ[First@#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月28日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，长度@选择[Integer Partitions[n+1]，#[[-1]]==1&&EvenQ[Length@#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月28日*）
a[n]：=如果[n<1，长度@选择[IntegerPartitions[n+1]，EvenQ[First@#]&&（Length[#]<2||#[1]]！=#[2]]）&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n<1，0，polcoeff（sum（k=1，n，if（k+2，x^k/prod（j=1，k，1-x^j，1+x*O（x^（n-k）））），n）}/*迈克尔·索莫斯2012年7月24日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；concat（[0]，Vec（（1/eta（q）-eta（q）/eta（q^2））/2）\\乔格·阿恩特2014年3月23日
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交叉参考
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其他奇数长度的情况：
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 3, 3, 6, 7, 12, 14, 22, 27, 40, 49, 69, 86, 118, 146, 195, 242, 317, 392, 505, 623, 793, 973, 1224, 1498, 1867, 2274, 2811, 3411, 4186, 5059, 6168, 7427, 9005, 10801, 13026, 15572, 18692, 22267, 26613, 31602, 37619, 44533, 52815, 62338, 73680, 86716, 102162, 119918
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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对于n>0，也是n的最大部分为偶数的分区数。[编辑：古斯·怀斯曼2021年1月5日]
将n+1划分为奇数个部分的分区数，最少为1。
此外，n的分区数，使得偶数部分的数量与奇数部分的数目具有相同的奇偶性；请参阅上的注释A027193号. -克拉克·金伯利，2014年2月1日，2021年1月6日更正
假设c（0）=1，c（1），c（2）。。。是不确定的，即d（0）=1，以及d（n）=-c（n）-c（n-1）*d（1）-…-c（0）*d（n-1）。当d（n）在c（1），c（2），..中展开为多项式时，。。，c（n），术语的形式为H*c（i_1）*c（i_2）**c（i_k）。设P（n）=[c（i_1），c（i_2），…，c。也就是说，d（n）有A027193号（n） 负系数，A027187号（n） 正系数，以及A000041号条款。d（n）中的最大系数（绝对值）为A102462号（n） ●●●●-克拉克·金伯利2016年12月15日
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；见第8页，（7.323）和第39页，例7。
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链接
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乔治·安德鲁斯、大卫·纽曼、，整数分区中的最小感叹号，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.2.3条。
罗兰·巴赫和皮埃尔·德拉哈普，一些无限生成群的共轭增长级数，《国际数学研究通告》，2016年，第1-53页。（hal-01285685v2）
新泽西州罚款，问题4314阿默尔。数学。月刊，1950年第57卷，421-423。
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公式
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a（n）=p（n）-p（n-1）+p（n-4）-p。。。其中p（n）是n的无限制分区数，A000041号.[罚款]-大卫·卡伦2004年3月14日
通用公式：A（q）=和{n>=0}A（n）q^n=1+q^2+q^3+3q^4+3q^5+6q^6+。。。
=Sum_{n>=0}q^（2n）/（q；q）_{2n}
=（（产品{k>=1}1/（1-q^k）+（产品{k>=1}1/（1+q^k））/2。
同样，设B（q）=Sum_{n>=0}A027193号（n） q^n=q+q^2+2q^3+2q^4+4q^5+5q^6+。。。
则B（q）=和{n>=0}q^（2n+1）/（q；q）{2n+1}=（（乘积{k>=1}1/（1-q^k）-（乘积_{k>=1}1/。
此外，我们还具有涉及2 X 2矩阵的以下恒等式：
产品{k>=1}[1/（1-q^2k）q^k/（1-q ^2k/q^k[（1-q*2k）1/（1-q|2k）]
=[A（q）B（q）/B（q）A（q]。（结束）
（1+phi（-q））/（2*f（-q，））的展开式，其中phi（）、f（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2006年8月19日
通用公式：（和{k>=0}（-1）^k*x^（k^2））/（乘积{k>0}，（1-x^k））-迈克尔·索莫斯2006年8月19日
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例子
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G.f.=1+x^2+x^3+3*x^4+3*x^5+6*x^6+7*x^7+12*x^8+14*x^9+22*x^10+。。。
a（2）=1到a（8）=12分区成偶数个部分如下。这些分区的Heinz数由下式给出A028260型.
(11) (21) (22) (32) (33) (43) (44)
(31) (41) (42) (52) (53)
(1111) (2111) (51) (61) (62)
(2211) (2221) (71)
(3111) (3211) (2222)
（111111）（4111）（3221）
(211111) (3311)
(4211)
(5111)
（221111）
(311111)
(11111111)
a（2）=1到a（8）=12个分区，其最大部分是偶数，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A244990型.
(2) (21) (4) (41) (6) (43) (8)
（22）（221）（42）（61）（44）
(211) (2111) (222) (421) (62)
(411) (2221) (422)
(2211) (4111) (431)
(21111) (22111) (611)
(211111) (2222)
(4211)
(22211)
(41111)
(221111)
(2111111)
（结束）
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数学
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f[n_]：=长度[Select[Integer Partitions[n]，IntegerQ[First[#]/2]&]]；表[f[n]，{n，1，30}](*克拉克·金伯利2012年3月13日*）
a[n_]：=级数系数[（1+椭圆Theta[4，0，x]）/（2QPochhammer[x]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，长度@选择[Integer Partitions[n]，EvenQ[Length@#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（总和（k=0，平方（n），（-x）^k^2，a）/eta（x+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月19日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；Vec（（1/eta（q）+eta（q）/eta（q^2））/2）\\乔格·阿恩特2014年3月23日
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交叉参考
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其他偶数长度的情况：
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非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,8
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链接
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公式
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例子
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n=24，48，60，72，96，120的a（n）因式分解：
24 48 60 72 96 120
2*2*6 2*3*8 2*5*6 2*4*9 2*6*8 3*5*8
2*3*4 2*4*6 3*4*5 2*6*6 3*4*8 4*5*6
3*4*4 2*2*15 3*3*8 4*4*6 2*2*30
2*2*12 2*3*10 3*4*6 2*2*24 2*3*20
2*2*2*2*3 2*2*18 2*3*16 2*4*15
2*3*12 2*4*12 2*5*12
2*2*2*3*3 2*2*2*2*6 2*6*10
2*2*2*3*4 3*4*10
2*2*2*3*5
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MAPLE公司
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g： =proc（n，k，t）选项记忆`如果`（n>k，0，t）+
`如果`（i素数（n），0，加（`如果`（d>k，0，g（n/d，d，1-t）），
d=数值[除数]（n）减去{1，n}））
结束：
a： =n->`如果`（n<2，0，g（n$2，1））：
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数学
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facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表[Length[Select[facs[n]，奇数Q@长度[#]&]]，{n，100}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 4, 1, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 3, 1, 1, 1, 5, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 0, 2, 2, 1, 0, 6, 1, 2, 1, 2, 0, 4, 1, 4, 1, 1, 0, 6, 0, 1, 2, 6, 1, 3, 0, 2, 1, 3, 0, 8, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 0, 6, 3, 1, 0, 6, 1, 1, 1, 4, 0, 6, 1, 2, 1, 1, 1, 10, 0, 2, 2, 5, 0, 3, 0, 4, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,12个
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链接
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公式
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例子
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n=12，16，24，36，48，72，96，120的a（n）因式分解：
2*6 2*8 3*8 4*9 6*8 8*9 2*48 2*60
3*4 4*4 4*6 6*6 2*24 2*36 3*32 3*40
2*2*2*2 2*12 2*18 3*16 3*24 4*24 4*30
2*2*2*3 3*12 4*12 4*18 6*16 5*24
2*2*3*3 2*2*2*6 6*12 8*12 6*20
2*2*3*4 2*2*2*9 2*2*3*8 8*15
2*2*3*6 2*2*4*6 10*12
2*3*3*4 2*3*4*4 2*2*5*6
2*2*2*12 2*3*4*5
2*2*2*2*2*3 2*2*2*15
2*2*3*10
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MAPLE公司
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g： =proc（n，k，t）选项记忆`如果`（n>k，0，t）+
`如果`（i素数（n），0，加（`如果`（d>k，0，g（n/d，d，1-t）），
d=数值[除数]（n）减去{1，n}））
结束：
a： =n->`如果`（n=1,1，g（n$2,0））：
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数学
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facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表[Length[Select[facs[n]，EvenQ@长度[#]&]]，{n，100}]
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 19, 23, 27, 32, 38, 45, 52, 61, 71, 83, 96, 111, 128, 148, 170, 195, 224, 256, 292, 334, 380, 432, 491, 556, 630, 713, 805, 908, 1024, 1152, 1295, 1455, 1632, 1829, 2049, 2291, 2560, 2859, 3189, 3554, 3959, 4404
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第18页条目9推论（2）。
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链接
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公式
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通用公式：A（q）=和{n>=0}A（n）q^n=1+q^3+q^4+2q^5+2q^6+3q^7+…=和{n>=0}q^（n（2n+1））/（q；q）{2n}[高斯珀2005年6月25日]
同样，设B（q）=Sum_{n>=0}A067659号（n） q^n=q+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+。。。则B（q）=和{n>=0}q^（（n+1）（2n+1））/（q；q）{2n+1}。
此外，我们还具有涉及2 X 2矩阵的以下恒等式：
产品{k>=1}[1，q^k；q^k，1]=[A（q），B（q）；B（q[高斯珀2005年6月25日]
（1+phi（-x））/（2*chi（-x））的x次幂展开式，其中phi（）、chi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月14日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（8*3^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月24日
通用公式：A（x）=（1/2）*（（产品{n>=0}1+x^n）+。
A（x）^2-B（x）*2=A（x^2）-B（x^ 2）=Product_{n>=1}1-x^（2*n）=Z}中的和{n（-1）^n*x^。
A（x）/（A（x）+B（x））=和{n>=0}（-1）^n*x^n^2=（1+theta_3（-x））/2。
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例子
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G.f.=1+x ^3+x ^4+2*x ^5+2*x^6+3*x ^7+3*x^8+4*x ^9+5*x ^10+。。。
a（3）=1到a（14）=11分区（a-D=10..13）：
21 31 32 42 43 53 54 64 65 75 76 86
41 51 52 62 63 73 74 84 85 95
61 71 72 82 83 93 94 A4
81 91 92 A2 A3 B3
4321 A1 B1 B2 C2
5321 5421 C1 D1号
6321 5431 5432
6421 6431
7321 6521
7421
8321
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，t）选项记忆`如果`（n>i*（i+1）/2，0，
`如果`（n=0，t，加上（b（n-i*j，i-1，abs（t-j）），j=0..分钟（n/i，1）））
结束：
a： =n->b（n$2,1）：
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数学
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b[n_，i_，t_]：=b[n，i，t]=如果[n>i*（i+1）/2，0，如果[n==0，t，和[b[n-i*j，i-1，Abs[t-j]]，{j，0，Min[n/i，1]}]]；a[n]：=b[n，n，1]；表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司，2015年1月16日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[-x，x]+QPochharmer[x]）/2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&EvenQ[Length[#]]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼，2021年1月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）/eta（x+a）+eta（x+a））/2，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；S=1+2*平方（N）；
gf=总和（n=0，S，（n%2==0）*q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1，n，1-q^k））；
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交叉参考
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其他偶数长度的情况：
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关键字
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 7, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 18, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 20, 2, 4, 1, 4, 1, 6, 1, 6, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 4, 26, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 35, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 1, 20, 7, 1, 1, 8, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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n的有序因式分解是一个积为n的正整数序列。
我们将序列（y_1，…，y_k）的交替积定义为product_iy_i^（（-1）^（i-1））。
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链接
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公式
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例子
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n=4，8，12，16，24，32，36的有序因式分解：
4 8 12 16 24 32 36
2*2 4*2 6*2 4*4 12*2 8*4 6*6
2*2*2 2*2*3 8*2 2*2*6 16*2 12*3
3*2*2 2*2*4 3*2*4 2*2*8 18*2
2*4*2 4*2*3 2*4*4 2*2*9
4*2*2 6*2*2 4*2*4 2*3*6
2*2*2*2 4*4*2 2*6*3
8*2*2 3*2*6
2*2*4*2 3*3*4
4*2*2*2 3*6*2
2*2*2*2*2*2 4*3*3
6*2*3
6*3*2
9*2*2
2*2*3*3
2*3*3*2
3*2*2*3
3*3*2*2
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数学
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facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
altprod[q_]：=乘积[q[[i]]^（-1）^（i-1），{i，长度[q]}]；
表[Length[Select[Join@@Permutations/@facs[n]，IntegerQ[altprod[#]]&]]，{n，100}]
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交叉参考
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参见。A025047号,A038548号,A138364号,A347440型,A347441型,A347453型,A347454型,A347456飞机,A347458型,A347459型,A347464飞机,A347705型,A347708型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 2, 4, 1, 7, 1, 8, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 10, 1, 7, 1, 4, 4, 1, 1, 24, 1, 4, 1, 4, 1, 10, 1, 10, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 4, 16, 1, 7, 1, 4, 1, 7, 1, 38, 1, 1, 4, 4, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,8
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评论
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还有n到奇数个因子的有序因子分解的数量>1。无序案例是A339890型例如，n=8、12、24、30、32、36的a（n）因子分解为：
(8) (12) (24) (30) (32) (36)
（2*2*2）（2*2*3）（2*2*6）（2*3*5）（2*2*8）（2*2*9）
(2*3*2) (2*3*4) (2*5*3) (2*4*4) (2*3*6)
(3*2*2) (2*4*3) (3*2*5) (2*8*2) (2*6*3)
(2*6*2) (3*5*2) (4*2*4) (2*9*2)
(3*2*4) (5*2*3) (4*4*2) (3*2*6)
(3*4*2) (5*3*2) (8*2*2) (3*3*4)
(4*2*3) (2*2*2*2*2) (3*4*3)
(4*3*2) (3*6*2)
(6*2*2) (4*3*3)
(6*2*3)
(6*3*2)
(9*2*2)
（结束）
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链接
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公式
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数学
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ordfacs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[（前缀[#1，d]&）/@ordfacs[n/d]，{d，剩余[Divisors[n]]}]]；
表[Length[Select[ordfacs[n]，OddQ@*Length]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼2021年1月4日*）
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交叉参考
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其他奇数长度的情况：
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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