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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000312型 a(n)=n^n;从n个点到它们自身的标记映射的数目(内函数)。
(原M3619 N1469)
474
1、1、4、27、256、3125、46656、823543、16777216、38720489、1000000000、285311670611、8916100448256、302875106592253、11112006825558016、437893890380859375、18446744073709551616、827240261886336764177 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

还有n个节点上有标记的尖根树(或脊椎动物)的数量。

对于n>=1,a(n)也是nxn(0,1)矩阵的个数,其中每行正好包含一个等于1的项。-Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年4月21日

还有(n+1)节点上标记的根树的数目,使得根比它的子节点少。(n+1)节点上交替标记的根有序树的数目,使得根比它的子节点少。-Cedric Chauve(Chauve(AT)lacim.uqam.ca),2002年3月27日

当p(n)=n的整数分区的个数,p(i)=n的第i个分区的个数,d(i)=n的第i个分区的不同部分的个数,p(j,i)=n的第i个分区的j个部分的重数,其中有:a(n)=和{i=1..p(n)}(n!/(产品{j=1..p(i)}p(i,j)!)*(n!/(n-p(i))!/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!))。-托马斯·威德2005年5月18日

方程x^y=y^x,x<y的所有有理解都由x给出=A000169号(n+1)/A000312型(n) ,y=A000312型(n+1)/A007778号(n) ,其中n=1,2,3。-尼克·霍布森,2006年11月30日

a(n)=根为0的{0,1,2,…,n}上所有(n+1)^(n-1)树的叶子总数。例如,当边远离根时,{0,1,2}上的树是{0->1,0->2},{0->1->2},{0->2->1},总共包含a(2)=4片叶子。-大卫·凯伦2007年2月1日

Lim{n->infinity}A000169号(n+1)/a(n)=实验(1)。收敛速度很慢,例如,n>74才能得到一个小数点,n>163才能得到两个小数点。-阿隆索·德尔阿尔特2011年6月20日

分母为(1+1/n)^n,n>0。-让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年1月14日

a(n)=A089072号(n,n)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

也是最小的k,使得二项式(k,n)可被n^(n-1)整除,n>0。-米歇尔·拉格诺2013年7月29日

以“n”为基数的“n”表示n。-R、 J.卡诺2014年8月22日

n个字母表上长度为n的单词的个数。-乔尔阿恩特2015年5月15日

长度为n+1的主要停车功能的数量。-鲁伊·杜阿尔特2015年7月27日

概率密度函数p(x,m=q,n=q,mu=1)=A000312型(q) *E(x,q,q)和p(x,m=q,n=1,mu=q)=(A000312型(问)/A000142号(q-1))*x^(q-1)*E(x,q,1),当q>=1时,导至该序列,参见邮编:A163931,A274181A008276号. -约翰内斯W.梅杰2016年6月17日

满足本福德定律[Miller,2015]-N、 斯隆2017年2月12日

除了第一项(1,-4,-27,256,3125,-46656,…)外,这个序列的有符号版本具有以下属性:对于每个素数p==1(mod 2n),(-1)^(n(n-1)/2)*n^n=A057077号(n) *a(n)总是模p的2n次幂残数-宋佳宁2018年9月5日

朱哈尼·海诺2019年5月7日(开始)

n^n是和{i=0..n}二项式(n,i)*(n-1)^(n-i)

和{i=0..n}二项式(n,i)*(n-1)^(n-i)*i。

前者是常见的n边骰子的二项式分布,根据所需边出现的次数,从0到n。后者相同,但每个项都乘以其数量。这意味着,如果银行为每个拥有选择方的骰子支付1个代币,那么如果玩家支付1个代币进入,那么这总是一个公平的游戏-银行和玩家都不会平均获胜。

示例:

双面骰子(2枚硬币):4=1+2+1=1*0+2*1+1*2(0从今往后省略);

三边骰子(3个长三角棱镜):27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3;

四面骰子(4个长方棱柱或4个四面体):256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4;

五边形骰子(5个五边形长棱镜):3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5;

六边骰子(6个方块):46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。

(结束)

对于每个n>=1,在(n)个顶点上都有一个图,其最大独立集的大小为n,且其独立集序列为常数(特别是,对于每个k=1,2,…,n,该图有n^n个大小为k的独立集)。没有具有这种性质的小阶图(Ball等人。2019年)。-大卫加尔文2019年6月13日

a(n-1)=abs(p_n(2-n)),对于n>2,第n行多项式的单个局部极值A055137号用巴古拉的符号惯例。-汤姆·科普兰2019年11月15日

参考文献

F、 伯格伦,G.拉贝尔和P.勒鲁,《组合物种和类树结构》,剑桥,1998年,第62、63、87页。

五十、 康泰特,《高级组合学》,里德尔出版社,1974年,第173页,第39页。

A、 P.Prudnikov,余。A、 Brychkov和O.I.Marichev,“积分和级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,戈登和Breach科学出版社,1986-1992,公式(4.2.2.37)

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

刘德华,n=0..385的n,a(n)表[前100项由T.D.Noe计算]

泰勒·鲍尔,大卫·加尔文,凯蒂·海瑞,凯尔·温加特纳,独立集与匹配置换,arXiv:1901.06579[math.CO],2019年。

A、 本杰明和朱恩克,另一种计算n^n的方法,SIAM J.离散数学,5(1992年)。377-379。-N、 斯隆2011年6月9日

H、 巴特利,初始术语说明

C、 Chauve,S.Dulucq和O.Guibert,一些标记树的计数,FPSAC/SFCA 2000年会议记录(莫斯科),斯普林格,第146-157页。

F、 埃勒曼,二项式变换图解

何塞·马丽亚·格雷乌和安东尼奥·奥勒·马克恩,以b为底的n^n的最后一位和最后一位非零位《韩国数学学会公报》,第51卷,第5期(2014年),1325-1337,arXiv:1203.4066[math.NT],2012年。

N、 霍布森,解谜48:指数方程

INRIA算法项目,组合结构百科全书36

S、 J.Miller,SJ(编辑),“本福德定律的理论与应用”练习题,2015年。

Mustafa Obaid等人。,Dynkin代数的完全例外序列数,arXiv预印本arXiv:1307.7573[math.RT],2013年。

弗朗克·拉马哈罗,椒盐卷饼结的生成多项式,arXiv:1805.10680[math.CO],2018年。

埃里克·韦斯坦的数学世界,Hadamard最大行列式问题

埃里克·韦斯坦的数学世界,汉克尔矩阵

D、 兹沃金,幂级数代数。。。,arXiv:math/0403092[math.AG],2004年。

“核心”序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

a(n-1)=-和{i=1..n}(-1)^i*i*n^(n-1-i)*二项式(n,i)。-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月28日

E、 g.f.:1/(1+W(-x)),W(x)=兰伯特函数的主分支。

a(n)=和{k>=0}二项式(n,k)*Stirling2(n,k)*k!=和{k>=0}A008279号(n,k)*A048993号(n,k)=和{k>=0}A019538年(n,k)*A007318型(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2003年12月14日

E、 g.f.:1/(1-T),其中T=T(x)是欧拉树函数(参见A000169号).

a(n)=A000169号(n+1)*邮编:A128433(n+1,1)/邮编:A128434(n+1,1)。-莱因哈德·祖姆凯勒2007年3月3日

关于分母为a(n)的幂级数的注记:设f(x)=1+和{n>=1}x^n/n^n,则取x->无穷大,f(x)~exp(x/e)*sqrt(2*Pi*x/e)。-菲利普·弗莱约特2008年9月11日

E、 g.f.:1-exp(W(-x)),偏移量为1,其中W(x)=兰伯特函数的主分支。-弗拉基米尔·克鲁基宁2010年9月15日

a(n)=(n-1)*a(n-1)+和{i=1..n}二项式(n,i)*a(i-1)*a(n-i)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年9月30日]

x的倒数(^1.x,x+1.x的倒数)!+4*x^3/3!+27*x^4/4!+ .... -彼得·巴拉2011年12月9日

a(n)=(n-1)^(n-1)*(2*n)+和{i=1..n-2}二项式(n,i)*(i^i*(n-i-1)^(n-i-1)),n>1,a(0)=1,a(1)=1。-弗拉基米尔·克鲁基宁2014年11月28日

log(a(n))=lim{k->inf}k*(n^(1+1/k)-n)。-理查德·R·福伯格2015年2月4日

伊利亚·古特科夫斯基2016年6月18日:(开始)

和{n>=1}1/a(n)=1.291285997。。。=A073009年.

和{n>=1}1/a(n)^2=1.063887103。。。=A086648号.

和{n>=1}n!/a(n)=1.879853862。。。=A094082号. (结束)

A000169号(n+1)/a(n)->e,表示为n->oo。-丹尼尔·苏托2016年7月23日

a(n)=n!*积{k=1..n}二项式(n,k)/积{k=1..n-1}二项式(n-1,k)=n!*A001142(n)/A001142(n-1)。-托尼·福斯特三世2018年9月5日

例子

G、 f.=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。

枫木

A000312型:=n->n^n:顺序(A000312型(n) ,n=0..17);

数学

数组[#^#&,16](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基,2008年5月1日*)

表[Sum[StirlingS2[n,i]i!二项式[n,i],{i,0,n}],{n,0,20}](*杰弗里·克里特2009年3月17日*)

a[n_u]:=如果[n<1,Boole[n==0],n^n](*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)

a[n_x]:=如果[n<0,0,n!系列系数[1/(1+LambertW[-x]),{x,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)

a[n_x]:=如果[n<0,0,n!SeriesCoefficient[Nest[1/(1-x/(1-Integrate[#,x]))&,1+O[x],n],{x,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)

a[n\u]:=如果[n<0,0,且[{m=n+1},m!SeriesCoefficient[InverseSeries[Series[(x-1)Log[1-x],{x,0,m}]],m]]](*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=n^n};

如果(k=1),则返回值=\\查尔斯R格雷特豪斯四世2013年1月14日

(PARI){a(n)=my(a=1+O(x));如果(n<0,0,对于(k=1,n,a=1/(1-x/(1-intformal(a)));n!*波尔科夫(A,n))}/*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*/

(哈斯克尔)

a000312 n=n^n

a000312_list=zipWith(^)[0..][0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月7日

(马克西玛)A000312型[n] :=如果n=0,则为1,否则为n^n$

名单(A000312型[n] ,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年10月29日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A000107号,A000169号,A000272号,A001372号,A007778号,A007830,A008785号-A008791号,A019538年,A048993号,A008279号,A085741号,A062206型,A212333号.

三角形第一列A055858号. 行和A066324号.

囊性纤维变性。A002109号(部分产品)。

囊性纤维变性。A001923号(部分金额)。

囊性纤维变性。A056665号,A081721号,邮编:A130293,邮编:A168658,A275549号-A275558号(各种内函数)。

囊性纤维变性。邮编:A174824,A204688号.

囊性纤维变性。A055137号.

上下文顺序:A070271号 A324809型 甲245414*邮编:A177885 A086783号 A301742型

相邻序列:A000309号 A000310号 A000311号文件*A000313号 A000314号文件 A000315型

关键字

,容易的,核心,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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