搜索： a070824-编号：a070823
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A307118型
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| a（1）=0；对于n>1，a（n）=dr（n-1）+dr（n）+dr（n+1），其中dr（n）是n的非平凡除数(A070824号). |
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+20
2
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0, 0, 1, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 3, 6, 4, 6, 4, 7, 5, 7, 4, 8, 6, 8, 4, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 10, 6, 10, 6, 8, 6, 11, 9, 9, 4, 10, 8, 12, 6, 10, 8, 10, 6, 10, 9, 13, 7, 10, 6, 10, 8, 14, 10, 10, 4, 12, 10, 12, 6, 11, 11, 13, 8, 10, 6, 12, 8, 16, 10, 12, 6, 10, 10, 12, 8, 14, 11, 13, 5, 12, 12, 14, 6, 10, 8, 16, 12, 16
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,5
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评论
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n的一个区域（或1-区域）的实际可除性。这是检验n的k区域的可分性的第一步。n的k面积是m的集合，其中n-m小于或等于k（其中n，k，m是自然数）。1的1-面积是{1,2}，5的1-面积{4,5,6}，3的2-面积{1,2,3,4,5}。我们可以称之为自然区域，但仍会讨论非负或整数区域等。
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链接
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数学
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{0}~联接~MapAt[#+1&，总计/@Partition[DivisorSigma[0，Range@82]-2，3，1]，1](*迈克尔·德弗利格2019年6月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）dr（n）=如果（n<2，0，numdiv（n）-2）；
a（n）=如果（n==1，0，dr（n-1）+dr（n）+dr（n+1））\\米歇尔·马库斯2019年4月11日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A354697型
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| a（n）是可以用两种或多种方式写入的最小整数，作为其两个子集中整数的乘积A070824号（a（n））非平凡除数，每个除数的大小为n，且具有空交集。 |
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+20
1
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12, 120, 720, 10080, 110880, 1814400, 26611200, 518918400, 10378368000, 261534873600, 5928123801600, 168951528345600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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2,1
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评论
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a（6）<=110880=2*3*6*10*14*22=4*5*7*8*9*11。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（2）=12=2*6=3*4，
a（3）=120=2*3*20=4*5*6，
a（4）=720=2*4*9*10=3*5*6*8，
a（5）=10080=2*3*6*10*28=4*5*7*8*9。
a（6）=110880=2*3*6*10*14*22=4*5*7*8*9*11。
a（7）=1814400=2*3*4*14*15*18*20=5*6*7*8*9*10*12。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 2, 2, 0, 6, 1, 2, 2, 4, 0, 6
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,6
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链接
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关键词
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死去的
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状态
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经核准的
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A010051型
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| 素数的特征函数：如果n是素数，则为1，否则为0。 |
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1154
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0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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哈代和赖特证明实数0.011010100010……是无理的。请参阅Nasehpour链接-米歇尔·马库斯，2018年6月21日
j=1..n和n为偶数的部分序列{a（j）}的傅里叶变换的谱分量（不包括零频率）相对于位置1+n/4处的中心频率分量具有显著的对称性。参见链接中前2^20项的傅里叶谱，评论A289777号和中的猜想A001223号2019年9月1日。似乎对称性随着n而增长-安德烈斯·西卡廷2020年8月23日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第3页。
V.Brun，《哥德巴契·格塞茨和安扎尔·德·Primzahlpaare》，Arch。Mat.Natur公司。B、 1915年第8期第34页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，牛津大学出版社，伦敦，1975年。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第65页。
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链接
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Y.Motohashi，筛分法及其历史概述，arXiv:math/0505521[math.NT]，2005-2006。
Peyman Nasehpour，一些实数无理性的一个简单判据《算法与计算杂志》，第52卷，第1期（2020年），第97-104页，预印本，arXiv:1806.07560[math.AC]，2018年。
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配方奶粉
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a（n）=楼层（cos（Pi*（（n-1）！+1） /n）^2）对于n>=2.-Antonio G.Astudillo（afg_Astudillo（AT）hotmail.com），2002年11月7日
设M（n）为n X n矩阵M（i，j）=0，如果n除以ij+1，M（i、j）=1；否则；则对于n>0 a（n）=-det（M（n））-Benoit Cloitre公司2003年1月17日
a（m*n）=a（m）*0^（n-1）+a（n）*0qu（m-1）-莱因哈德·祖姆凯勒2004年11月25日
如果n没有除1和n以外的除数，则a（n）=1，否则为0-乔恩·佩里，2005年7月2日
Dirichlet生成函数：Sum_{n>=1}a（n）/n^s=primezeta（s），其中primezeda是prime zeta函数-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日
a（n）=A051731号（（n+1）！+1，n）从威尔逊定理：n是素数当且仅当（n+1）！与-1模n一致-N-E.法西，2009年1月20日，2009年01月29日
似乎a（n）=（H（n）*H（n+1））mod n，其中H（n*和{k=1..n}1/k=A000254（n） -加里·德特利夫斯2010年9月12日
（n-1）*a（n）=（2*n+1）！！*求和{k=1..n}（1/（2*k+1））modn，n>2-加里·德特利夫斯2011年10月7日
a（n）=（abs（n-2））！模块n）模块2-蒂莫西·霍珀2015年5月25日
a（n）=abs（F（n））-abs（F（n）-1/2）-abs。如果n是素数，则F（n）=1，否则>1，但F（1）=0除外。如果F（n）=1，则a（n）=1，否则为0-蒂莫西·霍珀2015年6月16日
Sum_{k>=1}（1/10）^素数（k）=9*Sum_{k>=1}pi（k）/10^（k+1）的十进制展开式展开中=A000720号（k） -阿米拉姆·埃尔达尔，2020年8月11日
a（n）=1-天花板（（2/n）*Sum_{k=2.地板（sqrt（n）}地板（n/k）-地板（（n-1）/k）），n>1-加里·德特利夫斯2023年9月8日
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MAPLE公司
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数学
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表[If[PrimeQ[n]，1，0]，{n，105}](*罗伯特·威尔逊v2005年1月15日*）
表[Boole[PrimeQ[n]]，{n，105}](*阿隆索·德尔·阿特2011年8月9日*）
表[PrimePi[n]-PrimePi[n-1]，{n，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年1月5日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）s：=[]；对于[1..100]中的n，如果IsPrime（n），则s：=附加（s，1）；else s：=附加（s，0）；结束条件：；结束；s；
（Magma）[IsPrime（n）select 1 else 0:n in[1..100]]//布鲁诺·贝塞利2011年3月2日
（PARI）{对于（n=120000，if（isprime（n），a=1，a=0）；写入（“b010051.txt”，n，“”，a）；）}\\哈里·史密斯2009年6月15日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（展开器）
a010051:：整数->整数
a010051 n=a010051_list！！（来自整数n-1）
a010051_list=展开器ch（1，a000040_list），其中
ch（i，ps'@（p:ps））=仅（从枚举（i==p），
（i+1，如果i==p，则ps其他ps'）
（Python）
从sympy导入isprime
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A032741号
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| a（0）=0；对于n>0，a（n）=n的真除数（n的小于n的除数）。 |
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+10
202
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0, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 1, 5, 3, 3, 1, 7, 2, 3, 3, 5, 1, 7, 1, 5, 3, 3, 3, 8, 1, 3, 3, 7, 1, 7, 1, 5, 5, 3, 1, 9, 2, 5, 3, 5, 1, 7, 3, 7, 3, 3, 1, 11, 1, 3, 5, 6, 3, 7, 1, 5, 3, 7, 1, 11, 1, 3, 5, 5, 3, 7, 1, 9, 4, 3, 1, 11, 3, 3, 3, 7, 1, 11, 3, 5, 3, 3, 3, 11, 1, 5, 5
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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除以n的d<n数。
如果n除以k时留下1的余数，即n==1（mod k），则将1和n之间的整数k称为n的“半除数”。a（n）给出n+1的半除数-约瑟夫·L·佩2002年9月11日
a（n+1）也是n次多项式x^n+x^（n-1）+x^（n-2）+…+的因子数x^2+x+1。例如：1+x+x^2+x^3=（1+x）（1+x^2）表示a（4）=2。
a（n）也是第n个斐波那契多项式的因子数-T.D.诺伊2006年3月9日
n+1精确到一个q和至少一个q+1的分区数。示例：a（12）=5；实际上，我们有13=7+6=5+4+4=4+3+3=3=3+2+2+2+2=2+11*1。
对于n>0，a（n）是n的强除数-奥马尔·波尔2015年5月3日
a（n）也是（n-1）次多项式（（x+1）^n-1）/x的因子数。例如：对于n=6，（x+1，^6-1）/x）=x^5+6*x^4+15*x^3+20*x^2+15*x+6=（2+x）（1+x+x^2）（3+3x+x*2）意味着a（6）=3-费德里科·普罗夫维迪2018年10月9日
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参考文献
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安德烈·威尔（AndréWeil），《数论：历史的方法》（Number Theory，An approach through history），《从汉谟拉比到勒让德》（From Hammurapi to Legendre），伯卡用户出版社，1984年，第5页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：Sum_{n>=1}x^（2*n）/（1-x^n）-迈克尔·索莫斯，2003年4月29日
G.f.：Sum_{i>=1}（1-x^i+x^（2*i））/（1-x^i）-乔恩·佩里2004年7月3日
一般公式：2*Sum_{n>=1}和{d|n}对数（1-x^（n/d））^（2*d）/（2*d）-保罗·D·汉娜2014年8月21日
Dirichlet g.f.：泽塔*（泽塔-1）-杰弗里·克雷策2014年12月6日
a（n）=和{k=1..n-1}二项式（（n-1）模k，k-1）-韦斯利·伊万·赫特2016年9月26日
a（n）=总和{i=1..n-1}层（n/i）-层（n-1）/i）-韦斯利·伊万·赫特2017年11月15日
a（n）=和{i=1..n-1}1-符号（i mod（n-i））-韦斯利·伊万·赫特2018年9月27日
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例子
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a（6）=3，因为6的适当除数是1，2，3。
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MAPLE公司
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如果n=0，则
0 ;
其他的
数量理论[τ]（n）-1；
结束条件：；
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数学
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前缀[DivisorSigma[0，Range[99]]-1，0](*贾扬达·巴苏2013年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，numdiv（n）-1）
（PARI）{a（n）=polcoeff（2*sum（m=1，n\2+1，sumdiv（m，d，log（1-x^（m/d）+x*O（x^n））^（2*d）/（2*d）！）），n）}\\保罗·D·汉娜2014年8月21日
（哈斯克尔）
a032741 n=如果n==0，则0，否则a000005 n-1
（GAP）级联（[0]，列表（[1..100]，n->Tau（n）-1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月9日
（Python）
从sympy导入divisor_count
定义A032741号（n） ：如果n为0，则返回divisor_count（n）-1#柴华武2023年3月14日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 6, 6, 9, 6, 11, 10, 11, 11, 15, 12, 17, 14, 17, 18, 21, 16, 22, 22, 23, 22, 27, 22, 29, 26, 29, 30, 31, 27, 35, 34, 35, 32, 39, 34, 41, 38, 39, 42, 45, 38, 46, 44, 47, 46, 51, 46, 51, 48, 53, 54, 57, 48, 59, 58, 57, 57, 61, 58, 65
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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也等于n的分区数p，使得max（p）-min（p）=1。max（p）-min（p）<=1的n的分区数为n；对于每个1<=k<=n，有一个具有k个部分的部分。max（p）-min（p）=0 iff k除以n，留下n-d（n）的差为1。通过观察随n增加的固定k最容易看出这一点：对于k=3，从n=3开始，分区为[1，1，1]、[2，2，1]、[2，2，2]、[3，2，2]等-乔瓦尼·雷斯塔，2006年2月6日和富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2011年1月30日
形式为[j，j，…，j，i]（j>i）的n分区数。例如：a（7）=5，因为我们有[6,1]、[5,2]、[4,3]、[3,3,1]和[2,2,2]-Emeric Deutsch公司2016年9月22日
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链接
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G.E.Andrews、M.Beck、N.Robbins、，最大和最小部件之间存在固定差异的分区，arXiv预印arXiv:1406.3374[math.NT]，2014-2015。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=1..n}（（n模k）+（-n模k））/k-韦斯利·伊万·赫特2015年12月28日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）-zeta（s）^2-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月12日
a（n）=和{i=1..n-1}符号（i mod n-i）-韦斯利·伊万·赫特2018年9月27日
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例子
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a（7）=5；7的5个非除数是2、3、4、5和6。
max（p）-min（p）=1的5个7分区是[4,3]、[3,2,2]、[2,2,2,1]、[2,1,1,1]和[2,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月1日
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MAPLE公司
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数学
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表[n-除数西格玛[0，n]，｛n，100｝](*韦斯利·伊万·赫特，2014年11月19日*）
数组[（#-除数Sigma[0，#]）&，70](*文森佐·利班迪2015年12月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n-numdiv（n）
（哈斯克尔）
（GAP）列表（[1..80]，n->n-Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。259934元（由边关系a（子）=父定义的树的无限树干，推测是唯一的）。
其他相关序列：A006218号,A006590号,A051953号,A070824号,A094181号,A062249号,A067391号,A076627号,A128508号,A131187号,A134156号,A140826号,A161886号,A177235型,A177236号,A227874型,A228453型,A230653型,A230654型,A231167型,A245197型,A253473型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、2、1、3、1、3、1、4、1、2、1、5、1、2、1、5、1、4、1、1、1、1一为本书，3，1，3，1，5，1，2，1，5，1，2，1
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
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链接
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例子
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n＝1..24的a（n）个无间隙除数：
1 2 1 4 1 6 1 8 1 2 1 12 1 2 16 1 18 1 4 1 2 1 24
1 2 2 4 1 6 1 8 6 2 1 12
1 1 2 4 4 2 1 8
1 2 2 1 6
1 1 4
2
1
例如，12的除数是{1,2,3,4,6,12}，其中{1,2,4,6,12}属于A055932号，则a（12）=5。
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
normQ[m]：=m=｛｝| |并集[m]=范围[Max[m]]；
表[Length[Select[Divisors[n]，normQ[primeMS[#]]&]]，{n，100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000005号,A001222号,A028334号,A029709号,A055874号,A056239号,A070824号,A112798号,A119313号,A137921号,A287170型,A289509型,A356223型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A251683型
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| 不规则三角形数组：T（n，k）是n的有序因式分解数，其中n的因子恰好为k，n>=1，1<=k<=A086436号（n） ●●●●。 |
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+10
29
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 6, 9, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 9, 4
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,8
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评论
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也就是从n到1的严格长度k+1除数链的数目。例如，第n=24行统计以下链：
24/1 24/2/1 24/4/2/1 24/8/4/2/1
24/3/1 24/6/2/1 24/12/4/2/1
24/4/1 24/6/3/1 24/12/6/2/1
24/6/1 24/8/2/1 24/12/6/3/1
24/8/1 24/8/4/1
24/12/1 24/12/2/1
24/12/3/1
2011年12月24日
24/12/6/1
（结束）
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链接
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配方奶粉
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Dirichlet g.f.：1/（1-y*（zeta（x）-1））。
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
1;
1;
1, 1;
1;
1, 2;
1;
1, 2, 1;
1, 1;
1, 2;
1;
1, 4, 3;
1;
1, 2;
1, 2;
...
整数12有8个有序因式分解：12，6*2，4*3，3*4，2*6，3*2*2，2*3*2，2*2*3。所以T（12,1）=1，T（12,2）=4，T（12.3）=3。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
b： =proc（n）选项记忆；展开（x*（1+
加法（b（n/d），d=除数（n）减去{1，n}））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..度（p）））（b（n））：
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数学
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f[1]={{}}；
f[n]：=f[n]=
级别[表[
映射[Prepend[#，d]&，f[n/d]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]，{2}]；
前缀[Map[Select[#，#>0&]&，
下降[转置[
表[Map[Count[#，k]&，
地图[长度，表格[f[n]，{n，1，40}]，{2}]]，{k，1，10}]]，
1] ]，{1}]//网格
（*第二个节目：*）
b[n]：=b[n]=x（1+和[b[n/d]，{d，除数[n]~补~{1，n}}]）；
T[n_]：=系数列表[b[n]/x，x]；
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 4, 1, 0, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 3, 5, 2, 1, 1, 2, 4, 3, 3, 1, 3, 3, 4, 3, 2, 1, 5, 1, 2, 5, 0, 3, 5, 1, 3, 3, 6, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 3, 5, 1, 5, 4, 2, 1, 7, 3, 2, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,9
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。n的多素数指数集是A112798号.
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（70）=6除数：5，7，10，14，35，70。
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
normQ[m]：=m=｛｝| |并集[m]=范围[Max[m]]；
表[Length[Select[Divisors[n]！normQ[素数[#]]&]]，{n，100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A130130型
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| 当n>=2时，a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2。 |
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+10
21
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0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）也是小于10^（n+1）的正整数的总数，需要9个正立方体作为立方体之和来表示（参见Dickson，1939）。
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链接
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配方奶粉
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通用公式：x*（1+x）/（1-x）=x*（1-x^2）/（1-x）^2-杰姆·奥利弗·拉丰2009年3月20日
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数学
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联接[{0，1}，LinearRecurrence[{1}、{2}，96]](*雷·钱德勒2015年9月23日*）
PadRight[{0，1}，120，{2}](*哈维·P·戴尔2022年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a130130=最小值2
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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