%I#221 2024年1月20日09:19:10

%S 0,1,1,1,2,1,3,1,4,2,3,1,8,1,3,3,8,1,1,81,8,1,8,8,3,1,20,2,3,4,8,13,16，

%电话：3,3,26,1,3,3,1,20,1,3,13,1,8,8,3,1.48,2,8,3,8,1,20,3,2,3,1,44,1,38,8，

%U 32,3,13,1,8,3,13,1,76、1,3,8,8,3、13,1,48、8,3,1,4,3,3,20,1,44,3,8,1,3,3112

%N Kalmár问题：N的有序因式分解数。

%C a（0）=0，a（1）=1；此后，a（n）是n作为大于1的整数乘积的有序因式分解数。

%C Kalmár（1931）似乎是最早提及该序列的参考文献（与A002033相反）_N.J.A.Sloane，2016年5月5日

%C a（n）是n-1 X n-1矩阵a的永久值，如果j|i+1，则（i，j）项=1，否则=0。这是因为有序因式分解对应于永久变量中的非零初等积。例如，当n=6，3*2->1,3,6[部分积]->6,3,1[反向列表]->（6,3）（3,1）[划分为偏移量为1]->_David Callan，2005年10月19日

%C根据谐波理论，这个序列对于描述宇宙中所有波结构中的能量量非常重要雷·托姆斯（Ray Tomes），2007年7月22日

%C a（n）似乎是构成Moebius函数的置换矩阵的数量。有关更多信息，请参见A008683。另外，a（n）似乎是A067824的Moebius变换。此外，似乎除了第一项a（n）=A067824（n）*（1/2）之外。是否还有其他序列，当应用莫比乌斯变换时，新序列也是一个常数因子乘以起始序列_Mats Granvik，2009年1月1日

%可被n个不同素数整除的C数似乎具有可在n维求和Pascal三角形中找到的有序因子分解值。例如，可被两个不同素数整除的数字的有序因子分解值可以在表A059576中找到_Mats Granvik_，2009年9月6日

%C A174725的逆Mobius变换，除第一项外，A174726的逆Movius变换_Mats Granvik，2010年3月28日

%C a（n）是n个DNA片段部分消化问题的最坏情况解数的下限；请参阅下面的Newberg&Naor参考_Lee A.Newberg，2011年8月2日

%C所有大于1的整数都是这个序列上的完美数（有关A-完美数的定义，请参阅A175522的注释）_Vladimir Shevelev，2011年8月3日

%C如果n是平方自由的，则a（n）=A000670（A001221（n））=A00670（A0001222（n）_Vladimir Shevelev和Franklin T.Adams-Waters，2011年8月5日

%C A034776列出了该序列所取的值_Robert G.Wilson v_，2012年6月2日

%C来自Gus Wiseman_，2020年8月25日：（开始）

%C也是从n到1的严格除数链的数目。例如，n=1、2、4、6、8、12、30的a（n）链为：

%C 1 2/1 4/1 6/1 8/1 12/1 30/1

%C 4/2/1 6/2/1 8/2/1 12/2/1 30/2/1

%C 6/3/1 8/4/1 12/3/1 30/3/1

%C 8/4/2/1 12/4/1 30/5/1

%C 12/6/1 30/6/1

%C 12/4/2/1 30/10/1

%C 12/6/2/1 30/15/1

%C 12/6/3/1 30/6/2/1

%C 30/6/3/1号

%C 30/10/2/1号

%C 30/10/5/1号

%C 30/15/3/1号

%C 30/15/5/1号

%C（结束）

%D L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第126页，见#27。

%D R.Honsberger，《数学宝石III》，文学硕士，1985年，第141页。

%D Kalmár，Laszlo，A“factorisatio numerorum”problemajarol[匈牙利]，Matemat。菲齐克。拉普克，38（1931），1-15。

%D J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第124页。

%H N.J.A.Sloane，N表，N=0..20000的A（N）（来自T.D.Noe的前10000个术语）

%H彼得·布朗，<a href=“网址：http://www.mountanman.com.au/harmonics.htm“>有序因子分解的数量</a>。

%H Peter Brown，<a href=“http://www.mountainman.com.au/harmonics_01.htm“>有序因子分解数。

%H Benny Chor、Paul Lemke和Ziv Mador，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（99）00223-X“>关于自然数的有序因式分解数，《离散数学》214（2000），第1-3期，第123-133页。MR1743631（2000米：11093）。

%H Kristin DeVleming和Nikita Singh，<a href=“https://arxiv.org/abs/2311.15922“>低阶有理单尖平面曲线</a>，arXiv:2311.15922[math.AG]，2023。见第14页。

%H T.M.A.Fink，<A href=“https://arxiv.org/abs/2307.09140“>递归除数函数的属性和有序因式分解的数量</a>，arXiv:2307.09140[math.NT]，2023。

%H E.Hille，<a href=“http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa215.pdf“>factorisatio numerorum中的一个问题</A>，《阿拉伯学报》，2（1936），134-144。

%H E.Hille，<a href=“https://doi.org/10.1215/S0012-7094-37-00344-2“>莫比乌斯反演问题，杜克数学杂志，3（1937），549-568。

%H Shikao Ikehara，<a href=“https://doi.org/10.11429/ppmsj1919.21.5_208“>关于Kalmar问题，《Factorisatio Numerorum》</a>，《日本物理数学学会会刊》，第3辑，第21卷（1939年），第208-219页。

%H Shikao Ikehara，<a href=“https://doi.org/10.11429/ppmsj1919.23.0_767“>关于“因式分解数值”II中的卡尔马问题，《日本物理数学学会学报》，第3辑，第23卷（1941年），第767-774页。

%H Laszlo Kalmár，<a href=“http://pub.acta.hu/acta/showCustomerArticle.action？id=5296&amp；dataObjectType=article“>《科学学报》第5卷（1931年）：95-107页。

%H M.Klazar和F.Luca，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0505352“>关于“factorisatio numerorum”问题中的最大数阶，arXiv:math/0505352[math.NT]，2005-2006。

%H Arnold Knopfmacher和Michael Mays，<a href=“http://www.mathematica-journal.com/issue/v10i1/Factorizations.html“>整数的有序和无序因式分解，《数学杂志》，第10卷，第1期，第72页。

%H Arnau Mir、Francesc Rossello和Lucia Rotger，<a href=“https://arxiv.org/abs/11805.01329“>多分枝树的类声音Colless平衡指数</a>，arXiv:1805.01329[q-bio.PE]，2018。

%奥古斯丁·O·穆纳吉，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v16i1r50“>整数的标记因子分解，整数：组合数学电子杂志16:1（2009），#R50。

%H L.A.Newberg和D.Naor，<A href=“http://dx.doi.org/10.1006/aama.1993.1009“>探索的部分消化问题解数的下限，应用数学进展，14（2），1993，172-183。doi:10.1006/aama.1993.1009。

%H射线汤姆斯，<a href=“http://ray.tomes.biz/maths.html“>和声理论的数学和物理。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PerfectPartition.html“>完美分区。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/OrderedFactorization.html“>有序因子分解。

%H David W.Wilson，关于A074206和相关序列的评论。

%H David W.Wilson，用于A074206的Perl程序。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F不同偏移量：a（n）=所有a（i）之和，i除以n和i_

%如果k>0且p是素数，则F a（p^k）=2^（k-1）。

%F Dirichlet g.F.：1/（2-zeta（s））.-Herbert S.Wilf，2003年4月29日

%对于n>1，F a（n）=A067824（n）/2；a（A122408（n））=A122409（n）/2.-_Reinhard Zumkeller，2006年9月3日

%F如果p，q，r，。。。是不同的素数，那么a（p*q）=3，a（p^2*q）=8，a（p*q*r）=13，a（p ^3*q）=20，等等。-Vladimir Shevelev，2011年8月3日[由Charles r Greathouse IV更正，2012年6月2日]

%F a（0）=0，a（1）=1；a（n）=[x^n]和{k=1..n-1}a（k）*x^k/（1-x^k）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年12月11日

%F a（n）=a（A046523（n））；a（A025487（n））=A050324（n）：a（n）仅取决于n的素因式分解中的非零指数，更准确地说是n的素签名，参见A124010和A320390_M.F.Hasler，2018年10月12日

%F a（n）=A000670（A001221（n）），适用于无平方n_Amiram Eldar_，2019年5月13日

%F a（n）=A050369（n）/n，对于n>=1.-_Ridouane Oudra，2019年8月31日

%F a（n）=A361665（A181819（n））_布伦森桥，2023年3月25日

%F来自_Ridouane Oudra_，2023年11月2日：（开始）

%F如果p，q是不同的素数，并且n，m>0，那么我们有：

%F a（p^n*q^m）=和{k=0..min（n，m）}2^（n+m-k-1）*二项式（n，k）*二项式（m，k）；

%F更一般地说：让tau[k]（n）表示n的有序因式分解数，作为k项的乘积，也称为k-th Piltz函数（参见A007425），那么对于n>1，我们有：

%F a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=1..j}（-1）^（j-k）*二项式（j，k）*τ[k]（n），或

%F a（n）=和{j=1..bigomega（n）}和{k=0..j-1}（-1）^k*二项式（j，k）*τ[j-k]（n）。（结束）

%e G.f.=x+x^2+x^3+2*x^4+x^5+3*x^6+x^7+4*x^8+2*x^9+3*x^10+。。。

%e 8的有序因式分解数为4:8=2*4=4*2=2*2。

%p a：=数组（1..150）：对于k从1到150，执行a[k]：=0 od:a[1]：=1：对于j从2到150，对m从1到j-1执行如果j mod m=0，则a[j]：=a[j]+a[m]fi:od:od：对于k自1到150执行打印f（`%d，`，a[k]）od:#_James a.Sellers_，2000年12月7日

%p A074206:=proc（n）选项记忆；如果n>1，则`+`（op（apply（A074206，numtheory[divisors]（n）[1..-2]）））其他n结束：#_M.F.Hasler_，2018年10月12日

%ta[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=a[n]=a/@Most[Divisors[n]]//总计；a/@Range[20000]（*_N.J.a.Sloane_，2016年5月4日，基于A002033*中的程序）

%t ccc[n_]：=开关[n，0，{}，1，{{1}}，_，联接@@表[Prepend[#，n]&/@ccc[d]，{d，大多数[Divisors[n]]}]]；表[长度[ccc[n]]，{n，0100}]（*_Gus Wiseman_，2020年8月25日*）

%o（哈斯克尔）

%o a074206 n | n≤1=n

%o |否则=1+（总和$map（a074206.（div n））$

%o尾部$a027751_当前n）

%o——Reinhard Zumkeller，2012年10月1日

%o（PARI）A=矢量（100）；A[1]=1；对于（n=2，#A，A[n]=1+总和（n，d，A[d]））；A/=2；A[1]=1；concat（0，A）\\_Charles R Greathouse IV_，2012年11月20日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，my（a=除数（n））；和（k=1，#a-1，a（a[k]））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2016年12月26日*/

%o（PARI）A074206（n）=如果（n>1，sumdiv（n，i，if（i<n，A074 206（i））），n）\\ M.F.Hasler_，2018年10月12日

%o（PARI）A74206=[1]；A074206（n）={if（#A74206<n，A74206=concat（A74206，向量（n*3\/2-#A74208）），n&&A74206[n]，返回（A74208[n]））；A74206[n]=sumdiv（n，i，if（i<4，i<n，i<n，A074206（i））））}\\使用记忆计算许多值。-_M.F.Hasler，2018年10月12日

%o（PARI）first（n）={my（res=向量（n，i，1））；对于（i=2，n，对于（j=2，n\i，res[i*j]+=res[i]））；concat（0，res）}\\_David A.Corneth_，2018年10月13日

%o（PARI）first（n）={my（res=vector（n，i，1））；对于（i=2，n，d=divisors（i）；res[i]+=sum（j=1，#d-1，res[d[j]]））；concat（0，res）}\\要比上面的progs快一点，以找到n的第一项

%o（PARI）a（n）={if（！n，0，my（sig=factor（n）[，2]，m=vecsum（sig））；和（k=0，m，prod（i=1，#sig，二项式（sig[i]+k-1，k-1））*和（r=k，m，二项式（r，k）*（-1）^（r-k））））}\\_Andrew Howroyd_，2020年8月30日

%o（SageMath）

%o@cached_function

%o定义减去mu（n）：

%o如果n<2：返回n

%o除数（n）[：-1]中d的返回和（减去mu（d））

%o#注意，改变和的符号会得到Möbius函数A008683。

%o打印（[minus_mu（n）for n in（0..96）]）#_Peter Luschny_，2016年12月26日

%o（Python）

%o来自math导入prod

%o从functools导入lru_cache

%o来自sympy导入除数，factorint，素数

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A074206（n）：如果n>1其他n#_Chai Wah Wu_，2022年9月16日，返回除数（prod（prime（i+1）**e for i，e in enumerate（sorted（factorint（n）.values（），reverse=True））中d的和，生成器=True，proper=True

%Y除初始期限外，与A002033相同。

%Y a（A002110）=A000670，行和为A251683。

%Y A173382（和A025523）给出了部分总和。

%Y参见A008683、A050324、A027751、A001221、A034776、A000670、A050369。

%Y A124433将这些作为无符号行总和。

%Y A334996将这些作为行总和。

%Y A001055统计因子分解。

%Y A001222计算具有多重性的素因子。

%Y A008480统计有序素因式分解。

%Y A067824统计以n开头的严格除数链。

%Y A122651计算严格的除数链和n。

%Y A253249计算严格的除数链。

%Y参见A000005、A025487、A046523、A059576、A122408、A124010、A167865、A174725、A1174726、A175522、A181819、A320390、A334997、A337105、A361665。

%K nonn，核心，简单，好

%0、5

%A _N.J.A.Sloane，2003年4月29日

%E最初此序列与A002033合并，即完美分区的数量。赫伯特·S·威尔夫（Herbert S.Wilf）建议，它需要自己进入。