搜索： a034008-编号：a034008
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1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 37, 38
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第一个n+1个正整数的算术平均值的下限-西诺·希利亚德2003年9月6日
将n分为2次幂的次数，其中无幂使用超过三次，或第四个二进制配分函数（参见A072170号).
将n划分为最多2个部分的分区数-乔恩·佩里2003年6月16日
a（n）=#{k=0..n:k+n是偶数}-保罗·巴里2003年9月13日
半长n+2且具有两个峰值的对称Dyck路径数。例如，a（6）=4，因为我们有UUUUU*DU*DDDDDDD、UUUU-*DDUU*DDDD、UUU U*DDDUUU*DDDDD和UUU*DDDDUUU UUU**DDDDDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和*表示峰值-Emeric Deutsch公司2004年1月12日
最小正整数，其与另一个正整数的调和平均值为n（对于n>0）。例如，已经给出了a（6）=4（因为4是最小的正整数，所以4（带12）的调和平均数是6），但2（带-6）的调和均值也是6和2<4，因此需要施加两个正整数限制来排除2和-6。
当m趋于无穷大时，（m选择2）_q展开式中q ^n的系数Y.Kelly Itakura（yitkr（AT）mta.ca），2002年8月21日
此Itakura注释来自部分分数分解（m choose 2）_q=[（1-q^（2m-2））/（1+q）+（1-qqu（2m-2-））/。在q中被解释为生成函数，它们具有卷积结构；分子中的第一项创建+1、-1、+1、-1等，第二项创建+1，+1，+1等，第三项创建2,4,6,8等，作为m->无穷大-R.J.马塔尔2008年9月25日
来自Jon Perry_，2010年11月16日：（开始）
列总和：
1 1 1 1 1 1...
1 1 1 1...
1 1...
..............
--------------
1 1 2 2 3…（结束）
a（n）也是n>0时右半平面上第n个Bernoulli多项式的根数-米歇尔·拉格诺，2012年11月8日
a（n）是Exe振动微扰矩阵H（Q）的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目（参见Viel&Eisfeld）-布拉德利·克莱2015年7月21日
a（n）是帕斯卡三角形第n行中不同整数的数量-梅尔文·佩拉尔塔2016年2月3日
对于n>=3，a（n+1）是广义Petersen图G（n，1）的直径-尼克·迈尔斯2016年6月6日
此外，该序列是两个连续斐波那契多项式F（n+1，x）和F（n，x）（n>=0）的系数之和的三角形中的第二列，以x的升幂表示-穆罕默德·阿扎里安2018年7月18日
a（n+2）是最小的k，因此给定任意k个整数，其中有两个整数的和或差可以被n整除-巴勃罗·休索·梅里诺2020年5月9日
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参考文献
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D.J.Benson，有限群的多项式不变量，剑桥，1993年，第100页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第109页，等式[6c]；第116页，p（n，2）。
D.Parisse，“河内塔和斯特恩·布罗科特阵列”，论文，慕尼黑，1997年
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链接
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安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
L.F.Klosinski、G.L.Alexanderson和A.P.Hillman，威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛阿默尔。数学。月刊91（1984），487-495。参见问题B2。
布鲁斯·雷兹尼克，一些二进制配分函数，《解析数论》（Conf.in authority P.T.Bateman，Allerton Park，IL，1989），451-477，Progr。数学。，85，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，1990年。
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配方奶粉
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[1，1]的欧拉变换。
a（n）=1+楼层（n/2）。
G.f.：1/（（1-x）（1-x^2））。
例如：（（3+2*x）*exp（x）+exp（-x））/4。
a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）=-a（-3-n）。
a（0）=a（1）=1，a（n）=楼层（（a（n-1）+a（n-2））/2+1）。
a（n）=（2*n+3+（-1）^n）/4-保罗·巴里，2003年5月27日
a（n）=二项（j，i）*（-2）^i-保罗·巴里2003年8月26日
例如：（1+x）*exp（x）+cosh（x））/2-保罗·巴里2003年9月13日
a（n）=n-a（n-1）+1（a（0）=1）-文森佐·利班迪2010年11月19日
a（n）=（a（0）+a（1）+…+a（n-1））/an-1，其中a（0）=1-梅尔文·佩拉尔塔2015年6月16日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*（k+1）-里克·L·谢泼德2020年9月18日
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MAPLE公司
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a： =n->iquo（n+2,2）：序列（a（n），n=0..75）；
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数学
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扁平[表格[{n，n}，{n，35}]](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*）
带有[{c=Range[40]}，Riffle[c，c]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*）
系数列表[级数[1/（1-x-x^2+x^3），{x，0，75}]，x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*）
线性递归[{1，1，-1}，{1，1,2}，75](*罗伯特·威尔逊v2015年2月5日*）
表[Q二项式[n，2，-1]，{n，2,75}](*约翰基斯，2021年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n\2+1
（哈斯克尔）
a008619=（+1）。（`div`2）
a008619_list=concatMap（\x->[x，x]）[1..]
（鼠尾草）
a=λn：如果n==0，则为1；如果2，则为a（n-1）+1。除（n），否则为a（n-1）#彼得·卢什尼2015年2月5日
（岩浆）I:=[1,1,2]；[n le 3选择I[n]else Self（n-1）+Self//文森佐·利班迪2015年2月4日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 3, 3, 6, 7, 12, 14, 22, 27, 40, 49, 69, 86, 118, 146, 195, 242, 317, 392, 505, 623, 793, 973, 1224, 1498, 1867, 2274, 2811, 3411, 4186, 5059, 6168, 7427, 9005, 10801, 13026, 15572, 18692, 22267, 26613, 31602, 37619, 44533, 52815, 62338, 73680, 86716, 102162, 119918
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于n>0，也是n的最大部分为偶数的分区数。[编辑：古斯·怀斯曼，2021年1月5日]
n+1分为奇数部分的分区数，最少为1。
此外，n的分区数，使得偶数部分的数量与奇数部分的数目具有相同的奇偶性；请参阅上的注释A027193号. -克拉克·金伯利，2014年2月1日，2021年1月6日更正
假设c（0）=1，c（1），c（2）。。。是不确定的，即d（0）=1，以及d（n）=-c（n）-c（n-1）*d（1）-…-c（0）*d（n-1）。当d（n）在c（1），c（2），..中展开为多项式时，。。，c（n），术语的形式为H*c（i_1）*c（i_2）**c（i_k）。设P（n）=[c（i_1），c（i_2），…，c。也就是说，d（n）有A027193号（n） 负系数，A027187号（n） 正系数，以及A000041号条款。d（n）中的最大系数（绝对值）为A102462号（n） ●●●●-克拉克·金伯利2016年12月15日
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；见第8页，（7.323）和第39页，例7。
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链接
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乔治·安德鲁斯和大卫·纽曼，整数分区中的最小互斥，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.2.3条。
阿文德·艾耶（Arvind Ayyer）、希兰亚·基肖尔·戴伊（Hiranya Kishore Dey）和迪格乔伊·保罗（Digjoy Paul），与有限组的字符表和相比，字符度和有多大？，arXiv:2406.06036[math.RT]，2024。见第13页。
新泽西州罚款，问题4314阿默尔。数学。月刊，第57卷，1950年，421-423。
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配方奶粉
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a（n）=p（n）-p（n-1）+p（n-4）-p。。。其中p（n）是n的无限制分区数，A000041号.[罚款]-大卫·卡伦2004年3月14日
通用公式：A（q）=和{n>=0}A（n）q^n=1+q^2+q^3+3q^4+3q^5+6q^6+。。。
=Sum_{n>=0}q^（2n）/（q；q）_{2n}
=（（产品{k>=1}1/（1-q^k）+（产品{k>=1}1/（1+q^k））/2。
同样，设B（q）=Sum_{n>=0}A027193号（n） q^n=q+q^2+2q^3+2q^4+4q^5+5q^6+。。。
则B（q）=和{n>=0}q^（2n+1）/（q；q）{2n+1}=（（乘积{k>=1}1/（1-q^k）-（乘积_{k>=1}1/。
此外，我们还具有涉及2 X 2矩阵的以下恒等式：
产品{k>=1}[1/（1-q^2k）q^k/（1-q ^2k/q^k[（1-q*2k）1/（1-q|2k）]
=[A（q）B（q）/B（q）A（q]。（完）
（1+phi（-q））/（2*f（-q，））的展开式，其中phi（）、f（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2006年8月19日
通用公式：（和{k>=0}（-1）^k*x^（k^2））/（乘积{k>0}，（1-x^k））-迈克尔·索莫斯2006年8月19日
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例子
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G.f.=1+x^2+x^3+3*x^4+3*x^5+6*x^6+7*x^7+12*x^8+14*x^9+22*x^10+。。。
a（2）=1到a（8）=12分区成偶数个部分如下。这些分区的Heinz数由下式给出A028260型.
(11) (21) (22) (32) (33) (43) (44)
(31) (41) (42) (52) (53)
(1111) (2111) (51) (61) (62)
(2211) (2221) (71)
(3111) (3211) (2222)
(111111) (4111) (3221)
(211111) (3311)
(4211)
(5111)
(221111)
(311111)
(11111111)
a（2）=1到a（8）=12个分区，其最大部分是偶数，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A244990型.
(2) (21) (4) (41) (6) (43) (8)
(22) (221) (42) (61) (44)
(211) (2111) (222) (421) (62)
(411) (2221) (422)
(2211) (4111) (431)
(21111) (22111) (611)
(211111) (2222)
(4211)
(22211)
(41111)
(221111)
(2111111)
（完）
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数学
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f[n_]：=长度[Select[Integer Partitions[n]，IntegerQ[First[#]/2]&]]；表[f[n]，{n，1，30}](*克拉克·金伯利2012年3月13日*）
a[n_]：=级数系数[（1+椭圆Theta[4，0，x]）/（2QPochhammer[x]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，长度@选择[Integer Partitions[n]，EvenQ[Length@#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polcoeff（sum（k=0，sqrtint（n），（-x）^k^2，a）/eta（x+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月19日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；Vec（（1/eta（q）+eta（q）/eta（q^2））/2）\\约尔格·阿恩特2014年3月23日
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交叉参考
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其他偶数长度的情况：
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关键词
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非n,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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自然数n的组分数>0。
有符号序列0、1、-2、4、-8、16、-32、64、-128、256、-512、1024。。。是Lucas U（-2,0）序列-R.J.马塔尔2013年1月8日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k-1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
此外，0-可加序列：a（n）是大于a（n-1）的最小数，它不是任何早期项子集的和，初始值为{0，1，2}-罗伯特·威尔逊v2014年7月12日
也是最小的非负超增序列：每个项都大于前面所有项的和。实际上，等价的定义是a（0）=0，a（n+1）=1+sum_{k=0..n}a（k）-M.F.哈斯勒2015年1月13日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育杂志》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：x/（1-2*x）；a（n）=（2^n-0^n）/2-保罗·巴里2009年1月5日
例如：exp（x）*sinh（x）-杰弗里·克雷策2012年10月28日
例如：x/T（0），其中T（k）=4*k+1-x/（1+x/（4*k+3-x/）（1+x/T（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月17日
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MAPLE公司
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如果n=0，则
0;
其他的
2^（n-1）；
结束条件：；
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2^n-0^n）/2:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年8月10日
（C） int是（无符号long n）{return！（n&（n-1））；}/*查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月15日*/
（哈斯克尔）
a131577=（`div`2）。a000079
a131577_list=0:a000079_list--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月9日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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保罗·柯茨，2007年8月29日，2007年12月6日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 19, 23, 27, 32, 38, 45, 52, 61, 71, 83, 96, 111, 128, 148, 170, 195, 224, 256, 292, 334, 380, 432, 491, 556, 630, 713, 805, 908, 1024, 1152, 1295, 1455, 1632, 1829, 2049, 2291, 2560, 2859, 3189, 3554, 3959, 4404
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第18页条目9推论（2）。
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链接
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配方奶粉
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通用公式：A（q）=和{n>=0}A（n）q^n=1+q^3+q^4+2q^5+2q^6+3q^7+…=和{n>=0}q^（n（2n+1））/（q；q）{2n}[高斯珀2005年6月25日]
同样，设B（q）=Sum_{n>=0}A067659号（n） q^n=q+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+。。。则B（q）=和{n>=0}q^（（n+1）（2n+1））/（q；q）{2n+1}。
此外，我们还具有涉及2 X 2矩阵的以下恒等式：
产品{k>=1}[1，q^k；q^k，1]=[A（q），B（q）；B（q[高斯珀2005年6月25日]
（1+phi（-x））/（2*chi（-x））的x次幂展开式，其中phi（）、chi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月14日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（8*3^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月24日
G.f.：A（x）=（1/2）*（（乘积_｛n>=0｝1+x^n）+（乘积_｛n>=0｝1-x^n））。
A（x）^2-B（x）*2=A（x^2）-B（x^ 2）=Product_{n>=1}1-x^（2*n）=Z}中的和{n（-1）^n*x^。
A（x）/（A（x）+B（x））=和{n>=0}（-1）^n*x^n^2=（1+theta_3（-x））/2。
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例子
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G.f.=1+x ^3+x ^4+2*x ^5+2*x^6+3*x ^7+3*x^8+4*x ^9+5*x ^10+。。。
a（3）=1到a（14）=11分区（a-D=10..13）：
21 31 32 42 43 53 54 64 65 75 76 86
41 51 52 62 63 73 74 84 85 95
61 71 72 82 83 93 94 A4
81 91 92 A2 A3 B3
4321 A1 B1 B2 C2
5321 5421 C1 D1号
6321 5431 5432
6421 6431
7321 6521
7421
8321
（完）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，t）选项记忆`如果`（n>i*（i+1）/2，0，
`如果`（n=0，t，加上（b（n-i*j，i-1，abs（t-j）），j=0..分钟（n/i，1）））
结束时间：
a： =n->b（n$2,1）：
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数学
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b[n_，i_，t_]：=b[n，i，t]=如果[n>i*（i+1）/2，0，如果[n==0，t，和[b[n-i*j，i-1，Abs[t-j]]，{j，0，Min[n/i，1]}]]；a[n]：=b[n，n，1]；表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司2015年1月16日之后阿洛伊斯·海因茨*)
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[-x，x]+QPochharmer[x]）/2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*）
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&EvenQ[Length[#]]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼，2021年1月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polcoeff（（eta（x^2+a）/eta（x+a）+eta（x+a））/2，n）}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；S=1+2*平方（N）；
gf=总和（n=0，S，（n%2==0）*q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1，n，1-q^k））；
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交叉参考
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其他偶数长度的情况：
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 6, 12, 22, 40, 69, 118, 195, 317, 505, 793, 1224, 1867, 2811, 4186, 6168, 9005, 13026, 18692, 26613, 37619, 52815, 73680, 102162, 140853, 193144, 263490, 357699, 483338, 650196, 870953, 1161916, 1544048, 2044188, 2696627, 3545015, 4644850, 6066425
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n的分区被划分为四种类型：
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链接
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例子
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EE型的4个分区是[3,1]、[2,2]、[1,1,1]，因此a（2）=3。
键入/k。1 .. 2 .. 三。。4 .. 5 .. 6 .. 7 .. 8 ... 9 ... 10 .. 11
工程指令。。。。。0 .. 1 .. 0 .. 2 .. 0 .. 5 .. 0 .. 10 .. 0 ... 20 .. 0
运行经验。。。。。1 .. 0 .. 2 .. 0 .. 4 .. 0 .. 8 .. 0 ... 16 .. 0 ... 29
EE。。。。。0 .. 1 .. 0 .. 三。。0 .. 6 .. 0 .. 12 .. 0 ... 22 .. 0
面向对象。。。。。0 .. 0 .. 1 .. 0 .. 三。。0 .. 7 .. 0 ... 14 .. 0 ... 27
这个序列计算偶数的偶数长度分区，这些偶数的Heinz数由A340784型例如，a（0）=1到a（4）=12个分区是：
() (11) (22) (33) (44)
(31) (42) (53)
(1111) (51) (62)
(2211) (71)
(3111) (2222)
(111111) (3221)
(3311)
(4211)
(5111)
(221111)
(311111)
(11111111)
（完）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，[1,0$3]，
`如果`（i<1，[0$4]，b（n，i-1）+`如果`（i>n，[0$4]，（p->
`如果`（irem（i，2）=0，[p[3]，p[4]，p[1]，p[2]，
[p[2]，p[1]，p[4]，p[3]））（b（n-i，i）））
结束时间：
a： =n->b（2*n$2）[1]：
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数学
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z=25；m1=Map[Length[Select[Map[{Count[#，True]，Count[＃，False]}&，OddQ[Integer Partitions[2#]]]，EvenQ[（*Odd*）First[#]]&&OddQ[（*Even*）Last[#]]&，Range[z]]；m2=地图[Length[Select[Map[{Count[#，True]，Count[#，False]}&，OddQ[IntegerPartitions[2#-1]]，OddQ[（*Odd*）First[#]]&&EvenQ[（*Even*）Last[#]&]]&，Range[z]]；m3=地图[Length[Select[Map[{Count[#，True]，Count[＃，False]}&，
奇数Q[Integer Partitions[2#]]]，EvenQ[（*Odd*）First[#]]&&EvenQ[（*Even*）Last[#]]&，Range[z]]；m4=地图[Length[Select[Map[{Count[#，True]，Count[＃，False]}&，
奇数Q[Integer Partitions[2#-1]]]，奇数Q[（*Odd*）First[#]]&&OddQ[（*Even*）Last[#]&]]&，Range[z]]；
表[Length[Select[Integer Partitions[2n]，EvenQ[Length[#]]&]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼，2021年2月9日*）
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交叉参考
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注：下面括号中是排名序列的A数字。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 23, 30, 42, 54, 73, 94, 124, 158, 206, 260, 334, 420, 532, 664, 835, 1034, 1288, 1588, 1962, 2404, 2953, 3598, 4392, 5328, 6466, 7808, 9432, 11338, 13632, 16326, 19544, 23316, 27806, 33054, 39273, 46534, 55096, 65076, 76808
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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对于一个分区p，设l（p）=p的最大部分，w（p）=p中1的个数，m（p）＝p大于w（p）的个数。如果w（p）=0，则p的曲柄由l（p）给出，否则为m（p）-w（p）。
发件人古斯·怀斯曼2021年3月30日和2022年5月21日：（开始）
此外，n的偶数长度成分的数量（交替部分严格减少），或适当的2色分区（适当=没有相同颜色的相等部分），每种颜色的部分数量相同，或与总n长度相同的有序严格分区对。奇数长度的情况是A001522号，共有A000041号交替部分严格减少的成分（参见A342528型为了一个直观的证明）。相同长度的a（2）=1到a（7）=8个有序严格分区对为：
(1)(1) (1)(2) (1)(3) (1)(4) (1)(5) (1)(6)
(2)(1) (2)(2) (2)(3) (2)(4) (2)(5)
(3)(1) (3)(2) (3)(3) (3)(4)
(4)(1) (4)(2) (4)(3)
(5)(1) (5)(2)
(21)(21) (6)(1)
(21)(31)
(31)(21)
猜想：也就是没有固定点y（i）=i的n的整数分区y的数量，按A352826型。详见A238394型，但Resta告诉我他可能没有证据。没有固定点的a（2）=1到a（7）=8分区为：
(2) (3) (4) (5) (6) (7)
(21) (31) (41) (33) (43)
(211) (311) (51) (61)
(2111) (411) (331)
(3111) (511)
(21111) (4111)
(31111)
(211111)
上述推测是正确的。请参阅链接部分中Blecher-Knopfmacher论文的第4节-杰里米·洛夫乔伊2022年9月26日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第18页条目9推论（i）。
G.E.Andrews，B.C.Berndt，《拉马努扬丢失的笔记本第一部分，施普林格》，见第169页条目6.7.1。
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链接
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乔治·安德鲁斯和大卫·纽曼，整数分区中的最小互斥，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.2.3条。
克里斯蒂娜·巴伦丁（Cristina Ballantine）和米尔恰·梅尔卡（Mircea Merca），二分θ级数、分区中的最小r-间隙和多边形数，arXiv:1710.05960[math.CO]，2017年。
奥布里·布莱彻和阿诺德·克诺普马赫，分区中的固定点和匹配点《拉马努扬杂志》第58卷（2022年），第23-41页。
Brian Hopkins、James A.Sellers和Ae Ja Yee，Crank和Mex分区统计的组合观点，arXiv:2108.09414[math.CO]，2021。
Mbavhalelo Mulokwe和Konstantinos Zoubos，自由费米子、中性和模变换，arXiv:2403.08531[hep-th]，2024。
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配方奶粉
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通用公式：（和{k>=0}（-1）^k*x^（k（k+1）/2））/（乘积{k>0}1-x^k）-迈克尔·索莫斯2003年7月28日
通用公式：和{i>=0}x ^（i*（i+1））/（产品{j=1..i}1-x ^j）^2-乔恩·佩里2004年7月18日
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（8*n*sqert（3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年9月26日
G.f.：（总和{i>=0}x ^i/（产品{j=1..i}1-x ^j）^2）*（产品{k>0}1-x^k）-李涵2020年5月23日
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例子
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G.f.=1+x^2+2*x^3+3*x^4+4*x^5+6*x^6+8*x^7+12*x^8+16*x^9+23*x^10+-迈克尔·索莫斯2018年1月15日
a（0）=1到a（8）=12个具有非负曲柄的分区：
() . (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(21) (22) (32) (33) (43) (44)
(31) (41) (42) (52) (53)
(221) (51) (61) (62)
(222) (322) (71)
(321) (331) (332)
(421) (422)
(2221) (431)
(521)
(2222)
(3221)
(3311)
（完）
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，级数系数[Sum[（-1）^k x ^（k（k+1）/2），{k，0，（Sqrt[1+8 n]-1）/2}]/QPochhammer[x]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年1月15日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，级数系数[Sum[x^（k（k+1））/QPochhammer[x，x，k]^2，{k，0，（Sqrt[1+4 n]-1）/2}]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年1月15日*）
ck[y]：=使用[{w=Count[y，1]}，如果[w==0，如果[y=={}，0，Max@@y]，计数[y，_？（#>w&）]-w]]；表[Length[Select[Integer Partitions[n]，ck[#]>=0&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2021年3月30日*）
ici[q_]：=与@@表[q[[i]]>q[[i+2]]，{i，长度[q]-2}]；
表[Length[Select[Join@@Permutations/@Select[Integer Partitions[n]，EvenQ@*Length]，ici]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2021年3月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n＜0，0，polcoeff（sum（k=0，（sqrtint（1+8*n）-1）\2，（-1）^k*x^（（k+k^2）/2））/eta（x+x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年7月28日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512, 1024, -2048, 4096, -8192, 16384, -32768, 65536, -131072, 262144, -524288, 1048576, -2097152, 4194304, -8388608, 16777216, -33554432, 67108864, -134217728, 268435456, -536870912, 1073741824, -2147483648, 4294967296, -8589934592, 17179869184
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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数字-2可以用作记数的基础（参见Weisstein链接）-阿隆索·德尔·阿特2014年3月30日
前缀为两个0，即（0,0,1，-2,4，-8，…），它是（0,0，1，-5,18，-58179，-543，…）的二项式变换（参见。A000340号)和（0,0,1,2,2,3,3，…）的二项式逆变换=A004526号.（结束）
三角数的Stirling-Bernoulli变换：1，3，6，10，15，21，28-菲利普·德尔汉姆，2015年5月25日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（-2）^n=（-1）^n*2^n。
a（n）=-2*a（n-1），n>0；a（0）=1。镀锌：1/（1+2x）-菲利普·德尔汉姆2008年11月19日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（-2）^n:n in[0..60]]//文森佐·利班迪2014年10月22日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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容易的,签名
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 7, 11, 12, 17, 19, 27, 30, 41, 48, 62, 73, 95, 110, 140, 166, 206, 243, 302, 354, 435, 513, 622, 733, 887, 1039, 1249, 1467, 1750, 2049, 2438, 2847, 3371, 3934, 4634, 5398, 6343, 7367, 8626, 10009, 11677, 13521, 15737, 18184
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,8
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评论
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对于一个分区p，设l（p）=p的最大部分，w（p）=p中1的个数，m（p）＝p大于w（p）的个数。如果w（p）=0，则p的曲柄由l（p）给出，否则为m（p）-w（p）。
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链接
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Brian Hopkins、James A.Sellers和Dennis Stanton，Dyson的Crank与整数分区的Mex，arXiv:2009.10873[math.CO]，2020年。提到这个序列。
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配方奶粉
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a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））*Pi/（3*2^（9/2）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年5月6日
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例子
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a（10）=4，因为有4个10的分区具有零曲柄：1+1+2+3+3、1+1+4+4、1+1+3+5和1+9。
a（3）=1到a（14）=11分区（a..D=10..13）：
21 31 41 51 61 71 81 91 A1 B1 C1 D1
3311 4311 4411 5411 5511 6511 6611
5311 6311 6411 7411 7511
33211 43211 7311 8311 8411
44211 54211 9311
53211 63211 55211
332211 432211 64211
73211
442211
532211
3322211
（完）
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数学
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nmax=60；Rest[系数列表[级数[x-1+和[（-1）^k*（x^（k*（k+1）/2）-x^(*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年9月26日*）
扁平[{0，表[PartitionsP[n]-2*Sum[（-1）^（j+1）*PartitionsSP[n-j*（（j+1）/2）]，{j，1，Floor[（Sqrt[8*n+1]-1）/2]}]，{n，2，60}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年9月26日*）
ck[y_]：=使用[{w=Count[y，1]}，如果[w==0，Max@@y，Count[y，_？（#>w&）]-w]]；
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，ck[#]==0&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2021年4月2日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
[[p.crank（）用于分区（n）中的p].count（0）用于（1..20）中的n]#彼得·卢什尼2014年9月15日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, 3, 1, 5, 3, 11, 8, 18, 16, 34, 33, 57, 59, 98, 105, 159, 179, 262, 297, 414, 478, 653, 761, 1008, 1184, 1544, 1818, 2327, 2750, 3480, 4113, 5137, 6078, 7527, 8899, 10917, 12897, 15715, 18538, 22431, 26430, 31805, 37403, 44766, 52556, 62620, 73379
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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非空分区的Dyson秩是其最大部分减去其部分数。对于这个序列，空分区的秩为0。
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链接
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弗里曼·J·戴森，分区的新对称性《组合理论杂志》7.1（1969）：56-61。
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配方奶粉
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通用公式：1+Sum_{i，j>0}q^（i*j）*（（1+（-1）^（i+j））/2+Sum_{k>0}q^k*q_binomial（k，i-2）*（1+-约翰·泰勒·拉斯科2024年4月15日
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（8*n*sqert（3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年4月17日
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例子
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a（1）=1到a（9）=18个分区（空列用点表示）：
(1) . (3) (22) (5) (42) (7) (44) (9)
(21) (41) (321) (43) (62) (63)
(111) (311) (2211) (61) (332) (81)
(2111) (322) (521) (333)
(11111) (331) (2222) (522)
(511) (4211) (531)
(2221) (32111) (711)
(4111) (221111) (4221)
(31111) (4311)
(211111) (6111)
(1111111) (32211)
(33111)
(51111)
(222111)
(411111)
(3111111)
(21111111)
(111111111)
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，r）选项记忆`如果`（n=0，1-max（0，r），
`如果`（i<1，0，b（n，i-1，r）+b（n-i，min（n-i），1-
`如果`（r<0，irem（i，2），r））
结束时间：
a： =n->b（n$2，-1）：
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数学
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表[If[n==0，1，Length[Select[Integer Partitions[n]，EvenQ[Max[#]-Length[#]]&]]，{n，0，30}]
（*第二个节目：*）
b[n_，i_，r]：=b[n，i，r]=如果[n==0，1-最大值[0，r]，如果[i<1，0，b[n、i-1，r]+b[n-i，最小值[n-i、i]，1-如果[r<0，Mod[i，2]，r]]]；
a[n]：=b[n，n，-1]；
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黄体脂酮素
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（PARI）
pq（k）={prod（j=1，k，1-q^j）；}
GB_q（N，M）={如果（N>=0&&M>=0，p_q（N+M）/（p_q
A_q（N）={my（q='q+O（'q^N），g=1+总和（i=1，N，总和（j=1，N/i，q^（i*j）*
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交叉参考
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注：Heinz数字在下面的括号中给出。
-排名-
-偶数-
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A166444号
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| a（0）=0，a（1）=1，对于n>1，a（n）=所有先前项的总和。 |
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+10
23
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0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a（n）是n组成奇数部分的数量。
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链接
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配方奶粉
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外径：（x-x^2）/（1-2*x）=x/（1-x/（1-x））。
如果n>1，a（n）=（1-n）*a（n-1）+2*Sum_{k=1..n-1}a（k）*a-迈克尔·索莫斯2011年7月23日
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例子
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x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+16*x^6+32*x^7+64*x^8+128*x^9+。。。
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MAPLE公司
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a： =n->`如果`（n<2，n，2^（n-2））：
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数学
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a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=a[n]=Plus@@数组[a，n-1]；数组[a，35，0]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000045号,A000213号,A000288号,A000322号,A000383号,A011782号,A034008号,A060455型,A123526号,A127193号,A127194号,A127624号,A131577号,A163551号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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