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A010815号
根据欧拉五角定理:乘积{m>=1}(1-q^m)中的q^n系数。
1533
1, -1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
抵消
0,1
评论
当与分区数卷积时A000041号给出了1,0,0,0,0。..
此外,将n的不同分区划分为-1个不同类型的部分的数量(基于形式类比)。-米歇尔·唐迪(blazar(AT)lcm.mi.infn.it),2004年6月29日
注释“当与分区数卷积时给出[1,0,0,0,…]”等价于三角形的行和A145975号= [1, 0, 0, 0, ...];哪里A145975号是一个分区数卷积三角形。 -加里·亚当森2008年10月25日
当与的第n个部分和卷积时A000041号=二项式序列开始(1,n,…)。例子:A010815号与…卷曲A014160型(对分区数应用三次部分和运算)=(1,3,6,10,…)。 -加里·亚当森2008年11月11日
(A000012号^(-n)*A000041号)与…卷曲A010815号=帕斯卡三角形倒数的第n行(作为向量,后跟零);哪里A000012号^(-1)=两两差分算子。示例:(A000012号^(-4) *A000041号)与…卷积A010815号= (1, -4, 6, -4, 1, 0, 0, 0, ...). -加里·亚当森2008年11月11日
此外,n的所有分区上的[乘积(1-2/(钩长)^2)]之和-沃特·梅森2010年9月16日
Cayley(1895)以“Write for shortness sqrt(2k'K/pi)/[1-q^{2m-1}]^2=G,…”开始第387条,这是一种复杂的书写方式G=[1-qq^{2m}]=(1-q^2)(1-q*4)。.. -迈克尔·索莫斯,2011年8月1日
这是一个形式为f(a*b^4,a^2/b)-(a/b)*f(a^4*b,b^2/a)=f(-a*b,-a^2*b^2)*f(-a/b,-b^2)/f(a,b)的五元产品标识的示例,其中a=x^3,b=x-迈克尔·索莫斯2012年1月21日
Ramanujanθ函数:f(q)(参见A121373号),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054号),chi(q)(A000700型).
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第一个,它们是重量为1/2的全纯模块形式。 -迈克尔·索莫斯2016年5月4日
参考文献
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链接
Seiichi Manyama,n=0..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1002个术语)
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瓦茨拉夫·科泰索维奇,q系列的整合
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迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介
埃里克·魏斯坦的数学世界,Dedekind-Eta函数
埃里克·魏斯坦的数学世界,五角数定理
埃里克·魏斯坦的数学世界,q-手锤符号
埃里克·魏斯坦的数学世界,Ramanujan Theta函数
埃里克·魏斯坦的数学世界,五元组产品标识
Don Zagier,椭圆模形式及其应用在“模块化形式的1-2-3”,Springer-Verlag,2008年。
Robert M.Ziff,二维渗流临界穿越概率的Cardy公式《物理学杂志》。A.28,1249-1255(1995)。
配方奶粉
如果n的形式为m(3m+-1)/2,则a(n)=(-1)^m;否则a(n)=0。n的值使得|a(n)|=1是广义五边形数,A001318号.n的值,使得a(n)=0是A090864号.
在q的幂不含q^(1/24)因子的情况下,对Dedekind eta函数进行了扩展。
周期1序列的欧拉变换[-1,-1,-1…]。
G.f.:(q;q){oo}=Product_{k>=1}(1-q^k)=Sum_{n=-oo..oo}(-1)^n*q^(n*(3n+1)/2)。第一个符号是q-Pochhammer符号。
f(-x)的展开:=f(-x,-x^2)的x次幂。Ramanujan广义θ函数的一个特例;参见Berndt参考。 -迈克尔·索莫斯2003年4月8日
a(n)=A067661号(n)-A067659号(n) ●●●●。 -乔恩·佩里2003年6月17日
f(x^5,x^7)-x*f(x,x^11)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。 -迈克尔·索莫斯2012年1月21日
G.f.:q^(-1/24)*eta(t),其中q=exp(2 Pi i t),eta是Dedekind eta函数。
通用格式:1-x-x^2(1-x)-x^3(1-x)(1-x^2)-。.. -乔恩·佩里2004年8月7日
给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^3)^8满足0=f(B(q,B(q^2),B(q ^4)),其中f(u,v,w)=u^2*w-v^3+16*u*w^2。 -迈克尔·索莫斯2005年5月2日
给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=f(B(q。 -迈克尔·索莫斯2005年5月2日
a(n)=b(24*n+1),其中b()与b(p^2e)=(-1)^e相乘,如果p==5或7(mod 12),b(p*2e)=+1,如果p=1或11(mod 2),b[p^(2e-1)]=b(2^e)=b(3^e)=0,如果e>0。 -迈克尔·索莫斯2005年5月8日
给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=f(B(q,B(q^2),B(q ^4)),其中f(u,v,w)=u^16*w^8-v^24+16*u^8*w^16。 -迈克尔·索莫斯2005年5月8日
a(n)=(-1)^n*A121373号(n) ●●●●。a(25*n+1)=-a(n)。a(5*n+3)=a(5*n+4)=0。a(5*n)=A113681号(n) ●●●●。a(5*n+2)=-A116915号(n) ●●●●。 -迈克尔·索莫斯2006年2月26日
通用公式:1+Sum_{k>0}(-1)^k*x^((k^2+k)/2)/((1-x)*(1-x^2)*。..*(1-x^k))。 -迈克尔·索莫斯2006年8月18日
a(n)=-(1/n)*Sum_{k=1..n}σ(k)*a(n-k)。 -弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日
G.f.:A(x)=1-x/G(0);G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^;(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日
f(-x^2)*chi(-x)=psi(-x”)*chi(-x*2)=psi。 -迈克尔·索莫斯2015年11月16日
G.f.:exp(Sum_{n>=1}-西格玛(n)*x^n/n)。 -Seiichi Manyama先生2017年3月4日
G.f.:和{n>=0}x ^(n*(2*n-1))*(2*x^(2*n)-1)/产品{k=1..2*n}1-x^k-彼得·巴拉2021年2月2日
g.f.A(x)满足A(x^2)=Sum_{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*Product_{k>=n+1}1-x^k=1-x^2-x^4+x^10+x^14-x^24-x^30++-。... -彼得·巴拉2021年2月12日
对于m>=0,A(x)=(1-x)*(1-x^2)*。..*(1-x^m)*Sum_{n>=0}(-1)^n*x^(n*(n+2*m+1)/2)/(产品_{k=1..n}1-x^k)。 -彼得·巴拉2025年2月3日
发件人弗里德约夫·特尔坎普,2025年3月19日:(开始)
求和{n>=1}a(n)/n=6-4*Pi/sqrt(3)。
求和{n>=1}a(n)/n^2=-108+16*sqrt(3)*Pi+2*Pi^2。
求和{n>=1}a(n)/n^k=求和{i=0..k}6^(k-i)*C(-k,k-i)*a(i),其中a(i(A002111号)G(0)=1/2。(结束)
例子
G.f.=1-x-x ^2+x ^5+x ^7-x ^12-x ^15+x ^22+x ^26-x ^35-x ^40+。..
G.f.=q-q^25-q^49+q^121+q^169-q^289-q^361+q^529+q^625+。..
发件人Seiichi Manyama先生2017年3月4日:(开始)
通用。
=1+(-x-3*x^2/2-4*x^3/3-7*x^4/4-6*x^5/5-…)
+1/2*(x^2+3*x^3+59*x^4/12+15*x^5/2+…)
+1/6*(-x^3-9*x^4/2-43*x^5/4-…)
+1/24*(x^4+6*x^5+…)
+1/120*(-x^5-…)
+ ...
=1-x-x^2+x^5+。…(结束)
MAPLE公司
A010815号:=倍数((1-x^m),m=1..100);
A010815号:=程序(n)局部x,m;
乘积(1-x^m,m=1..n);
膨胀(%);
系数(%,x,n);
结束过程:#R.J.马塔尔2016年6月18日
A010815号:=进程(n)24*n+1;如果issqr(%),则sqrt(%);
(-1)^irem(iquo(%+irem(%,6),6)),2)其他0结束:#彼得·卢什尼2022年10月2日
数学
a[n_]:=系列系数[乘积[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}]; (*迈克尔·索莫斯,2011年11月15日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,级数系数[(级数[EllipticTheta[3,Log[y]/(2I),x^(3/2)],{x,0,n+楼层@平方米[n] }]//正常//TrigToExp)/。{y->-x^(1/2)},{x,0,n}]]; (*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)
系数列表[系列[积[(1-x^k),{k,1,70}],{x,0,70}],x]
(*挂钩长度[]cfrA047874号*)表[Tr[(Times@@(1-2/Flatten[hooklength[#]]^2))&/@分区[n]],{n,26}](*沃特·梅森2010年9月16日*)
系数列表[系列[QPochhammer[q],{q,0,100}],q](*Jean-François Alcover公司2013年12月4日*)
a[n_]:=使用[{m=Sqrt[24n+1]},如果[IntegerQ[m],KroneckerSymbol[12,m],0]]; (*迈克尔·索莫斯2015年6月4日*)
nmax=100;poly=常量数组[0,nmax+1];聚[1]]=1;聚[2]]=-1;Do[Do[poly[[j+1]]-=聚[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}];,{k,2,nmax}];聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月4日*)
表[m=(1+Sqrt[1+24*k])/6;如果[IntegerQ[m],(-1)^m,0]+如果[IntigerQ[m-1/3],(-1-)^(m-1/3),0],{k,0,100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月9日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(eta(x+x*O(x^n)),n))}; /*迈克尔·索莫斯2002年6月5日*/
(PARI){a(n)=polceoff(prod(k=1,n,1-x^k,1+x*O(x^n)),n)}; /*迈克尔·索莫斯2011年11月19日*/
(PARI){a(n)=if(issquare(24*n+1,&n),kronecker(12,n))}; /*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/
(PARI){a(n)=如果(发行方(24*n+1,&n),如果((n%2)&&(n%3),(-1)^圆形(n/6))}; /*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/
(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=1+O(x^n);polcoeff(sum(k=1,(sqrtint(8*n+1)-1)\2,a*=x^k/(x^k-1)+x*O(x^(n-(k^2-k)/2)),1),n)}; /*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
(PARI)列表a(nn)={q='q+O('q^nn);向量(eta(q))}\\阿尔图·阿尔坎2018年3月21日
(岩浆)系数(&*[1-x^m:m in[1..100]])[1..100],其中x是多项式环(整数()).1; //文森佐·利班迪2017年1月15日
(Julia)#DedekindEta定义于A000594号.
A010815列表(len)=DedekindEta(len,1)
A010815列表(93)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
(Python)
从数学导入isqrt
定义A010815号(n) :
m=isqrt(24*n+1)
如果m**2,则返回0!=24*n+1 else((-1)**((m-1)//6)如果m%6==1 else(-1)***((m+1)//6#柴华武2021年9月8日
(朱莉娅)
功能A010815号(n)
r=24*n+1
m=isqrt(r)
米*米!=r&&返回0
iseven(div(m+m%6,6))? 1 : -1
结束#彼得·卢什尼2021年9月9日
关键词
签名,美好的,容易的,改变
作者
扩展
来自的其他评论迈克尔·索莫斯2002年6月5日
状态
经核准的