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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A010815型 {1{1}欧拉系数{1{1}由欧拉{1}m}积{1}欧拉定理。 1509
1、-1、-1、-1、1、0、0、1、0、1、0、1、0、0、0、0、1、0、0、0、1、0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,1

评论

当与分区数卷积时A000041号给出1,0,0,0,0。。。

a(n)=A067661号(n)-A067659号(n) (划分成偶数个不同部分的数目-划分成奇数个不同部分的数目)。-乔恩·佩里2003年6月17日

另外,n的不同划分为-1个不同种类的部分的数目(基于形式类比)。-Michele Dondi(blazar(AT)lcm.mi.infn.it),2004年6月29日

“用分块数卷积得到[1,0,0,0,…]”的注释,相当于三角形的行和A145975年=[1,0,0,0,…];其中A145975年是一个分区数卷积三角形。-加里·W·亚当森2008年10月25日

当与第n个部分和卷积时A000041号=二项式序列开始(1,n,…)。例子:A010815型卷曲A014160号(对分区数应用三次部分和运算)=(1,3,6,10,…)。-加里·W·亚当森2008年11月11日

(A000012号^(-n)*A000041号)卷曲A010815型=帕斯卡三角形逆的第n行,(作为向量,后跟零);其中A000012号^(-1)=成对差分算子。示例:(A000012号^(-4)*A000041号)卷曲A010815型=(1,-4,6,-4,1,0,0,0,…)。-加里·W·亚当森2008年11月11日

[1-2的所有分拆的长度之和-伍特·梅森2010年9月16日

Cayley(1895)在第387条的开头用“Write for shortness sqrt(2k'K/pi)/[1-q^{2m-1}]^2=G,…”这是一种复杂的写G=[1-q^{2m}]=(1-q^2)(1-q^4)。。。-迈克尔·索莫斯2011年8月1日

(a/b)式中,^a*b=a/2的乘积-a*b)-迈克尔·索莫斯2012年1月21日

Ramanujanθ函数:f(q)(参见邮编:A121373),φ(q)(A000122号)q,磅/平方英寸(A010054型),池(q)(A000700美元).

D.Zagier在第30页的“模块形式的1-2-3”中列出的14个原始eta产品中的1/2是全纯模形式。-迈克尔·索莫斯2016年5月4日

参考文献

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链接

真山真一,n=0..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1002个术语)

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五、 科特索维奇,q-级数的积分

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蒂姆·西尔弗曼,有限远图中团的计数,arXiv预印本arXiv:1612.08085[math.CO],2016年。

迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介

埃里克·韦斯坦的数学世界,Dedekind Eta函数

埃里克·韦斯坦的数学世界,五边形数定理

埃里克·韦斯坦的数学世界,q-Pochhammer符号

埃里克·韦斯坦的数学世界,Nurama函数

埃里克·韦斯坦的数学世界,五倍产品标识

D、 扎吉尔,椭圆模形式及其应用在“模块形式的1-2-3”,Springer Verlag,2008年。

罗伯特M.齐夫,二维渗流临界交叉概率的Cardy公式,J.Phys。A、 281249-1255年(1995年)。

乘积{k>=1}(1-x^k)^m展开的索引项

公式

如果n的形式是m(3m+-1)/2,则a(n)=(-1)^m;否则a(n)=0。使| a(n)|=1的n值是广义五边形数,A001318型。n的值使得a(n)=0为A090864号.

无q ^(1/24)因子的Dedekind-eta函数的展开式。

周期1序列的欧拉变换[-1,-1,-1,…]。

G、 f.:(q;q){infinity}=积{k>=1}(1-q^k)=和{n=-infinity..无穷}(-1)^n*q^(n*(3n+1)/2)。第一个符号是q-Pochhammer符号。

f(-x)的展开式:=f(-x,-x^2),x的幂次。Ramanujan一般θ函数的一个特例;见Berndt参考文献。-迈克尔·索莫斯2003年4月8日

在这里,θx(a)的幂次函数是。-迈克尔·索莫斯2012年1月21日

G、 f.:q^(-1/24)*eta(t),其中q=exp(2πi t),eta是Dedekind eta函数。

G、 f.:1-x-x^2(1-x)-x^3(1-x)(1-x^2)-。。。-乔恩·佩里2004年8月7日

给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q3)^8满足0=f(B(q),B(q^2),B(q^4)),其中f(u,v,w)=u^2*w-v^3+16*u*w^2。-迈克尔·索莫斯2005年5月2日

给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=f(B(q),B(x^q),B(q^3),B(q^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=u1^9*u3*u6^3-u2^9*u3^4+9*u1^4*u2*u6^8。-迈克尔·索莫斯2005年5月2日

a(n)=b(24*n+1),其中b()与b(p^2e)=(-1)^e相乘,如果p==5或7(mod 12),b(p^2e)=+1,如果p==1或11(mod 12),b(p^(2e-1))=b(2^e)=b(3^e)=0(如果e>0)。-迈克尔·索莫斯2005年5月8日

给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=f(B(q),B(q^2),B(q^4)),其中f(u,v,w)=u^16*w^8-v^24+16*u^8*w^16。-迈克尔·索莫斯2005年5月8日

a(n)=(-1)^n*213A173型(n) 一。a(25*n+1)=-a(n)。a(5*n+3)=a(5*n+4)=0。a(5*n)=A113681号(n) 一。a(5*n+2)=-A116915年(n) 一。-迈克尔·索莫斯2006年2月26日

G、 f.:1+和{k>0}(-1)^k*x^((k^2+k)/2)/((1-x)*(1-x^2)*。。。*(1-x^k))。-迈克尔·索莫斯2006年8月18日

a(n)=-(1/n)*和{k=1..n}西格玛(k)*a(n-k)。-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日

A147843号=(-n)*a(n)。-加里·W·亚当森2008年11月15日

G、 f.:A(x)=1-x/G(0);G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^(k+1))/G(k+1);(连分式欧拉类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日

f(-x^2)*chi(-x)=psi(-x)*chi(-x^2)=psi(x)*chi(-x)^2=f(-x^2)^2/psi(x)=phi(-x)/chi(-x)=phi(-x^2)/chi(x)的展开式,其中phi()、psi()、chi()、f()是Ramanujanθ函数。-迈克尔·索莫斯2015年11月16日

G、 f.:exp(和{n>=1}-西格玛(n)*x^n/n)。-真山真一2017年3月4日

例子

G、 f.=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+。。。

G、 f.=q-q^25-q^49+q^121+q^169-q^289-q^361+q^529+q^625+。。。

真山真一2017年3月4日:(开始)

G、 f。

=1+(-x-3*x^2/2-4*x^3/3-7*x^4/4-6*x^5/5-…)

+1/2*(x^2+3*x^3+59*x^4/12+15*x^5/2+…)

+1/6*(-x^3-9*x^4/2-43*x^5/4-…)

+1/24*(x^4+6*x^5+…)

+1/120*(-x^5-…)

                                             + ...

=1-x-x^2+x^5+。。。。(结束)

枫木

A010815型:=mul((1-x^m),m=1..100);

A010815型:=过程(n)

局部x,m;

乘积(1-x^m,m=1..n);

展开(%);

系数(%,x,n);

结束过程:#R、 J.马萨2016年6月18日

数学

a[n_u]:=系列系数[乘积[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)

a[n_]:=如果[n<0,0,SeriesCoefficient[(Series[ellipitcheta[3,Log[y]/(2i),x^(3/2)],{x,0,n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp)/。{y->-x^(1/2)},{x,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)

系数列表[系列[产品[(1-x^k),{k,1,70}],{x,0,70}],x]

(*挂钩长度[]cfrA047874号*)表[Tr[(Times@(1-2/flant[hooklength[#]]^2))&/@Partitions[n]],{n,26}](*伍特·梅森2010年9月16日*)

系数列表[系列[QPochhammer[q],{q,0,100}],q](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年12月4日*)

a[n_]:=带[{m=Sqrt[24n+1]},如果[IntegerQ[m],KroneckerSymbol[12,m],0]](*迈克尔·索莫斯2015年6月4日*)

nmax=100;poly=ConstantArray[0,nmax+1];poly[[1]]=1;poly[[2]]=-1;Do[Do[poly[[j+1]]-=poly[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}];,{k,2,nmax}];poly(*瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年5月4日*)

表[m=(1+Sqrt[1+24*k])/6;If[IntegerQ[m],(-1)^m,0]+If[IntegerQ[m-1/3],(-1)^(m-1/3),0],{k,0,100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月9日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(eta(x+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2002年6月5日*/

(PARI){a(n)=polcoeff(prod(k=1,n,1-x^k,1+x*O(x^n)),n)}/*迈克尔·索莫斯2011年11月19日*/

(PARI){a(n)=if(issquare(24*n+1,&n),kronecker(12,n))}/*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/

(PARI){a(n)=if(issquare(24*n+1,&n),if((n%2)&&(n%3),(-1)^圆形(n/6))}/*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=1+O(x^n);polcoeff(sum(k=1,(sqrtint(8*n+1)-1)\2,a*=x^k/(x^k-1)+x*O(x^(n-(k^2-k)/2)),1),n))}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/

(PARI)lista(nn)={q='q+O('q^nn);Vec(eta(q))}\\阿尔图阿尔坎2018年3月21日

(岩浆)系数(&*[1-x^m:m in[1..100]])[1..100],其中x是多项式环(整数()).1//文琴佐·利班迪2017年1月15日

(Julia)DedekindEta的定义见A000594号.

A010815列表(长度)=DedekindEta(长度,1)

A010815列表(93)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日

交叉引用

囊性纤维变性。A000041号,A001318型(特征函数),A000326号,A080995型.

囊性纤维变性。A067659号,A067661号.

囊性纤维变性。A145975年,A002865号,A014160号,A147843号. -加里·W·亚当森2008年11月15日

请参阅邮编:A170925,邮编:A143374,邮编:A194087,A242168,A258232.

上下文顺序:A316917飞机 A133985年 A143062号*A206958号 A206959号 A0995年

相邻序列:A010812型 A010813型 A010814型*A010816型 A010817型 A010818型

关键字

签名,美好的,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

其他评论来自迈克尔·索莫斯2002年6月5日

状态

经核准的

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