A010815-OEIS公司

抵消

0,1

当与分区数卷积时A000041号给出了1，0，0，0,0。..

此外，将n的不同分区划分为-1个不同类型的部分的数量（基于形式类比）。-米歇尔·唐迪（blazar（AT）lcm.mi.infn.it），2004年6月29日

注释“当与分区数卷积时给出[1,0,0,0，…]”等价于三角形的行和A145975号= [1, 0, 0, 0, ...];哪里A145975号是一个分区数卷积三角形。 -加里·亚当森2008年10月25日

当与的第n个部分和卷积时A000041号=二项式序列开始（1，n，…）。例子：A010815号与…卷曲A014160型（对分区数应用三次部分和运算）=（1，3，6，10，…）。 -加里·亚当森2008年11月11日

(A000012号^（-n）*A000041号)与…卷曲A010815号=帕斯卡三角形倒数的第n行（作为向量，后跟零）；哪里A000012号^（-1）=两两差分算子。示例：(A000012号^(-4) *A000041号)与…卷积A010815号= (1, -4, 6, -4, 1, 0, 0, 0, ...). -加里·亚当森2008年11月11日

此外，n的所有分区上的[乘积（1-2/（钩长）^2）]之和-沃特·梅森2010年9月16日

Cayley（1895）以“Write for shortness sqrt（2k'K/pi）/[1-q^{2m-1}]^2=G，…”开始第387条，这是一种复杂的书写方式G=[1-qq^{2m}]=（1-q^2）（1-q*4）。.. -迈克尔·索莫斯，2011年8月1日

这是一个形式为f（a*b^4，a^2/b）-（a/b）*f（a^4*b，b^2/a）=f（-a*b，-a^2*b^2）*f（-a/b，-b^2）/f（a，b）的五元产品标识的示例，其中a=x^3，b=x-迈克尔·索莫斯2012年1月21日

Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).

D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第一个，它们是重量为1/2的全纯模块形式。 -迈克尔·索莫斯2016年5月4日

参考文献

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链接

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迈克尔·索莫斯，Ramanujan theta函数简介

埃里克·魏斯坦的数学世界，Dedekind-Eta函数

埃里克·魏斯坦的数学世界，五角数定理

埃里克·魏斯坦的数学世界，q-手锤符号

埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数

埃里克·魏斯坦的数学世界，五元组产品标识

Don Zagier，椭圆模形式及其应用在“模块化形式的1-2-3”，Springer-Verlag，2008年。

Robert M.Ziff，二维渗流临界穿越概率的Cardy公式《物理学杂志》。A.28，1249-1255（1995）。

Product_{k>=1}（1-x^k）^m展开的索引项

配方奶粉

如果n的形式为m（3m+-1）/2，则a（n）=（-1）^m；否则a（n）=0。n的值使得|a（n）|=1是广义五边形数，A001318号.n的值，使得a（n）=0是A090864号.

在q的幂不含q^（1/24）因子的情况下，对Dedekind eta函数进行了扩展。

周期1序列的欧拉变换[-1，-1，-1…]。

G.f.：（q；q）{oo}=Product_{k>=1}（1-q^k）=Sum_{n=-oo..oo}（-1）^n*q^（n*（3n+1）/2）。第一个符号是q-Pochhammer符号。

f（-x）的展开：=f（-x，-x^2）的x次幂。Ramanujan广义θ函数的一个特例；参见Berndt参考。 -迈克尔·索莫斯2003年4月8日

a（n）=A067661号（n）-A067659号（n） ●●●●。 -乔恩·佩里2003年6月17日

f（x^5，x^7）-x*f（x，x^11）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。 -迈克尔·索莫斯2012年1月21日

G.f.：q^（-1/24）*eta（t），其中q=exp（2 Pi i t），eta是Dedekind eta函数。

通用格式：1-x-x^2（1-x）-x^3（1-x）（1-x^2）-。.. -乔恩·佩里2004年8月7日

给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^3）^8满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=u^2*w-v^3+16*u*w^2。 -迈克尔·索莫斯2005年5月2日

给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^24）满足0=f（B（q。 -迈克尔·索莫斯2005年5月2日

a（n）=b（24*n+1），其中b（）与b（p^2e）=（-1）^e相乘，如果p==5或7（mod 12），b（p*2e）=+1，如果p=1或11（mod 2），b[p^（2e-1）]=b（2^e）=b（3^e）=0，如果e>0。 -迈克尔·索莫斯2005年5月8日

给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^24）满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=u^16*w^8-v^24+16*u^8*w^16。 -迈克尔·索莫斯2005年5月8日

a（n）=（-1）^n*A121373号（n） ●●●●。a（25*n+1）=-a（n）。a（5*n+3）=a（5*n+4）=0。a（5*n）=A113681号（n） ●●●●。a（5*n+2）=-A116915号（n） ●●●●。 -迈克尔·索莫斯2006年2月26日

通用公式：1+Sum_{k>0}（-1）^k*x^（（k^2+k）/2）/（（1-x）*（1-x^2）*。..*（1-x^k））。 -迈克尔·索莫斯2006年8月18日

a（n）=-（1/n）*Sum_{k=1..n}σ（k）*a（n-k）。 -弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日

G.f.:A（x）=1-x/G（0）；G（k）=1+x-x^（k+1）-x*（1-x^；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日

f（-x^2）*chi（-x）=psi（-x”）*chi（-x*2）=psi。 -迈克尔·索莫斯2015年11月16日

G.f.：exp（Sum_{n>=1}-西格玛（n）*x^n/n）。 -Seiichi Manyama先生2017年3月4日

G.f.：和{n>=0}x ^（n*（2*n-1））*（2*x^（2*n）-1）/产品{k=1..2*n}1-x^k-彼得·巴拉2021年2月2日

g.f.A（x）满足A（x^2）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*Product_{k>=n+1}1-x^k=1-x^2-x^4+x^10+x^14-x^24-x^30++-。... -彼得·巴拉2021年2月12日

对于m>=0，A（x）=（1-x）*（1-x^2）*。..*（1-x^m）*Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+2*m+1）/2）/（产品_{k=1..n}1-x^k）。 -彼得·巴拉2025年2月3日

发件人弗里德约夫·特尔坎普，2025年3月19日：（开始）

求和{n>=1}a（n）/n=6-4*Pi/sqrt（3）。

求和{n>=1}a（n）/n^2=-108+16*sqrt（3）*Pi+2*Pi^2。

求和{n>=1}a（n）/n^k=求和{i=0..k}6^（k-i）*C（-k，k-i）*a（i），其中a（i(A002111号)G（0）=1/2。（结束）

例子

G.f.=1-x-x ^2+x ^5+x ^7-x ^12-x ^15+x ^22+x ^26-x ^35-x ^40+。..

G.f.=q-q^25-q^49+q^121+q^169-q^289-q^361+q^529+q^625+。..

发件人Seiichi Manyama先生2017年3月4日：（开始）

通用。

=1+（-x-3*x^2/2-4*x^3/3-7*x^4/4-6*x^5/5-…）

+1/2*（x^2+3*x^3+59*x^4/12+15*x^5/2+…）

+1/6*（-x^3-9*x^4/2-43*x^5/4-…）

+1/24*（x^4+6*x^5+…）

+1/120*（-x^5-…）

+ ...

=1-x-x^2+x^5+。…（结束）

MAPLE公司

A010815号：=倍数（（1-x^m），m=1..100）；

A010815号：=程序（n）局部x，m；

乘积（1-x^m，m=1..n）；

膨胀（%）；

系数（%，x，n）；

结束过程：#R.J.马塔尔2016年6月18日

A010815号：=进程（n）24*n+1；如果issqr（%），则sqrt（%）；

（-1）^irem（iquo（%+irem（%，6），6）），2）其他0结束：#彼得·卢什尼2022年10月2日

数学

a[n_]：=系列系数[乘积[1-x^k，{k，n}]，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯，2011年11月15日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，级数系数[（级数[EllipticTheta[3，Log[y]/（2I），x^（3/2）]，{x，0，n+楼层@平方米[n] }]//正常//TrigToExp）/。{y->-x^（1/2）}，{x，0，n}]]； (*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）

系数列表[系列[积[（1-x^k），{k，1，70}]，{x，0，70}]，x]

（*挂钩长度[]cfrA047874号*)表[Tr[（Times@@（1-2/Flatten[hooklength[#]]^2））&/@分区[n]]，{n，26}](*沃特·梅森2010年9月16日*）

系数列表[系列[QPochhammer[q]，{q，0，100}]，q](*Jean-François Alcover公司2013年12月4日*）

a[n_]：=使用[{m=Sqrt[24n+1]}，如果[IntegerQ[m]，KroneckerSymbol[12，m]，0]]； (*迈克尔·索莫斯2015年6月4日*）

nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；聚[2]]=-1；Do[Do[poly[[j+1]]-=聚[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]；，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月4日*）

表[m=（1+Sqrt[1+24*k]）/6；如果[IntegerQ[m]，（-1）^m，0]+如果[IntigerQ[m-1/3]，（-1-）^（m-1/3），0]，{k，0，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月9日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（eta（x+x*O（x^n）），n））}； /*迈克尔·索莫斯2002年6月5日*/

（PARI）{a（n）=polceoff（prod（k=1，n，1-x^k，1+x*O（x^n）），n）}； /*迈克尔·索莫斯2011年11月19日*/

（PARI）{a（n）=if（issquare（24*n+1，&n），kronecker（12，n））}； /*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/

（PARI）{a（n）=如果（发行方（24*n+1，&n），如果（（n%2）&&（n%3），（-1）^圆形（n/6））}； /*迈克尔·索莫斯2006年2月26日*/

（PARI）｛a（n）=my（a）；如果（n＜0，0，a＝1+O（x^n）；polcoeff（sum（k=1，（sqrtint（8*n+1）-1）\2，a*=x^k/（x^k-1）+x*O（x^（n-（k^2-k）/2）），1），n）｝； /*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/

（PARI）列表a（nn）={q='q+O（'q^nn）；向量（eta（q））}\\阿尔图·阿尔坎2018年3月21日

（岩浆）系数（&*[1-x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（整数（））.1； //文森佐·利班迪2017年1月15日

（Julia）#DedekindEta定义于A000594号.

A010815列表（len）=DedekindEta（len，1）

A010815列表（93）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日

（Python）

从数学导入isqrt

定义A010815号（n）：

m=isqrt（24*n+1）

如果m**2，则返回0！=24*n+1 else（（-1）**（（m-1）//6）如果m%6==1 else（-1）***（（m+1）//6#柴华武2021年9月8日

（朱莉娅）

功能A010815号（n）

r=24*n+1

m=isqrt（r）

米*米！=r&&返回0

iseven（div（m+m%6,6））？ 1 : -1

结束#彼得·卢什尼2021年9月9日

交叉参考

囊性纤维变性。A000041号,A001318号（特征函数），A000326号,A080995号.

囊性纤维变性。A067659美元,A067661号.

囊性纤维变性。A145975号,A002865号,A014160型.

另请参阅A170925号,A143374号,A194087号,A242168型,A258232型,A143062号,A203568型,A002111号,A380038型.

上下文中的序列：A316917飞机 A133985号 143062年*A206958型 A206959型 A080995号

相邻序列：A010812号 A010813号 A010814号*A010816号 A010817号 A010818号

关键词

签名,美好的,容易的,改变

作者

N.J.A.斯隆

扩展

来自的其他评论迈克尔·索莫斯2002年6月5日

状态

经核准的