搜索: a034387-编号:a034386
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0, 0, 2, 10, 10, 30, 30, 68, 68, 68, 68, 140, 140, 246, 246, 246, 246, 406, 406, 616, 616, 616, 616, 900, 900, 900, 900, 900, 900, 1290, 1290, 1760, 1760, 1760, 1760, 1760, 1760, 2364, 2364, 2364, 2364, 3094, 3094, 3934, 3934, 3934, 3934, 4920, 4920, 4920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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所有项都是偶数,因为sp(n)的奇偶性=A034387号(n) 始终与pi(n)相反=A000720号(n) ●●●●。事实上,从第一个非零值sp(2)=2和pi(2)=1开始,两者在每个素数处都会变化奇数。因此,也可以考虑整数序列a(n)/2=0,0,1,5,5,15,15,34,34,34,34,70,70,123,123,123203308,。。。。顺序A156778号列出了这些值(没有重复值)。
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(80,n,和(i=1,素数(n),素数
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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4, 7, 8, 15, 44, 311, 503, 507, 744, 843, 851, 955, 1164, 1256, 1287, 1307, 1312, 2163, 2171, 2244, 2247, 2368, 2412, 3143, 3160, 3872, 3875, 3952, 4584, 5088, 5236, 5355, 5364, 5380, 6211, 6303, 6307, 6587, 7243, 7244, 7436, 7439, 7860, 8220, 8268, 9167, 9283, 9515, 9519, 9632, 9692, 9915, 9919
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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数k,使得素数<=k和非素数<=k的和都是素数(不一定不同)。
所有术语==0或3(mod 4)。
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链接
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例子
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MAPLE公司
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sp:=proc(n)选项记忆;如果是isprime(n),则procname(n-1)+[0,n]其他procname
sp(1):=[1,0]:
过滤器:=进程(n)和映射(i素数,sp(n))结束进程:
选择(过滤器,[1..10000]美元);
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 5, 7, 10, 17, 17, 24, 22, 29, 28, 50, 41, 60, 56, 65, 58, 92, 77, 111, 99, 107, 100, 167, 110, 143, 122, 165, 129, 214, 160, 225, 193, 220, 187, 285, 197, 276, 243, 325, 238, 390, 281, 393, 354, 383, 328, 536, 345, 457, 391, 476, 381, 573, 419, 563, 463
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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数学
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使用[{max=60},sp=Accumulate[Array[#*Boole@PrimeQ公司[#]&,最大值]];a[n_]:=除数和[n,sp[[#]]&];数组[a,max]](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月22日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(80,n,sumdiv(n,d,sum(i=1,素数(d),素数
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 0, 2, 2, 3, 3, 6, 8, 7, 3, 2, 2, 5, 8, 2, 1, 1, 7, 0, 5, 7, 5, 4, 9, 6, 4, 8, 3, 8, 1, 2, 4, 7, 1, 0, 3, 6, 0, 4, 2, 6, 1, 3, 8, 8, 9, 3, 5, 3, 6, 3, 3, 4, 8, 4, 9, 3, 7, 2, 7, 5, 7, 0, 9, 9, 5, 4, 5, 2, 1, 0, 8, 8, 9, 1, 9, 0, 9, 2, 0, 5, 0, 5, 7, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 0, 9, 9, 5, 1, 6, 7, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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从素数定理可以证明素数和函数sigma(n)=(素数之和<=n)~n^2/log(n^2)。因此,当n趋于无穷大时,函数sigma(n)*log(n^2)/n^2趋于1,但当n=7时,其最大值为1.3502233687。精确地说,这个常数是34*log(7)/49,它为sigma(n)提供了一个上限,即对于所有n>1,sigma。
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链接
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J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。6(1962年),第64-94页。
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配方奶粉
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sigma(n)*log(n^2)/n^2的最大值出现在n=7时,因此C=34*log。
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例子
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1.350223368732258211705754964838124710360426138...
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数学
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table=表[Sum[Prime[k],{k,1,PrimePi[n]}]/(n^2/(2 Log[n])),{n,2,10^4}];max=最大[表格];n=1;而[table[[n]]=最大值,n++];打印[N[max,100],“at N=”,N+1]
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000720号
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| pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。 (原名M0256 N0090)
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+10 1898
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
Hardy-Littlewood的第二个猜想是,对于整数x和最小值为{x,y}>=2的y,π(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知它适用于足够大的(x,y)(Udrescu 1975)-彼得·卢什尼2021年1月12日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第870页。
Tom M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第8页。
雷蒙德·阿尤布(Raymond Ayoub),《数字分析理论导论》(Introduction to the Analytic Theory of Numbers),美国。数学。Soc.,1963年;第129页。
Richard Crandall和Carl Pomerance,《素数:计算视角》,Springer,NY,2001年;见第5页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,定理6、7、420。
G.J.O.詹姆逊,素数定理,剑桥。大学出版社,2003年。[另请参阅D.M.Bressoud的评论(链接如下)。]
Władys \322]aw Narkiewicz,素数理论的发展,Springer-Verlag,2000年。
József Sándor、Dragoslav S.Mitrinovic和Borislav Crstic,《数论手册I》,Springer科学与商业媒体,2005年,第VII.1节。(针对不平等等)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Gerald Tenenbaum和Michel Mendès France,《素数及其分布》,AMS Providence RI出版社,1999年。
V.Udrescu,关于猜想pi(x+y)<=pi(x)+pi(y)的一些注记。数学。Pures应用程序。20 (1975), 1201-1208.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
保罗·贝特曼和哈罗德·戴蒙德,素数的百年阿默尔。数学。月份。,第103卷,第9期(1996年11月),第729-741页,MAA华盛顿特区。
Claudio Bonanno和Mirko S.Mega,素数的动力学模型《混沌、孤子与分形》,第20卷,第1期(2004年),第107-118页;arXiv预印本,arXiv:cond-mat/03092512003年。
D.M.Bressoud和Stan Wagon,计算数论:基本算法,Springer/Key,2000年(含计算数论的Mathematica软件包)。
皮埃尔·杜萨尔,大会首映式法国利摩日大学,塞塞分校(1998年)。
大英百科全书,素数定理[web.archive.org的一份不再提供的百科全书文章个人副本]
R.Gray和J.D.Mitchell,全变换幺半群的最大子半群,离散数学。,308 (2008), 4801-4810.
Y.C.Kim,关于素数定理的注记,arXiv:math/0502062[math.NT],2005年。
Angel V.Kumchev,素数的分布, 2005.
约翰·洛奇,素数的分布,B.S.本科生数学交换,第3卷,第1期(2005年秋季)。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
J.Barkley Rosser,一些素数函数的显式界《美国数学杂志》,第63卷,第1期(1941年),第211-232页。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式,伊利诺伊州。数学。6 (1962) 64-94.
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式(扫描古代带注释影印件中的一些关键页面)。
塞巴斯蒂安·马丁·鲁伊斯和乔纳森·索多,π(n)和第n个素数的公式,arXiv:math/0210312[math.NT],2002年,2014年。
伊戈尔·图尔卡诺夫,素数计数函数,arXiv:1603.02914[math.NT],2016年。
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配方奶粉
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素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。
对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]
对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]
对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*楼层((j-2)/j) )(哈代和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日
设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢什尼2011年3月13日
a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(mu(p)*d(p)*sigma(p)*1phi(p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a(n)=n/(log(n)-1-总和_{k=1..m}A233824型(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a(n)=Sum_{j=2.n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日
a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(楼层(n/m)),其中H(n)=和{m=1..n}1/m是调和数函数。
(结束)
求和{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck and Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
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例子
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有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。
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MAPLE公司
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数学
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数组[PrimePi[#]&,100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(300,j,素数(j))\\约尔格·阿恩特2008年5月9日
(鼠尾草)[范围(1,79)中n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
(哈斯克尔)
a000720 n=a000720_列表!!(n-1)
(Python)
来自症状输入素数
对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A048989美元,A000040型,A132090型,A137588型,A139328号,A104272号,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号.
囊性纤维变性。A143538号,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,A179215号,A010051型,A212210型-2013年2月,A233824型,A056171号,A304483型.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,已更改
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作者
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扩展
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编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和2018年12月21日(恢复链接)
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状态
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经核准的
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A002110号
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| 素数(第一个定义):前n个素数的乘积。有时写素数(n)#。 (原名M1691 N0668)
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+10 1698
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1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410, 32589158477190044730, 1922760350154212639070, 117288381359406970983270, 7858321551080267055879090
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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显然,每个项都是φ(x)*sigma(x)/x^2的新最小值。6/Pi^2<σ(x)*φ(x)/x^2<1,对于n>1-贾德·麦克拉尼2005年6月11日
设f是一个乘法函数,f(p)>f(p^k)>1(p素数,k>1),f(p)>f(q)>1(p,q素数,p<q)。然后,对于n>=1,f的记录最大值出现在n#处。类似地,如果0<f(p)<f(p^k)<1(p素数,k>1),0<f-大卫·W·威尔逊2006年10月23日
Wolfe和Hirshberg给出了?,30030, ?, ... 作为一个谜。
记录值出现在A001221号.-Melinda Trang(mewithlinda(AT)yahoo.com),2010年4月15日
可以证明至少有T个素数小于N,其中递归函数T是:T=N-N*和(A005867号(i)/A002110号(i) ,i=0..T(sqrt(N)))这可以显示,例如,对于29^2>N>23^2,至少.16*N个数是素数小于N-本·保罗·瑟斯顿,2010年8月23日
Parthasarathy Nambi的上述评论是根据数字求和产生同余数mod 9的观察得出的,因此3的任何倍数的数字根都是3的倍数。当n>=2时,素数(n)可被3整除-克里斯蒂安·舒尔茨2013年10月30日
重复次数(即值的计数)与值的关系图中的峰值(即局部最大值)是由相邻范围内所有不同的奇素数对的差产生的,其出现的周期间隔由初等数6或更大的数给出。较大的初生体产生较大的(相对)峰值,但其范围必须比初生体大50%以上,才能容易观察到。二次峰出现在那些可被6整除的“近初级”的间隔(例如42)。请参见A259629型此外,在从p(2)=3开始的适度连续范围内,在两个、三个或更多不同奇素数的所有可能和的局部峰值中,可以观察到间隔为6和30的周期性-理查德·福伯格2015年7月1日
如果n>0,则a(n)有2^n个幺正因子(A034444号),a(n)为记录;即,如果k<a(n),则k具有比a(n)更少的酉除数-克拉克·金伯利,2018年6月26日
Psi(n)/n是每个原始值的新最大值(Psi=A001615号)[链接证明:帕特里克·索勒和米歇尔·普莱纳特,命题1第2页];与评论2004相比:Phi(n)/n是每个primarial的新最小值-伯纳德·肖特,2020年5月21日
“primorial”一词是由哈维·杜布纳(Harvey Dubner)(1987)创造的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
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参考文献
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A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie,《数学表格索引》。卷。第1版和第2版,牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社,马萨诸塞州雷丁,1962年,第1卷,第50页。
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
D.Wolfe和S.Hirshberg,《未指定的谜题》,《向数学学家致敬》,彼得斯,2005年,第73-74页。
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链接
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伊斯坎德·阿利耶夫(Iskander Aliev)、杰苏斯·德洛拉(Jesús De Loera)、弗里茨·艾森布兰德(Fritz Eisenbrand)、蒂姆·奥尔特尔(Timm Oertel)和罗伯特·魏斯曼特尔(Robert Weismantel),整数最优解的支持,arXiv:1712.08923[math.OC],2017年。
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow,关于SA、CA和GA编号,arXiv:1112.6010[math.NT],2011-2012;Ramanujan J.,29(2012),359-384。
哈维·杜布纳,因子素数和初等素数,J.Rec.数学。,第19卷,第3期(1987年),第197-203页。(带注释的扫描副本)
S.W.Golomb,福琼猜想的证据,数学。Mag.54(1981),209-210。
Daniel J.Greenhoe,框架和底座:结构与设计,版本0.20,信号处理ABC系列(2019)第4卷,第7、81页。
Daniel J.Greenhoe,一本关于变换的书,版本0.10,信号处理ABC系列(2019)第5卷,见第7页。
A.W.Lin和S.Zhou,循环群上轨道问题的线性时间算法预印本,CONCUR 2014-并发理论,计算机科学系列讲座笔记第8704卷,第327-341页。
A.W.Lin和S.Zhou,循环群上轨道问题的线性时间算法,CONCUR 2014-并发理论,计算机科学课堂讲稿,第8704卷,2014年,第327-341页。
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配方奶粉
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a(n):exp((1+o(1))*n*log(n))的渐近表达式,其中o(1丹福(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月8日
二项式变换=A136104号: (1, 3, 11, 55, 375, 3731, ...). 等于的二项式变换A121572号: (1, 1, 3, 17, 119, 1509, ...). -加里·亚当森2007年12月14日
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例子
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a(9)=23#=2*3*5*7*11*13*17*19*23=223092870除以26个素数算术级数的差5283234035979900A204189型. -乔纳森·桑多2012年1月15日
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MAPLE公司
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数学
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文件夹列表[Times,1,Prime[Range[20]]]
primorial[n_]:=乘积[Prime[i],{i,n}];数组[primarial,20](*何塞·玛丽亚·格拉·里巴斯2010年2月15日*)
连接[{1},分母[Accumulate[1/Prime[Range[20]]]](*哈维·P·戴尔2012年4月11日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a002110 n=产品$take n a000040_list
a002110_list=扫描(*)1 a000040_list
(岩浆)[1]cat[&*[NthPrime(i):i in[1..n]]:n in[1..20]]//布鲁诺·贝塞利2012年10月24日
(Magma)[1]cat[&*PrimesUpTo(p):PrimesUpTo(60)中的p]//布鲁诺·贝塞利,2015年2月8日
(PARI)a(n)=prod(i=1,n,素数(i))\\华盛顿·邦菲姆2008年9月23日
(PARI)p=1;对于(n=0.100,如果(n,p*=素数(n));写入(“b002110.txt”,n,“”,p)\\哈里·J·史密斯2009年11月13日
(PARI)a(n)=因子回归(素数(n))\\大卫·A·科内斯2018年5月6日
(Python)
从sympy导入primarial
定义a(n):如果n<1,则返回1
(方案);带有记忆宏定义
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001615号,A002182号,A002201号,A003418号,A005235号,A006862号,A034444号(酉因子),A034448号,A034387号,A033188号,A035345号,A035346号,A036691号(复合数字),A049345号(基本表示法),A057588号,A060735型(和整数倍),A061742号(正方形),A072938号,A079266号,A087315号,A094348号,A106037标准,A121572号,A053589号,A064648号,A132120型,160188元.
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197, 238, 281, 328, 381, 440, 501, 568, 639, 712, 791, 874, 963, 1060, 1161, 1264, 1371, 1480, 1593, 1720, 1851, 1988, 2127, 2276, 2427, 2584, 2747, 2914, 3087, 3266, 3447, 3638, 3831, 4028, 4227, 4438, 4661, 4888
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a(n)是可以划分为n个不同素数的最小数-阿尔特阿隆索2017年5月30日
对于a(n)<m<a(n+1),n>0,至少有一个m是完美正方形。
证明:对于n=1,2。。。,6、命题明确。对于n>6,a(n)<((素数(n)-1)/2)^2,集(k-1)^2<=a-王金源2018年10月4日
对于n>=5,我们有一个(n)<((素数(n)+1)/2)^2。这可以通过注意到((素数(n)+1)/2)^2-((素数(n-1)+1)/2)^2-素数(m)=(素数n)+素数(n-1-宋嘉宁2022年11月13日
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参考文献
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E.Bach和J.Shallit,《算法数论》第1卷第2.7节:高效算法,麻省理工学院出版社,马萨诸塞州剑桥,1996年。
H.L.Nelson,“素数和”,J.Rec.Math。,14 (1981), 205-206.
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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克里斯蒂安·阿克斯勒,前n个素数之和的新界,arXiv:1606.06874[math.NT],2016年。
劳伦斯·C·华盛顿,素数II的幂和,arXiv预印本(2022)。arXiv:2209.12845[数学.NT]
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配方奶粉
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a(n)~n^2*log(n)/2.-Ahmed Fares(ahmedfares(AT)my deja.com),2001年4月24日(见Bach&Shallit 1996)
对于n>=3,a(n)>=(n-1)^2*(log(n-1。因此a(n)=n^2*log(n)/2+O(n^2*log(log(n)))。这比法尔斯的评论更准确-弗拉基米尔·舍维列夫2013年8月1日
a(n)=(n^2/2)*(对数n+对数n-3/2+(对数n-3)/log n+(2(对数n)^2-14对数n+27)/(4对数^2 n)+O((对数n/log n)^3))[辛哈]-查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月11日
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MAPLE公司
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s1:=[2];对于从2到1000的n,做s1:=[op(s1),s1[n-1]+ithprime(n)];od:s1;
加(i质数(i),i=1..n);
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数学
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累计[Prime[范围[100]]](*扎克·塞多夫2011年4月10日*)
primeRunSum=0;表[primeRunSum=primeRunSam+Prime[k],{k,100}](*扎克·塞多夫2011年4月16日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=向量和(素数(n))\\米歇尔·马库斯2021年2月6日
(岩浆)[0]cat[&+[NthPrime(k):k in[1..n]]:n in[1..50]]//布鲁诺·贝塞利2011年4月11日(改编自文森佐·利班迪2014年3月5日哈斯勒变更后,2015年11月27日)
(哈斯克尔)
a007504 n=a007504_列表!!n个
a007504_list=扫描(+)0 a000040_list
(间隙)P:=已过滤([1..250],IsPrime);;
a: =串联([0],列表([1..长度(P)],i->总和([1..i],k->P[k]))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月7日
(Python)
从itertools导入accumulate、count、islice
从sympy导入质数
定义A007504号_gen():返回累加(prime(n)if n>0,else 0 for n in count(0))
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A034386号,A111287号,A013916号,A013918号(素数),A045345号,A050247号,A050248号,A068873号,A073619号,A034387号,A014148号,A014150型,A178138号,A254784号,A254858型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, 510510, 510510, 9699690, 9699690, 9699690, 9699690, 223092870, 223092870, 223092870, 223092870, 223092870, 223092870, 6469693230, 6469693230, 200560490130, 200560490130
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n!的无平方核!和lcm(1,2,3,…,n)。
a(n)=lcm(铁芯(1)、铁芯(2)、铁心(3)。。。,core(n)),其中core(x)表示x的平方部分,最小整数使得x*core(x)是正方形-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月31日
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参考文献
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史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第1.3节,第14页,“n?”。
József Sándor,Dragoslav S.Mitrinovic,Borislav Crstic,《数论手册I》,Springer科学与商业媒体,2005年,第VII.35节,第268页。
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链接
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J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。,第6卷,第1期(1962年),64-94。
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配方奶粉
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a(n):exp((1+o(1))*n)的渐近表达式,其中o(1丹福(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月8日
对于n>0,log(a(n))<1.01624*n。[Rosser和Schoenfeld,1962;Sándor等人,2005]-N.J.A.斯隆2017年4月4日
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例子
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a(5)=a(6)=2*3*5=30;
a(7)=2*3*5*7=210。
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MAPLE公司
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#第二个Maple项目:
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,
`如果`(i素数(n),n,1)*a(n-1))
结束时间:
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数学
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q[x_]:=应用[次数,表[Prime[w],{w,1,PrimePi[x]}];表[q[w],{w,1,30}]
带有[{pr=FoldList[Times,1,Prime[Range[20]]]},Table[pr[[PrimePi[n]+1]],{n,0,40}]](*哈维·P·戴尔2012年4月5日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=my(v=素数(素数(n)));触头(i=1,#v,v[i])\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月15日
(SageMath)
def sharp_primorial(n):返回斯隆。A002110号(素数pi(n))
[(0..30)中n的sharp_primorial(n)]#朱塞佩·科波列塔2015年1月26日
(Python)
从sympy导入primarial
定义A034386号(n) :如果n==0,则返回1,否则为primorial(n,nth=False)#柴华武2022年1月11日
(Magma)[n eq 0选择1 else LCM(PrimesInInterval(1,n)):n in[0..50]]//G.C.格鲁贝尔2023年7月21日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 0, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 0, 0, 23, 0, 0, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 0, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 0, 0, 47, 0, 0, 0, 0, 0, 53, 0, 0, 0, 0, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 0, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, 0, 0, 0, 0, 0, 79, 0, 0, 0, 83, 0, 0, 0, 0, 0, 89, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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通常,序列中的洞都是用零填充的。这是一种典型的方法,并应用于素数(A000040型)。省略求和时的预标量积。
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链接
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配方奶粉
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a(1)=0;对于n>=1,如果p_1|n或p_2|n或。。。或p_i|n,当n在[p_i^2,p_(i+1)^2),i=1,2,..]中时,其中p_i是第i个素数;否则a(n)=n-弗拉基米尔·舍维列夫2010年4月24日
G.f.:x*f'(x),其中f(x)=和{k>=1}x^素数(k)-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月10日
a(n)=(2*n-1)!模n^2,根据威尔逊定理-托马斯·奥多夫斯基2017年12月27日
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例子
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如果1<n<=8,a(n)=0 If它在区间[4,9)上是偶数;如果9<=n<=25,那么a(n-弗拉基米尔·舍维列夫,2010年4月24日
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MAPLE公司
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seq(`if`(i素数(n),n,0),n=1..100)#罗伯特·伊斯雷尔2016年5月2日
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数学
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如果[PrimeQ@#,#,0]和/@Range@94(*或*)
替换[#,n_/;!PrimeQ@n->0]&/@Range@94(*迈克尔·德弗利格2016年5月2日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 5, 8, 11, 15, 19, 23, 27, 32, 37, 43, 49, 55, 61, 68, 75, 83, 91, 99, 107, 116, 125, 134, 143, 152, 161, 171, 181, 192, 203, 214, 225, 236, 247, 259, 271, 283, 295, 308, 321, 335, 349, 363, 377, 392, 407, 422, 437, 452, 467, 483, 499, 515, 531, 547, 563, 580, 597, 615, 633, 651, 669
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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设S(n)是长度为n的字符串,则a(n。例1:“abcd”是一个长度为4的字符串;有一个(4)=5的子串,具有质数个字符(ab、bc、cd、abc和bcd)。例2:“abcde”是一个长度为5的字符串;有一个(5)=8个子串,具有质数个字符(ab、bc、cd、de、abc、bcd、cde和abcd)。
此外:如果n以1为基数表示(这意味着1=1_1,2=11_1,3=111_1,4=1111_1等),则a(n)是n的子串数,其中包含素数位数。示例:7=11111111_1;7的素数子串的数目(以1为基数)是a(7)=15,因为有15个素数长度的子串:6个2位数子串、5个3位数子串,3个5位数子串和1个7位数子串。
(结束)
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链接
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配方奶粉
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a(n)=Sum_{p<=n,p是素数}(n-p+1)。
a(n)=(n+1)*pi(n)-Sum_pi(n),其中pi(n=素数<=n,Sum_pi=素数之和<=n。
(结束)
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数学
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f[n_]:=(f[n-1]+PrimePi[n]);f[1]=0;表[f[n],{n,1,60}]
累计[PrimePi[Range[70]]](*哈维·P·戴尔2013年2月27日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a046992 n=a046992_列表!!(n-1)
a046992_list=扫描1(+)a000720_list
(PARI)a(n)=我的(n=n+1,s);对于素数(p=2,n,s+=n-p);秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年3月3日
(Python)
从sympy导入primerange
定义A046992号(n) :return(n+1)*len(p:=列表(素数范围(n+1#柴华武2024年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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