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 西格玛(n)=总和_(i=1)^np_i
(1)

是第一个的总和n个 素数(即素数阶乘功能)。前几个术语是2、5、10、17、28、41、58、77。。。(组织环境信息系统A007504号).巴赫和沙利特(1996)表明

 西格玛(n)~1/2n^2lnn,
(2)

并提供估算此类总和的通用技术。

的前几个值n个这样的话西格玛(n)素数是1、2、4、6、12、14、60、64、96、100。。。(组织环境信息系统A013916).的相应值西格玛(n)是2、5、17、41、197、281、7699、8893、22039、24133。。。(组织环境信息系统A013918号).

的前几个值n个这样的话n |西格玛(n)是1、23、53、853、11869、117267、339615、3600489、96643287。。。(组织环境信息系统A045345号).的相应值西格玛(n)是28745830261529871237738086810649294712005370105784534314378,92542301212047102, ... (组织环境信息系统A050247号; Rivera),以及西格玛(n)/n是2、38、110、3066、60020、740282、2340038、29380602、957565746。。。(组织环境信息系统A050248号;里维拉)。

1737年,欧拉表明调和级数质数的,(即素数倒数之和)发散

 sum_(k=1)^infty1/(p_k)=infty
(3)

(纳格尔1951年,第59页;哈代和赖特1979年,第17和22页),尽管速度非常慢。

快速收敛的序列Mertens常数

 B_1=γ+总和_(k=1)^系数[ln(1-p_k^(-1))+1/(p_k)]
(4)

由提供

 B_1=γ+总和_(m=2)^系数(μ(m))/mln[ζ(m)],
(5)

哪里伽马射线尤勒·马切罗尼常数,泽塔(n)黎曼ζ函数,以及亩(n)莫比乌斯函数(Flajolet和Vardi,1996年,Schroeder,1997年,Knuth,1998年)。

Dirichlet展示了更强大的结果

 sum_(素数p=b(moda));(a,b)=1)1/p=infty
(6)

(达文波特1980年,第34页)。尽管倒数素数之和有分歧,这个交替级数

 sum_(k=1)^infty((-1)^k)/(p_k)约为-0.2696063519
(7)

(组织环境信息系统A078437号)收敛(罗宾逊和波特1971年),但尚不清楚

 sum_(k=1)^infty(-1)^kk/(p_k)
(8)

(Guy 1994,p.203;Erdős 1998;Finch 2003)。

还有一类倒数素数的和,其符号由同余决定k个例如

 总和(k=2)^系数(ck)/(pk)约为0.3349813253
(9)

(组织环境信息系统A086239号),其中

 ck={-1表示pk=1(mod4);1表示pk=3(mod 4)
(10)

(Glaisher 1891b;Finch 2003;Jameson 2003,第177页),

 总和(k=2)^系数(ck)/(p_k^2)约为0.0946198928
(11)

(组织环境信息系统A086240美元; Glaisher 1893,Finch 2003),

 总和(k=1)^系数(dk)/(pk)约为0.6419448385
(12)

(组织环境信息系统A086241号),其中

 dk={-1表示pk=1(mod 3);1表示pk=2(mod 4);0表示pk=0(mod 5)
(13)

(Glaisher 1891c;Finch 2003;Jameson 2003,第177页)。

尽管汇总1/p分歧,Brun(1919)表明

 sum_(p,p+2素数)1/p=B<infty,
(14)

哪里

 B=1.902160583104。。。
(15)

(组织环境信息系统A065421号)是Brun的常数.

由定义的函数

 P(n)=sum_(k=1)^infty1/(P_k^n)
(16)

接管素数收敛于n> 1个是对黎曼ζ函数被称为素数zeta函数.

考虑正整数否用素因子分解

 n_o=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)。。。p_r^(字母_ r)
(17)

这样就有奇数个(不一定是不同的)素因子,即。,sum_(k=1)^(r)alpha_k很奇怪。第一个这样的数字很少是2、3、5、7、8、11、12、13、17、18、19、20、23、27、28、29。。。(组织环境信息系统A026424号). 然后

P_o(2p)=sum_(n_o)1/(n_o^(2p))
(18)
=1/(2^(2p))+1/(3^。。。
(19)
=([zeta(2p)]^2-zeta(4p))/(2zeta(2 p)),
(20)

(古尔登和塞巴),其中zeta(p)黎曼-泽塔函数.前几个条件是

否(2)(_o)=(π^2)/(20)
(21)
否(4)(_o)=(π^4)/(1260)
(22)
P_o(6)=(4π6)/(225225)
(23)
P_o(8)=(59π8)/(137837700)
(24)

(组织环境信息系统A093597号A093598号).

考虑类似的和,其中包括的项必须有奇数不同的主要因素,即。,sum_(k=1)^(r)alpha_k很奇怪并且最大(k)(字母k)=1前几个数字是2、3、5、,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, ... (组织环境信息系统A030059型),其中包括复合数30、42、66、70、78、102。。。(组织环境信息系统A093599号).然后

P_(od)(2p)=sum_(n_(od))1/(n_(od)^(2p))
(25)
=1/(2^(2p))+1/(3^+1/(30^(2p))+1/(31^(2 p))+。。。
(26)
=([泽塔(p)]^2-zeta(2p))/(2zeta(p)zeta(2 p)),
(27)

(古尔登和塞巴)。前几个术语是

P_(od)(2)=9/(2pi^2)
(28)
P_(od)(4)=(15) /(2pi^4)
(29)
P_(od)(6)=(11340)/(691pi^6)
(30)
P_(od)(8)=(278775)/(7234pi^8)
(31)

(组织环境信息系统A093595号A093596号).

总额

T型=sum_(k=1)^(infty)1/((p_k-1)^2)
(32)
=sum(k=2)^(infty)(phi2(k)-phi(k))/kln[泽塔(k)]
(33)
=1.3750649947...
(34)

(组织环境信息系统A086242号)也是有限的(Glaisher 1891a;科恩;Finch 2003),其中

 phi_l(k)=k^l产品(p|k)(1-1/(p^l)),
(35)

φ(n)托蒂恩功能,以及泽塔(k)黎曼-泽塔函数.

素数满足的一些奇异和第页包括

 总和(k=1)^(p-1)|(k^3)/p |=((p-2)(p-1(p+1))/4,
(36)

给出序列0、2、18、60、270、462、1080。。。(组织环境信息系统A078837号; 剂量器1993)p=2,3, 5, ...,

 总和(k=1)^((p-1)(p-2))|(kp)^,
(37)

给出了序列0、2、30、120、630、1122、2760。。。(组织环境信息系统A078838号;加药器1993),

 总和(i,j=1)^(p-1)|(ij)/p |=((p-1,
(38)

给出序列0、1、12、45、225、396、960、1377。。。(组织环境信息系统A331764飞机;J.-C.Babois,pers.comm.,2021年1月31日),

sum_(k=1)^(infty)x^klnk=sum_(k=1)^(infty)(λ(k)x^k)/(1-x^k)
(39)
=总和(p)lnpsum_(k=1)^(infty)(x^(p^k))/(1-x^,
(40)

哪里兰姆达(k)曼戈尔特功能,以及

 sum_(k=1)^infty(-1)^(k-1)e^(-kx)lnk=-ln2sum_
(41)

(伯恩特1994年,第114页)。

f(n)是整数的次数n个可以写成两个或更多的总和连续素数。例如,5=2+3,所以f(5)=136=5+7+11+13=17+19,所以f(36)=2.的值序列f(n)对于n=1, 2, ... 由0,0,0,…(OEIS)A084143号). 下表给出了最初的几个n个这样的话f(n)>=k对于小型k个.

k个组织环境信息系统的值n个这样的话f(n)>=k
1A050936号5,8, 10, 12, 15, 17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 36, ...
2A067372号36, 41, 60, 72, 83, 90, 100, 112, 119, ...
A067373号240, 287, 311, 340, 371, 510, 660, 803, ...

类似地,下表给出了前几个n个这样的话f(n)=k对于小型k个.

k个组织环境信息系统的值n个这样的话f(n)=k
1A084146号5, 8, 10, 12, 15,17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39, ...
2A084147号36,41、60、72、83、90、100、112、119、120、138。。。
PrimeSumLn2

现在考虑一下这个数字克(n)数字的方式n个可以表示为或更连续素数(即与之前相同的序列,但每个素数都要大一个)。令人惊讶的是,结果是

 lim_(n->infty)1/nsum_(k=1)^ng(k)=ln2
(42)

(莫瑟,1963年;《狮子座》,1983年,第30页)。


另请参见

布伦斯常数,素数的调和级数,Mertens常数,梅滕斯第二定理,素数公式,底漆编号,主要产品,底漆Zeta函数,初级,总和基本因子的

本条目的部分内容由Jean-Claude牛仔裤巴布瓦

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巴赫·E·和沙利特·J·§2.7英寸算法数论,第1卷:高效算法。马萨诸塞州剑桥:麻省理工学院出版社,1996伯恩特,B.C。“拉马努詹的素数理论。”通道24英寸拉马努詹氏笔记本,第四部分。纽约:Springer-Verlag,1994年。V.布伦。“拉塞利1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+...,《提名者之歌》(les dénommeteurs sont nombres)首映式《朱缪-圣约翰》(jumeaux est convercente o'o)完成。"牛市。科学。数学。 43, 124-128, 1919.科恩,H.《哈代-利特伍德常数的高精度计算》,印前。http://www.math.u-bordeaux.fr/~cohen/hardylw.dvi.达文波特,H。乘法数论,第二版。纽约:Springer-Verlag出版社,1980年。加药器,D.“问题10346。”阿默尔。数学。每月 100, 951, 1993.埃尔德,P.“我在组合数方面的一些新的和几乎新的问题和结果理论。“输入编号理论:丢番图,计算和代数方面。国际会议记录会议于1996年7月29日至8月2日在埃格尔举行(编辑:K.Győry,A.Pethő和V.T。SóS)。柏林:de Gruyter,第169-180页,1998芬奇,S.R。“梅塞尔·默滕斯常数”§2.2在里面数学常量。英国剑桥:剑桥大学出版社,第94-98页,2003Finch,S.,《两个渐近级数》,2003年12月10日。http://algo.inria.fr/bsolve/.弗拉乔莱特,P.和Vardi,I.“经典常数的Zeta函数展开”,未出版手稿。1996http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.上光器,J·W·。L。“关于素数的逆幂和。”夸脱。J.纯应用。数学。 25第347-3621891a页。格拉舍,J·W·。L。“关于系列1/3-1/5+1/7+1/11-1/13-...."夸脱。J.纯应用。数学。 25,375-3831891b。Glaisher,J.W。L。“关于系列1/2+1/5-1/7+1/11-1/13-...."夸脱。J.纯应用。数学。 25,48-651891c。Glaisher,J.W。L。“关于系列1/3^2-1/5^2+1/7^2+1/11^2-1/13-...."夸脱。J.纯应用。数学。 261893年3月33日至47日。X·古尔登。和Sebah,P.“圆周率."http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html.家伙,R.K.公司。“包含素数的级数和序列”。§E7 in未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag出版社,第203页,1994G.H.哈代。和Wright,E.M。“质数”和《素数序列》第1.2节和第1.4节数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,第1-4、17、22和2511979页。詹姆逊,G.J。O。这个素数定理。英国剑桥:剑桥大学出版社,第177页,2003科努特,D.E。这个计算机编程艺术,第2卷:半数值算法,第3版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1998年。Le Lionais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第26、30和46页,1983年。莫雷,P.“奇异级数逼近与自动机”手稿数学。 101,385-399, 2000.Moser,L.“关于数论的注释III.关于总和连续素数。"可以。数学。牛市。 6,1963年第159-161页。纳格尔,T。介绍数字理论。纽约:威利出版社,1951年。Ramanujan,S.“不规则数字。"J.印度数学。Soc公司。 5, 105-106, 1913. 拉马努扬,S。收集斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文(编辑G.H.Hardy,P.V.S.Aiyar,和B.M。威尔逊)。罗得岛普罗维登斯:美国。数学。Soc.,第20-21页,2000年。里维拉,C.“问题与困惑:困惑031-平均质数,APN(k)=S(p_k)/k."http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_031.htm.罗宾逊,高压。和波特,E。数学常量。报告UCRL-20418。加州伯克利:加利福尼亚大学,1971年。施罗德,M.R.先生。编号科学和通信理论,以及密码学、物理学、,数字信息、计算与自相似,第三版。纽约:Springer-Verlag,1997新泽西州斯隆。答:。序列A007504号/M1370,A013916号,A013918号,A030059型,A045345号,A046024型,A050247号,A050248号,A050936号,A065421号,A067372美元,A067373号,A078437号,A078837号,A078838号,A084143号,A084146号,A084147号,A086239号,A086240型,A086241号,A086242美元,A093595号,A093596号,A093597号,A093598号,A093599号,A331764飞机在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

基本总和

引用如下:

Jean-Claude巴布亚埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“素数和”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html

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