让
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(1)
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是第一个的总和 素数(即素数阶乘功能)。前几个术语是2、5、10、17、28、41、58、77。。。(组织环境信息系统A007504号).巴赫和沙利特(1996)表明
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(2)
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并提供估算此类总和的通用技术。
的前几个值这样的话素数是1、2、4、6、12、14、60、64、96、100。。。(组织环境信息系统A013916).的相应值是2、5、17、41、197、281、7699、8893、22039、24133。。。(组织环境信息系统A013918号).
的前几个值这样的话是1、23、53、853、11869、117267、339615、3600489、96643287。。。(组织环境信息系统A045345号).的相应值是28745830261529871237738086810649294712005370105784534314378,92542301212047102, ... (组织环境信息系统A050247号; Rivera),以及是2、38、110、3066、60020、740282、2340038、29380602、957565746。。。(组织环境信息系统A050248号;里维拉)。
1737年,欧拉表明调和级数质数的,(即素数倒数之和)发散
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(3)
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(纳格尔1951年,第59页;哈代和赖特1979年,第17和22页),尽管速度非常慢。
快速收敛的序列Mertens常数
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(4)
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由提供
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(5)
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哪里是尤勒·马切罗尼常数,是黎曼ζ函数,以及是莫比乌斯函数(Flajolet和Vardi,1996年,Schroeder,1997年,Knuth,1998年)。
Dirichlet展示了更强大的结果
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(6)
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(达文波特1980年,第34页)。尽管倒数素数之和有分歧,这个交替级数
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(7)
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(组织环境信息系统A078437号)收敛(罗宾逊和波特1971年),但尚不清楚
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(8)
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(Guy 1994,p.203;Erdős 1998;Finch 2003)。
还有一类倒数素数的和,其符号由同余决定例如
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(9)
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(组织环境信息系统A086239号),其中
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(10)
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(Glaisher 1891b;Finch 2003;Jameson 2003,第177页),
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(11)
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(组织环境信息系统A086240美元; Glaisher 1893,Finch 2003),和
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(12)
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(组织环境信息系统A086241号),其中
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(13)
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(Glaisher 1891c;Finch 2003;Jameson 2003,第177页)。
尽管分歧,Brun(1919)表明
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(14)
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哪里
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(15)
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(组织环境信息系统A065421号)是Brun的常数.
由定义的函数
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(16)
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接管素数收敛于是对黎曼ζ函数被称为素数zeta函数.
考虑正整数用素因子分解
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(17)
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这样就有奇数个(不一定是不同的)素因子,即。,很奇怪。第一个这样的数字很少是2、3、5、7、8、11、12、13、17、18、19、20、23、27、28、29。。。(组织环境信息系统A026424号). 然后
(古尔登和塞巴),其中是黎曼-泽塔函数.前几个条件是
(组织环境信息系统A093597号和A093598号).
考虑类似的和,其中包括的项必须有奇数不同的主要因素,即。,很奇怪并且前几个数字是2、3、5、,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, ... (组织环境信息系统A030059型),其中包括复合数30、42、66、70、78、102。。。(组织环境信息系统A093599号).然后
(古尔登和塞巴)。前几个术语是
(组织环境信息系统A093595号和A093596号).
总额
(组织环境信息系统A086242号)也是有限的(Glaisher 1891a;科恩;Finch 2003),其中
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(35)
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是托蒂恩功能,以及是黎曼-泽塔函数.
素数满足的一些奇异和包括
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(36)
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给出序列0、2、18、60、270、462、1080。。。(组织环境信息系统A078837号; 剂量器1993),3, 5, ..., 和
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(37)
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给出了序列0、2、30、120、630、1122、2760。。。(组织环境信息系统A078838号;加药器1993),
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(38)
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给出序列0、1、12、45、225、396、960、1377。。。(组织环境信息系统A331764飞机;J.-C.Babois,pers.comm.,2021年1月31日),
哪里是曼戈尔特功能,以及
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(41)
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(伯恩特1994年,第114页)。
让是整数的次数可以写成两个或更多的总和连续素数。例如,,所以和,所以.的值序列对于, 2, ... 由0,0,0,…(OEIS)A084143号). 下表给出了最初的几个这样的话对于小型.
| 组织环境信息系统 | 的值这样的话 |
1 | A050936号 | 5,8, 10, 12, 15, 17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 36, ... |
2 | A067372号 | 36, 41, 60, 72, 83, 90, 100, 112, 119, ... |
三 | A067373号 | 240, 287, 311, 340, 371, 510, 660, 803, ... |
类似地,下表给出了前几个这样的话对于小型.
| 组织环境信息系统 | 的值这样的话 |
1 | A084146号 | 5, 8, 10, 12, 15,17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39, ... |
2 | A084147号 | 36,41、60、72、83、90、100、112、119、120、138。。。 |
现在考虑一下这个数字数字的方式可以表示为一或更连续素数(即与之前相同的序列,但每个素数都要大一个)。令人惊讶的是,结果是
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(42)
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(莫瑟,1963年;《狮子座》,1983年,第30页)。
另请参见
布伦斯常数,素数的调和级数,Mertens常数,梅滕斯第二定理,素数公式,底漆编号,主要产品,底漆Zeta函数,初级,总和基本因子的
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巴赫·E·和沙利特·J·§2.7英寸算法数论,第1卷:高效算法。马萨诸塞州剑桥:麻省理工学院出版社,1996伯恩特,B.C。“拉马努詹的素数理论。”通道24英寸拉马努詹氏笔记本,第四部分。纽约:Springer-Verlag,1994年。V.布伦。“拉塞利,《提名者之歌》(les dénommeteurs sont nombres)首映式《朱缪-圣约翰》(jumeaux est convercente o'o)完成。"牛市。科学。数学。 43, 124-128, 1919.科恩,H.《哈代-利特伍德常数的高精度计算》,印前。http://www.math.u-bordeaux.fr/~cohen/hardylw.dvi.达文波特,H。乘法数论,第二版。纽约:Springer-Verlag出版社,1980年。加药器,D.“问题10346。”阿默尔。数学。每月 100, 951, 1993.埃尔德,P.“我在组合数方面的一些新的和几乎新的问题和结果理论。“输入编号理论:丢番图,计算和代数方面。国际会议记录会议于1996年7月29日至8月2日在埃格尔举行(编辑:K.Győry,A.Pethő和V.T。SóS)。柏林:de Gruyter,第169-180页,1998芬奇,S.R。“梅塞尔·默滕斯常数”§2.2在里面数学常量。英国剑桥:剑桥大学出版社,第94-98页,2003Finch,S.,《两个渐近级数》,2003年12月10日。http://algo.inria.fr/bsolve/.弗拉乔莱特,P.和Vardi,I.“经典常数的Zeta函数展开”,未出版手稿。1996http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.上光器,J·W·。L。“关于素数的逆幂和。”夸脱。J.纯应用。数学。 25第347-3621891a页。格拉舍,J·W·。L。“关于系列."夸脱。J.纯应用。数学。 25,375-3831891b。Glaisher,J.W。L。“关于系列."夸脱。J.纯应用。数学。 25,48-651891c。Glaisher,J.W。L。“关于系列."夸脱。J.纯应用。数学。 261893年3月33日至47日。X·古尔登。和Sebah,P.“."http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html.家伙,R.K.公司。“包含素数的级数和序列”。§E7 in未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag出版社,第203页,1994G.H.哈代。和Wright,E.M。“质数”和《素数序列》第1.2节和第1.4节安数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,第1-4、17、22和2511979页。詹姆逊,G.J。O。这个素数定理。英国剑桥:剑桥大学出版社,第177页,2003科努特,D.E。这个计算机编程艺术,第2卷:半数值算法,第3版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1998年。Le Lionais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第26、30和46页,1983年。莫雷,P.“奇异级数逼近与自动机”手稿数学。 101,385-399, 2000.Moser,L.“关于数论的注释III.关于总和连续素数。"可以。数学。牛市。 6,1963年第159-161页。纳格尔,T。介绍数字理论。纽约:威利出版社,1951年。Ramanujan,S.“不规则数字。"J.印度数学。Soc公司。 5, 105-106, 1913. 拉马努扬,S。收集斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文(编辑G.H.Hardy,P.V.S.Aiyar,和B.M。威尔逊)。罗得岛普罗维登斯:美国。数学。Soc.,第20-21页,2000年。里维拉,C.“问题与困惑:困惑031-平均质数,."http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_031.htm.罗宾逊,高压。和波特,E。数学常量。报告UCRL-20418。加州伯克利:加利福尼亚大学,1971年。施罗德,M.R.先生。编号科学和通信理论,以及密码学、物理学、,数字信息、计算与自相似,第三版。纽约:Springer-Verlag,1997新泽西州斯隆。答:。序列A007504号/M1370,A013916号,A013918号,A030059型,A045345号,A046024型,A050247号,A050248号,A050936号,A065421号,A067372美元,A067373号,A078437号,A078837号,A078838号,A084143号,A084146号,A084147号,A086239号,A086240型,A086241号,A086242美元,A093595号,A093596号,A093597号,A093598号,A093599号,和A331764飞机在线百科全书整数序列的。"参考Wolfram | Alpha
基本总和
引用如下:
Jean-Claude巴布亚和埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“素数和”来自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html
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